2021屆人教a版平面向量單元測試(二)

平面向量

一、單選題

——1——

1.已知AA3C的外心。滿足A0=—(A8+AC),貝(JcosA=()

3

1V3口6

AA.-Bn.----C.----D.----

2233

【答案】A

【解析】

試題分析:取BC的中點。，連接AD,0。則。方=。4+4方=’A月+,滅?+,

22

又A0=1（AB+AC）,可得0方=：4月+，由

ODBC=-（AC+AB）（AC-AB）=0,可得通=/又因向量而=；而，

.?.尸又是重心，二三角形是正三角形，.?.乙4=60°,:.?）54=走，故選A.

2

考點：1、向量的幾何運算、平面向量的數(shù)量積公式；2、三角形的性質(zhì).

【方法點睛】本題主要考查向量的幾何運算、平面向量的數(shù)量積公式以及三角形的性質(zhì)，

屬于中檔題.向量有幾何法和坐標法兩種表示方法，向量的運算也分為幾何運算和坐標

運算兩種，因此向量問題的解答也有兩種思路，即幾何法和代數(shù)法：幾何運算要掌握兩

種法則（平行四邊形法則和三角形法則），同時還要熟練掌握平面向量數(shù)量積公式；代

數(shù)運算要正確建立適當?shù)淖鴺讼?，轉(zhuǎn)化為解析幾何問題進行解答.本題主要是運用幾何

運算結(jié)合三角形性質(zhì)解答問題的.

2.已知4,分均為單位向量，|°+6|=百，則（2“+坂）-（。-5）=（）

【答案】A

【解析】

【分析】

首先將|二+力|=V3等式左右兩邊同時平方求出ab＜再根據(jù)向量數(shù)量積的運算律展開

并化簡(2a+辦(￡-坂)，代入相應(yīng)值即可得解.

【詳解】

,.?\a+b\=y/3,.,.|?+^|2=3.|G|+24石+忖=3,

又同=1,忖=1,r.a4=g

(2a+b),(a—h)—2tz-ci?h-b—2------1——.

22

故選：2

【點睛】

本題考查已知向量的模求數(shù)量積，數(shù)量積的運算律，屬于基礎(chǔ)題.

3.定義：如果一個向量列從第二項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常向量，

那么這個向量列做等差向量列，這個常向量叫做等差向量列的公差.已知向量列｛%｝是

以7=(1,3)為首項，公差2=(1,0)的等差向量列.若向量Z與非零向量

￡=(X"，X"+J(〃wN*))垂直，:()

448004480448004480

A.—B.-------C.D.

729243729243

【答案】D

【解析】

【分析】

先根據(jù)等差數(shù)列通項公式得向量神，再根據(jù)向量垂直得遞推關(guān)系，最后根據(jù)累乘法求

結(jié)果.

【詳解】

由題意得=4+(n-V)d=(1,3)+(〃-1)(1,0)=(〃,3)，

L1

因為向量工與非零向量2=(七,(HGN*))垂直，

Xn

所以〃x“+3x“+|=0:.3=一1

七3

因此配=配以?.…±=(-》(-前4480

玉玉/芯33243

故選：D

【點睛】

本題考查等差數(shù)列通項公式、向量垂直坐標表示以及累乘法，考查綜合分析求解能力,

屬中檔題.

4.已知向量￡=(〃?—1,2),b=(m,-3),若則實數(shù)，〃等于()

3

A.一2或3B.2或-3C.3D.-

【答案】A

【解析】

分析□利用〉B=0,結(jié)合向量的數(shù)量積計算公式可得加(加一l)+2x-3=0□可得加

的值.

詳解□由得〃?(〃2-1)+2X-3=0，

解得m=—2或3,故選A.

點睛口利用向量的位置關(guān)系求參數(shù)是出題的熱點，主要命題方式有兩個：口1)兩向量平

行，利用玉%一々*=0解答；口2）兩向量垂直，利用王馬+M必=。解答?

5.正方形ABCD中，點E,尸分別是CD,8。的中點，那么麗=（）

1一1一1一1一

A.-AB+-ADB.——AB——AD

2222

1.?1-m1-；-■=1-,工

C.——AB+-ADD.-AB——AD

2222

【答案】D

【解析】

【分析】

由題意點E，尸分別是OC,BC的中點，求出覺，CF，然后求出向量而即得.

【詳解】

解：因為點E是CO的中點，所以撫=1而，

2

—.1—1—.

點得戶是8C的中點，所以CF=；CB=-；">,

22

所以"=覺+函」通」也

22

故選：D.

【點睛】

本題考查向量加減混合運算及其幾何意義，注意中點關(guān)系與向量的方向，考查基本知識

的應(yīng)用。屬于基礎(chǔ)題。

6.在△A8C中，ZA=90SA%=（2—Z,2），AC=（2,3）>則攵的值是（）

A.5B.-5

【答案】A

【解析】

【分析】

由垂直關(guān)系可知數(shù)量積為零，由數(shù)量積的坐標運算可構(gòu)造方程求得結(jié)果.

【詳解】

..?ZA=90'，即ABJ_AC,.低.n=4—2左+6=0，解得：k=5-

故選：A.

【點睛】

本題考查根據(jù)向量的垂直關(guān)系求解參數(shù)值的問題，關(guān)鍵是明確兩向量垂直，則數(shù)量積為

零.

7.點P是AABC所在平面內(nèi)一點且而+斤=而，在AABC內(nèi)任取一點，則此點取

自APBC內(nèi)的概率是（）

1111

A.—B.—C.—D.一

2345

【答案】B

【解析】

【分析】

由麗+正=而計算出AP8C與AABC的面積比，利用幾何概型的概率公式可求出

所求事件的概率.

【詳解】

設(shè)。是中點，因為方+26=47，所以2萬=/，

所以A、P、。三點共線且點P是線段AD的三等分點，

故三典=:，所以此點取自"BC內(nèi)的概率是

3AABCJ3

故選：B.

【點睛】

本題考查幾何概型概率的計算，解答關(guān)鍵就是確定點尸的位置，考查計算能力，屬于中

等題.

8.已知向量五?0+23）=0,|a|=\b\=2,則向量2萬的夾角為（）

【答案】C

【解析】

a?(a+26)=a.2+2d-b=\d\2+2ml瓦cos<a,b>=4+2x2x2xcos<a,b>=

0

,解得cos<a,B>=-[,那么<a,3>=|n,故選c.

9.設(shè)向量￡=(〃n),b=(2,-1),且4_1人則〃?=()

11

A.—2B.----C.-D.2

22

【答案】c

【解析】

【分析】

根據(jù)向量垂直則數(shù)量積為。直接計算即可求解.

【詳解】

?：aLbj

：.a-b=^m,1)-(2,-1)=2機-1=0,

解得m=—,

2

故選：c

【點睛】

本題主要考查了向量的數(shù)量積運算，向量垂直的性質(zhì)，屬于容易題.

10.如圖所示，4ABe是頂角為120。的等腰三角形，且48=1」貝!1布?前=」

I

/120,

【答案】D

【解析】

?.?/4BC是頂角為120°的等腰三角形，且AB=1

:.BC=小

：.ABBC=1xV3xcos300=-

2

故選D

11.若向量，i=（2,0）石=（1/），則下列結(jié)論正確的是（）

rr..

A.￡石=1B.a=b.C.D.a\\h

【答案】C

【解析】

本題考查向量的坐標運算.

解答：選項A、5^=（2,0）（1,1）=2.

選項B、同=2,忖=&

選項C、=-1)(1,1)=0,正確.

選項D、因為1x201x0所以兩向量不平行.

12.□□□□□□□□□□ABCDncBC=2,ZBAD=45°,6口口口3。□□□口

BF±CDAEBF=()

A.2X/2B.2C.y/2D.1

【答案】D

【解析】

由題意，得忸目=|尸C|=JL設(shè)|AB|=a(a>0),以0C所在直線為x軸，F(xiàn)B所

在直線為>軸建立平面直角坐標系，

則A(-a,>/2),B(0,V2),C(V2,0),E(^~,—),F(0,0),

AE=吟+a,—與)DBF=(0,-0)，則荏.而=1.故選D.

【點睛】本題考查平面向量的線性運算和數(shù)量積運算.解決本題的技巧是合理利用

BbJLCZ)和等腰直角三角形建立平面直角坐標系，大大減少了平面向量的線性運算,

巧妙地避開了干擾信息.

二、填空題

13.已知在A4BC中，重心為P,若麗?*=—16,BC=10,貝!||而|=.

【答案】2

【解析】

試題分析：通?蔗=|旃，恁kosA=/?ccosA=—16,。=10,由余弦定理有

cr-b1+C1—2Z?ccosA

=100,〃+。2=68,

|AP|=--1-(AB+AC)=-|AB+AC|=-Vz?2+c2+2Z>ccosA=2.

考點：向量運算.

14.在AABC中，。是的中點，向量A月=￡，向量/=B，則向量通=

.(用向量￡,石表示)

【答案】；(￡+B)

【解析】

【分析】

直接利用向量的加法的平行四邊形法則，求出結(jié)果即可.

【詳解】

因為。是AAfiC的邊8C上的中點，向量A5=￡,向量=

—1—?一1-

所以向量AD=—(A8+AC)=—(2+ZO，

22

故答案為：Q(4+B).

【點睛】

本題考查向量加法運算及其幾何意義，難度容易.

15.已知平面向量五與3的夾角為學(xué)，且同=1,歷|=夜，貝！1|2五一瓦=.

【答案】Vio

【解析】

【分析】

利用模長關(guān)系有|2蒼-3/=(2G-B)2,按向量數(shù)量積的運算即可求解，然后開方，可

得出結(jié)論.

【詳解】

\2d—b\2=(2a-3)2=4五2-4a-b+b2-

=4x1-4x1xV2x(-y)+2=10,

12a-b\=V10.

故答案為:“U.

【點睛】

本題考查向量的模長，考查向量的數(shù)量積，屬于基礎(chǔ)題.

16.已知向量M=(3,1),5=(-1,2),且3+/)//3-￡),則實數(shù)加=.

【答案】一1;

【解析】

【分析】

由已知可得3+加方〃伍-5)，帶入坐標即可求出實數(shù)m的值.

【詳解】

V(?+mb)//(a-b),a+mb=(3-/n,l+2m),a-b=(4,-1)

/.(3-m)-(-l)=(l+2m)x4,解得〃z=-l.

故答案為：一1.

【點睛】

本題考查向量的平行，若向量訝=(不，乂),5=(9,%),萬//5,則可得%%=%2弘，解

方程即可求解，掌握向量的平行、垂直的等價形式是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題

17.已知向量

d=(l+cosa,sine),b=(l-cos/?,sin/?),c=(1,0),?e(0,^),/?e(4,24)，￡與乙

的夾角為4，5與0的夾角為4.

(1)當,時，求“一4的值；

(2)當4—2=(時，求sin^^2的值.

兀1

【答案】(1)-(2)--

62

【解析】

【分析】

由a?0㈤，可得”的范圍?利用向量的夾角公式化簡可得可端，同理可得

一f.0)直接由a=(*=弓求的值；

⑵利用用一口二?，即可得出sin金鏟的值.

【詳解】

a?TV

解：a￡(0,?),??.]￡[0,萬

?.?H=l+cosa,同=J(l+cosaf+sin2a=，2+2cosa，同=1，

八a-cl+costz

???COSa=HTT3=/二

同同j2+2cosa

...匹(乃,21)，.?爭g4

h-c=1-cos/?，網(wǎng)=^(1-cos/?)2+sin2/?=,2_2cos',

?..cosaS-/l-cos￡sin^=cos2,、

-W同j2-2cos￡2

P71

:.0

25一5

(l)va=y,^=^.nn_5乃冗兀71

'.飽一”一飛-3-飛~6

a(P7i可冗化且為a—蟹0~不7i

（2）丫4-。2

222

.oc—B.n

/.sin-----=sin

2~62

【點睛】

本題主要考查了向量的夾角公式、數(shù)量積運算、倍角公式,考查了推理能力和計算能力,

屬于中檔題.

18.已知非零向量a力滿足|&|1,且（&^）-（aDS）y□

⑴求區(qū)I

⑵當值4；時，求向量a與6的夾角。的值.

【答案】口1口也口2口。=45。

2

【解析】

【分析】

□D利用向量的數(shù)量積的運算可得同2-時=；,故可得忖.

□2□根據(jù)(1)的結(jié)果，利用數(shù)量積的定義可得兩向量的夾角.

【詳解】

(1)由(4一6)(々+5)=02-52=；.

即同2—問2=j_,因同=1,故忸卜也.

22

(2)cos^=r^f|=Er=2x—+6x—+10x—=—=2^,因ee[O,乃],所

|a\\b\454545452

以6=45°.

【點睛】

向量的數(shù)量積的運算，滿足交換律和分配律，注意數(shù)量積的運算不滿足結(jié)合律.另外,

數(shù)量積是向量中計算向量夾角的主要工具.

19.已知向量函=(1,7),OB=(5,1),爐=(2,1)點。為直線0P上一動點.

(□)求匹+朝；

(□)當研?西取最小值時，求麗的坐標.

【答案】⑴匹+西=10；(2)麗=(4,2).

【解析】

【分析】

(I)根據(jù)平面向量加法運算的坐標表示，可以求出礪+麗的坐標表示，再利用求模

公式求出I函+礪卜

(II)由向量浜麗麗的坐標表示，可以求出點A、B、P的坐標，這樣可以求出直

線0P的方程,設(shè)出Q點坐標,求出如?麗的表達式,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出QAQB

的最小值，最后求出而坐標.

【詳解】

(I):OA=(1,7),OB=(5,1)OA+麗=(6,8):.\0A+0^=A/62+82=10;

(II)?/OA=(1,7),OB=(5,1),OP=(2,1)/.A(l,7),B(5,1)P(2,1),因此直線O尸的方

程為y=設(shè)Q(2y,y),QAQB^(2y-\,y-iy(2y-5,y-\)=5y2-2Qy+\2,

即

⑦?豆=5y2-20y+12=5(y-2)2—8當y=2時，麗?迪有最小值-8,此時而

的坐標為(4,2).

【點睛】

本題考查了平面向量加法運算的坐標表示、平面向量模的計算公式，以及平面向量數(shù)量

積的坐標表示，考查了平面向量的最小值問題.

20.平面上有四個點。、A、B、P,存在實數(shù)/,滿足麗=(1—。礪+/?礪，求

證：A、B、P三點共線.

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】

由向量的線性運算可得而=/而，又而、麗有公共點A，即可得證.

【詳解】

解：因為經(jīng)=而+而=荷+（1T）礪+f?礪=（而+礪）=.通，AP//AB,

又而、而有公共點A，

故A、B、P三點共線.

【點睛】

本題考查了利用向量共線證明三點共線，重點考查了向量的線性運算，屬基礎(chǔ)題.

21.已知行不共線，從幾何上說明當|2+萬|=|￡-加時，一定有￡.石=0.

【答案】見解析

【解析】

【分析】

設(shè)入方=a,AD=b＞則A（j=a+B,DB=a-b，由題意知146|=|8。|,左右兩

邊同時平方可求得ab=0-

【詳解】

設(shè)麗=￡，AD=b＞以而，通所在線段作平行四邊形A8C。（如圖），

則/=￡+5，溫JJ，則向量|￡+引=|￡一5|轉(zhuǎn)化為|恁上|麗

ra、/,?2—2-?f-*2---?2-*2一-?-2

因為AC-a+2a?b+b9BD-a-2a-b+b'

所以2a?B=—2a?Ba-b=0-

【點睛】

本題考查向量的數(shù)量積與模，屬于基礎(chǔ)題.

22.在平行四邊形中，過點C的直線與線段。4、0B分別相交于點M、N,若

0M-xOA，ON=yOB；

(1)求y關(guān)于*的函數(shù)解析式；

(2)定義函數(shù)F(x)=-1(O<X<1),點列？(X,,F(X,.))(Z=1,2,???,?,n>2)

在函數(shù)y=F(x)的圖像上，且數(shù)列｛玉｝是以1為首項，0.5為公比的等比數(shù)列，。為

原點，令麗=西+場+…+礫，是否存在點。(1,a)，使得麗，而？若存在，

求出。點的坐標，若不存在，說明理由；

(3)設(shè)函數(shù)G(x)為R上的偶函數(shù)，當xe[0,l]時，G(x)=/(x),又函數(shù)G(x)的

圖像關(guān)于直線尤=1對稱，當方程G(x)=or+；在xe[2￡2k+1)(AeN)上有兩

個不同的實數(shù)解時，求實數(shù)。的取值范圍；

【答案】(1)y==7：(2)存在，(3)--77---,0；

x+1V2J14(A+1))

【解析】

【分析】

(1)利用平行四邊形對邊平行且相等以及平行線分線段成比例可得％與y的關(guān)系；

(2)由題意求出F(x)解析式，寫出向量而，利用向量麗?麗=0列方程求出”的

值；

(3)利用對稱性和函數(shù)的奇偶性求出函數(shù)G(x)的解析式，根據(jù)方程G(x)=ac+，在

2

xe[2k,2k+2)上有兩個不同的實數(shù)解時，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)在同一坐標系下有兩個交

點，從而求出實數(shù)。的取值范圍.

【詳解】

(1)利用平行四邊形對邊平行且相等以及平行線分線段成比例可得:

\0M\_\OM\_\ON\

\OA\~\CB\一|畫'

又由兩=x礪，ON=yOB；

Vx

=解得y=——,

l—y1+x

x

???y關(guān)于x的函數(shù)解析式y(tǒng)=f(x)=——；

x+1

L,、1.1+X,1

(2)當xe(O,1]時，F(xiàn)(x)=---1=-------1=一,

于(x)xx

:邛玉,(),又七=0.5"T=(g)"T,J=2"T,

OP=(l+-+...+(1)n-1,]+2+