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文檔簡(jiǎn)介
2024屆云南省元江第一中學(xué)高三第六次月考數(shù)學(xué)試題試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě),字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效;在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知為拋物線的準(zhǔn)線,拋物線上的點(diǎn)到的距離為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,則的最小值是()A. B.4 C.2 D.2.當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖象大致是()A. B.C. D.3.設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,則“”是“”的()A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分也不必要4.已知點(diǎn),若點(diǎn)在曲線上運(yùn)動(dòng),則面積的最小值為()A.6 B.3 C. D.5.在平行四邊形中,若則()A. B. C. D.6.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限7.函數(shù)的圖象為C,以下結(jié)論中正確的是()①圖象C關(guān)于直線對(duì)稱;②圖象C關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱;③由y=2sin2x的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到圖象C.A.① B.①② C.②③ D.①②③8.泰山有“五岳之首”“天下第一山”之稱,登泰山的路線有四條:紅門(mén)盤(pán)道徒步線路,桃花峪登山線路,天外村汽車登山線路,天燭峰登山線路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的線路時(shí),發(fā)現(xiàn)三人走的線路均不同,且均沒(méi)有走天外村汽車登山線路,三人向其他旅友進(jìn)行如下陳述:甲:我走紅門(mén)盤(pán)道徒步線路,乙走桃花峪登山線路;乙:甲走桃花峪登山線路,丙走紅門(mén)盤(pán)道徒步線路;丙:甲走天燭峰登山線路,乙走紅門(mén)盤(pán)道徒步線路;事實(shí)上,甲、乙、丙三人的陳述都只對(duì)一半,根據(jù)以上信息,可判斷下面說(shuō)法正確的是()A.甲走桃花峪登山線路 B.乙走紅門(mén)盤(pán)道徒步線路C.丙走桃花峪登山線路 D.甲走天燭峰登山線路9.在正方體中,,分別為,的中點(diǎn),則異面直線,所成角的余弦值為()A. B. C. D.10.已知復(fù)數(shù)z=(1+2i)(1+ai)(a∈R),若z∈R,則實(shí)數(shù)a=()A. B. C.2 D.﹣211.某學(xué)校組織學(xué)生參加英語(yǔ)測(cè)試,成績(jī)的頻率分布直方圖如圖,數(shù)據(jù)的分組依次為,若低于60分的人數(shù)是18人,則該班的學(xué)生人數(shù)是()A.45 B.50 C.55 D.6012.設(shè)全集集合,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在四面體中,與都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,且平面平面,則該四面體外接球的體積為_(kāi)______.14.在的展開(kāi)式中,的系數(shù)為_(kāi)_____用數(shù)字作答15.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),且周期為,當(dāng)時(shí),,則的值為_(kāi)__________________.16.若點(diǎn)為點(diǎn)在平面上的正投影,則記.如圖,在棱長(zhǎng)為1的正方體中,記平面為,平面為,點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn),.給出下列四個(gè)結(jié)論:①為的重心;②;③當(dāng)時(shí),平面;④當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí),三棱錐外接球的表面積為.其中,所有正確結(jié)論的序號(hào)是________________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)在中,角,,的對(duì)邊分別為,其中,.(1)求角的值;(2)若,,為邊上的任意一點(diǎn),求的最小值.18.(12分)已知,均為正數(shù),且.證明:(1);(2).19.(12分)記數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知成等差數(shù)列.(1)證明:數(shù)列是等比數(shù)列,并求的通項(xiàng)公式;(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為,求.20.(12分)2019年是五四運(yùn)動(dòng)100周年.五四運(yùn)動(dòng)以來(lái)的100年,是中國(guó)青年一代又一代接續(xù)奮斗、凱歌前行的100年,是中口青年用青春之我創(chuàng)造青春之中國(guó)、青春之民族的100年.為繼承和發(fā)揚(yáng)五四精神在青年節(jié)到來(lái)之際,學(xué)校組織“五四運(yùn)動(dòng)100周年”知識(shí)競(jìng)賽,競(jìng)賽的一個(gè)環(huán)節(jié)由10道題目組成,其中6道A類題、4道B類題,參賽者需從10道題目中隨機(jī)抽取3道作答,現(xiàn)有甲同學(xué)參加該環(huán)節(jié)的比賽.(1)求甲同學(xué)至少抽到2道B類題的概率;(2)若甲同學(xué)答對(duì)每道A類題的概率都是,答對(duì)每道B類題的概率都是,且各題答對(duì)與否相互獨(dú)立.現(xiàn)已知甲同學(xué)恰好抽中2道A類題和1道B類題,用X表示甲同學(xué)答對(duì)題目的個(gè)數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.21.(12分)已知函數(shù)(Ⅰ)若,求曲線在點(diǎn)處的切線方程;(Ⅱ)若在上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(Ⅲ)若數(shù)列的前項(xiàng)和,,求證:數(shù)列的前項(xiàng)和.22.(10分)若函數(shù)為奇函數(shù),且時(shí)有極小值.(1)求實(shí)數(shù)的值與實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)若恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
設(shè)拋物線焦點(diǎn)為,由題意利用拋物線的定義可得,當(dāng)共線時(shí),取得最小值,由此求得答案.【詳解】解:拋物線焦點(diǎn),準(zhǔn)線,過(guò)作交于點(diǎn),連接由拋物線定義,
,
當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí),取“=”號(hào),∴的最小值為.
故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程,以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.2、B【解析】由,解得,即或,函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),,不正確,設(shè),則,由,解得或,由,解得:,即是函數(shù)的一個(gè)極大值點(diǎn),不成立,排除,故選B.【方法點(diǎn)晴】本題通過(guò)對(duì)多個(gè)圖象的選擇考察函數(shù)的解析式、定義域、值域、單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及數(shù)學(xué)化歸思想,屬于難題.這類題型也是近年高考常見(jiàn)的命題方向,該題型的特點(diǎn)是綜合性較強(qiáng)較強(qiáng)、考查知識(shí)點(diǎn)較多,但是并不是無(wú)路可循.解答這類題型可以從多方面入手,根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點(diǎn)以及時(shí)函數(shù)圖象的變化趨勢(shì),利用排除法,將不合題意選項(xiàng)一一排除.3、A【解析】
首先根據(jù)等比數(shù)列分別求出滿足,的基本量,根據(jù)基本量的范圍即可確定答案.【詳解】為等比數(shù)列,若成立,有,因?yàn)楹愠闪?,故可以推出且,若成立,?dāng)時(shí),有,當(dāng)時(shí),有,因?yàn)楹愠闪ⅲ杂?,故可以推出,,所以“”是“”的充分不必要條件.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列基本量的求解,充分必要條件的集合關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】
求得直線的方程,畫(huà)出曲線表示的下半圓,結(jié)合圖象可得位于,結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式和兩點(diǎn)的距離公式,以及三角形的面積公式,可得所求最小值.【詳解】解:曲線表示以原點(diǎn)為圓心,1為半徑的下半圓(包括兩個(gè)端點(diǎn)),如圖,直線的方程為,可得,由圓與直線的位置關(guān)系知在時(shí),到直線距離最短,即為,則的面積的最小值為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查三角形面積最值,解題關(guān)鍵是掌握直線與圓的位置關(guān)系,確定半圓上的點(diǎn)到直線距離的最小值,這由數(shù)形結(jié)合思想易得.5、C【解析】
由,,利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算,先求得利用平行四邊形的性質(zhì)可得結(jié)果.【詳解】如圖所示,
平行四邊形中,,
,,,
因?yàn)?
所以
,
,所以,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的幾何運(yùn)算以及平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則,屬于中檔題.向量的運(yùn)算有兩種方法:(1)平行四邊形法則(平行四邊形的對(duì)角線分別是兩向量的和與差);(2)三角形法則(兩箭頭間向量是差,箭頭與箭尾間向量是和).6、D【解析】
將復(fù)數(shù)化簡(jiǎn)得,,即可得到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,即可得出結(jié)果.【詳解】,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,考查共軛復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)與平面內(nèi)點(diǎn)的對(duì)應(yīng),難度容易.7、B【解析】
根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱軸、對(duì)稱中心和圖象變換的知識(shí),判斷出正確的結(jié)論.【詳解】因?yàn)?,又,所以①正確.,所以②正確.將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得,所以③錯(cuò)誤.所以①②正確,③錯(cuò)誤.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)的對(duì)稱軸、對(duì)稱中心,考查三角函數(shù)圖象變換,屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】
甲乙丙三人陳述中都提到了甲的路線,由題意知這三句中一定有一個(gè)是正確另外兩個(gè)錯(cuò)誤的,再分情況討論即可.【詳解】若甲走的紅門(mén)盤(pán)道徒步線路,則乙,丙描述中的甲的去向均錯(cuò)誤,又三人的陳述都只對(duì)一半,則乙丙的另外兩句話“丙走紅門(mén)盤(pán)道徒步線路”,“乙走紅門(mén)盤(pán)道徒步線路”正確,與“三人走的線路均不同”矛盾.故甲的另一句“乙走桃花峪登山線路”正確,故丙的“乙走紅門(mén)盤(pán)道徒步線路”錯(cuò)誤,“甲走天燭峰登山線路”正確.乙的話中“甲走桃花峪登山線路”錯(cuò)誤,“丙走紅門(mén)盤(pán)道徒步線路”正確.綜上所述,甲走天燭峰登山線路,乙走桃花峪登山線路,丙走紅門(mén)盤(pán)道徒步線路故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了判斷與推理的問(wèn)題,重點(diǎn)是找到三人中都提到的內(nèi)容進(jìn)行分類討論,屬于基礎(chǔ)題型.9、D【解析】
連接,,因?yàn)椋詾楫惷嬷本€與所成的角(或補(bǔ)角),不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,取的中點(diǎn)為,連接,在等腰中,求出,在利用二倍角公式,求出,即可得出答案.【詳解】連接,,因?yàn)?,所以為異面直線與所成的角(或補(bǔ)角),不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則,,在等腰中,取的中點(diǎn)為,連接,則,,所以,即:,所以異面直線,所成角的余弦值為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查空間異面直線的夾角余弦值,利用了正方體的性質(zhì)和二倍角公式,還考查空間思維和計(jì)算能力.10、D【解析】
化簡(jiǎn)z=(1+2i)(1+ai)=,再根據(jù)z∈R求解.【詳解】因?yàn)閦=(1+2i)(1+ai)=,又因?yàn)閦∈R,所以,解得a=-2.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算及概念,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】
根據(jù)頻率分布直方圖中頻率=小矩形的高×組距計(jì)算成績(jī)低于60分的頻率,再根據(jù)樣本容量求出班級(jí)人數(shù).【詳解】根據(jù)頻率分布直方圖,得:低于60分的頻率是(0.005+0.010)×20=0.30,∴樣本容量(即該班的學(xué)生人數(shù))是60(人).故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用問(wèn)題,也考查了頻率的應(yīng)用問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題12、A【解析】
先求出,再與集合N求交集.【詳解】由已知,,又,所以.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查集合的基本運(yùn)算,涉及到補(bǔ)集、交集運(yùn)算,是一道容易題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
先確定球心的位置,結(jié)合勾股定理可求球的半徑,進(jìn)而可得球的面積.【詳解】取的外心為,設(shè)為球心,連接,則平面,取的中點(diǎn),連接,,過(guò)做于點(diǎn),易知四邊形為矩形,連接,,設(shè),.連接,則,,三點(diǎn)共線,易知,所以,.在和中,,,即,,所以,,得.所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何體的外接球問(wèn)題,外接球的半徑的求解一般有兩個(gè)思路:一是確定球心位置,利用勾股定理求解半徑;二是利用熟悉的模型求解半徑,比如長(zhǎng)方體外接球半徑是其對(duì)角線的一半.14、1【解析】
利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出展開(kāi)式的通項(xiàng),令,求出展開(kāi)式中的系數(shù).【詳解】二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為令得的系數(shù)為故答案為1.【點(diǎn)睛】利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式是解決二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)問(wèn)題的工具.15、【解析】
由題意可得:,周期為,可得,可求出,最后再求的值即可.【詳解】解:函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),.由周期為,可知,,..故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的基本性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.16、①②③【解析】
①點(diǎn)在平面內(nèi)的正投影為點(diǎn),而正方體的體對(duì)角線與和它不相交的的面對(duì)角線垂直,所以直線垂直于平面,而為正三角形,可得為正三角形的重心,所以①是正確的;②取的中點(diǎn),連接,則點(diǎn)在平面的正投影在上,記為,而平面平面,所以,所以②正確;③若設(shè),則由可得,然后對(duì)應(yīng)邊成比例,可解,所以③正確;④由于,而的面積是定值,所以當(dāng)點(diǎn)到平面的距離最大時(shí),三棱錐的體積最大,而當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí),點(diǎn)到平面的距離最大,此時(shí)為棱長(zhǎng)為的正四面體,其外接球半徑,則球,所以④錯(cuò)誤.【詳解】因?yàn)?,連接,則有平面平面為正三角形,所以為正三角形的中心,也是的重心,所以①正確;由平面,可知平面平面,記,由,可得平面平面,則,所以②正確;若平面,則,設(shè)由得,易得,由,則,由得,,解得,所以③正確;當(dāng)與重合時(shí),最大,為棱長(zhǎng)為的正四面體,其外接球半徑,則球,所以④錯(cuò)誤.故答案為:①②③【點(diǎn)睛】此題考查立體幾何中的垂直、平行關(guān)系,求幾何體的體積,考查空間想象能力和推理能力,屬于難題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2).【解析】
(1)利用余弦定理和二倍角的正弦公式,化簡(jiǎn)即可得出結(jié)果;(2)在中,由余弦定理得,在中結(jié)合正弦定理求出,從而得出,即可得出的解析式,最后結(jié)合斜率的幾何意義,即可求出的最小值.【詳解】(1),,由題知,,則,則,,;(2)在中,由余弦定理得,,設(shè),其中.在中,,,,,所以,,所以的幾何意義為兩點(diǎn)連線斜率的相反數(shù),數(shù)形結(jié)合可得,故的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理和余弦定理的實(shí)際應(yīng)用,還涉及二倍角正弦公式和誘導(dǎo)公式,考查計(jì)算能力.18、(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【解析】
(1)由進(jìn)行變換,得到,兩邊開(kāi)方并化簡(jiǎn),證得不等式成立.(2)將化為,然后利用基本不等式,證得不等式成立.【詳解】(1),兩邊加上得,即,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),∴.(2).當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用基本不等式證明不等式成立,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.19、(1)證明見(jiàn)解析,;(2)【解析】
(1)由成等差數(shù)列,可得到,再結(jié)合公式,消去,得到,再給等式兩邊同時(shí)加1,整理可證明結(jié)果;(2)將(1)得到的代入中化簡(jiǎn)后再裂項(xiàng),然后求其前項(xiàng)和.【詳解】(1)由成等差數(shù)列,則,即,①當(dāng)時(shí),,又,②由①②可得:,即,時(shí),.所以是以3為首項(xiàng),3為公比的等比數(shù)列,,所以.(2),所以.【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)列遞推式,等比數(shù)列的證明,裂列相消求和,考查了學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,屬于中檔題.20、(1);(2)分布列見(jiàn)解析,期望為.【解析】
(1)甲同學(xué)至少抽到2道B類題包含兩個(gè)事件:一個(gè)抽到2道B類題,一個(gè)是抽到3個(gè)B類題,計(jì)算出抽法數(shù)后可求得概率;(2)的所有可能值分別為,依次計(jì)算概率得分布列,再由期望公式計(jì)算期望.【詳解】(1)令“甲同學(xué)至少抽到2道B類題”為事件,則抽到2道類題有種取法,抽到3道類題有種取法,∴;(2)的所有可能值分別為,,,,,∴的分布列為:0123【點(diǎn)睛】本題考查古典概型,考查隨機(jī)變量的概率分布列和數(shù)學(xué)期望.解題關(guān)鍵是掌握相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式.21、(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ)證明見(jiàn)解析.【解析】試題分析:將,求出切線方程求導(dǎo)后討論當(dāng)時(shí)和時(shí)的單調(diào)性證明,求出實(shí)數(shù)的取值范圍先求出、的通項(xiàng)公式,利用當(dāng)時(shí),得,下面證明:解析:(Ⅰ)因?yàn)椋?,,切點(diǎn)為.由,所以,所以曲線在處的切線方程為,即(Ⅱ)由,令,則(當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)).故在上為增函數(shù).①當(dāng)時(shí),,故在上為增函數(shù),所以恒成立,
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