專題3.1 導數(shù)的概念及其意義、導數(shù)的運算（舉一反三）（新高考專用）（學生版） 2025年高考數(shù)學一輪復習專練（新高考專用）

專題3.1導數(shù)的概念及其意義、導數(shù)的運算【九大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1導數(shù)的定義及其應用】 2【題型2（復合）函數(shù)的運算】 3【題型3求曲線切線的斜率（傾斜角）】 3【題型4求在曲線上一點的切線方程、過一點的切線方程】 4【題型5與切線有關的參數(shù)問題】 4【題型6切線的條數(shù)問題】 5【題型7兩條切線平行、垂直問題】 5【題型8公切線問題】 6【題型9與切線有關的最值問題】 61、導數(shù)的概念及其意義、導數(shù)的運算考點要求真題統(tǒng)計考情分析(1)了解導數(shù)的概念、掌握基本初等函數(shù)的導數(shù)

(2)通過函數(shù)圖象，理解導數(shù)的幾何意義

(3)能夠用導數(shù)公式和導數(shù)的運算法則求簡單函數(shù)的導數(shù)，能求簡單的復合函數(shù)的導數(shù)2022年新課標I卷：第15題，5分2023年全國甲卷（文數(shù)）：第8題，5分2024年新課標I卷：第13題，5分2024年全國甲卷（文數(shù)）：第7題，5分2024年全國甲卷（理數(shù)）：第6題，5分導數(shù)是高考數(shù)學的必考內(nèi)容，導數(shù)的概念及其意義、導數(shù)的運算是高考?？嫉臒狳c內(nèi)容，從近三年的高考情況來看，主要涉及導數(shù)的運算及幾何意義，一般以選擇題、填空題的形式考察導數(shù)的幾何意義、求曲線的切線方程，導數(shù)的幾何意義也可能會作為解答題中的一問進行考查，試題難度屬中低檔.【知識點1導數(shù)的運算的方法技巧】1.導數(shù)的運算的方法技巧(1)求函數(shù)的導數(shù)要準確地把函數(shù)拆分成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運算法則求導.(2)抽象函數(shù)求導，恰當賦值是關鍵，然后活用方程思想求解.(3)復合函數(shù)求導，應由外到內(nèi)逐層求導，必要時要進行換元.【知識點2復合函數(shù)的導數(shù)】1.復合函數(shù)的定義

一般地，對于兩個函數(shù)y=f(u)和u=g(x)，如果通過變量u,y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這個函數(shù)為函數(shù)y=f(u)和u=g(x)的復合函數(shù)，記作y=f(g(x)).2.復合函數(shù)的求導法則

復合函數(shù)y=f(g(x))的導數(shù)和函數(shù)y=f(u),u=g(x)的導數(shù)間的關系為=，即y對x的導數(shù)等于y對u的導數(shù)與u對x的導數(shù)的乘積.3.求復合函數(shù)導數(shù)的步驟第一步：分層：選擇中間變量，寫出構(gòu)成它的內(nèi)、外層函數(shù)；第二步：分別求導：分別求各層函數(shù)對相應變量的導數(shù)；第三步：相乘：把上述求導的結(jié)果相乘；第四步：變量回代：把中間變量代回.【知識點3切線問題的解題策略】1.求曲線“在”某點的切線方程的解題策略：(1)求出函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導數(shù)，即曲線y=f(x)在點(x0,f(x0))處切線的斜率；(2)在已知切點坐標和切線斜率的條件下，求得切線方程為y=y0+f'(x0)(x-x0).2.求曲線“過”某點的切線方程的解題通法：(1)設出切點坐標T(x0,f(x0))(不出現(xiàn)y0)；(2)利用切點坐標寫出切線方程：y=f(x0)+f'(x0)(x-x0)；(3)將已知條件代入②中的切線方程求解.3.與切線有關的參數(shù)問題的解題策略：(1)處理與切線有關的參數(shù)問題，通常利用曲線、切線、切點的三個關系列出參數(shù)的方程(組)并解出參數(shù)：①切點處的導數(shù)是切線的斜率；②切點在切線上，故滿足切線方程；③切點在曲線上，故滿足曲線方程.(2)利用導數(shù)的幾何意義求參數(shù)問題時，注意利用數(shù)形結(jié)合，化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法.4.公切線問題的解題思路求兩條曲線的公切線，如果同時考慮兩條曲線與直線相切，頭緒會比較亂，為了使思路更清晰，一般是把兩條曲線分開考慮，先分析其中一條曲線與直線相切，再分析另一條曲線與直線相切，直線與拋物線相切可用判別式法.【題型1導數(shù)的定義及其應用】【例1】（2024·重慶·模擬預測）limΔx→02+Δx3?23Δx=（

A．72 B．12 C．8 D．4【變式1-1】（2024·江西宜春·模擬預測）已知函數(shù)fx在x0處的導數(shù)為f′x0，則A．mf′x0 B．?mf′x0 C．【變式1-2】（23-24高二下·江西贛州·期中）設fx存在導函數(shù)且滿足limΔx→0f1?f1?2A．?1 B．?2 C．1 D．2【變式1-3】（2024·重慶沙坪壩·模擬預測）若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(0)=?1，其導函數(shù)f′(x)滿足f′(x)>k>1，則f1A．f1k?1≥C．f1k?1>【題型2（復合）函數(shù)的運算】【例2】（2024·山西晉中·模擬預測）已知函數(shù)fx=2xx?2x?2A．220 B．221 C．222【變式2-1】（2024·山東·二模）已知fx為定義在R上的奇函數(shù)，設f′x為fx的導函數(shù)，若fxA．1 B．?2023 C．2 D．2023【變式2-2】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）設fx=sinx，f1則i=12024fiA．0 B．32 C．3?12【變式2-3】（2024·新疆喀什·二模）已知函數(shù)fx,gx的定義域均為R,g′x為gx的導函數(shù)，且fx+g′A．2 B．1 C．0 D．-1【題型3求曲線切線的斜率（傾斜角）】【例3】（2024·福建廈門·一模）已知直線l與曲線y=x3?x在原點處相切，則lA．π6 B．π4 C．3π【變式3-1】（2024·河北唐山·模擬預測）已知曲線fx=2xcosx在x=0處的切線為A．ln2 B．?ln2 C．1【變式3-2】（2024·新疆阿克蘇·一模）若直線y=kx+n與曲線y=lnx+1x相切，則A．?∞,14 B．4,+∞ 【變式3-3】（2024·貴州·模擬預測）設點P是函數(shù)fx=x3?12f′A．0,3π4 B．0,π2∪【題型4求在曲線上一點的切線方程、過一點的切線方程】【例4】（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)fx=x3?f′A．e2?12e B．3e2【變式4-1】（2024·河南洛陽·模擬預測）曲線y=xex+2x?2在x=0A．3x+y+2=0 B．2x+y+2=0C．2x?y?2=0 D．3x?y?2=0【變式4-2】（2024·全國·模擬預測）過原點可以作曲線y=fx=xA．y=x和y=?x B．y=?3x和y=3xC．y=x和y=?3x D．y=?x和y=3x【變式4-3】（2024·北京東城·一模）過坐標原點作曲線y=ex?2+1A．y=x B．y=2x C．y=1e2【題型5與切線有關的參數(shù)問題】【例5】（2024·廣西貴港·三模）已知曲線y=axex+lnx在點1,aA．a(chǎn)=e，b=?2 B．a(chǎn)=eC．a(chǎn)=e?1，b=?2 D．a(chǎn)=【變式5-1】（2024·河南鄭州·二模）已知曲線y=xlnx+ae?x在點x=1處的切線方程為2x?y+b=0，則A．－1 B．－2 C．－3 D．0【變式5-2】（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)fx=ax2+blnx的圖象在點1,fA．1 B．2 C．3 D．4【變式5-3】（2024·全國·模擬預測）已知曲線fx=ex在點P0,f0處的切線也是曲線A．e3 B．e2 C．e2【題型6切線的條數(shù)問題】【例6】（2024·全國·模擬預測）若曲線y=1?xex有兩條過點Aa,0的切線，則A．?∞,?1∪C．?∞,?3 【變式6-1】（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)fx=?x3+3x，則過點?3,?9A．0 B．1 C．2 D．3【變式6-2】（2021·全國·高考真題）若過點a,b可以作曲線y=ex的兩條切線，則（A．eb<a C．0<a<eb 【變式6-3】（2024·全國·模擬預測）若過點P(m,0)與曲線f(x)=x+1ex相切的直線只有2條，則mA．(?∞,+∞C．(?1,3) D．(?【題型7兩條切線平行、垂直問題】【例7】（2024·四川遂寧·模擬預測）與曲線f(x)=12x2+x+14b?12和A．-8 B．-3 C．4 D．6【變式7-1】（2024·安徽六安·三模）若函數(shù)f(x)=lnx+x與g(x)=2x?mx?1的圖象有一條公共切線，且該公共切線與直線y=2x+1平行，則實數(shù)m=（A．178 B．176 C．174【變式7-2】（2024·浙江杭州·模擬預測）函數(shù)fx=ax+sinx的圖象上存在兩條相互垂直的切線，則實數(shù)A．0,1 B．0 C．0,1 D．1,+∞【變式7-3】（2024·四川成都·一模）已知定義在R上的函數(shù)f(x)的圖像關于直線x=a(a＞0)對稱，且當x≥a時，f(x)=exe2a，過點P(a,0)作曲線y=f(x)的兩條切線,若這兩條切線互相垂直,則該函數(shù)f(x)的最小值為A．e?12 B．e?1 C．【題型8公切線問題】【例8】（2024·福建·模擬預測）已知直線y=kx+b既是曲線y=lnx的切線，也是曲線A．k=1e，b=0 B．k=1C．k=1e，b=?1 D．k=1【變式8-1】（2024·遼寧大連·一模）斜率為1的直線l與曲線y=ln(x+a)和圓x2+yA．0或2 B．?2或0 C．－1或0 D．0或【變式8-2】（2024·江蘇南通·模擬預測）若曲線f(x)=ax(a>1)與曲線g(x)=logaA．e B．e2 C．e1e【變式8-3】（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)fx=lnx與gx的圖象關于直線y=x對稱，直線l與gA．π6 B．π4 C．π3【題型9與切線有關的最值問題】【例9】（2024·四川綿陽·模擬預測）已知函數(shù)fx=1+2tanωx2?tan2ωx21+tanA．2 B．32 C．1 D．【變式9-1】（23-24高三上·安徽·階段練習）已知函數(shù)f(x)=aex與g(x)=lnx+1存在公切線，則實數(shù)A．2e B．1e C．12e【變式9-2】（2024·全國·模擬預測）在平面直角坐標系xOy中，設曲線y=x+aexa>1在x=0處的切線為l，則A．1 B．32 C．2 D．【變式9-3】（2024·浙江·模擬預測）已知直線y=ax+b與曲線y=lnex相切，則a+bA．12 B．1 C．2 D．一、單選題1．（2024·湖北襄陽·二模）已知函數(shù)f(x)=x2+1xA．1 B．12 C．2 2．（23-24高二下·山東·階段練習）若limΔx→0f(?2+Δx)?f(?2?A．1 B．-1 C．2 D．-23．（2024·福建漳州·三模）已知函數(shù)fx=lnx+x,gx是函數(shù)fA．1 B．2 C．3 D．44．（2024·上海閔行·二模）某環(huán)保部門要求相關企業(yè)加強污水治理，排放未達標的企業(yè)要限期整改、設企業(yè)的污水排放量W與時間t的關系為W=ft，用?fb?fab?a

A．在t1B．在t2C．在t3D．甲企業(yè)在0,t1，t1,t5．（2024·河南·模擬預測）曲線y=x33?2在點A．3x+3y+4=0 B．3x+3y?4=0 C．3x?3y+4=0 D．3x?3y?4=06．（2024·山西·模擬預測）已知函數(shù)fx=a?3x3+a?2x2+a?1x+a若對任意A．0 B．1 C．2 D．37．（2024·全國·模擬預測）若過點m,n可作函數(shù)y=2x+1xx>0A．0<2m+1m<nC．2m<n<2m+1m 8．（2024·遼寧遼陽·二模）若對函數(shù)fx=2x?sinx的圖象上任意一點處的切線l1，函數(shù)gx=mexA．?e2,0C．?1,0 D．0,1二、多選題9．（2024·湖南·二模）下列函數(shù)的圖象與直線y=x+1相切的有（

）A．y=ex C．y=sinx+1 10．（2024·山東泰安·模擬預測）已知函數(shù)fx，gx的定義域為R，g′x為gx的導函數(shù)，且fx+A．f4=3 C．f1+f311．（2024·江蘇南通·模擬預測）過平面內(nèi)一點P作曲線y=lnx兩條互相垂直的切線l1、l2，切點為P1、P2(P1、P2不重合)，設直線l1A．P1、P2兩點的縱坐標之積為定值 B．直線C．線段AB的長度為定值 D．△ABP面積的取值范圍為0,1三、填空題12．（2024·西藏林芝·模擬預測）已知函數(shù)fx=lnx+ax，若13．（2024·云南楚雄·模擬預測）曲線f(x)=x3?.14．（2024·四川成都·模擬預測）已知函數(shù)y=x的圖象與函數(shù)y=ax（a>0且a≠1四、解答題15．（23-24高二下·北京延慶·期末）求下列函數(shù)的導函數(shù).(1)f(x)=x(2)f(x)=log(3)f(x)=sin(4)f(x)=ln16．（23-24高二·全國·隨堂練習）（1）已知f(x+?)?f(x)=2?x+5?+?2，用割線逼近切線的方法求（2）已知g