2025屆華中師大一附中數(shù)學高二上期末調研試題含解析

2025屆華中師大一附中數(shù)學高二上期末調研試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．命題“”的否定是（）A. B.C. D.2．某高校甲、乙兩位同學大學四年選修課程的考試成績等級（選修課的成績等級分為1，2，3，4，5，共五個等級）的條形圖如圖所示，則甲成績等級的中位數(shù)與乙成績等級的眾數(shù)分別是（）A.3，5 B.3，3C.3.5，5 D.3.5，43．函數(shù)f（x）=xex的單調增區(qū)間為（）A.（-∞，-1） B.（-∞，e）C.（e，+∞） D.（-1，+∞）4．若動點滿足方程，則動點P的軌跡方程為（）A. B.C. D.5．為了調查修水縣2019年高考數(shù)學成績，在高考后對我縣6000名考生進行了抽樣調查，其中2000名文科考生，3800名理科考生，200名藝術和體育類考生，從中抽到了120名考生的數(shù)學成績作為一個樣本，這項調查宜采用的抽樣方法是（）A.系統(tǒng)抽樣法 B.分層抽樣法C.抽簽法 D.簡單的隨機抽樣法6．已知圓：和點，是圓上一點，線段的垂直平分線交于點，則點的軌跡方程是:（）A. B.C. D.7．已知兩條平行直線：與：間的距離為3，則（）A.25或－5 B.25C.5 D.21或－98．若函數(shù)，滿足且，則（）A.1 B.2C.3 D.49．若向量，，，則（）A. B.C. D.10．如圖，在四棱錐中，平面，，，則點到直線的距離為（）A. B.C. D.211．已知命題p：，總有，則為（）A.，使得 B.，使得C.，總有 D.，總有12．如圖，在棱長為2的正方體中，點P在截面上（含邊界），則線段的最小值等于（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．從10名大學畢業(yè)生中選3個人擔任村主任助理，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒有入選不同選法的種數(shù)為___________.14．若直線與直線互相垂直，則___________.15．如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”．“三角垛”的最上面一層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球……．設各層球數(shù)構成一個數(shù)列，其中，，，則______16．如圖，橢圓的左、右焦點分別為，過橢圓上的點作軸的垂線，垂足為，若四邊形為菱形，則該橢圓的離心率為_________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓，離心率分別為左右焦點，橢圓上一點滿足，且的面積為1.（1）求橢圓的標準方程；（2）過點作斜率為的直線交橢圓于兩點.過點且平行于的直線交橢圓于點，證明：為定值.18．（12分）已知橢圓：的左、右焦點分別為，，點E在橢圓C上，且，，.（1）求橢圓C的方程：（2）直線l過點，交橢圓于點A，B，且點P恰為線段AB的中點，求直線l的方程.19．（12分）在中，內角所對的邊長分別為，是1和的等差中項（1）求角；（2）若的平分線交于點，且，求的面積20．（12分）已知平面內兩點，，動點P滿足（1）求動點P的軌跡方程；（2）過定點的直線l交動點P的軌跡于不同的兩點M，N，點M關于y軸對稱點為，求證直線過定點，并求出定點坐標21．（12分）已知拋物線的頂點在原點，焦點在軸上，且拋物線上有一點到焦點的距離為6.（1）求拋物線的方程；（2）若不過原點的直線與拋物線交于A、B兩點，且，求證：直線過定點并求出定點坐標.22．（10分）已知雙曲線C：的離心率為，過點作垂直于x軸的直線截雙曲線C所得弦長為（1）求雙曲線C的方程；（2）直線（）與該雙曲線C交于不同的兩點A，B，且A，B兩點都在以點為圓心的同一圓上，求m的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】特稱命題的否定，先把存在量詞改為全稱量詞，再把結論進行否定即可.【詳解】命題“”的否定是“”.故選：C2、C【解析】將甲的所有選修課等級從低到高排列可得甲的中位數(shù)，由圖可知乙的選修課等級的眾數(shù).【詳解】由條形圖可得，甲同學共有10門選修課，將這10門選修課的成績等級從低到高排序后，第5，6門的成績等級分別為3，4，故中位數(shù)為，乙成績等級的眾數(shù)為5.故選：C.3、D【解析】求出，令可得答案.【詳解】由已知得，令，得，故函數(shù)f（x）=xex的單調增區(qū)間為（-1，+∞）.故選：D.4、A【解析】根據(jù)方程可以利用幾何意義得到動點P的軌跡方程是以與為焦點的橢圓方程，從而求出軌跡方程.【詳解】由題意得：到與的距離之和為8，且8>4，故動點P的軌跡方程是以與為焦點的橢圓方程，故，，所以，，所以橢圓方程為.故選：A5、B【解析】考生分為幾個不同的類型或層次，由此可以確定抽樣方法；【詳解】6000名考生進行抽樣調查，其中2000名文科考生，3800名理科考生，200名藝術和體育類考生，從中抽到了120名考生的數(shù)學成績作為一個樣本又文科考生、理科考生、藝術和體育類考生會存在差異，采用分層抽樣法較好故選：B.【點睛】本題主要考查的是分層抽樣，掌握分層抽樣的有關知識是解題的關鍵，屬于基礎題.6、B【解析】先由在線段的垂直平分線上得出，再由題意得出，進而由橢圓定義可求出點的軌跡方程.【詳解】如圖，因為在線段的垂直平分線上，所以，又點在圓上，所以，因此，點在以、為焦點的橢圓上.其中，，則.從而點的軌跡方程是.故選：B.7、A【解析】根據(jù)平行直線的性質，結合平行線間距離公式進行求解即可.【詳解】因為直線：與：平行，所以有，因為兩條平行直線：與：間距離為3，所以，或，當時，；當時，，故選：A8、C【解析】先取，得與之間的關系，然后根據(jù)導數(shù)的運算直接求導，代值可得.【詳解】取，則有，即，又因為所以，所以，所以.故選：C9、A【解析】根據(jù)向量垂直得到方程，求出的值.【詳解】由題意得：，解得：.故選：A10、A【解析】如圖，以為坐標原點，建立空間直角坐標系，然后利用空間向量求解即可【詳解】因為平面，平面，平面，所以，，因為所以如圖，以為坐標原點，建立空間直角坐標系，則，，，，，即.在上的投影向量的長度為，故點到直線的距離為.故選：A11、B【解析】由含有一個量詞的命題的否定的定義求解.【詳解】因為命題p：，總有是全稱量詞命題，所以其否定為存在量詞命題，即，使得，故選：B12、B【解析】根據(jù)體積法求得到平面的距離即可得【詳解】由題意的最小值就是到平面的距離正方體棱長為2，則，，設到平面的距離為，由得，解得故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、49【解析】丙沒有入選，相當于從9個人中選3人，分為兩種情況：甲乙兩人只有一人入選；甲乙兩人都入選，分別求出每種情況的選法數(shù)，再利用分類加法計數(shù)原理即可得解.【詳解】丙沒有入選，把丙去掉，相當于從9個人中選3人，甲、乙至少有1人入選，分為兩種情況：甲乙兩人只有一人入選；甲乙兩人都入選.甲乙兩人只有一人入選，選法有種；甲乙兩人都入選，選法有種.所以，滿足題意的選法共有種.故答案為：49.【點睛】本題考查組合的應用，其中涉及到分類加法計數(shù)原理，屬于中檔題.一些常見類型的排列組合問題的解法：（1）特殊元素、特殊位置優(yōu)先法元素優(yōu)先法：先考慮有限制條件的元素的要求，再考慮其他元素；位置優(yōu)先法：先考慮有限制條件的位置的要求，再考慮其他位置；（2）分類分步法：對于較復雜的排列組合問題，常需要分類討論或分步計算，一定要做到分類明確，層次清楚，不重不漏；（3）間接法（排除法），從總體中排除不符合條件的方法數(shù)，這是一種間接解題的方法；（4）捆綁法：某些元素必相鄰的排列，可以先將相鄰的元素“捆成一個”元素，與其它元素進行排列，然后再給那“一捆元素”內部排列；（5）插空法：某些元素不相鄰的排列，可以先排其它元素，再讓不相鄰的元素插空；（6）去序法或倍縮法；（7）插板法：個相同元素，分成組，每組至少一個的分組問題.把個元素排成一排，從個空中選個空，各插一個隔板，有；（8）分組、分配法：有等分、不等分、部分等分之別.14、4【解析】由直線垂直的性質求解即可.【詳解】由題意得，解得.故答案為：15、15【解析】由分析可知每次小球數(shù)量剛好是等差數(shù)列的求和，最后直接公式即可算出答案.【詳解】由題意可知,，所以，故答案為：1516、【解析】根據(jù)題意可得，利用推出，進而得出結果.【詳解】由題意知，，將代入方程中，得，因為，所以，整理，得，又，所以，由，解得.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）證明見解析【解析】（1）方法一：根據(jù)離心率以及，可得出，將條件轉化為點在以為直徑的圓上，即為圓與橢圓的交點，將的面積用表示，求出，進而求出橢圓的標準方程；方法二：根據(jù)橢圓的定義，，再根據(jù)勾股定理和直角三角形的面積公式，即可解得，又由離心率求出，則可求出橢圓的標準方程；（2）設出直線的方程，代入橢圓方程，根據(jù)韋達定理表示出，再將直線的方程代入橢圓方程，求出，則為定值.【小問1詳解】方法一：由離心率，得：，所以橢圓上一點，滿足，所以點為圓：與橢圓的交點，聯(lián)立方程組解得所以，解得：，所以橢圓的標準方程為：.方法二：由橢圓定義；，因為，所以，得到：，即，又，得所以橢圓C的標準方程為：；【小問2詳解】設直線AB的方程為：.得設過點且平行于的直線方程：.18、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)橢圓的定義可求出，由結合勾股定理可求出，最后根據(jù)的關系求出，即可求出橢圓方程；（2）分直線的斜率存在或不存在兩種情況討論，當直線斜率存在時，設出直線方程與橢圓聯(lián)立，利用中點的關系求出即可.【小問1詳解】∵點E在橢圓C上，∴，即.在中，，∴橢圓的半焦距.∵，∴橢圓的方程為.【小問2詳解】設，，若直線的斜率不存在，顯然不符合題意.從而可設過點的直線的方程為，將直線的方程代入橢圓的方程，得，則.∵P為線段AB的中點，∴，解得.故直線的方程為，即（經(jīng)檢驗，所求直線方程符合題意）.19、（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)是1和的等差中項得到，再利用正弦定理結合商數(shù)關系，兩角和與差的三角函數(shù)化簡得到求解；（2）由和求得b，c的關系，再結合余弦定理求解即可.【詳解】（1）由已知得，在中，由正弦定理得，化簡得，因為，所以，所以；（2）由正弦定理得，又，即，由余弦定理得，所以，所以【點睛】方法點睛：在解有關三角形的題目時，要有意識地考慮用哪個定理更適合，或是兩個定理都要用，要抓住能夠利用某個定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到20、（1）（2）證明見解析，定點坐標為【解析】（1）直接由斜率關系計算得到；（2）設出直線，聯(lián)立橢圓方程，韋達定理求出，再結合三點共線，求出參數(shù)，得到過定點.小問1詳解】設動點，由已知有，整理得，所以動點的軌跡方程為；【小問2詳解】由已知條件可知直線和直線斜率一定存在，設直線方程為，，，則，由，可得，則，即為，，，因為直線過定點，所以三點共線，即，即，即，即，即得，整理，得，滿足，則直線方程為，恒過定點.【點睛】本題關鍵在于設出帶有兩個參數(shù)的直線的方程，聯(lián)立橢圓方程后，利用題干中的條件，解出一個參數(shù)或得到兩個參數(shù)之間的關系，即可求出定點.21、（1）（2）證明見解析，定點坐標為(8,0).【解析】（1）根據(jù)拋物線的定義，即可求出結果；（2）由題意直線方程可設為，將其與拋物線方程聯(lián)立，再將轉化為，根據(jù)韋達定理，化簡求解，即可求出定點.【小問1詳解】解：拋物線的頂點在原點，焦點在軸上，且拋物線上有一點，設拋物線的方程為，到焦點的距離為6，即有點到準線的距離為6，即解得，即拋物線的標準方程為；【小問2詳解】證明:由題意知直線不能與軸平行，故直線方程可設為,與拋物線聯(lián)立得，消去得,設，則,則，,由，可得，所以，即，亦即，又，解得，所以直線方程為，易得直線過定點.22、（1）（2）或【解析】（1）利用雙曲線離心率、點在雙曲線上及得到關于、、的方程組，進而求出雙曲線的標準方程；（2