專題7.3 空間直線、平面的平行（舉一反三）（新高考專用）（學(xué)生版） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

專題7.3空間直線、平面的平行【八大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1證明線線平行】 4【題型2線面平行的判定】 5【題型3由線面平行的性質(zhì)判定線線平行】 7【題型4由線面平行的性質(zhì)判斷線段比例或點(diǎn)所在的位置】 9【題型5由線面平行求線段長(zhǎng)度】 11【題型6面面平行的判定】 12【題型7面面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用】 14【題型8平行關(guān)系的綜合應(yīng)用】 161、空間直線、平面的平行考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析(1)理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系，并加以證明(2)掌握直線與平面、平面

與平面平行的判定與性質(zhì)，并會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用2022年全國(guó)乙卷（文數(shù)）：第9題，5分2022年全國(guó)甲卷（文數(shù)）：第19題，12分2023年新高考I卷：第18題，12分2024年新高考I卷：第17題，15分2024年北京卷：第17題，12分空間直線、平面的平行是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，屬于高考的?？純?nèi)容之一.從近幾年的高考情況來(lái)看，主要分兩方面進(jìn)行考查，一是空間中線面平行關(guān)系的命題的真假判斷，常以選擇題、填空題的形式考查，難度較易；二是空間線線、線面、面面平行的證明，一般以解答題的第一小問(wèn)的形式考查，難度中等；解題時(shí)要靈活運(yùn)用直線、平面的平行的判定與性質(zhì).【知識(shí)點(diǎn)1線面平行、面面平行的判定定理和性質(zhì)定理】1．線面平行的判定定理和性質(zhì)定理(1)判定定理①自然語(yǔ)言如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行.②圖形語(yǔ)言③符號(hào)語(yǔ)言.該定理可簡(jiǎn)記為“若線線平行，則線面平行”.(2)性質(zhì)定理①自然語(yǔ)言一條直線與一個(gè)平面平行，如果過(guò)該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行.②圖形語(yǔ)言③符號(hào)語(yǔ)言.該定理可簡(jiǎn)記為“若線面平行，則線線平行”.(3)性質(zhì)定理的作用①作為證明線線平行的依據(jù).當(dāng)證明線線平行時(shí)，可以證明其中一條直線平行于一個(gè)平面，另一條直線是過(guò)第一條直線的平面與已知平面的交線，從而得到兩條直線平行.

②作為畫一條與已知直線平行的直線的依據(jù).如果一條直線平行于一個(gè)平面，要在平面內(nèi)畫一條直線與已知直線平行，可以過(guò)已知直線作一個(gè)平面與已知平面相交，交線就是所要畫的直線.2．面面平行的判定定理和性質(zhì)定理(1)判定定理①自然語(yǔ)言如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行.②圖形語(yǔ)言③符號(hào)語(yǔ)售.該定理可簡(jiǎn)記為“若線面平行，則面面平行”.(2)判定定理的推論①自然語(yǔ)言如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線，那么這兩個(gè)平面平行.②圖形語(yǔ)言③符號(hào)語(yǔ)言.(3)性質(zhì)定理①自然語(yǔ)言兩個(gè)平面平行，如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，那么兩條交線平行.②圖形語(yǔ)言③符號(hào)語(yǔ)言.該定理可簡(jiǎn)記為“若面面平行，則線線平行”.(4)兩個(gè)平面平行的其他性質(zhì)①兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都平行于另一個(gè)平面.

②平行直線被兩個(gè)平行平面所截的線段長(zhǎng)度相等.

③經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行.

④兩條直線同時(shí)被三個(gè)平行平面所截，截得的線段對(duì)應(yīng)成比例.

⑤如果兩個(gè)平面分別平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面互相平行.【知識(shí)點(diǎn)2空間中的平行關(guān)系的判定方法】1．線線平行的證明方法(1)定義法：即證明兩條直線在同一個(gè)平面內(nèi)且兩直線沒(méi)有公共點(diǎn)；(2)利用平面圖形的有關(guān)平行的性質(zhì)，如三角形中位線，梯形，平行四邊形等關(guān)于平行的性質(zhì)；(3)利用基本事實(shí)4：找到一條直線，使所證的直線都與這條直線平行；(4)利用線面平行與面面平行的性質(zhì)定理來(lái)判定線線平行.2．線面平行的判定方法(1)利用線面平行的定義：直線與平面沒(méi)有公共點(diǎn)；(2)利用線面平行的判定定理：如果平面外有一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行(簡(jiǎn)記為“線線平行—線面平行”)；(3)利用面面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面平行，那么在一個(gè)平面內(nèi)所有直線都平行于另一個(gè)平面。(簡(jiǎn)記為“面面平行—線面平行”).3．面面平行的判定方法(1)面面平行的定義：兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)，常與反證法結(jié)合(不常用)；(2)面面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行(主要方法).(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行(選擇、填空題可用)；(4)平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行(選擇、填空題可用).【方法技巧與總結(jié)】1．垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α//β.2．平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行，即若α//β，β//γ，則α//γ.3．垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行，即若a⊥α，b⊥α，則a//b.4．若α//β，aα，則a//β.【題型1證明線線平行】【例1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）（19-20高一·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，E，F(xiàn)分別是AB，AC上的點(diǎn)，且AE:EB=AF:FC，則EF與B1C1的位置關(guān)系是（

）A．異面 B．平行 C．相交 D．平行或相交【變式1-1】（23-24高一下·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖所示，在長(zhǎng)方體AC1中，E，F(xiàn)分別是B1O和C1O的中點(diǎn)，則長(zhǎng)方體的各棱中與EF平行的有（

）A．3條 B．4條C．5條 D．6條【變式1-2】（23-24高一·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，空間四邊形ABCD，E、H分別是AB、AD的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是BC、CD上的點(diǎn)，且CFCB=CGCD，求證：直線【變式1-3】（23-24高二上·云南大理·期末）如圖，在棱長(zhǎng)為3的正方體ABCD?A1B1C(1)證明：AD(2)求三棱錐A?B【題型2線面平行的判定】【例2】（2024·陜西渭南·三模）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PA⊥平面ABCD，4PA=4AB=3AD=12，BA?AD=0，且M，N分別為PD(1)求證：MN//平面PBC(2)求三棱錐M?ACD的體積．【變式2-1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，四邊形ABCD為梯形，AB∥CD，AB=6，AD=CD=DD1=2(1)求證：C1E∥(2)求三棱錐C1【變式2-2】（2024·寧夏石嘴山·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正方體A1B1C1(1)求證：A1C1(2)若BD1=6，求點(diǎn)B【變式2-3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱錐A?BCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在棱AC，BC，BD，AD上．(1)若四邊形EFGH為平行四邊形，證明：AB∥平面EFGH(2)若E，F(xiàn)，G，H均為所在棱的中點(diǎn)，三棱錐A?BCD的體積為V，多面體CDGFEH的體積為V1，求V【題型3由線面平行的性質(zhì)判定線線平行】【例3】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，且M,N分別為棱AB,PC的中點(diǎn)，平面CMN與平面PAD交于直線l.求證：MN//

【變式3-1】（23-24高一下·吉林·期中）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是正方形，點(diǎn)I在棱PA上（不與端點(diǎn)重合），E，F(xiàn)分別是PD，AC的中點(diǎn).(1)證明：EF//平面PBC.(2)若平面PAB∩平面EFI=l，證明：EF//l.【變式3-2】（24-25高二·上海·假期作業(yè)）圖1是由正方形ABCD,Rt△ABE,Rt△CDF組成的一個(gè)等腰梯形，其中AB=2，將△ABE、△CDF分別沿AB,CD折起使得E與F重合，如圖2．設(shè)平面ABE∩平面【變式3-3】（23-24高一下·四川眉山·期中）如圖，已知四棱錐S?ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，E為側(cè)棱SC的中點(diǎn).(1)求證：SA//平面EDB(2)設(shè)平面SAB∩平面SCD=l，求證：AB//【題型4由線面平行的性質(zhì)判斷線段比例或點(diǎn)所在的位置】【例4】（23-24高一下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，E為線段AD上靠近A的三等分點(diǎn)，F(xiàn)為線段PC上一點(diǎn)，當(dāng)PA//平面EBF時(shí)，PFPC=（A．3 B．4 C．13 D．【變式4-1】（23-24高一·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，已知四棱錐P?ABCD的底面是平行四邊形，AC交BD于點(diǎn)O，E為AD中點(diǎn)，F(xiàn)在PA上，AP=λAF，PC//平面BEF，則λ的值為（

A．1 B．32 C．2 D．3【變式4-2】（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）如圖，PA⊥面ABCD，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的為正方形,點(diǎn)E在線段PC上，PEEC（1）若PA//平面EBD時(shí)，求m值；（2）若PC⊥面EBD，棱錐E?BCD體積取得最大值，求四棱錐P?ABCD的高.【變式4-3】（23-24高二上·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）如圖所示，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面PAD為正三角形，M為線段PD上一點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn).(1)當(dāng)M為PD的中點(diǎn)時(shí)，求證：MN//平面PAB.(2)當(dāng)PB//平面AMN，求出點(diǎn)M的位置，說(shuō)明理由.【題型5由線面平行求線段長(zhǎng)度】【例5】（23-24高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知正方體AC1的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)P是平面AA1D1D的中心，點(diǎn)Q是平面A1B1CA．12 B．22 C．2 【變式5-1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知直三棱柱ABC?A1B1C1的側(cè)棱和底面邊長(zhǎng)均為1，M，N分別是棱BC，A1B1上的點(diǎn)，且A．34 B．23 C．12【變式5-2】（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）正三棱錐P?ABC的各棱長(zhǎng)均為2，D為BC的中點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，E為PC上一點(diǎn)，且PE=13PC，平面DEM交AP于點(diǎn)Q，則截面

A．346 B．3412 C．516【變式5-3】（23-24高一上·江西景德鎮(zhèn)·期末）在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱C1D1，B1C1的中點(diǎn)，P是上底面A1B1C1D1內(nèi)一點(diǎn)，若AP∥平面BDEF，則線段AP長(zhǎng)度的取值范圍是（

）A．[322，5] B．[5，22] C．[324，6] 【題型6面面平行的判定】【例6】（23-24高一下·青海西寧·期末）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，(1)F,G,H,B四點(diǎn)共面；(2)平面EFG∥平面BDD【變式6-1】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在圓錐PO中，P為圓錐的頂點(diǎn)，O是圓錐底面的圓心，四邊形ABCD是底面的內(nèi)接正方形，E,F分別為PD,PA的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E,F,O的平面為α.(1)證明：平面α∥平面PBC；(2)若圓錐的底面圓半徑為2，高為3，設(shè)點(diǎn)M在線段EF上運(yùn)動(dòng)，求三棱錐P?MBC的體積.【變式6-2】（23-24高一下·陜西咸陽(yáng)·期中）如圖，在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面(1)求三棱錐A?BDE的體積．(2)在DD1上是否存在一點(diǎn)P，使得平面PA1C【變式6-3】（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，四邊形ABCD是正方形，E，F(xiàn)，(1)證明：平面A1EF//平面(2)若點(diǎn)A1在底面ABCD的投影是四邊形ABCD的中心，A1A=2AB=4【題型7面面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用】【例7】（23-24高一下·廣東佛山·階段練習(xí)）如圖，在六面體ABCDEF中，DE//CF，四邊形ABCD是平行四邊形，DE=2CF．(1)證明：平面ADE//平面BCF．(2)若G是棱BC的中點(diǎn)，證明：AE//FG．【變式7-1】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在四棱錐P?ABCD中，PC⊥平面ABCD,∠ABC=∠BCD=90°,AB=3CD，點(diǎn)M在線段PB上，且PB=3PM.求證：CM∥【變式7-2】（23-24高一下·海南?？凇るA段練習(xí)）如圖，已知四棱錐S?ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，E為側(cè)棱SC的中點(diǎn).(1)求證：SA∥平面EDB；(2)若F為側(cè)棱AB的中點(diǎn)，求證：EF∥平面SAD.【變式7-3】（23-24高一下·重慶·期中）如圖，四棱錐P?ABCD的底面ABCD為平行四邊形，E，F(xiàn)分別為棱AB，PC上的點(diǎn)，且AE=2EB，F(xiàn)C=2PF.(1)求證：BF//平面PDE(2)在棱AD上是否存在點(diǎn)G，使得PG//平面BDF？若存在求出AG【題型8平行關(guān)系的綜合應(yīng)用】【例8】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖所示，已知四棱柱ABCD?A1B（1）證明：平面AB1C//（2）在直線CC1上是否存在點(diǎn)P，使BP//平面A1【變式8-1】（23-24高一下·河北張家口·階段練習(xí)）在正方體ABCD?A1B1C1D1中，O是

(1)求證：MN//平面AC(2)若P是C1D1的中點(diǎn)，求證：平面MNP【變式8-2】（23-24高一下·重慶·期中）如圖，在四棱錐P?ABCD中，BC=BD=DC=23，AD=AB=PD=PB=2(1)若點(diǎn)E為PC的中點(diǎn)，M為DC的中點(diǎn)，求證：平面BEM//平面PAD.(2)在棱PD上是否存在一點(diǎn)F，使得AF//平面PBC？若存在，請(qǐng)求出PFFD【變式8-3】（23-24高一下·海南?？凇て谥校┤鐖D，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為正方形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AD，PC的中點(diǎn)，設(shè)平面PCD∩平面PBE=l.(1)證明：DF//平面PBE；(2)證明：DF//l；(3)在棱AB上是否存在點(diǎn)N，使得EN//平面FBD？若存在，求出ANNB一、單選題1．（23-24高二下·湖南·階段練習(xí)）已知三條不同的直線l，m，n，且l∥m，則“m∥n”是“l(fā)∥n”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2024·內(nèi)蒙古·三模）設(shè)α，β是兩個(gè)不同的平面，m，l是兩條不同的直線，且α∩β=l則“m//l”是“m//β且m//α”的（

）A．充分不必要條件 B．充分必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件3．（2024·河北唐山·二模）已知m為平面α外的一條直線，則下列命題中正確的是（

）A．存在直線n，使得n⊥m，n⊥α B．存在直線n，使得n⊥m，n//αC．存在直線n，使得n//m，n//α D．存在直線n，使得n//m，n⊥α4．（2023·廣西·模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐D?ABC中，M,N分別是△ACD、△BCD的重心，以下與直線MN平行的是（

）A．直線CD B．平面ABD C．平面ACD D．平面BCD5．（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，點(diǎn)D，E分別在棱AA1,CC1上，AB=AC=AD=2A1A．23 B．12 C．136．（2024·四川樂(lè)山·三模）在三棱柱ABC?A1B1C1中，點(diǎn)D在棱BB1上，且BB1=3BD，點(diǎn)M在棱A1C1上，且M為A1A．2 B．3 C．4 D．57．（23-24高一下·海南·期末）如圖所示是一個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖，在這個(gè)正方體中以下四個(gè)命題中，真命題的序號(hào)是（

）①BM//平面ADE；②CN//平面ABF；③平面BDM//平面AFN；④平面BDE//平面NCF.A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④8．（23-24高二下·四川成都·期末）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，已知E，F(xiàn)，G，H，分別是A1

A．C，G，A1，F(xiàn)四點(diǎn)共面 B．直線EF//C．平面HCG//平面BDD1B1 D．直線二、多選題9．（2024高一下·全國(guó)·專題練習(xí)）已知a，b是不同的直線，α是平面，下列命題錯(cuò)誤的是（

）A．a(chǎn)//b，b?α?a//α B．a(chǎn)//αC．a(chǎn)//α，a//b?b//α D．a(chǎn)?α10．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知三棱柱ABC?A1B1C1中，A．BC1//平面A1DCC．A1D//平面B1EC11．（2024·福建·模擬預(yù)測(cè)）已知正方體ABCD?A1B1C1DA．當(dāng)EF//AD1時(shí)，直線B．當(dāng)A1F//CE時(shí)，直線C．當(dāng)C1E//平面ADF時(shí)，直線D．當(dāng)平面AED1//平面A三、填空題12．（23-24高二·全國(guó)·課后作業(yè)）若直線a∥b，c，d為不重合