陜西旬陽(yáng)中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

陜西旬陽(yáng)中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測(cè)模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若，則（）A.22 B.19C.－20 D.－192．有7名同學(xué)參加百米競(jìng)賽，預(yù)賽成績(jī)各不相同，取前3名參加決賽，小明同學(xué)已經(jīng)知道了自己的成績(jī)，為了判斷自己是否能進(jìn)入決賽，他還需要知道7名同學(xué)成績(jī)的（）A.平均數(shù) B.眾數(shù)C.中位數(shù) D.方差3．設(shè)函數(shù)，當(dāng)自變量t由2變到2.5時(shí)，函數(shù)的平均變化率是（）A.5.25 B.10.5C.5.5 D.114．已知函數(shù)，在上隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)，則使得成立的概率為（）A. B.C. D.5．“”是“直線(xiàn)和直線(xiàn)垂直”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分又非必要條件6．設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則（）A.26 B.－7C.－10 D.－137．已知各項(xiàng)均為正數(shù)且單調(diào)遞減的等比數(shù)列滿(mǎn)足、、成等差數(shù)列.其前項(xiàng)和為，且，則（）A. B.C. D.8．已知雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)的右支于A，B兩點(diǎn).若，則雙曲線(xiàn)的離心率為（）A. B.C. D.9．在等差數(shù)列中，為其前n項(xiàng)和，，則（）A.55 B.65C.15 D.6010．（）A. B.C. D.11．某學(xué)習(xí)小組研究一種衛(wèi)星接收天線(xiàn)（如圖①所示），發(fā)現(xiàn)其曲面與軸截面的交線(xiàn)為拋物線(xiàn)，在軸截面內(nèi)的衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入形為拋物線(xiàn)的接收天線(xiàn)，經(jīng)反射聚焦到焦點(diǎn)處（如圖②所示）．已知接收天線(xiàn)的口徑（直徑）為3.6m，深度為0.6m，則該拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為（）A.1.35m B.2.05mC.2.7m D.5.4m12．設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖所示，則的解集是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某校老年、中年和青年教師的人數(shù)見(jiàn)如表，采用分層抽樣的方法調(diào)查教師的身體狀況，在抽取的樣本中，青年教師有人，則該樣本的老年教師人數(shù)為_(kāi)_____.類(lèi)別老年教師中年教師青年教師合計(jì)人數(shù)90018001600430014．六面體的所有棱長(zhǎng)都為2，底面ABCD是正方形，AC與BD的交點(diǎn)是O，若，則___________.15．寫(xiě)出一個(gè)公比為3，且第三項(xiàng)小于1的等比數(shù)列______16．關(guān)于曲線(xiàn)，給出下列三個(gè)結(jié)論：①曲線(xiàn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，但不關(guān)于軸、軸對(duì)稱(chēng)；②曲線(xiàn)恰好經(jīng)過(guò)4個(gè)整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；③曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不大于.其中，正確結(jié)論的序號(hào)是________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知等差數(shù)列和正項(xiàng)等比數(shù)列滿(mǎn)足（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和18．（12分）已知等差數(shù)列滿(mǎn)足：，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及前n項(xiàng)和公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和19．（12分）已知圓心為的圓，滿(mǎn)足下列條件：圓心在軸上，與直線(xiàn)相切，且被軸截得的弦長(zhǎng)為，圓的面積小于（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與圓交于不同的兩點(diǎn)、，以、為鄰邊作平行四邊形．是否存在這樣的直線(xiàn)，使得直線(xiàn)與恰好平行？如果存在，求出的方程，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由20．（12分）數(shù)列的前n項(xiàng)和為，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和21．（12分）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，且過(guò)點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓相交于，兩點(diǎn)（A、B非橢圓頂點(diǎn)），求的最大值.22．（10分）如圖，在三棱柱中，平面，，.（1）求證：平面；（2）點(diǎn)M在線(xiàn)段上，且，試問(wèn)在線(xiàn)段上是否存在一點(diǎn)N，滿(mǎn)足平面，若存在求的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】將所求進(jìn)行變形可得，根據(jù)二項(xiàng)式定理展開(kāi)式，即可求得答案.【詳解】由題意得所以.故選：C2、C【解析】根據(jù)中位數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合題設(shè)按成績(jī)排序7選3，即可知還需明確的成績(jī)數(shù)據(jù)信息.【詳解】由題設(shè)，7名同學(xué)參加百米競(jìng)賽，要取前3名參加決賽，則成績(jī)從高到低排列，確定7名同學(xué)成績(jī)的中位數(shù)，即第3名的成績(jī)便可判斷自己是否能進(jìn)入決賽.故選：C.3、B【解析】利用平均變化率的公式即得.【詳解】∵，∴.故選：B.4、B【解析】首先求不等式的解集，再根據(jù)區(qū)間長(zhǎng)度，求幾何概型的概率.【詳解】由，得，解得，在區(qū)間上隨機(jī)取一實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)滿(mǎn)足不等式的概率為故選：B5、A【解析】根據(jù)直線(xiàn)垂直求出值即可得答案.【詳解】解：若直線(xiàn)和直線(xiàn)垂直，則，解得或，則“”是“直線(xiàn)和直線(xiàn)垂直”的充分非必要條件.故選：A.6、C【解析】直接利用等差數(shù)列通項(xiàng)和求和公式計(jì)算得到答案.【詳解】，，解得，故.故選：C.7、C【解析】先根據(jù)，，成等差數(shù)列以及單調(diào)遞減，求出公比，再由即可求出，再根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式以及前項(xiàng)和公式即可求出.【詳解】解：由，，成等差數(shù)列，得：，設(shè)的公比為，則，解得：或，又單調(diào)遞減，，，解得：，數(shù)列的通項(xiàng)公式為：，.故選：C8、A【解析】根據(jù)給定條件結(jié)合雙曲線(xiàn)定義求出，，再借助余弦定理求出半焦距c即可計(jì)算作答.【詳解】因，令，，而雙曲線(xiàn)實(shí)半軸長(zhǎng)，由雙曲線(xiàn)定義知，，而，于是可得，在等腰中，，令雙曲線(xiàn)半焦距為c，在中，由余弦定理得：，而，，，解得，所以雙曲線(xiàn)的離心率為.故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求雙曲線(xiàn)的離心率的方法：(1)定義法：通過(guò)已知條件列出方程組，求得得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率；(2)齊次式法：由已知條件得出關(guān)于的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程求解；(3)特殊值法：通過(guò)取特殊值或特殊位置，求出離心率.9、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列求和公式結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)即可求得.【詳解】解析：因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以，即，.故選:B10、B【解析】根據(jù)微積分基本定理即可直接求出答案.【詳解】故選：B.11、A【解析】根據(jù)題意先建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，可設(shè)出拋物線(xiàn)方程，利用已知條件得出點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，代入方程求得p值，進(jìn)而求得焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離.【詳解】如圖所示，在接收天線(xiàn)的軸截面所在平面上建立平面直角坐標(biāo)系xOy，使接收天線(xiàn)的頂點(diǎn)（即拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)）與原點(diǎn)O重合，焦點(diǎn)F在x軸上設(shè)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由已知條件可得，點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，所以，解得，因此，該拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為1.35m，故選：A.12、C【解析】先由圖像分析出的正負(fù)，直接解不等式即可得到答案.【詳解】由函數(shù)的圖象可知,在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞增，即當(dāng)時(shí),;當(dāng)x∈(0,2)時(shí),.因?yàn)榭苫癁榛?，解得?<x<2或x<0,所以不等式的解集為.故選:C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題意，總體中青年教師與老年教師比例為；設(shè)樣本中老年教師的人數(shù)為x，由分層抽樣的性質(zhì)可得總體與樣本中青年教師與老年教師的比例相等，即，解得.故答案為.考點(diǎn)：分層抽樣.14、【解析】結(jié)合空間向量運(yùn)算求得.【詳解】，.所以.故答案為：15、（答案不唯一）【解析】由條件確定該等比數(shù)列的首項(xiàng)的可能值，由此確定該數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】設(shè)數(shù)列的公比為，則，由已知可得，∴，所以，故可取，故滿(mǎn)足條件的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可能為，故答案為：（答案不唯一）16、①③【解析】設(shè)為曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，判斷、、是否滿(mǎn)足曲線(xiàn)方程即可判斷①；求出曲線(xiàn)過(guò)的整點(diǎn)即可判斷②；由條件利用即可得，即可判斷③；即可得解.【詳解】設(shè)為曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)，則，設(shè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)、軸、軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為、、，因?yàn)?；；；所以點(diǎn)在曲線(xiàn)上，點(diǎn)、點(diǎn)不在曲線(xiàn)上，所以曲線(xiàn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，但不關(guān)于軸、軸對(duì)稱(chēng)，故①正確；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，.此外，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故曲線(xiàn)過(guò)整點(diǎn)，，，，，，故②錯(cuò)誤；又，所以恒成立，由可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，所以曲線(xiàn)上任一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，故③正確.故答案為：①③.【點(diǎn)睛】本題考查了與曲線(xiàn)方程有關(guān)的命題真假判斷，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)條件列公差與公比方程組，解得結(jié)果，代入等差數(shù)列通項(xiàng)公式即可；（2）根據(jù)等比數(shù)列求和公式直接求解.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列公差為，正項(xiàng)等比數(shù)列公比為，因?yàn)?，所以因此；?）數(shù)列的前n項(xiàng)和【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列以及等比數(shù)列通項(xiàng)公式、等比數(shù)列求和公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.18、（1），（2）【解析】（1）由，，列出方程組，求得，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用公式可得.（2）由（1）求得，結(jié)合“裂項(xiàng)法”求和，即可求解.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，，可得，解得，所以?shù)列的通項(xiàng)公式.（2）由（1）知，可得，所以數(shù)列的前項(xiàng)和：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解，以及“裂項(xiàng)法”求和的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是將的通項(xiàng)裂成兩項(xiàng)的差，利用裂項(xiàng)相消求和，屬于中檔題.19、（1）；（2）不存在，理由見(jiàn)解析.【解析】（1）設(shè)圓心，設(shè)圓的半徑為，可得出，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的方程，求出的值，可得出的值，進(jìn)而可得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）分析可知直線(xiàn)的斜率存在，可設(shè)直線(xiàn)的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線(xiàn)的方程與圓的方程聯(lián)立，由可求得的取值范圍，列出韋達(dá)定理，分析可得，可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，由已知可得出，求出的值，檢驗(yàn)即可得出結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)圓心，設(shè)圓的半徑為，則，由題意可得，由勾股定理可得，則，由題意可得，解得，則，因此，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】解：若直線(xiàn)的斜率不存在，此時(shí)直線(xiàn)與軸重合，則、、三點(diǎn)共線(xiàn)，不合乎題意.所以，直線(xiàn)的斜率存在，可設(shè)直線(xiàn)的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立，可得，，解得或，由韋達(dá)定理可得，，則，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，則，因?yàn)?，則，則，解得，因?yàn)榛?，因此，不存直線(xiàn)，使得直線(xiàn)與恰好平行.20、（1）；（2）.【解析】(1)根據(jù)給定條件結(jié)合“當(dāng)時(shí)，”計(jì)算作答.(2)由(1)求出，利用裂項(xiàng)相消法計(jì)算得解.【小問(wèn)1詳解】數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，滿(mǎn)足上式，則，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是【小問(wèn)2詳解】由(1)知，，所以，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和21、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)離心率和點(diǎn)在橢圓上建立方程，結(jié)合，然后解出方程即可（2）設(shè)直線(xiàn)的斜率為，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓的方程，然后利用韋達(dá)定理表示出，兩點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，并表示出為直線(xiàn)斜率的函數(shù)，然后求出的最大值【小問(wèn)1詳解】由橢圓過(guò)點(diǎn)，則有：由可得：解得：則橢圓的方程為：【小問(wèn)2詳解】由（1）得，，已知直線(xiàn)不過(guò)橢圓長(zhǎng)軸頂點(diǎn)則直線(xiàn)的斜率不為，設(shè)直線(xiàn)的方程為：設(shè)，，聯(lián)立直線(xiàn)方程和橢圓方程整理可得：故是恒成立的根據(jù)韋達(dá)定理可得：，則有：由，可得：所以的最大值為：22、（