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2025屆黑龍江省鐵力市第一中學(xué)數(shù)學(xué)高三上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù)的最小正周期為,為了得到函數(shù)的圖象,只要將的圖象()A.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度2.已知雙曲線的左,右焦點(diǎn)分別為,O為坐標(biāo)原點(diǎn),P為雙曲線在第一象限上的點(diǎn),直線PO,分別交雙曲線C的左,右支于另一點(diǎn),且,則雙曲線的離心率為()A. B.3 C.2 D.3.如圖,在中,,且,則()A.1 B. C. D.4.已知展開式中第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,,若,則的值為()A.1 B.-1 C.8l D.-815.設(shè)集合、是全集的兩個(gè)子集,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和.若,,則()A.5 B.3 C.-12 D.-137.若復(fù)數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則其共軛復(fù)數(shù)的虛部為()A. B. C. D.8.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,,,則的通項(xiàng)公式()A. B. C. D.9.若集合,,則()A. B. C. D.10.五名志愿者到三個(gè)不同的單位去進(jìn)行幫扶,每個(gè)單位至少一人,則甲、乙兩人不在同一個(gè)單位的概率為()A. B. C. D.11.如圖,正三棱柱各條棱的長(zhǎng)度均相等,為的中點(diǎn),分別是線段和線段的動(dòng)點(diǎn)(含端點(diǎn)),且滿足,當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí),下列結(jié)論中不正確的是A.在內(nèi)總存在與平面平行的線段B.平面平面C.三棱錐的體積為定值D.可能為直角三角形12.如圖,在矩形中的曲線分別是,的一部分,,,在矩形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),若此點(diǎn)取自陰影部分的概率為,取自非陰影部分的概率為,則()A. B. C. D.大小關(guān)系不能確定二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.平面區(qū)域的外接圓的方程是____________.14.已知正項(xiàng)等比數(shù)列中,,則__________.15.在中,內(nèi)角的對(duì)邊長(zhǎng)分別為,已知,且,則_________.16.若一組樣本數(shù)據(jù)7,9,,8,10的平均數(shù)為9,則該組樣本數(shù)據(jù)的方差為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),.(1)當(dāng)時(shí),判斷是否是函數(shù)的極值點(diǎn),并說(shuō)明理由;(2)當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求整數(shù)的最小值.18.(12分)已知函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)為,(1)若,求不等式的解集;(2)證明:對(duì)任意的,恒有.19.(12分)已知函數(shù).(1)若不等式有解,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)函數(shù)的最小值為,若正實(shí)數(shù),,滿足,證明:.20.(12分)已知的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、,滿足.有三個(gè)條件:①;②;③.其中三個(gè)條件中僅有兩個(gè)正確,請(qǐng)選出正確的條件完成下面兩個(gè)問(wèn)題:(1)求;(2)設(shè)為邊上一點(diǎn),且,求的面積.21.(12分)在如圖所示的多面體中,四邊形是矩形,梯形為直角梯形,平面平面,且,,.(1)求證:平面.(2)求二面角的大小.22.(10分)為了解本學(xué)期學(xué)生參加公益勞動(dòng)的情況,某校從初高中學(xué)生中抽取100名學(xué)生,收集了他們參加公益勞動(dòng)時(shí)間(單位:小時(shí))的數(shù)據(jù),繪制圖表的一部分如表.(1)從男生中隨機(jī)抽取一人,抽到的男生參加公益勞動(dòng)時(shí)間在的概率:(2)從參加公益勞動(dòng)時(shí)間的學(xué)生中抽取3人進(jìn)行面談,記為抽到高中的人數(shù),求的分布列;(3)當(dāng)時(shí),高中生和初中生相比,那學(xué)段學(xué)生平均參加公益勞動(dòng)時(shí)間較長(zhǎng).(直接寫出結(jié)果)
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】
由的最小正周期是,得,即,因此它的圖象向左平移個(gè)單位可得到的圖象.故選A.考點(diǎn):函數(shù)的圖象與性質(zhì).【名師點(diǎn)睛】三角函數(shù)圖象變換方法:2、D【解析】
本道題結(jié)合雙曲線的性質(zhì)以及余弦定理,建立關(guān)于a與c的等式,計(jì)算離心率,即可.【詳解】結(jié)合題意,繪圖,結(jié)合雙曲線性質(zhì)可以得到PO=MO,而,結(jié)合四邊形對(duì)角線平分,可得四邊形為平行四邊形,結(jié)合,故對(duì)三角形運(yùn)用余弦定理,得到,而結(jié)合,可得,,代入上式子中,得到,結(jié)合離心率滿足,即可得出,故選D.【點(diǎn)睛】本道題考查了余弦定理以及雙曲線的性質(zhì),難度偏難.3、C【解析】
由題可,所以將已知式子中的向量用表示,可得到的關(guān)系,再由三點(diǎn)共線,又得到一個(gè)關(guān)于的關(guān)系,從而可求得答案【詳解】由,則,即,所以,又共線,則.故選:C【點(diǎn)睛】此題考查的是平面向量基本定理的有關(guān)知識(shí),結(jié)合圖形尋找各向量間的關(guān)系,屬于中檔題.4、B【解析】
根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),可求得,再通過(guò)賦值求得以及結(jié)果即可.【詳解】因?yàn)檎归_式中第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,故可得,令,故可得,又因?yàn)?,令,則,解得令,則.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),以及通過(guò)賦值法求系數(shù)之和,屬綜合基礎(chǔ)題.5、C【解析】
作出韋恩圖,數(shù)形結(jié)合,即可得出結(jié)論.【詳解】如圖所示,,同時(shí).故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查集合關(guān)系及充要條件,注意數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】
由題得,,解得,,計(jì)算可得.【詳解】,,,,解得,,.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,前項(xiàng)和公式,考查了學(xué)生運(yùn)算求解能力.7、D【解析】
由已知等式求出z,再由共軛復(fù)數(shù)的概念求得,即可得虛部.【詳解】由zi=1﹣i,∴z=,所以共軛復(fù)數(shù)=-1+,虛部為1故選D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算和共軛復(fù)數(shù)的基本概念,屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】
利用證得數(shù)列為常數(shù)列,并由此求得的通項(xiàng)公式.【詳解】由,得,可得().相減得,則(),又由,,得,所以,所以為常數(shù)列,所以,故.故選:C【點(diǎn)睛】本小題考查數(shù)列的通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí);考查運(yùn)算求解能力,邏輯推理能力,應(yīng)用意識(shí).9、B【解析】
根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可得集合A,由集合性質(zhì)表示形式即可求得,進(jìn)而可知滿足.【詳解】依題意,;而,故,則.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了集合關(guān)系的判斷與應(yīng)用,集合的包含關(guān)系與補(bǔ)集關(guān)系的應(yīng)用,屬于中檔題.10、D【解析】
三個(gè)單位的人數(shù)可能為2,2,1或3,1,1,求出甲、乙兩人在同一個(gè)單位的概率,利用互為對(duì)立事件的概率和為1即可解決.【詳解】由題意,三個(gè)單位的人數(shù)可能為2,2,1或3,1,1;基本事件總數(shù)有種,若為第一種情況,且甲、乙兩人在同一個(gè)單位,共有種情況;若為第二種情況,且甲、乙兩人在同一個(gè)單位,共有種,故甲、乙兩人在同一個(gè)單位的概率為,故甲、乙兩人不在同一個(gè)單位的概率為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率公式的計(jì)算,涉及到排列與組合的應(yīng)用,在正面情況較多時(shí),可以先求其對(duì)立事件,即甲、乙兩人在同一個(gè)單位的概率,本題有一定難度.11、D【解析】
A項(xiàng)用平行于平面ABC的平面與平面MDN相交,則交線與平面ABC平行;B項(xiàng)利用線面垂直的判定定理;C項(xiàng)三棱錐與三棱錐體積相等,三棱錐的底面積是定值,高也是定值,則體積是定值;D項(xiàng)用反證法說(shuō)明三角形DMN不可能是直角三角形.【詳解】A項(xiàng),用平行于平面ABC的平面截平面MND,則交線平行于平面ABC,故正確;B項(xiàng),如圖:當(dāng)M、N分別在BB1、CC1上運(yùn)動(dòng)時(shí),若滿足BM=CN,則線段MN必過(guò)正方形BCC1B1的中心O,由DO垂直于平面BCC1B1可得平面平面,故正確;C項(xiàng),當(dāng)M、N分別在BB1、CC1上運(yùn)動(dòng)時(shí),△A1DM的面積不變,N到平面A1DM的距離不變,所以棱錐N-A1DM的體積不變,即三棱錐A1-DMN的體積為定值,故正確;D項(xiàng),若△DMN為直角三角形,則必是以∠MDN為直角的直角三角形,但MN的最大值為BC1,而此時(shí)DM,DN的長(zhǎng)大于BB1,所以△DMN不可能為直角三角形,故錯(cuò)誤.故選D【點(diǎn)睛】本題考查了命題真假判斷、棱柱的結(jié)構(gòu)特征、空間想象力和思維能力,意在考查對(duì)線面、面面平行、垂直的判定和性質(zhì)的應(yīng)用,是中檔題.12、B【解析】
先用定積分求得陰影部分一半的面積,再根據(jù)幾何概型概率公式可求得.【詳解】根據(jù)題意,陰影部分的面積的一半為:,于是此點(diǎn)取自陰影部分的概率為.又,故.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概型,定積分的計(jì)算以及幾何意義,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
作出平面區(qū)域,可知平面區(qū)域?yàn)槿切?,求出三角形的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo),設(shè)三角形的外接圓方程為,將三角形三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)代入圓的一般方程,求出、、的值,即可得出所求圓的方程.【詳解】作出不等式組所表示的平面區(qū)域如下圖所示:由圖可知,平面區(qū)域?yàn)?,?lián)立,解得,則點(diǎn),同理可得點(diǎn)、,設(shè)的外接圓方程為,由題意可得,解得,,,因此,所求圓的方程為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查三角形外接圓方程的求解,同時(shí)也考查了一元二次不等式組所表示的平面區(qū)域的求作,考查數(shù)形結(jié)合思想以及運(yùn)算求解能力,屬于中等題.14、【解析】
利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式將已知兩式作商,可得,再利用等比數(shù)列的性質(zhì)可得,再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】由,所以,解得.,所以,所以.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及等比中項(xiàng),需熟記公式,屬于基礎(chǔ)題.15、4【解析】∵∴根據(jù)正弦定理與余弦定理可得:,即∵∴∵∴故答案為416、1【解析】
根據(jù)題意,由平均數(shù)公式可得,解得的值,進(jìn)而由方差公式計(jì)算,可得答案.【詳解】根據(jù)題意,數(shù)據(jù)7,9,,8,10的平均數(shù)為9,則,解得:,則其方差.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考平均數(shù)、方差的計(jì)算,考查運(yùn)算求解能力,求解時(shí)注意求出的值,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)是函數(shù)的極大值點(diǎn),理由詳見解析;(2)1.【解析】
(1)將直接代入,對(duì)求導(dǎo)得,由于函數(shù)單調(diào)性不好判斷,故而構(gòu)造函數(shù),繼續(xù)求導(dǎo),判斷導(dǎo)函數(shù)在左右兩邊的正負(fù)情況,最后得出,是函數(shù)的極大值點(diǎn);(2)利用題目已有條件得,再證明時(shí),不等式恒成立,即證,從而可知整數(shù)的最小值為1.【詳解】解:(1)當(dāng)時(shí),.令,則當(dāng)時(shí),.即在內(nèi)為減函數(shù),且∴當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.∴在內(nèi)是增函數(shù),在內(nèi)是減函數(shù).綜上,是函數(shù)的極大值點(diǎn).(2)由題意,得,即.現(xiàn)證明當(dāng)時(shí),不等式成立,即.即證令則∴當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.∴在內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減,的最大值為.∴當(dāng)時(shí),.即當(dāng)時(shí),不等式成立.綜上,整數(shù)的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)的極值,最值,判斷函數(shù)的單調(diào)性,由此來(lái)求解函數(shù)中的參數(shù)的取值范圍,對(duì)學(xué)生要求較高,然后需要學(xué)生能構(gòu)造新函數(shù)處理恒成立問(wèn)題,為難題18、(1)(2)證明見解析【解析】
(1)求出的導(dǎo)數(shù),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)的單調(diào)性,再利用函數(shù)單調(diào)性解函數(shù)型不等式;(2)構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)判斷在區(qū)間上單調(diào)遞減,結(jié)合可得結(jié)果.【詳解】(1)若,則.設(shè),則,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.又當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,所以所以在上單調(diào)遞增,又,所以不等式的解集為.(2)設(shè),再令,,在上單調(diào)遞減,又,,,,,.即【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性,再利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)解決不等式問(wèn)題,屬于較難題.19、(1)(2)見解析【解析】
(1)分離得到,求的最小值即可求得的取值范圍;(2)先求出,得到,利用乘變化即可證明不等式.【詳解】解:(1)設(shè),∴在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.故.∵有解,∴.即的取值范圍為.(2),當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.∴,即.∵.當(dāng)且僅當(dāng),,時(shí)等號(hào)成立.∴,即成立.【點(diǎn)睛】此題考查不等式的證明,注意定值乘變化的靈活應(yīng)用,屬于較易題目.20、(1);(2).【解析】
(1)先求出角,進(jìn)而可得出,則①②中有且只有一個(gè)正確,③正確,然后分①③正確和②③正確兩種情況討論,結(jié)合三角形的面積公式和余弦定理可求得的值;(2)計(jì)算出和,計(jì)算出,可得出,進(jìn)而可求得的面積.【詳解】(1)因?yàn)?,所以,得,,,為鈍角,與矛盾,故①②中僅有一個(gè)正確,③正確.顯然,得.當(dāng)①③正確時(shí),由,得(無(wú)解);當(dāng)②③正確時(shí),由于,,得;(2)如圖,因?yàn)?,,則,則,.【點(diǎn)睛】本題考查解三角形綜合應(yīng)用,涉及三角形面積公式和余弦定理的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中等題.21、(1)見解析;(2)【解析】
(1)根據(jù)面面垂直性質(zhì)及線面垂直性質(zhì),可證明;由所給線段關(guān)系,結(jié)合勾股定理逆定理,可證明,進(jìn)而由線面垂直的判定定理證明平面.(2)建立空間直角坐標(biāo)系,寫出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),并求得平面和平面的法向量,由空間向量法求得兩個(gè)平面夾角的余弦值,結(jié)合圖形即可求得二面角的大小.【詳解】(1)證明:∵平面平面ABEG,且,∴平面,∴,由題意可得,∴,∵,且,∴平面.(2)如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,,.設(shè)平面的法向量是,則,令,,由(1)可知平面的法向量是,∴,由圖可知,二面角為鈍二面角,所以二面角的大小為.【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直的判定,面面垂直及線面垂直的性質(zhì)應(yīng)用,空間向量法求二面角的大小
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