專題7.5 空間向量的概念與運算（舉一反三）（新高考專用）（學生版） 2025年高考數(shù)學一輪復習專練（新高考專用）

專題7.5空間向量的概念與運算【六大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1空間向量的線性運算】 4【題型2空間共線向量定理的應(yīng)用】 5【題型3空間向量數(shù)量積及其應(yīng)用】 6【題型4空間向量基本定理及其應(yīng)用】 6【題型5證明三點共線、四點共面】 7【題型6空間向量的坐標運算】 91、空間向量的概念與運算考點要求真題統(tǒng)計考情分析(1)了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標表示(2)掌握空間向量的線性運算及其坐標表示，掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標表示，能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線和垂直2023年新高考I卷：第18題，12分2024年上海卷：第15題，5分空間向量與立體幾何是高考的重點、熱點內(nèi)容，空間向量的概念與運算是空間向量與立體幾何的基礎(chǔ).從近幾年的高考情況來看，空間向量的概念與運算考查相對較少，常以選擇題、填空題的形式考查，主要涉及空間向量的線性運算、數(shù)量積運算與空間向量基本定理等，難度較易.【知識點1空間向量的有關(guān)概念】1．空間向量的概念(1)定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量．(2)長度或模：向量的大?。?3)表示方法：①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起點是A，終點是B，也可記作eq\o(AB,\s\up6(→))，其模記為|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|.(4)幾類特殊的空間向量名稱定義及表示零向量長度為0的向量叫做零向量，記為0單位向量模為1的向量稱為單位向量相反向量與向量a長度相等而方向相反的向量，稱為a的相反向量，記為－a共線向量(平行向量)如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量．規(guī)定：對于任意向量a，都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量稱為相等向量【知識點2空間向量的線性運算】1．空間向量的線性運算空間向量的線性運算加法a＋b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))減法a－b＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))數(shù)乘當λ>0時，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))；當λ<0時，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))；當λ＝0時，λa＝0運算律交換律：a＋b＝b＋a；結(jié)合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.2．共線向量定理(1)共線向量定理對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使a＝λb.(2)共線向量定理的用途：①判定兩條直線平行；②證明三點共線.【知識點3空間向量的數(shù)量積】1．空間向量的夾角(1)定義：已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB叫做向量a，b的夾角，記作〈a，b〉．(2)范圍：0≤〈a，b〉≤π.特別地，當〈a，b〉＝eq\f(π,2)時，a⊥b.2．空間向量的數(shù)量積定義已知兩個非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積都為0.性質(zhì)①a⊥b?a·b＝0②a·a＝a2＝|a|2運算律①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R.②a·b＝b·a(交換律)．③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).3．空間向量夾角的計算求兩個向量的夾角：利用公式＝求，進而確定．4．空間向量數(shù)量積的計算求空間向量數(shù)量積的步驟：(1)將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式．(2)利用向量的運算律將數(shù)量積展開，轉(zhuǎn)化為已知模和夾角的向量的數(shù)量積．(3)代入求解．【知識點4空間向量基本定理及其應(yīng)用】1．空間向量基本定理如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.我們把{a，b，c}叫做空間的一個基底，a，b，c都叫做基向量．2．用基底表示向量的步驟:(1)定基底：根據(jù)已知條件，確定三個不共面的向量構(gòu)成空間的一個基底．(2)找目標：用確定的基底(或已知基底)表示目標向量，需要根據(jù)三角形法則及平行四邊形法則，結(jié)合相等向量的代換、向量的運算進行變形、化簡，最后求出結(jié)果．(3)下結(jié)論：利用空間的一個基底{，，}可以表示出空間所有向量．表示要徹底，結(jié)果中只能含有，，，不能含有其他形式的向量．3．證明平行、共線、共面問題(1)對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使a＝λb.(2)如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb.4．求夾角、證明垂直問題(1)θ為a，b的夾角，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).(2)若a，b是非零向量，則a⊥b?a·b＝0.5．求距離(長度)問題eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\r(a·a)(eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\r(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→))))．6．利用空間向量基本定理解決幾何問題的思路:(1)平行和點共線都可以轉(zhuǎn)化為向量共線問題；點線共面可以轉(zhuǎn)化為向量共面問題；(2)幾何中的求夾角、證明垂直都可以轉(zhuǎn)化為向量的夾角問題，解題中要注意角的范圍；(3)幾何中求距離(長度)都可以轉(zhuǎn)化為向量的模，用向量的數(shù)量積可以求得．【知識點5空間向量的坐標運算】1．空間向量的坐標在空間直角坐標系Oxyz中，給定向量a，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a.由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫做a在空間直角坐標系O-xyz中的坐標，上式可簡記作a＝(x，y，z)．2．空間向量的坐標運算設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有向量運算向量表示坐標表示加法a＋ba＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)減法a－ba－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)數(shù)乘λaλa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R數(shù)量積a·ba·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3【方法技巧與總結(jié)】1．三點共線：在平面中A,B,C三點共線(其中x+y=1)，O為平面內(nèi)任意一點.2．四點共面：在空間中P,A,B,C四點共面(其中x+y+z=1)，O為空間中任意一點.【題型1空間向量的線性運算】【例1】（2024·山東棗莊·模擬預(yù)測）如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，化簡AB?AD+CC1A．BD1 B．DB1 C．【變式1-1】（2024·上海·模擬預(yù)測）設(shè)A、B、C、D為空間中的四個點，則“AD=AB+AC”是“A、B、C、A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分也非必要條件【變式1-2】（23-24高二上·云南昆明·期末）已知四面體ABCD中，G是BD的中點，則CA+12A．AG B．CG C．BG D．CB【變式1-3】（23-24高二下·江蘇徐州·期中）在四棱柱ABCD?A1B1C1DA．AM=13C．AQ=14【題型2空間共線向量定理的應(yīng)用】【例2】（2024·貴州六盤水·模擬預(yù)測）已知e1，e2，e3不共面，若AB=e1+e2A．0 B．1 C．2 D．3【變式2-1】（23-24高二上·北京·期中）已知MA,MB是空間兩個不共線的向量，MC=5A．MA,MC共線 B．C．MA,MB,MC共面【變式2-2】（23-24高二上·安徽·期末）在空間直角坐標系中，已知點A0,0,1，B1,2,3，Cm,n,2，若向量AB與向量BC共線，則mA．0 B．12 C．1 D．【變式2-3】（23-24高二上·遼寧大連·期末）在四面體ABCD中，E為AD的中點，G為平面BCD的重心．若AG與平面BCE交于點F，則AFAG=（A．12 B．23 C．34【題型3空間向量數(shù)量積及其應(yīng)用】【例3】（2023·江蘇淮安·模擬預(yù)測）在四面體ABCD中，AB=3，BC=4，CD=5，DA=6，則AC?BD的值為（A．7 B．9 C．11 D．13【變式3-1】（2024·江西贛州·二模）已知球O內(nèi)切于正四棱錐P?ABCD，PA=AB=2，EF是球O的一條直徑，點Q為正四棱錐表面上的點，則QE?QF的取值范圍為（A．[0,2] B．[4?23,2] C．[0,4?3【變式3-2】（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）已知圓錐MO的底面半徑為3，高為1，其中O為底面圓心，AB是底面圓的一條直徑，若點P在圓錐MO的側(cè)面上運動，則PA?PB的最小值為（A．?94 B．?32 C．【變式3-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知圓錐SO的底面半徑為2，點P為底面圓周上任意一點，點Q為側(cè)面（異于頂點和底面圓周）上任意一點，則OP?OQ的取值范圍為（A．?4,4 B．?4,4 C．?2,2 D．?2,2【題型4空間向量基本定理及其應(yīng)用】【例4】（2023·福建福州·三模）在三棱錐P-ABC中，點O為△ABC的重心，點D，E，F(xiàn)分別為側(cè)棱PA，PB，PC的中點，若a=AF，b=CE，c=A．13a+13b+13【變式4-1】（23-24高二下·四川成都·期末）已知在四面體O?ABC中，a=OA,b=OB,c=A．3 B．34 C．12 【變式4-2】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）如圖，在所有棱長均為1的平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，M為A1

A．54 B．34 C．52【變式4-3】（23-24高二上·湖北·開學考試）在四面體ABCD中（如圖），平面ABD⊥平面ACD，△ABD是等邊三角形，AD=CD，AD⊥CD，M為AB的中點，N在側(cè)面BCD上（包含邊界），若MN=xAB+yAC+z

A．若x=12，則MN∥平面ACD B．若z=0C．當MN最小時，x=14 D．當MN【題型5證明三點共線、四點共面】【例5】（23-24高三上·四川成都·開學考試）在四棱柱ABCD?A1B1C

(1)當k=34時，試用AB,(2)證明：E,F,G,H四點共面；【變式5-1】（2024高二上·全國·專題練習）已知O,A,B,C,D,E,F,G,H為空間9個點(如圖)，并且OE=kOA,OF=kOB，(1)A,B,C,D四點共面；(2)AC//(3)OG=k【變式5-2】（23-24高二上·上?！ふn后作業(yè)）四棱柱ABCD?A′B′C′D′的六個面都是平行四邊形，點M在對角線A′(1)設(shè)向量AB=a，AD=b，AA′=c，用a、(2)求證：M、N、D′【變式5-3】（23-24高二下·江蘇連云港·階段練習）已知a，b，c是空間中不共面的向量，若AB=2a?b+(1)若B,C,D三點共線，求m,n的值；(2)若A,B,C,D四點共面，求mn的最大值．【題型6空間向量的坐標運算】【例6】（2024·河南·模擬預(yù)測）已知空間向量a=1,2,0,b=(0,?1,1),c=(2,3,m)A．1 B．2 C．3 D．4【變式6-1】（2023·西藏日喀則·一模）已知向量a→=(?2,1,3)，b→=(?1,1,x)，若a與bA．2 B．52 C．213 【變式6-2】（2024·四川內(nèi)江·模擬預(yù)測）已知a=(2,?2,?3)，b=(2,0,4)，則cos?A．48585 B．?485【變式6-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)A,B,C三點在棱長為2的正方體的表面上，則AB?AC的最小值為（A．?94 B．?2 C．?3一、單選題1．（2024·河北·模擬預(yù)測）如圖，在四面體ABCD中，G為△ACD的重心，若BG=xAB+yAC+zA．?13 B．13 C．?2．（2024·浙江嘉興·模擬預(yù)測）設(shè)x，y∈R,a=1,1,1,b=1,y,zA．22 B．0 C．3 D．3．（24-25高二上·上海·課后作業(yè)）設(shè)e1，e2是空間兩個不共線的非零向量，已知AB=2e1+ke2，BC=e1+3eA．-8 B．-4 C．-2 D．84．（2024·湖南長沙·一模）在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，已知AB=4，AD=3，AAA．10.5 B．12.5C．22.5 D．42.55．（2024·全國·模擬預(yù)測）在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，已知AP=AB+A．1 B．2 C．322 6．（2024·山東日照·二模）已知棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1，以正方體中心為球心的球O與正方體的各條棱相切，若點A．2 B．74 C．34 7．（2023·河南·模擬預(yù)測）如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD，側(cè)面A1ADD1都是正方形，且二面角A1?AD?B的大小為

A．3 B．5 C．7 D．38．（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測）《九章算術(shù)》中將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”，現(xiàn)有一陽馬P?ABCD，PA⊥面ABCD，PA=AB=AD=2，M為底面ABCD及其內(nèi)部的一個動點且滿足PM=5，則PM?BMA．[1?22,1+22] B．[?1,2] C．二、多選題9．（23-24高二下·全國·課后作業(yè)）如圖所示，在正方體ABCD?A1BA．AB+BC+CCC．AB+BB1+10．（2024·山東淄博·二模）如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，以頂點A為端點的三條棱長都是1，且它們彼此的夾角都是π3，M為A1C1與B1D1的交點．若AB=a，ADA．CM=?12C．BD1=11．（2024