2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)：直線與圓的位置關(guān)系的實(shí)際應(yīng)用

2.5.1直線與圓的位置關(guān)系的實(shí)際應(yīng)用（第2課時(shí)）第2章直線和圓的方程人教A版2019選修第一冊(cè)01直線與圓的方程在實(shí)際生活中的應(yīng)用02與圓有關(guān)的最值問題03過直線與圓的交點(diǎn)的圓系方程目錄“海上生明月,天涯共此時(shí)?！?表達(dá)了詩人望月懷人的深厚情誼。在海天交于一線的天際,一輪明月慢慢升起,先是探出半個(gè)圓圓的小腦袋,然后冉冉上升,和天際線相連,再躍出海面,越來越高,展現(xiàn)著迷人的風(fēng)采.這個(gè)過程中,月亮看作一個(gè)圓,海天交線看作一條直線,月出的過程中也體現(xiàn)了直線與圓的三種位置關(guān)系:相交、相切和相離.情景導(dǎo)入1.直線與圓的方程在實(shí)際生活中的應(yīng)用如圖是某圓拱形橋一孔圓拱的示意圖.這個(gè)圓的圓拱跨度????=20

m,拱高????=4

m,建造時(shí)每間隔4m需要用一根支柱支撐,求支柱??2??2的高度（精確到0.01m）.ABA1A2A3A4OPP2典例1POA2P2A1AA3A4BCH思考1你能用幾何法求支柱??2??2的高度嗎？【分析】如圖,過_x001A_??_x001B_2_x001B_作_x001A_??_x001B_2_x001B_??⊥????,由已知,在直角三角形??????中,有_x001A__x001A_????_x001B__x001B_2_x001B_=_x001A__x001A_????_x001B__x001B_2_x001B_+_x001A__x001A_????_x001B__x001B_2_x001B_.設(shè)圓拱所在圓??的半徑長(zhǎng)是??,則有_x001A_??_x001B_2_x001B_=_x001A__x001A_???4_x001B__x001B_2_x001B_+1_x001A_0_x001B_2_x001B_,解得??=14.5.我們求出_x001A_????_x001B_即可.

典例1ABA1A2A3A4OPP2xy思考2你能用代數(shù)法(坐標(biāo)法)求支柱??2??2的高度嗎？思考3取1m為長(zhǎng)度單位，如何求圓拱所在圓的方程？

思考4利用這個(gè)圓的方程可求得點(diǎn)??2的縱坐標(biāo)是多少？問題的答案如何？

典例1解:建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)圓心坐標(biāo)是（0，??）,圓的半徑是??,則圓的方程是??2+(?????)2=??2

.答:支柱??2??2的長(zhǎng)度約為3.86m.如圖是某圓拱形橋一孔圓拱的示意圖.這個(gè)圓的圓拱跨度????=20

m,拱高????=4

m,建造時(shí)每間隔4m需要用一根支柱支撐,求支柱??2??2的高度（精確到0.01m）.第一步:建立坐標(biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示有關(guān)的量.第二步:進(jìn)行有關(guān)代數(shù)運(yùn)算第三步:把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果翻譯成幾何關(guān)系.

把點(diǎn)??2的橫坐標(biāo)??=?2

代入圓的方程,得_x001A__x001A_?2_x001B__x001B_2_x001B_+_x001A__x001A_??+10.5_x001B__x001B_2_x001B_=_x001A_14.5_x001B_2_x001B_.把??（0,4）

??（10,0）代入圓的方程得方程組_x001A__x001A_02+_x001A_4???_x001B_2=_x001A_??_x001B_2_x001B_,_x001B_102+_x001A_0???_x001B_2=_x001A_??_x001B_2_x001B_,_x001B__x001B_

典例1坐標(biāo)法解決平面幾何問題的“三步曲”:第二步:通過代數(shù)運(yùn)算，解決代數(shù)問題；第三步:將代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論．第一步:建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問題中的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；歸納總結(jié)1.一個(gè)小島的周圍有環(huán)島暗礁,暗礁分布在以小島中心為圓心,半徑為20km的圓形區(qū)域內(nèi).已知小島中心位于輪船正西40km處,港口位于小島中心正北30km處.如果輪船沿直線返港,那么它是否會(huì)有觸礁危險(xiǎn)??港口xOy?輪船?解:以小島的中心為原點(diǎn)O，東西方向?yàn)閤軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，為了運(yùn)算的簡(jiǎn)便，我們?nèi)?0km為單位長(zhǎng)度，則港口所在位置的坐標(biāo)為(0,3)，輪船所在位置的坐標(biāo)為(4,0).這樣，受暗礁影響的圓形區(qū)域的邊緣所對(duì)應(yīng)的圓的方程為輪船航線所在直線l的方程為聯(lián)立直線l與圓O的方程,消去y,得由△<0,可知直線l與圓O相離,所以輪船沿直線返港不會(huì)有觸礁危險(xiǎn).練一練2.已知臺(tái)風(fēng)中心從A地以20km/h的速度向東北方向移動(dòng)，離臺(tái)風(fēng)中心30km內(nèi)的地區(qū)為危險(xiǎn)區(qū)，城市B在A的正東40km處，求B城市處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的時(shí)間.【解】如圖，以A為原點(diǎn)，以AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系．射線AC為∠xAy的平分線，則臺(tái)風(fēng)中心在射線AC上移動(dòng)，點(diǎn)B到AC的距離為.xyCAB則射線AC被以B為圓心，以30km為半徑的圓截得的弦長(zhǎng)為所以B城市處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的時(shí)間為t＝1(h).用坐標(biāo)法解決幾何問題時(shí),先用坐標(biāo)和方程表示相應(yīng)的幾何元素:點(diǎn)、直線、圓,將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；然后通過代數(shù)運(yùn)算解決代數(shù)問題；最后解釋代數(shù)運(yùn)算結(jié)果的幾何含義,得到幾何問題的結(jié)論.這就是用坐標(biāo)法解決平面幾何問題的“三步曲”:第一步:建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,用坐標(biāo)和方程表示問題中的幾何要素,如點(diǎn)、直線、圓,把平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題;第二步:通過代數(shù)運(yùn)算,解決代數(shù)問題;第三步:把代數(shù)運(yùn)算的結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論.2.與圓有關(guān)的最值問題已知實(shí)數(shù)x,y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0.(2)求y－x的最大值和最小值.解：原方程可化為(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)為圓心，的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的的斜率，即y＝kx.oxy當(dāng)直線y＝kx與圓相切時(shí),斜率k取得最大值或最小值,典例2(2)y－x可看作是直線y＝x＋b在y軸上的截距,當(dāng)直線y＝x＋b與圓相切時(shí),b取得最大值或最小值,oxy在本例條件下，求x2＋y2的最大值和最小值.解:x2＋y2表示圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，又圓心到原點(diǎn)的距離為所以x2＋y2的最大值是x2＋y2的最小值是練一練DA(2,0)BxyOC(0,1)解:練一練DP(2,0)BxyOC(0,1)解:練一練解:lBxyOC(0,1)D練一練解:lxyOC(0,1)練一練2.過直線與圓的交點(diǎn)的圓系方程已知圓C經(jīng)過直線x＋y＋2＝0與圓x2＋y2＝4的交點(diǎn)，且圓C的圓心在直線2x－y－3＝0上，求圓C的方程.設(shè)所求圓的方程為(x2＋y2－4)＋a(x＋y＋2)＝0,即x2＋y2＋ax＋ay－4＋2a＝0,因?yàn)閳A心在直線2x－y－3＝0上,所以a＝－6.所以圓的方程為x2＋y2－6x－6y－16＝0,即(x－3)2＋(y－3)2＝34.典例3求過直線與圓的交點(diǎn)的圓系方程的方法(1)聯(lián)立方程組，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)交點(diǎn)坐標(biāo)求方程；(2)設(shè)圓系方程求參數(shù)，一般地，過直線l:Ax＋By＋C＝0與圓O:x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)的交點(diǎn)的圓系方程可設(shè)為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0.求經(jīng)過直線x＋y＝0與圓x2＋y2＋2x－4y－8＝0的交點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)P(－1，－2)的圓的方程.解方程組所以直線與圓交于點(diǎn)A(1,－1)和點(diǎn)B(－4,4).設(shè)所求圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0),故所求圓的方程為x2＋y2＋3x－3y－8＝0.方法二:設(shè)所求圓的方程為x2＋y2＋2x－4y－8＋λ(x＋y)＝0，又點(diǎn)P(－1，－2)在圓上，將(－1，－2)代入圓的方程得(－1)2＋(－2)2＋2×(－1)－4×(－2)－8＋λ(－1－2)＝0，解得λ＝1.故所求圓的方程為x2＋y2＋2x－4y－8＋x＋y＝0，即x2＋y2＋3x－3y－8＝0.最長(zhǎng)弦、最短弦問題(1)當(dāng)直線過圓心時(shí),直線被圓截得的弦長(zhǎng)最長(zhǎng),最長(zhǎng)弦是直徑,即為(2)當(dāng)直線與過圓心的弦垂直時(shí),被圓截得的弦長(zhǎng)最短,即為過一點(diǎn)與圓相切的切線方程問題:(1)過圓上一點(diǎn)與圓相切的切線方程求法:【例1】過圓C:x2＋y2＝10上一點(diǎn)P(1,3),且與圓C相切的切線方程為__________.x+3y-10=0一般地,過圓C:x2＋y2＝r2上一點(diǎn)P(x0,y0),且與圓C相切的切線方程為【例2】過圓C:(x－4)2＋(y－2)2＝10上一點(diǎn)P(1,3),且與圓C相切的切線方程為______________.3x－y＝0一般地,過圓C:(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點(diǎn)P(x0,y0),且與圓C相切的切線方程為過一點(diǎn)與圓相切的切線方程問題:(1)過圓上一點(diǎn)與圓相切的切線方程求法:過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點(diǎn)M(x0,y0)的切線方程:歸納總結(jié):P(x,y)yxOC(a,b)特別地，過圓x2＋y2＝r2上點(diǎn)M(x0,y0)的切線方程:P(x,y)yxO【例3】過點(diǎn)P(1,1)與圓C:(x－4)2+(y－2)2=1相切的切線方程為________________.y=1或3x-4y+1=0注意:此種情況一定要對(duì)切線斜率存在與否進(jìn)行討論,否則有可能會(huì)漏解；還有區(qū)分切線所過的點(diǎn)是否在圓上,只需驗(yàn)證點(diǎn)的坐標(biāo)是否滿足圓的方程即可.過一點(diǎn)與圓相切的切線方程問題:(2)過圓外一點(diǎn)與圓相切的切線方程求法:【變式】過點(diǎn)P(3,－1)與圓C:(x－4)2+(y－2)2=1相切的切線方程為_____________.x=3或4x-3y-15=0課本練習(xí)1.趙州橋的跨度是37.4m,圓拱高約為7.2m.求這座圓拱橋的拱圓的方程.ABPOxy解:建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.設(shè)圓拱所在圓的圓心坐標(biāo)為(0,b),圓的半徑為r,則圓的方程為由題意,點(diǎn)P,B在圓上,且它們的坐標(biāo)分別為(0,7.2),(18.7,0),則有故所求圓拱的方程為解得2.某圓拱橋的水面跨度20m,拱高4m.現(xiàn)有一船,寬10m,水面以上高3m.這條船能否從橋下通過?ABPOxyCFED解:建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.設(shè)圓拱的圓心坐標(biāo)為(0,b),圓的半徑為r,則圓的方程為由題意,點(diǎn)P,B在圓上,且它們的坐標(biāo)分別為(0,4),(10,0),則有故所求圓拱的方程為解得把代入上式，得因?yàn)榇谒嬉陨系母叨葹?m,3<3.1,所以該船可以從船下穿過.3.在一個(gè)平面上,機(jī)器人從與點(diǎn)C(5,－3)的距離為9的地方繞點(diǎn)C順時(shí)針而行,在行進(jìn)過程中保持與點(diǎn)C的距離不變,它在行進(jìn)過程中到過點(diǎn)A(－10,0)與B(0,12)的直線的最近距離和最遠(yuǎn)距離分別是多少?22lA(0,12)?C(5,-3)xOy?B(-10,0)?解:依題意得,機(jī)器人在以C(5,－3)為圓心,9為半徑的圓上運(yùn)動(dòng),其圓的方程為經(jīng)過點(diǎn)A(－10,0)與B(0,12)的直線方程為