2025屆安徽省蕪湖市名校數(shù)學高二上期末質量跟蹤監(jiān)視試題含解析

2025屆安徽省蕪湖市名校數(shù)學高二上期末質量跟蹤監(jiān)視試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，在四面體OABC中，，，，點在線段上，且，為的中點，則等于（）A. B.C. D.2．已知橢圓：的左、右焦點分別為，，下頂點為，直線與橢圓的另一個交點為，若為等腰三角形，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.3．設命題，，則為（）.A.， B.，C.， D.，4．已知三棱錐，點分別為的中點，且，用表示，則等于()A. B.C. D.5．某種疾病的患病率為0.5%，通過驗血診斷該病的誤診率為2%，即非患者中有2%的人驗血結果為陽性，患者中有2%的人驗血結果為陰性，隨機抽取一人進行驗血，則其驗血結果為陽性的概率為（）A.0.0689 B.0.049C.0.0248 D.0.026．已知數(shù)列是等比數(shù)列，，是函數(shù)的兩個不同零點，則（）A.16 B.C.14 D.7．已知甲、乙、丙三名同學同時獨立地解答一道導數(shù)試題，每人均有的概率解答正確，且三個人解答正確與否相互獨立，在三人中至少有兩人解答正確的條件下，甲解答不正確的概率A. B.C. D.8．已知橢圓的離心率為.雙曲線的漸近線與橢圓有四個交點，以這四個焦點為頂點的四邊形的面積為16，則橢圓的方程為A. B.C. D.9．若直線與圓相切，則（）A. B.或2C. D.或10．某海關緝私艇在執(zhí)行巡邏任務時，發(fā)現(xiàn)其所在位置正西方向20nmile處有一走私船只，正以30nmile/h的速度向北偏東30°的方向逃竄，若緝私艇突然發(fā)生機械故障，20min后才以的速度開始追趕，則在走私船只不改變航向和速度的情況下，緝私艇追上走私船只的最短時間為（）A.1h B.C. D.11．若，則（）A. B.C. D.12．若實數(shù)滿足約束條件，則最小值為（）A.-2 B.-1C.1 D.2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設數(shù)列的前n項和為，若，且是等差數(shù)列．則的值為__________14．過點作圓的兩條切線，切點為A，B，則直線的一般式方程為___________.15．已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量的坐標是__________16．設Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若數(shù)列{an}滿足an＋Sn＝An2＋Bn＋C且A＞0，則＋B－C的最小值為________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）球形物體天然萌，某食品廠沿襲老字號傳統(tǒng)，獨家制造并使用球形玻璃瓶用于售賣酸梅湯，其中瓶子的制造成本c（分）與瓶子的半徑r（cm）的平方成正比，且當cm時，制造成本c為3.2π分，已知每出售1mL的酸梅湯，可獲得0.2分，且制作的瓶子的最大半徑為6cm（1）寫出每瓶酸梅湯的利潤y與r的關系式（提示：）；（2）瓶子半徑多大時，每瓶酸梅湯的利潤最大，最大為多少？（結果用含π的式子表示）18．（12分）如圖，在三棱錐中，側面PAB是邊長為4的正三角形且與底面ABC垂直，點D，E，F(xiàn)，H分別是棱PA，AB，BC，PC的中點（1）若點G在棱BC上，且BG＝3GC，求證：平面∥平面DHG；（2）若AC＝2，，求二面角的余弦值19．（12分）已知函數(shù)（其中a常數(shù)）（1）求的單調遞增區(qū)間；（2）若，時，的最小值為4，求a的值20．（12分）已知橢圓C：經過點，且離心率為（1）求橢圓C的方程；（2）是否存在⊙O：，使得⊙O的任意切線l與橢圓交于A，B兩點，都有．若存在，求出r的值，并求此時△AOB的面積S的取值范圍；若不存在，請說明理由21．（12分）已知數(shù)列通項公式為：，其中．記為數(shù)列的前項和（1）求，；（2）數(shù)列的通項公式為，求的前項和22．（10分）已知等差數(shù)列中，，，等比數(shù)列中，，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，求的最小值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】利用空間向量的加法與減法可得出關于、、的表達式.【詳解】.故選：D.2、B【解析】由橢圓定義可得各邊長，利用三角形相似，可得點坐標，再根據(jù)點在橢圓上，可得離心率.【詳解】如圖所示：因為為等腰三角形，且，又，所以，所以，過點作軸，垂足為，則，由，，得，因為點在橢圓上，所以，所以，即離心率，故選：B.3、B【解析】根據(jù)全稱命題和特稱命題互為否定，即可得到結果.【詳解】因為命題，，所以為，.故選：B.4、D【解析】連接，利用，化簡即可得到答案.【詳解】連接，如下圖.故選：D.5、C【解析】根據(jù)全概率公式即可求出【詳解】隨機抽取一人進行驗血，則其驗血結果為陽性的概率為0.0248故選：C6、B【解析】由題意得到，根據(jù)等比數(shù)列的性質得到，化簡，即可求解.【詳解】由，是函數(shù)的兩個不同零點，可得，根據(jù)等比數(shù)列的性質，可得則.故選：B.7、C【解析】記“三人中至少有兩人解答正確”為事件；“甲解答不正確”為事件，利用二項分布的知識計算出，再計算出，結合條件概率公式求得結果.【詳解】記“三人中至少有兩人解答正確”為事件；“甲解答不正確”為事件則；本題正確選項：【點睛】本題考查條件概率的求解問題，涉及到利用二項分布公式求解概率的問題.8、D【解析】由題意，雙曲線的漸近線方程為，∵以這四個交點為頂點的四邊形為正方形，其面積為16，故邊長為4，∴（2，2）在橢圓C：上，∴，∵，∴，∴，∴∴橢圓方程為：.故選D.考點：橢圓的標準方程及幾何性質；雙曲線的幾何性質.9、D【解析】根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑列方程即可求解.【詳解】由圓可得圓心，半徑，因為直線與圓相切，所以圓心到直線的距離，整理可得：，所以或，故選：D.10、A【解析】設小時后，相遇地點為，在三角形中根據(jù)題目條件得出，再在三角形中，由勾股定理即可求出.【詳解】以緝私艇為原點，建立如下圖所示的直角坐標系.圖中走私船所在位置為，設緝私艇追上走私船的最短時間為，相遇地點為.則，走私船以的速度向北偏東30°的方向逃竄，60°.因為20min后緝私艇才以的速度開始追趕走私船，所以20min走私船行走了，到達.在三角形中，由余弦定理知：，則，所以.在三角形中，，，有：，化簡得：，則.緝私艇追上走私船只的最短時間為1h.故選：A.點睛】11、D【解析】設，計算出、的值，利用平方差公式可求得結果.【詳解】設由已知可得，，因此，.故選：D.12、B【解析】由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標代入目標函數(shù)得答案【詳解】由約束條件作出可行域如圖，聯(lián)立，解得，由，得，由圖可知，當直線過時，直線在軸上的截距最小，有最小值為故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、52【解析】根據(jù)給定條件求出，再求出數(shù)列的通項即可計算作答.【詳解】依題意，因是等差數(shù)列，則其公差，于是得，，當時，，而滿足上式，因此，，所以.故答案為：5214、【解析】已知圓的圓心，點在以為直徑的圓上，兩圓相減就是直線的方程.【詳解】，圓心，點在以為直徑的圓上，，所以圓心是，以為直徑的圓的圓的方程是，直線是兩圓相交的公共弦所在直線，所以兩圓相減就是直線的方程，，所以直線的一般式方程為.故答案為：【點睛】結論點睛：過圓外一點引圓的切線，那么以圓心和圓外一點連線段為直徑的圓與已知圓相減，就是切點所在直線方程，或是兩圓相交，兩圓相減，就是公共弦所在直線方程.15、【解析】根據(jù)投影向量概念求解即可.【詳解】因為空間向量，，所以，，所以向量在向量上投影向量為：，故答案為：.16、2【解析】因為{an}為等差數(shù)列，設公差為d，由an＋Sn＝An2＋Bn＋C，得a1＋(n－1)d＋na1＋n(n－1)d＝an＋Sn＝An2＋Bn＋C，即(d－A)n2＋(a1＋－B)n＋(a1－d－C)＝0對任意正整數(shù)n都成立所以(d－A)＝0，a1＋d－B＝0，a1－d－C＝0，所以A＝d，B＝a1＋d，C＝a1－d，所以3A－B＋C＝0.＋B－C＝＋3A≥2.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）當時，每瓶酸梅湯的利潤最大，最大利潤為28.8π【解析】（1）直接由條件寫出關系式即可；（2）直接求導確定單調性后，求出最大值即可.【小問1詳解】設瓶子的制造成本c與瓶子的半徑r的平方成正比的比例系數(shù)等于k，則瓶子的制造成本，由題意，當時，∴，即瓶子的制造成本∴每瓶酸梅湯的利潤是，∴每瓶酸梅湯的利潤關于r的函數(shù)關系式為：，【小問2詳解】由（1）知，則，令，則，當時，；當時，∴函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，∴當時，每瓶酸梅湯的利潤最大，最大利潤為28.8π.18、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）由中位線的性質可得、、，再由線面平行的判定可證平面PEF、平面PEF，最后根據(jù)面面平行的判定證明結論.（2）應用勾股定理、等邊三角形的性質、面面和線面垂直的性質可證、、兩兩垂直，構建空間直角坐標系，求面BPC、面PCA的法向量，再應用空間向量夾角的坐標表示求二面角的余弦值.【小問1詳解】因為D，H分別是PA，PC的中點，所以因為E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，所以，綜上，，又平面PEF，平面PEF，所以平面PEF由題意，G是CF的中點，又H是PC的中點，所以，又平面PEF，平面PEF，所以平面PEF由，HG，平面DHG，所以平面平面DHG【小問2詳解】在△ABC中，AB＝4，AC＝2，，所以，所以，又，則因為△PAB為等邊三角形，點E為AB的中點，所以，又平面平面ABC，平面平面ABC＝AB，所以平面ABC，面ABC，故綜上，以E為坐標原點，以EB，EF，EP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，有，，，，則，，設平面BPC的法向量為，則，令，則設平面PCA的法向量為，則，令，則所以．由圖知，二面角的平面角為銳角，所以二面角的余弦值為19、（1）；（2）.【解析】（1）利用三角恒等變換思想化簡函數(shù)解析式為，然后解不等式，可得答案；（2）由計算出的取值范圍，利用正弦函數(shù)的基本性質可求得函數(shù)的最小值，進而可求得實數(shù)的值.【詳解】（1），令，解得.所以，函數(shù)的單調遞增區(qū)間為；（2）當時，，所以，所以，解得.20、（1）（2）存在，，【解析】（1）利用離心率和橢圓所過點列出方程組，求出，求出橢圓方程；（2）假設存在，分切線斜率存在和不存在分類討論，根據(jù)向量數(shù)量積為0求出r的值，表達出△AOB的面積，利用基本不等式求出的取值范圍，進而求出△AOB面積的取值范圍.【小問1詳解】因為橢圓C：的離心率，且過點所以解得所以橢圓C的方程為【小問2詳解】假設存在⊙O：滿足題意，①切線方程l的斜率存在時，設切線方程l：y＝kx＋m與橢圓方程聯(lián)立，消去y得，(*)設，，由題意知，(*)有兩解所以，即由根與系數(shù)的關系可得，所以因為，所以，即化簡得，且，O到直線l的距離所以，又，此時，所以滿足題意所以存在圓的方程為⊙O：△AOB的面積，又因為當k≠0時當且僅當即時取等號又因為，所以，所以當k＝0時，②斜率不存在時，直線與橢圓交于兩點或兩點易知存在圓的方程為⊙O：且綜上，所以【點睛】求解圓錐曲線相關的三角形或四邊形面積取值范圍問題，需要先設出變量，表達出面積，利用基本不等式或者配方，導函數(shù)等求出最值，求出取值范圍，特別注意直線斜率存在和不存在的情況，需要分類討論.21、（1）；；（2）.【解析】（1）驗證可知數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，則，；（2）由（1）可求得，