黑龍江省齊齊哈爾市克東縣第三中學(xué)2024-2025學(xué)年九年級上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷

2024-2025學(xué)年黑龍江省齊齊哈爾市克東三中九年級（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.下列是一元二次方程的是(

)A. B.

C. D.2.下列y關(guān)于x的函數(shù)中，是二次函數(shù)的是(

)A. B.

C. D.3.下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是(

)A. B. C. D.4.若將二次函數(shù)的圖象向上平移2個單位長度，再向右平移3個單位長度，則平移后的二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(

)A. B. C. D.5.已知是關(guān)于x的方程的一個實(shí)數(shù)根，且該方程的兩實(shí)數(shù)根恰是等腰的兩條邊長，則的周長為(

)A.9 B.10 C.6或10 D.8或106.如圖，中，，，≌，若恰好經(jīng)過點(diǎn)B，交AB于D，則的度數(shù)為(

)

A. B. C. D.7.在平面直角坐標(biāo)系中，對于二次函數(shù)，下列說法中錯誤的是(

)A.圖象頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對稱軸為直線

B.y的最小值為

C.當(dāng)時，y的值隨x值的增大而增大，當(dāng)時，y的值隨x值的增大而減小

D.它的圖象可由的圖象向左平移1個單位長度，再向上平移4個單位長度得到8.某機(jī)械廠七月份生產(chǎn)零件50萬個，第三季度生產(chǎn)零件196萬個．設(shè)該廠八、九月份平均每月的增長率為x，那么x滿足的方程是(

)A. B.

C. D.9.已知函數(shù)其中的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能正確的是(

)A.

B.

C.

D.10.對稱軸為直線的拋物線、b、c為常數(shù)，且如圖所示，某同學(xué)得出了以下結(jié)論：①；②；③；④為任意實(shí)數(shù)；⑤當(dāng)時，y隨x的增大而增大，其中結(jié)論正確的個數(shù)為(

)A.2

B.3

C.4

D.5二、填空題：本題共7小題，每小題3分，共21分。11.點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是______.12.當(dāng)______時，關(guān)于x的方程是一元二次方程．13.已知方程可以配方成的形式，那么______.14.已知m，n是方程的兩個實(shí)數(shù)根，則的值是______.15.如圖，在一塊長15m，寬10m的矩形花園基地上修建兩橫一縱三條等寬的道路，剩余空地種植花苗，設(shè)道路的寬為xm，若種植花苗的面積為，依題意列方程為______.16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，線段OA與x軸正方向的夾角為，且，若將線段OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)得到線段，則此時點(diǎn)的坐標(biāo)為______.

17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將繞點(diǎn)A順指針旋轉(zhuǎn)到的位置，點(diǎn)B、O分別落在點(diǎn)、處，點(diǎn)在x軸上，再將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)到的位置，點(diǎn)在x軸上，將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)到的位置，點(diǎn)在x軸上，依次進(jìn)行下去……，若點(diǎn)，，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為______.

三、解答題：本題共7小題，共69分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。18.本小題10分

解下列方程：

；

19.本小題8分

已知：關(guān)于x的方程

若方程總有兩個實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍；

若兩實(shí)數(shù)根、滿足，求m的值．20.本小題9分

如圖，在正方形網(wǎng)格中，建立平面直角坐標(biāo)系，的三個頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，點(diǎn)，

將繞著點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)，畫出旋轉(zhuǎn)后的并寫出的坐標(biāo)；

畫出關(guān)于原點(diǎn)對稱的；

在x軸上找一點(diǎn)D，使的值最小，請直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo).21.本小題10分

端午節(jié)是我國入選世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)的傳統(tǒng)節(jié)日，端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習(xí)俗.市場上豆沙粽的進(jìn)價比豬肉粽的進(jìn)價每盒便宜10元，某商家用8000元購進(jìn)的豬肉粽和用6000元購進(jìn)的豆沙粽盒數(shù)相同.在銷售中，該商家發(fā)現(xiàn)豬肉粽每盒售價50元時，每天可售出100盒；每盒售價提高1元時，每天少售出2盒.

求豬肉粽和豆沙粽每盒的進(jìn)價；

求每盒豬肉粽售價定為多少元時，每天銷售豬肉粽所獲利潤最大，最大利潤是多少？22.本小題8分

某學(xué)校課后服務(wù)，為學(xué)生們提供了手工烹飪，文學(xué)賞析，體育鍛煉，編導(dǎo)表演四種課程依次用A，B，C，D表示，為了解學(xué)生對這四種課程的喜好情況.校學(xué)生會隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行了“你最喜歡哪一種課外活動必選且只選一種”的問卷調(diào)查，根據(jù)調(diào)查結(jié)果，小明同學(xué)繪制了如圖所示的不完整的兩個統(tǒng)計(jì)圖.

請根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖將下面的信息補(bǔ)充完整：

①參加問卷調(diào)查的學(xué)生共有______人，并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖統(tǒng)計(jì)圖；

②扇形統(tǒng)計(jì)圖中“D”對應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù)為______；

若該校共有學(xué)生2000名，請你估計(jì)該校全體學(xué)生中最喜歡C課程的學(xué)生有多少人？23.本小題12分

【問題背景】如圖1，點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，，連接EF，則有，試說明理由；

【遷移應(yīng)用】如圖2，四邊形ABCD中，，，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，，若，都不是直角，且，試探究EF、BE、DF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

【聯(lián)系拓展】如圖3，在中，，，點(diǎn)D、E均在邊BC上，且，猜想BD、DE、EC滿足的等量關(guān)系直接寫出結(jié)論，不需要證明

24.本小題12分

如圖，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為

求拋物線的解析式：并寫出y隨x如何變化；

求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)以及的面積；

設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)M，問在對稱軸上是否存在點(diǎn)P，使為等腰三角形？若存在，請求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

答案和解析1.【答案】B

【解析】解：A、當(dāng)時，不屬于一元二次方程，故該選項(xiàng)不符合題意；

B、它符合一元二次方程的定義，故該選項(xiàng)符合題意；

C、化簡后它不含有二次項(xiàng)，不屬于一元二次方程，故該選項(xiàng)不符合題意；

D、是分式方程，不屬于一元二次方程，故該選項(xiàng)不符合題意．

故選：

直接根據(jù)一元二次方程的定義進(jìn)行判斷即可．

本題考查了一元二次方程的定義，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2次的整式方程是一元二次方程．2.【答案】A

【解析】解：A、，是二次函數(shù)，故A符合題意；

B、，是一次函數(shù)，故B不符合題意；

C、不是二次函數(shù)，故C不符合題意；

D、，不是二次函數(shù)，故D不符合題意；

故選：

根據(jù)二次函數(shù)的定義，、b、c為常數(shù)，，判斷即可．

本題考查了二次函數(shù)的定義，熟練掌握二次函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．3.【答案】D

【解析】解：A、是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)錯誤；

B、不是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)錯誤；

C、不是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)錯誤；

D、是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)正確．

故選：

根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．

本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合．4.【答案】D

【解析】解：將二次函數(shù)的圖象向上平移2個單位長度，再向右平移3個單位長度的二次函數(shù)的解析式為：，即，

平移后的二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，

故選：

按照“左加右減，上加下減”的規(guī)律即可得到函數(shù)解析式，求得其頂點(diǎn)坐標(biāo)即可．

本題考查了拋物線的平移以及拋物線解析式的變化規(guī)律：左加右減，上加下減．5.【答案】B

【解析】解：把代入方程得，解得，

方程化為，解得，，

，

三角形三邊為4、4、2，

的周長為10，

故選：

先利用一元二次方程解的定義把代入方程得，則方程化為，然后解方程后利用三角形三邊的關(guān)系確定三角形的三邊，最后就是三角形的周長．

本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解，也考查了三角形三邊的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊．6.【答案】B

【解析】解：≌，

，，，

，

，

，

，

，

故選：

首先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到對應(yīng)角相等，即，，再得到對應(yīng)邊，再根據(jù)等邊對等角求出的度數(shù)，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到，的度數(shù)即可．

此題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，以及三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是理清角之間的關(guān)系．7.【答案】D

【解析】解：二次函數(shù)，，

該函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為直線，頂點(diǎn)為，

當(dāng)時，y有最小值，

當(dāng)時，y的值隨x值的增大而增大，當(dāng)時，y的值隨x值的增大而減??；

根據(jù)平移的規(guī)律，的圖象向左平移1個單位長度，再向下平移4個單位長度得到，

故選項(xiàng)D說法錯誤，符合題意．

故選：

根據(jù)題目中的函數(shù)解析式，可以判斷各個選項(xiàng)中的說法是否正確．

本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值，二次函數(shù)圖象與幾何變換，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．8.【答案】C

【解析】解：依題意得八、九月份的產(chǎn)量為、，

故選：

主要考查增長率問題，一般增長后的量=增長前的量增長率，如果該廠八、九月份平均每月的增長率為x，那么可以用x分別表示八、九月份的產(chǎn)量，然后根據(jù)題意可得出方程．

本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，增長率問題，一般形式為，a為起始時間的有關(guān)數(shù)量，b為終止時間的有關(guān)數(shù)量．9.【答案】D

【解析】解：如圖，函數(shù)其中，

拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別是m，n，且，，

的圖象經(jīng)過第一、三象限，且與y軸交于負(fù)半軸，且在之下，

故選：

根據(jù)圖象可得出方程的兩個實(shí)數(shù)根為m，n，且一正一負(fù)，又，則根據(jù)一次函數(shù)的圖象的性質(zhì)即可得出答案．

本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)問題以及一次函數(shù)的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．10.【答案】B

【解析】解：①拋物線開口向上，拋物線的對稱軸為直線，拋物線與y軸交于負(fù)半軸，

，，，

，

，結(jié)論①不正確；

②拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)，

，

，結(jié)論②正確；

③當(dāng)時，，拋物線的對稱軸為直線，

當(dāng)時，，

即，結(jié)論③不正確；

④拋物線開口向上，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，

，

即，

，

為任意實(shí)數(shù)，結(jié)論④正確；

⑤拋物線開口向上，拋物線的對稱軸為直線，

當(dāng)時，y隨x的增大而增大，結(jié)論⑤正確．

綜上所述，正確的結(jié)論有②④⑤．

故選：

①由拋物線的開口方向、對稱軸及拋物線與y軸交點(diǎn)的位置，可得出，，，進(jìn)而可得出；②由拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)，可得出，即；③由二次函數(shù)的對稱性結(jié)合當(dāng)時，可得出當(dāng)時，再利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可得出；④由拋物線的開口方向、a，b間的關(guān)系及拋物線的頂點(diǎn)總坐標(biāo)，可得出，進(jìn)而可得出，即為任意實(shí)數(shù)；⑤利用二次函數(shù)的性質(zhì)，可得出當(dāng)時，y隨x的增大而增大．

本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，逐一分析各結(jié)論的正誤是解題的關(guān)鍵．11.【答案】

【解析】解：點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是

故答案為：

根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)的坐標(biāo)特征：橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)，即可進(jìn)行解答．

本題主要考查了關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟知兩個點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱時，它們的坐標(biāo)符號相反，即點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)是是解題的關(guān)鍵．12.【答案】

【解析】【解答】

解：關(guān)于x的方程是一元二次方程，

且

解得

故答案是：

【分析】

根據(jù)一元二次方程的定義得到：且由此求得m的值．

本題利用了一元二次方程的概念．只有一個未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是、b、c是常數(shù)，且13.【答案】1

【解析】解：，

，

，

，，

原式

故答案為：

根據(jù)配方法即可求出答案．

本題考查一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用一元二次方程的解法．14.【答案】2023

【解析】解：，n是方程的兩個實(shí)數(shù)根，

，，

，

，

故答案為：

利用一元二次方程的解的定義及根與系數(shù)的關(guān)系，可得出，，將其代入原式中即可求出結(jié)論．

本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次方程的解，牢記根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．15.【答案】

【解析】解：設(shè)道路的寬為xm，則種植花苗的部分可合成長，寬的矩形，

依題意得：，

故答案為：

設(shè)道路的寬為xm，則種植花苗的部分可合成長，寬的矩形，根據(jù)種植花苗的面積為，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．

本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．16.【答案】或

【解析】解：如圖1，將線段OA繞點(diǎn)O沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)到線段，

過點(diǎn)作軸于點(diǎn)B，

，，

在直角中，，，

，，

點(diǎn)的坐標(biāo)為

如圖2，將線段OA繞點(diǎn)O沿順時針方向旋轉(zhuǎn)到線段，

過點(diǎn)作軸于點(diǎn)B，

，，

在直角中，，，

，，

點(diǎn)的坐標(biāo)為

綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或

故答案為：或

過點(diǎn)作軸于點(diǎn)B，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，利用平角的定義得出，解直角，求出，OB，進(jìn)而得到點(diǎn)的坐標(biāo)．

此題考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平角的定義，解直角三角形等知識，正確作出輔助線是解決此題關(guān)鍵．17.【答案】10096

【解析】解：由圖象可知點(diǎn)在x軸上，

，，，

，

，，，…

點(diǎn)橫坐標(biāo)為

故答案為：

由圖象可知點(diǎn)在第一象限，求出，，的坐標(biāo)，探究規(guī)律后即可解決問題．

本題考查坐標(biāo)與圖形的變化-旋轉(zhuǎn)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是從特殊到一般探究規(guī)律，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，利用規(guī)律解決問題，屬于中考?？碱}型．18.【答案】解：，

，

，

；

，

，

，

【解析】利用配方法即可求解；

利用因式分解法即可求解．

本題考查求解一元二次方程．掌握解一元二次方程的因式分解法和配方法是解題的關(guān)鍵．19.【答案】解：

，

；

，，

由得，

解得：，，

，

【解析】由得，解之可得；

由，，結(jié)合得，解之可得m的值，依據(jù)中的結(jié)果取舍即可得．

本題主要考查根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系，關(guān)鍵是掌握，是方程的兩根時，，20.【答案】解：如圖所示，即為所求，的坐標(biāo)為；

如圖所示，即為所求：

如圖所示，點(diǎn)D即為所求：

【解析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出圖形解答即可；

根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對稱的性質(zhì)畫出圖形解答即可；

作點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，連接交x軸于點(diǎn)D，點(diǎn)D即為所求．

本題是三角形綜合題，考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和軸對稱最短問題，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．21.【答案】解：設(shè)豬肉粽每盒進(jìn)價a元，則豆沙粽每盒進(jìn)價元，

則，

解得：，經(jīng)檢驗(yàn)是方程的解，

豬肉粽每盒進(jìn)價40元，豆沙粽每盒進(jìn)價30元；

由題意得，當(dāng)時，每天可售出100盒，

當(dāng)豬肉粽每盒售價x元時，每天可售盒，

，

配方，得：，

時，y隨x的增大而增大，

當(dāng)時，y取最大值，最大值為：元

答：y關(guān)于x的函數(shù)解析式為，且最大利潤為1750元．

【解析】設(shè)豬肉粽每盒進(jìn)價a元，則豆沙粽每盒進(jìn)價元，根據(jù)商家用8000元購進(jìn)的豬肉粽和用6000元購進(jìn)的豆沙粽盒數(shù)相同列出方程，解方程即可；

由題意得，當(dāng)時，每天可售出100盒，當(dāng)豬肉粽每盒售價x元時，每天可售盒，列出每天銷售豬肉粽的利潤y與豬肉粽每盒售價x元的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)及x的取值范圍求利潤的最大值．

本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及分式方程的解法，關(guān)鍵是根據(jù)題意列出每天銷售豬肉粽的利潤y與豬肉粽每盒售價x元的函數(shù)關(guān)系式．22.【答案】

【解析】解：①參加問卷調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為人

故答案為：240；

②扇形統(tǒng)計(jì)圖中“D”對應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù)為

故答案為：；

扇形統(tǒng)計(jì)圖中“D”對應(yīng)的百分比為，

扇形統(tǒng)計(jì)圖中“C”對應(yīng)的百分比為，

人，

該校全體學(xué)生中最喜歡C課程的學(xué)生約有600人．

①用選擇B的學(xué)生人數(shù)除以其所占的百分比可得參加問卷調(diào)查的學(xué)生人數(shù)．

②用乘以本次調(diào)查中選擇D的學(xué)生所占的百分比，即可得出答案．

根據(jù)用樣本估計(jì)總體，用2000乘以本次調(diào)查中選擇C的學(xué)生人數(shù)所占的百分比，即可得出答案．

本題考查列表法與樹狀圖法、條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖、用樣本估計(jì)總體，能夠理解條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及用樣本估計(jì)總體是解答本題的關(guān)鍵．23.【答案】解：如圖1，

，，

把繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)至，可使AB與AD重合，如圖1，

，

，點(diǎn)F，D、G共線，

則，，

，

即，

在和中，

，

≌，

；

，理由如下：

如圖2，

，，

把繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)至，可使AB與AD重合，

，，