2025屆遼寧大連市普蘭店區(qū)數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題含解析

2025屆遼寧大連市普蘭店區(qū)數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)等差數(shù)列前n項和是，若，則的通項公式可以是（）A. B.C. D.2．不等式表示的平面區(qū)域是一個（）A.三角形 B.直角三角形C.矩形 D.梯形3．如圖所示，過拋物線的焦點F的直線依次交拋物線及準(zhǔn)線于點A，B，C.若，且，則拋物線的方程為（）A. B.C. D.4．如圖，已知直線AO垂直于平面，垂足為O，BC在平面內(nèi)，AB與平面所成角的大小為，，，則異面直線AB與OC所成角的余弦值為（）A. B.C. D.5．拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件“第一枚硬幣正面朝上”，事件“第二枚硬幣反面朝上”，則下列結(jié)論中正確的為（）A.與互為對立事件 B.與互斥C與相等 D.6．已知向量＝（3，0，1），＝（﹣2，4，0），則3+2等于（）A.（5，8，3） B.（5，﹣6，4）C.（8，16，4） D.（16，0，4）7．江西省重點中學(xué)協(xié)作體于2020年進行了一次校際數(shù)學(xué)競賽，共有100名同學(xué)參賽，經(jīng)過評判，這100名參賽者的得分都在之間，其得分的頻率分布直方圖如圖，則下列結(jié)論錯誤的是（）A.得分在之間的共有40人B.從這100名參賽者中隨機選取1人，其得分在的概率為0.5C.這100名參賽者得分的中位數(shù)為65D.可求得8．過圓外一點引圓的兩條切線，則經(jīng)過兩切點的直線方程是A. B.C. D.9．已知雙曲線的虛軸長是實軸長的2倍，則實數(shù)的值是A. B.C. D.10．已知，，則的最小值為（）A. B.C. D.11．已知數(shù)列為等比數(shù)列，則“為常數(shù)列”是“成等差數(shù)列”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件12．已知函數(shù)有兩個極值點m，n，且，則的最大值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．以正方體的對角線的交點為坐標(biāo)原點O建立右手系的空間直角坐標(biāo)系，其中，，，則點的坐標(biāo)為______14．甲、乙兩隊進行籃球決賽，采取七場四勝制（當(dāng)一隊贏得四場勝利時，該隊獲勝，決賽結(jié)束）．根據(jù)前期比賽成績，甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”．設(shè)甲隊主場取勝的概率為0.6，客場取勝的概率為0.5，且各場比賽結(jié)果相互獨立，則甲隊以4∶1獲勝的概率是____________15．設(shè)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，且滿足，則不等式解集為_______16．已知直線（為常數(shù)）和圓，給出下列四個結(jié)論：①當(dāng)變化時，直線恒過定點；②直線與圓可能無公共點；③若直線與圓有兩個不同交點，，則線段的長的最小值為；④對任意實數(shù)，圓上都不存在關(guān)于直線對稱的兩個點.其中正確的結(jié)論是______.（寫出所有正確結(jié)論的序號）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某大學(xué)藝術(shù)專業(yè)400名學(xué)生參加某次測評，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：[20，30），[30，40），┄，[80，90]，并整理得到如下頻率分布直方圖：（1）已知樣本中分?jǐn)?shù)在[40，50）的學(xué)生有5人，試估計總體中分?jǐn)?shù)小于40的人數(shù)；（2）試估計測評成績的75%分位數(shù)；（3）已知樣本中有一半男生的分?jǐn)?shù)不小于70，且樣本中分?jǐn)?shù)不小于70的男女生人數(shù)相等．試估計總體中男生和女生人數(shù)的比例18．（12分）已知點為橢圓C的右焦點，P為橢圓上一點，且（O為坐標(biāo)原點），.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）經(jīng)過點的直線l與橢圓C交于A，B兩點，求弦的取值范圍.19．（12分）已知圓的圓心為，且圓經(jīng)過點（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若圓：與圓恰有兩條公切線，求實數(shù)的取值范圍20．（12分）已知數(shù)列{an}滿足，（1）記，證明：數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{bn}的通項公式；（2）記數(shù)列{bn}前n項和為Tn，證明：21．（12分）如圖所示，在三棱柱中，，點在平面ABC上的射影為線段AC的中點D，側(cè)面是邊長為2的菱形（1）若△ABC是正三角形，求異面直線與BC所成角的余弦值；（2）當(dāng)直線與平面所成角的正弦值為時，求線段BD的長22．（10分）已知拋物線上一點到拋物線焦點的距離為，點關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，過點作軸的垂線，為垂足，直線與拋物線交于兩點.（1）求拋物線的方程；（2）設(shè)直線與軸交點分別為，求的值；（3）若，求.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)題意可得公差的范圍，再逐一分析各個選項即可得出答案.【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，所以，故AB錯誤；若，則，與題意矛盾，故C錯誤；若，則，符合題意.故選：D.2、D【解析】作出不等式組所表示平面區(qū)域，可得出結(jié)論.【詳解】由可得或，作出不等式組所表示的平面區(qū)域如下圖中的陰影部分區(qū)域所示：由圖可知，不等式表示的平面區(qū)域是一個梯形.故選：D.3、A【解析】分別過點作準(zhǔn)線的垂線，分別交準(zhǔn)線于點，,設(shè)，推出；根據(jù)，進而推導(dǎo)出，結(jié)合拋物線定義求出；最后由相似比推導(dǎo)出，即可求出拋物線的方程.【詳解】如圖分別過點作準(zhǔn)線的垂線，分別交準(zhǔn)線于點，,設(shè)與交于點.設(shè)，,，由拋物線定義得：，故在直角三角形中，，，，，，，∥，，，即，，所以拋物線的方程為.故選：A4、B【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點的坐標(biāo)，求出向量的坐標(biāo)，再利用向量的夾角公式計算即可.【詳解】如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點，過點O作OB的垂線為x軸，OB為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，則，，，，，設(shè)的夾角為，則，所以異面直線AB與OC所成角的余弦值為，故選：B.5、D【解析】利用互斥事件和對立事件的定義分析判斷即可【詳解】因為拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣包含第一枚硬幣正面朝上第二枚硬幣正面朝上，第一枚硬幣正面朝上第二枚硬幣反面朝上，第一枚硬幣反面朝上第二枚硬幣正面朝上，第一枚硬幣反面朝上第二枚硬幣反面朝上，4種情況，其中事件包含第一枚硬幣正面朝上第二枚硬幣正面朝上，第一枚硬幣正面朝上第二枚硬幣反面朝上2種情況，事件包含第一枚硬幣正面朝上第二枚硬幣反面朝上，第一枚硬幣反面朝上第二枚硬幣反面朝上2種情況，所以與不互斥，也不對立，也不相等，，所以ABC錯誤，D正確，故選：D6、A【解析】直接根據(jù)空間向量的線性運算，即可得到答案；【詳解】，故選：A7、C【解析】根據(jù)給定的頻率分布直方圖，結(jié)合直方圖的性質(zhì)，逐項計算，即可求解.【詳解】由頻率分布直方圖，可得A中，得分在之間共有人，所以A正確；B中，從100名參賽者中隨機選取1人，其得分在中的概率為，所以B正確；D中，由頻率分布直方圖的性質(zhì)，可得，解得，所以D正確.C中，前2個小矩形面積之和為0.4，前3個小矩形面積之和為0.7，所以中位數(shù)在[60，70]，這100名參賽者得分的中位數(shù)為，所以C不正確；故選：C.8、A【解析】過圓外一點，引圓的兩條切線，則經(jīng)過兩切點的直線方程為，故選9、C【解析】由方程表示雙曲線知，又雙曲線的虛軸長是實軸長的2倍，所以，即，所以故選C.考點：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì).10、B【解析】將代數(shù)式展開，然后利用基本不等式可求出該代數(shù)式的最小值.【詳解】，，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.因此，的最小值為.故選B.【點睛】本題考查利用基本不等式求最值，在利用基本不等式時要注意“一正、二定、三相等”條件的成立，考查計算能力，屬于中等題.11、C【解析】先考慮充分性，再考慮必要性即得解.【詳解】解：如果為常數(shù)列，則成等差數(shù)列，所以“為常數(shù)列”是“成等差數(shù)列”的充分條件；等差數(shù)列，所以，所以數(shù)列為，所以數(shù)列是常數(shù)列，所以“為常數(shù)列”是“成等差數(shù)列”的必要條件.所以“為常數(shù)列”是“成等差數(shù)列”的充要條件.故選：C12、C【解析】對求導(dǎo)得，得到m，n是兩個根，由根與系數(shù)的關(guān)系可得m，n的關(guān)系，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性，進而得最值.【詳解】由得：m，n是兩個根，由根與系數(shù)的關(guān)系得：，故，令記，則，故在上單調(diào)遞減.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)已知點的坐標(biāo)，確定出坐標(biāo)系即可得【詳解】如圖，由已知得坐標(biāo)系如圖所示，軸過正方形的對角線交點，軸過中點，軸過中點，因此可知坐標(biāo)為故答案為：14、18【解析】本題應(yīng)注意分情況討論，即前五場甲隊獲勝的兩種情況，應(yīng)用獨立事件的概率的計算公式求解．題目有一定的難度，注重了基礎(chǔ)知識、基本計算能力及分類討論思想的考查【詳解】前四場中有一場客場輸，第五場贏時，甲隊以獲勝的概率是前四場中有一場主場輸，第五場贏時，甲隊以獲勝的概率是綜上所述，甲隊以獲勝的概率是【點睛】由于本題題干較長，所以，易錯點之一就是能否靜心讀題，正確理解題意；易錯點之二是思維的全面性是否具備，要考慮甲隊以獲勝的兩種情況；易錯點之三是是否能夠準(zhǔn)確計算15、【解析】構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合題意求得，由此判斷出在上遞增，由此求解出不等式的解集.【詳解】令，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，不等式可化為，則，解得：【點睛】本小題主要考查構(gòu)造函數(shù)法解不等式，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.16、③④【解析】由可判斷①；根據(jù)直線過的定點在圓內(nèi)可判斷②；當(dāng)直線與過圓心的直徑垂直時，求出線段的長度可判斷③；把圓心代入直線的方程可判斷④.【詳解】對于①，，當(dāng)變化時，直線恒過定點，故錯誤；對于②，因為，所以在圓的內(nèi)部，所以直線與圓總有公共點，故錯誤；對于③，當(dāng)直線與過圓心的直徑垂直時，線段的長度的最小，此時，故正確；對于④，把圓心代入直線，得對任意實數(shù)，圓上都不存在關(guān)于直線對稱的兩個點，故正確.故答案為：③④.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）20人（2）（3）【解析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖先求出樣本中分?jǐn)?shù)在[40，90）的頻率，即可解出；（2）先根據(jù)頻率分布直方圖判斷出75%分位數(shù)在[70，80）之間，即可根據(jù)分位數(shù)公式算出；（3）根據(jù)頻率分布直方圖知分?jǐn)?shù)不小于70分的人數(shù)中男女各占30人，從而可知樣本中男生有60人，女生有40人，即可求出總體中男生和女生人數(shù)的比例【小問1詳解】由頻率分布直方圖知，分?jǐn)?shù)在[50，90）頻率為(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9，在樣本中分?jǐn)?shù)在[50，90）的人數(shù)為100×0.9=90(人)，在樣本中分?jǐn)?shù)在[40，90）的人數(shù)為95人，所以分?jǐn)?shù)在[40，90）的人數(shù)為400×0.95=380(人)，總體中分?jǐn)?shù)小于40的人數(shù)為20人【小問2詳解】測試成績從低到高排序，占人數(shù)75%的人分?jǐn)?shù)在[70，80）之間，所以估計測評成績的75%分位數(shù)為【小問3詳解】由頻率分布直方圖知，分?jǐn)?shù)不小于70分的人數(shù)共有60人，由已知男女各占30人，從而樣本中男生有60人，女生有40人，故總體中男生與女生的比例為18、（1）（2）【解析】（1）利用橢圓定義求得橢圓的即可解決；（2）經(jīng)過點的直線l分為斜率不存在和存在兩種情況，分別去求弦，再去求其取值范圍即可.【小問1詳解】由題意得.記左焦點為，，則，，解得.由橢圓定義得：，則，所以橢圓C的方程為：.【小問2詳解】①當(dāng)直線l的斜率不存在時，.②當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)斜率為k，則l的方程為.聯(lián)立橢圓與直線的方程（由于點在橢圓內(nèi)，∴成立），且，，令，則，，，由得，綜上所述，弦的取值范圍為.【點睛】(1)解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系(2)涉及到直線方程的設(shè)法時，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形19、（1）；（2）.【解析】(1)根據(jù)給定條件求出圓C的半徑，再直接寫出方程作答.(2)由給定條件可得圓C與圓O相交，由此列出不等式求解作答.【小問1詳解】依題意，圓C的半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是：.【小問2詳解】圓：的圓心，半徑為，因圓與圓恰有兩條公切線，則有圓O與圓C相交，即，而，因此有，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.20、（1）證明見解析；bn=2n（2）證明見解析【解析】（1）由遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列即可求解；（2）由（1）求出，再用裂項相消法求和后就可以證明不等式.【小問1詳解】由an+1=2an+1可得所以{bn}是以首項，公比為2的等比數(shù)列所以.【小問2詳解】易得于是所以因為，所以.21、（1）（2）或【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得直線與所成角的余弦值.（2）結(jié)合直線與平面所成的角，利用向量法列方程，化簡求得的長.【小問1詳解】依題意點在平面ABC上的射影為線段AC的中點D，所以平面，，由于，所以，以為空間坐標(biāo)原點建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，，當(dāng)是等邊三角形時，，.設(shè)直線與所成角為，則.【小問2詳解】設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，設(shè)直線與平面所成角為，則，化簡的，解得或，也即或.22、（1）；（2）；