2021屆人教a版 平面向量 單元測(cè)試 (二)

平面向量

一、單選題

1.已知向量4=(1,2),5=(0,—2),1=(-1,4),若(2a一5)//小貝按數(shù)4=()

A.-3B.-C.1D.3

3

【答案】A

【解析】

因?yàn)橄蛄緻=(1,2),B=(O,-2),c=(-l,A),所以22—5=(2,6),又因?yàn)?/p>

(2a-b)//c,所以2幾+6=0,解得尤=一3,故選A.

2.已知拋物線(xiàn)C:V=4x的焦點(diǎn)是F,過(guò)點(diǎn)尸的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)C相交于P、。兩點(diǎn)，

且點(diǎn)Q在第一象限，若3而=①，則直線(xiàn)PQ的斜率是()

A.1B.且C.72D.y/j

3

【答案】D

【解析】

設(shè)尸(玉,乂),。(々,必)，由拋物線(xiàn)的方程可知,拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)尸(1,0),

因?yàn)?而=而，則3(1一芯,一,)=(%2-1,%)，所以%=-3乂，

又設(shè)過(guò)焦點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率為％,所以方程為y=%(x-D,

v=^(x-l),44

聯(lián)立方程組｛；,2=4x，得y-7＞一4=0,所以,+%=%，,%=-4，

代入可得攵=JL故選D.

點(diǎn)晴：本題主要考查了直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合考查，其中解答中涉及到直線(xiàn)與拋物線(xiàn)

的位置關(guān)系的應(yīng)用，直線(xiàn)方程的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)的綜合考查，著重考查了學(xué)生分析問(wèn)題和

解答問(wèn)題的能力，本題的解答中把直線(xiàn)方程代入拋物線(xiàn)方程，轉(zhuǎn)化為根與系數(shù)的關(guān)系,

以及韋達(dá)定理的應(yīng)用是解答的關(guān)鍵.

3.已知平面向量之=(2,-1),5=(1,x).若萬(wàn)〃5,則》=().

11

A.一一B.-2C.-D.2

22

【答案】A

【解析】

【分析】

利用共線(xiàn)向量定理的坐標(biāo)運(yùn)算即可.

【詳解】

因?yàn)槿f(wàn)〃B，所以2xx-(-1)x1=0,所以x=-；.

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查向量共線(xiàn)的坐標(biāo)運(yùn)算，考查學(xué)生的基本計(jì)算能力，是一道基礎(chǔ)題.

4.已知向量4=(2,機(jī))，,若a//B,則實(shí)數(shù)等于()

A.-2B.2C.2或一2D.0

【答案】C

【解析】

試題分析：由2/力，可得4一機(jī)?=。；.〃?=±2,選c

考點(diǎn)：向量共線(xiàn)的充要條件

5,若點(diǎn)A（a,0）,8（0,2）,C（l,3）共線(xiàn)，則。的值為（）

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】A

【解析】

【分析】

通過(guò)三點(diǎn)共線(xiàn)轉(zhuǎn)化為向量共線(xiàn)，即可得到答案.

【詳解】

由題意，可知由=（1,1），又6=（一0,2），點(diǎn)A（a,0）,3（0,2）,C（l,3）共線(xiàn)，則

BC//AB,即一。=2，所以a=—2,故選A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查三點(diǎn)共線(xiàn)的條件，難度較小.

6.在邊長(zhǎng)為1的正中，BD=XBA，CE=yCA，x>0,y>0且x+y=l,則CD

?的最大值為（）

5333

A.—B.C.—D.

8482

【答案】C

【解析】

【分析】

表示而?詼=（而+X或）（阮+y5）=一1+^^^,結(jié)合X〉O,x〉o,

1______3

x+y=l,由此能求出當(dāng)x=y=彳時(shí)，CZ>5七的最大值為一石.

2o

【詳解】

解：由題意得麗?麗=（函+而）（而+庵），

BD=xBA-CE=yCA,x>0,y>0且x+y=l,

CD-BE^（CB+BDj[BC+CEy

^（CB+xBA]{BC+yCA）=-1+X+y^Xy,

,/x>0,x>0,光+y=l,

1

...初，-,

4

+工

228

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=g時(shí)取等號(hào)，

1一3

.?.當(dāng)x=y=一時(shí)，前.詼的最大值為—2.

28

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查向量知識(shí)的運(yùn)用，向量的加法，數(shù)量積及基本不等式的運(yùn)用，綜合性強(qiáng)，屬于

中檔題.

7.已知空間向量西,朝，近兩兩相互垂直，且|礪=|麗=|反R而若

麗=x0X+y礪+z反則％+y+z的取值范圍是（）

A.-與S'B.[T,l]C.[-V3,A/3]D.[-2,2]

【答案】C

【解析】

【分析】

設(shè)|礪=|礪=|3|=|方|=r,根據(jù)題意可得l=/+y2+z2,再利用基本不等式,

即可得答案；

【詳解】

^|O4=|0B|=|0C|=|0P|=r,

OP=xOA+yOB+zOC=>I=x2+y2+z2,

???(x+y+z)2=x2+y2+z24-2xy+2yz+2xz<3(x2+y2+z2)=3,

等號(hào)成立，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=±Y3，

3

->/3Kx+y+z<'x/s>

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查向量的數(shù)量積、基本不等式，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意

驗(yàn)證等號(hào)成立的條件.

8.若A4BC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，向量福=3BC=a>6=b，有下列命

題：

①同=|"］；②a+5與a—石垂直；③a+石+c=C；?a+b=c.

其中正確命題的個(gè)數(shù)是()

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)向量模長(zhǎng)可判斷命題①的正誤；計(jì)算￡+B與的數(shù)量積，可判斷命題②的正誤:

利用平面向量加法法則可判斷命題③④的正誤.

【詳解】

rr

Qa="=l,命題①正確；

+=-|^|=0,命題②正確；

■.-a+b+c^BC+CA+AB=6>命題③正確；

?：a+b-BC+CA-BA--c>命題④錯(cuò)誤.

因此，正確命題的個(gè)數(shù)為3.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查與平面向量相關(guān)命題真假的判斷，涉及平面向量加法法則、垂直向量的表示以

及向量模的概念，考查推理能力，屬于中等題.

9.已知平面向量而，而滿(mǎn)足網(wǎng)=|麗|=1,PAPB=-^,若閡=1,則%|

的最大值為（）

A.75+1B.V3-1C.V2+1D.V3+1

【答案】D

【解析】

【分析】

PAPB

,可求出進(jìn)而利用余弦定理,

設(shè)中，麗的夾角為。，由cos8=6=2，

HR3

可求出網(wǎng)=6,再結(jié)合“]=（而+叼2=4+2通?冊(cè)，從而求出麗x工的

最大值，即可求出|恁|的最大值.

【詳解】

一一APAPB1

由題意，設(shè)PA,尸8的夾角為。，則cos。

因?yàn)閑e[0,7i],所以。=學(xué)27r，

在△PAB中，由余弦定理得,

“閆研+|網(wǎng)：2國(guó)H網(wǎng)cos8=l+l+2xg=3,

所以|研2=(而+比/二宿

+2AB?BCBC^4+2AB?BC,

當(dāng)瓶，肥夾角為0時(shí)，福x配取得最大值，(AB^BC\創(chuàng)cos0=6,

\)max

所以|才q的最大值為“+26=J(I+G『=1+6.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算及數(shù)量積，考查利用余弦定理解三角形，考查學(xué)生的計(jì)算

求解能力與推理能力，屬于中檔題.

10.已知平面向量a=(x,l),3=(1,2),若￡/力，則實(shí)數(shù)x=()

A.-2B.5C.-D.-5

2

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，由向量平行的坐標(biāo)表示方法可得2x-l=0,解可得x的值，即可得答案.

【詳解】

根據(jù)題意，向量：=(x,l),B=(l,2),,

若G〃B，則有2x-l=0,

所以X=—.

2

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查向量平行的坐標(biāo)表示，關(guān)鍵是向量平行的坐標(biāo)表示方法.

JT3

11.在三角形ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,8=—,cosA=-,向量

45

BABC=28則b的值為：O

5

A.3B.-C.4D.5

2

【答案】D

【解析】

【分析】

由=可以得到ac=28a，用正弦定理把兄。分別用力表示，然后代入

ac=28后中，求出入

【詳解】

由題意可知：BA-BC=28=>ac=28V2）在/ABC中，

cosA=-sinA=Vl-cos2A=—,

55

7

sinC=sin（7-A-B）=sin（A+3）=sinAcosB+cosAsinB=—V2,

4/r-,7.

__a_=__b__—__c_—sa—_b__—__c__—sa—yj2bc—o

由正弦定理可知：sinAsin8sinC,6-J255

5T10

代入

ac=280中，得（4缶>（［。）=28五=6=25=5=5,故本題選D。

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量數(shù)量積運(yùn)算、正弦定理。

12.已知1=(-1,3),A=(x,-1),S.a±b,貝!|x=()

A.—3B.3C.----D.—

33

【答案】A

【解析】

【分析】

利用垂直向量的坐標(biāo)表示可得出關(guān)于x的等式，解出即可.

【詳解】

由2=(—1,3),^=(x,-l),且￡小，所以￡%=—x—3=0,解得x=—3.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用平面向量垂直求參數(shù)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題

13.已知ai+az+...+a2oi5=O,Kan=(3,4)(l<n<2010,"01\1"),貝!|ai+a2+...+an-i+an+i+...+a2ois的模

為.

【答案】5

【解析】由題意知。工+。2*."+。"-工"。"+工+”.+。2CIS--3J~4),所以所求模為S

14.已知點(diǎn)尸在邊長(zhǎng)為4的等邊三角形4BC內(nèi),滿(mǎn)足AP=AAB+JJAC，且24+3〃=1,

延長(zhǎng)AP交邊8c于點(diǎn)O,BD=2DC,則麗.麗的值為.

9

【答案】--

【解析】

【分析】

--1一2-----

不妨令麗=3"AQ，由反方=2流可得=+可用A與、AC表示

AP，由平面向量基本定理可列出方程組求得;I、〃，進(jìn)而用麗、衣表示麗，按

向量數(shù)量積的運(yùn)算律求解即可.

【詳解】

4,P,。共線(xiàn)，不妨令而=3機(jī)而5，又新5=2比，

——1一7—?

..而+通=-2通+2/即AD=-AB+-AC,

又工而=而,

AP=mAB+2mAC=AAB+pAC,

3m

Z=

jU=2A8——1——1——

因此,=>VAP=-AB+-AC

24+3〃=1j_84

4=

4

_______7__i__

則麗=AB-AP='麗——AC,

84

——1一1—.7—1一

7—23------

^-[—AB+—AB-AC-

6416

_9

故答案為：--.

【點(diǎn)睛】

本題考查平面向量基本定理、線(xiàn)性運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題.

15.已知向量￡=(1,力石=(x,y—2),其中x>0,若￡與坂共線(xiàn)，則號(hào)的最小值為

【答案】2垃

【解析】

【分析】

根據(jù)兩個(gè)向量平行的充要條件，寫(xiě)出向量的坐標(biāo)之間的關(guān)系，之后得出t=x+2,利

XX

用基本不等式求得其最小值，得到結(jié)果.

【詳解】

=b=(x,y-2),其中x>0,且5與B共線(xiàn)

lx(y-2)=x-x,即y=j?+2

；.y=￡^l=x+l>2y[2,當(dāng)且僅當(dāng)尤=2即x=75時(shí)取等號(hào)

XXXX

.?.)的最小值為2枝.

x

【點(diǎn)睛】

該題考查的是有關(guān)向量共線(xiàn)的條件，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有向量共線(xiàn)坐標(biāo)所滿(mǎn)足的條件，利

用基本不等式求最值，屬于簡(jiǎn)單題目.

16.已知向量五，3的夾角為:，a=(V3,l)?住|=1，貝引石一區(qū)|=.

【答案】V3

【解析】

【分析】

根據(jù)己=(百,1)求出|不，再結(jié)合|方|=1以及向量石的夾角，可求出五葦，進(jìn)而可求

出|有一石

【詳解】

因?yàn)樵?(河1),則同=2,則五?石=同間cos；=1,

所以怔一=J(a—b)2=74—2+1=V3-

故答案為百.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查向量模的運(yùn)算，熟記數(shù)量積計(jì)算公式即可求解，屬于基礎(chǔ)題型.

三、解答題

17.如圖，。是AA3C所在平面內(nèi)一點(diǎn)，NAO8=150°4403=150°,向量

OA,OB,OC的模分別為2,V3,4.

(1)^.\OA+OB+OC\；

(2)若OC=+求實(shí)數(shù)的值.

【答案】(1)|(M+O3+OC|=3；(2)m=n--A.

【解析】

試題分析：(1)將|次+礪+反|平方，再利用向量基本運(yùn)算進(jìn)行解題；(2)化簡(jiǎn)

OC=mOA+nOB即可得方程組，再解相關(guān)方程組.

試題解析：(1)???NA08=150°ZA08=150".?.NBOC=90"

Q40B=-3,OC0S=0,6W0C=-4\OA+OB+OC^

=(OA+OB+OCf

=OV+OB2+OC2+2OAOB+2OCOB+20AOC=9,\OA+OB+OC\=3

-—-?—*4，〃-3〃=-4

(2)由0C=加。4+〃。8可得，所以I，解得〃?=〃=-4

-3m+3n=0

考點(diǎn)：1、向量的模；2、向量的數(shù)量積；3、向量的相等.

18.過(guò)點(diǎn)P(4,2)作直線(xiàn)/交x軸于點(diǎn)A,交)'軸于點(diǎn)8,且，點(diǎn)P在A與3之間

(1)當(dāng)麗=3而時(shí)，求直線(xiàn)/的方程；

(2)當(dāng)Q?麗取得最小值時(shí)，求直線(xiàn)/的方程

【答案】(I)x+6y-16=0；(II)x+y-6=0.

【解析】

【分析】

設(shè)/：y=k(x-4)+2,得—B(0,2-4k),由P位于AB兩點(diǎn)之間，

21

可得左＜0：(I)由而=3而，可得：=3-(-4),解得人=一^，利用點(diǎn)斜式可得結(jié)

K6

果；(H)APPB=S(一女)+(一：))，利用基本不等式可得結(jié)果.

【詳解】

顯然直線(xiàn)/的斜率k存在且左。0,

設(shè)/：)=左(%一4)+2,得A(4—/,()],3(0,2—4k)

2

因?yàn)镻位于AB兩點(diǎn)之間，所以4一一＞4且2—4%＞2,所以左＜()

（1）AP=3PB>所以?=3?（-4）,所以％=-J

k6

直線(xiàn)/的方程為x+6y-16=0

>16,當(dāng)—4=一!即％=—1時(shí)，等號(hào)成立

k

所以當(dāng)而?麗取得最小值時(shí)直線(xiàn)I的方程為x+y-6=0

【點(diǎn)睛】

本題主要考查平面向量線(xiàn)性運(yùn)算的坐標(biāo)表示以及直線(xiàn)點(diǎn)斜式方程的應(yīng)用，考查了基本不

等式的應(yīng)用，意在考查綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解答問(wèn)題的能力，屬于中檔題.

19.已知向量￡=(2,0),B=(l,4).

(I)若向量Q+B與1+2分平行，求實(shí)數(shù)A的值;

(D)若向量+B與Z+2B的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)A的取值范圍.

191

【答案】(1)—；(2)k〉---且后;二.

222

【解析】

【詳解】

試題分析：(1)由向量平行坐標(biāo)表示得8X(2A+1)—4X4=0,解方程得實(shí)數(shù)〃的值;

(2)即AG+5與G+2日不共線(xiàn)且數(shù)量積為正，利用向量數(shù)量積坐標(biāo)表示得4X(2〃

+D+4X8X)且8X(2什DW4X4,解不等式可得實(shí)數(shù)〃的取值范圍.

試題解析：解：(1)依題意得在不十石=(24+1,4),萬(wàn)+25=(4,8),

：向量力2+5與萬(wàn)+2行平行

A8X（2A+1）-4X4=0,解得4=L

2

(2)由(1)得"萬(wàn)+5=(2A+1,4),萬(wàn)+25=(4,8)

,??向量4土+B與5+2日的夾角為銳角，

；.4X(2A+l)+4X8>0,且8X(2X+1)W4X4

.9r1

..發(fā)>一一且一.

22

點(diǎn)睛：(D向量的坐標(biāo)運(yùn)算將向量與代數(shù)有機(jī)結(jié)合起來(lái)，這就為向量和函數(shù)的結(jié)合提供

了前提，運(yùn)用向量的有關(guān)知識(shí)可以解決某些函數(shù)問(wèn)題.

(2)以向量為載體求相關(guān)變量的取值范圍，是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)等相結(jié)合

的一類(lèi)綜合問(wèn)題.通過(guò)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解不等式或求函數(shù)值域，是解決

這類(lèi)問(wèn)題的一般方法.

20.如圖，在平面四邊形ABC。中，AB與。。不平行，E,尸分別是邊AD,BC

的中點(diǎn).

(1)已知而=2就+〃而，求實(shí)數(shù)/I,〃的值；

(2)已知AB=4,CD=6,EF-DC=求線(xiàn)段EF的長(zhǎng)度.

【答案】(=)；(2)

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)￡,F分別是邊AD,3c的中點(diǎn)有麗=_麗，聲=_方，再用上下兩個(gè)四

邊形的向量關(guān)系表達(dá)而相加即可.

(2)由(1)有方=(詼+(而,再將麗.￡)6=24利用方G而表達(dá)，進(jìn)而得出

通?配=12,再平方方=‘成+’而代入福?反=12與A5=4,CD=6求解

22

即可.

【詳解】

(1)因?yàn)镋,尸分別是邊A￡>,8c的中點(diǎn)，故而=_麗，卮=—麗.

又而=前+反+CT…①，EF^EA+AB+BF-?J

①+②可得2麗=加+A月，故麗=；覺(jué)+(而.故>l=g,〃=g.

(2)由(工)有喬=；加+(4月，故喬.反=24有反+；而)萬(wàn)心=24,

故仁讀+g回.反=24=覺(jué)?+而覺(jué)=48,又C￡>=6,故福反=12.

.1.1----,2]?,------>\21/----?2.-------,2\

又EF=3DC+]AB,故EF=-(DC+ABJ=-^DC+2DCAB+AB)

BPEF2=；(36+242+16)=19,故律長(zhǎng)為如.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算,包括基底向量的用法以及向量數(shù)量積與模長(zhǎng)的綜

合運(yùn)用，屬于中檔題.

21.設(shè)向量￡=(cosa"sina),萬(wàn)=(cos/,sin/?),其中；1>0,0<?</?<^,且

a+b與a-b互相垂直.

(1)求實(shí)數(shù)％的值；

vV4

(2)若a.b=三，且tan，=2,求tana的值.

【答案】(1)1；(2)

2

【解析】

【分析】

(1)由〉力與萬(wàn)-5互相垂直可得(及+辦(〃-5)=求"2=0,展開(kāi)化簡(jiǎn)即得4=1.

4433

(2)由得cos(a-/?)=g.sin(a-/?)=--.tan(^z-^)=--,最后

tan(a一夕)+tan/?

求tana=tan(a-尸+/?)=

1-tan(a-')tan尸2

【詳解】

解：(1)由。