251直線與圓的位置關(guān)系（第1課時(shí)）（導(dǎo)學(xué)案）

2.5.1直線與圓的位置關(guān)系（第1課時(shí)）導(dǎo)學(xué)案教學(xué)目標(biāo)理解直線和圓的三種位置關(guān)系．會(huì)用圓心到直線的距離來判斷直線與圓的位置關(guān)系．會(huì)用代數(shù)法來判斷直線與圓的位置關(guān)系．能解決直線與圓位置關(guān)系的求切線方程、求弦長等綜合問題．教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：會(huì)用圓心到直線的距離來判斷直線與圓的位置關(guān)系，會(huì)用代數(shù)法來判斷直線與圓的位置關(guān)系．難點(diǎn)：能解決直線與圓位置關(guān)系的求切線方程、求弦長等綜合問題.教學(xué)過程新課探究回顧：在本章2.3.1的學(xué)習(xí)中，我們是如何用方程定量計(jì)算研究兩條直線的位置關(guān)系的？聯(lián)立兩條直線方程，構(gòu)成方程組，方程組解的個(gè)數(shù)即可得到兩直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，從而得出兩條直線位置關(guān)系.探究：類比以上方法，得出如何用方程定量計(jì)算研究直線與圓的的位置關(guān)系的方法.聯(lián)立直線方程和圓的方程，構(gòu)成方程組，代入消元得到一個(gè)一元二次方程，計(jì)算?，即可判斷方程解的個(gè)數(shù)，從而可以得出直線與圓交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即可判斷直線與圓的位置關(guān)系.應(yīng)用新知例1已知直線和圓心為的圓，判斷直線與圓的位置關(guān)系；如果相交，求直線被圓所截得的弦長．預(yù)設(shè)：聯(lián)立直線與圓的方程，得消去，得，所以方程③有兩個(gè)解，直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)所以，直線與圓相交的位置關(guān)系為：相交．教師：以上判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法，稱之為代數(shù)法.追問：直線與圓相交，如何求直線被圓所截得的弦長?預(yù)設(shè)：解方程，得，．把，分別代入方程①，得，．所以，直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)是，．因此所求弦長．師生：共同總結(jié)，1、代數(shù)法判斷直線與圓的位置關(guān)系的步驟：①聯(lián)立：將直線方程和圓的方程聯(lián)立②消元：消元得到一元二次方程③算?：計(jì)算一元二次方程的?，得出?的正負(fù)性④定論：根據(jù)?的正負(fù)性，下結(jié)論2、代數(shù)法計(jì)算弦長：計(jì)算出直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，直接用兩點(diǎn)間的距離公式求弦長即可跟蹤練習(xí)：已知直線和圓心為的圓，判斷直線與圓的位置關(guān)系；如果相交，求直線被圓所截得的弦長．預(yù)設(shè)：聯(lián)立直線與圓的方程，得消去，得，所以所以，直線與圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)，它們位置關(guān)系為：相交.解方程③得，分別代入方程①，得，．所以，直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)是，．因此所求弦長．新課探究思考：觀看以下動(dòng)畫，思考是否還有其他方法判斷直線與圓的位置關(guān)系呢？教師：將以上動(dòng)畫的三個(gè)瞬間定格如下：再次思考是否還有其他方法判斷直線與圓的位置關(guān)系呢？d:圓心到直線的距離，r：圓的半徑應(yīng)用新知例1已知直線和圓心為的圓，判斷直線與圓的位置關(guān)系；如果相交，求直線被圓所截得的弦長．預(yù)設(shè)：圓的方程可化為，因此圓心的坐標(biāo)為，半徑為，圓心到直線l的距離．QUOTE所以直線l與圓C相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)．教師：以上判斷直線與圓位置關(guān)系的方法，稱之為幾何法.追問：直線與圓相交，如何求直線被圓所截得的弦長?知識(shí)小貼士：垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分這條弦所對的兩條弧預(yù)設(shè)：解如圖，由垂徑定理，得，解得師生：共同總結(jié)，1、幾何法判斷直線與圓的位置關(guān)系的步驟：①算r：將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得圓心坐標(biāo)和半徑r.②算d：計(jì)算圓心到直線的距離d，③下結(jié)論：根據(jù)d與r的大小關(guān)系，下結(jié)論2、幾何法計(jì)算弦長：借助垂徑定理，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求弦長即可跟蹤練習(xí)：已知直線和圓心為的圓，判斷直線與圓的位置關(guān)系；如果相交，求直線被圓所截得的弦長．預(yù)設(shè)：圓的方程圓心的坐標(biāo)為，半徑為，圓心到直線l的距離．QUOTE所以直線l與圓C相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)．由垂徑定理，得．思考：與初中的方法比較，你認(rèn)為用方程判斷直線與圓的位置關(guān)系有什么優(yōu)點(diǎn)？用方程判斷是定量計(jì)算分析，若相交或相切可以直接求出交點(diǎn)（切點(diǎn)）坐標(biāo)追問：例1中兩種解法（代數(shù)法和幾何法）的差異是什么？解法1，即代數(shù)法是直接運(yùn)用直線和圓的方程組成的方程組，有無實(shí)數(shù)解的情況判斷直線圓位置關(guān)系，完全代數(shù)的方法，比較容易想到，計(jì)算量比較大.解法2，即幾何法是利用圖形中的相關(guān)幾何量(圓心到直線的距離，圓的半徑)的大小比較，判斷直線與圓位置關(guān)系.利用圖形的幾何性質(zhì)，有助于簡化計(jì)算.例2過點(diǎn)作圓的切線，求切線的方程．預(yù)設(shè)：設(shè)切線的斜率為，則切線的方程為．因?yàn)橹本€與圓相切，所以方程組，只有一組解．消元，得．①因?yàn)榉匠挞僦挥幸唤M解，所以．解得或．因此，所求切線的方程為，或．教師：以上求切線方程的方法為：代數(shù)法師生：共同總結(jié)，1、代數(shù)法求圓外一點(diǎn)的切線方程：①設(shè)斜率k：分斜率“存在”與“不存在”兩種情況討論；②寫方程：用點(diǎn)斜式寫出直線的方程:y?y③聯(lián)立算?：聯(lián)立直線與圓的方程，消元得到一元二次方程，計(jì)算?；④列方程：利用?=0建立方程，求出k，即可求得切線方程2、注意事項(xiàng)：①過圓外一點(diǎn)的切線一定會(huì)有兩條②若解方程?=0只有一個(gè)解，說明另一解就是斜率k不存在例2過點(diǎn)作圓的切線，求切線的方程．預(yù)設(shè)：設(shè)切線的斜率為，則切線的方程為QUOTE???1=?????2，即．由圓心到切線的距離等于圓的半徑1，得QUOTE1?2????2+1=1，解得或．因此，所求切線的方程為，或．師生：共同總結(jié)，1、幾何法求圓外一點(diǎn)的切線方程：①設(shè)斜率k：分斜率“存在”與“不存在”兩種情況討論；②寫方程：用點(diǎn)斜式寫出直線的方程:y?y③算d和r：計(jì)算圓心到直線的距離d和圓的半徑r；④列方程：利用?=0建立方程，求出k，即可求得切線方程；2、注意事項(xiàng)：①過圓外一點(diǎn)的切線一定會(huì)有兩條②②若解方程d=r只有一個(gè)解，說明另一解就是斜率k不存在例2過點(diǎn)作圓的切線，用兩種方法求切線的方程．師生：學(xué)生自主完成練習(xí)，教師巡視學(xué)生做題情況，并選擇典型解答，分享答案；預(yù)設(shè)：法一：1°當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，即切線的方程為,易知，直線與圓相切，符合題意；2°設(shè)切線的斜率為，則切線的方程為QUOTE???1=?????2．因?yàn)橹本€與圓相切，所以方程組，只有一組解．消元，得．①因?yàn)榉匠挞僦挥幸唤M解，所以．解得．因此，所求切線的方程為，或．法二：1°當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，即切線的方程為,易知，直線與圓相切，符合題意；2°設(shè)切線的斜率為，則切線的方程為QUOTE???1=?????2，即由圓心到切線的距離等于圓的半徑1，得QUOTE1?2????2+1=1，解得．因此，所求切線的方程為，或．能力提升題型一：根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)（值）范圍例題1已知直線方程,圓的方程.當(dāng)m為何值時(shí),直線與圓(1)有兩個(gè)公共點(diǎn);(2)只有一個(gè)公共點(diǎn);(3)沒有公共點(diǎn)?法一：將直線代入圓的方程,得,∴當(dāng),即時(shí)，直線與圓相交，即直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn);當(dāng),即時(shí)，直線與圓相切，即直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn);當(dāng),即時(shí)，直線與圓相離，即直線與圓沒有公共點(diǎn).法二：已知圓的方程可化為(x2)2+(y1)2=4,即圓心為(2,1),半徑r=2.圓心(2,1)到直線的距離.∴當(dāng),即時(shí)，直線與圓相交，即直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn);當(dāng),即時(shí)，直線與圓相切，即直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn);當(dāng),即時(shí)，直線與圓相離，即直線與圓沒有公共點(diǎn).方法總結(jié)：根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)（值）范圍代數(shù)法：聯(lián)立直線與圓的方程，消元得到一元二次方程，利用?>0（相交）、?<0（相離）、?=0（相切）建立不等式（方程）即可解出參數(shù)的范圍（值）幾何法：求圓心到直線的距離d和圓心半徑r，利用d<r（相交）、d>r（相離）、d=r（相切）建立不等式（方程）即可解出參數(shù)的范圍（值）題型二：求過圓上一點(diǎn)的圓的切線方程例題2已知過點(diǎn)P(2,2)的直線l與圓相切,求直線l的方程.法一：圓的圓心坐標(biāo)，半徑，又，所以，易知在圓上，且直線l與圓相切所以，所以所以，所求切線方程為：，即法二：圓的圓心坐標(biāo)，半徑，設(shè)過點(diǎn)的直線的斜率為，（1）當(dāng)k不存在時(shí)，直線l為：，易知與圓不相切，不符合題意；（2）當(dāng)k存在時(shí)，則直線方程，即，由于直線和圓相切，故，得，所以，所求切線方程為：，即方法總結(jié):求過圓上一點(diǎn)P的圓C的切線方程法一：先判斷點(diǎn)P在圓上，則點(diǎn)P為切點(diǎn)；然后用切點(diǎn)和圓心坐標(biāo)，求直線PC的斜率；然后利用切線與直線PC垂直，求出切線斜率；最后用點(diǎn)斜式即可求切線方程.法二：設(shè)切線的斜率為k，點(diǎn)斜式寫出切線方程，利用d=r（相切）建立方程，求出k的值，最后最后用點(diǎn)斜式即可求切線方程.注意：若方程無解，則說明切線斜率不存在.題型三：過圓內(nèi)一定點(diǎn)動(dòng)直線被圓截的最短弦長問題例題3已知圓，直線.求直線被圓截得的弦長最短時(shí)的值以及最短弦長.預(yù)設(shè)：直線，可化為，聯(lián)立解得故直線恒過定點(diǎn).由，配方得，所以圓心，半徑為，直線恒過定點(diǎn)，當(dāng)直線時(shí)，直線被圓截得的弦長最短.因?yàn)橹本€的斜率為，故直線的斜率為，解得.此時(shí)圓心到直線的距離為，所以最短弦長為.方法總結(jié)：過圓內(nèi)一定點(diǎn)動(dòng)直線被圓截的最短、最長弦長問題先求動(dòng)直線的定點(diǎn)坐標(biāo)，若定點(diǎn)在圓內(nèi)，則該動(dòng)直線被圓截的弦長有最大值和最小值：最大值：當(dāng)動(dòng)直線同時(shí)過定點(diǎn)和圓心時(shí)，弦長最長，為直徑；最小值：當(dāng)定點(diǎn)為弦的中點(diǎn)時(shí)，即定點(diǎn)與圓心的連線與動(dòng)直線垂直時(shí)弦長最短，結(jié)合垂徑定理，構(gòu)造直角三角形，勾股定理可求最短弦長.課堂小結(jié)隨堂限時(shí)小練1．直線與圓的位置關(guān)系為（）A．相交且過圓心 B．相交且不過圓心C．相切 D．相離【詳解】圓，即，其圓心坐標(biāo)為，半徑為，圓心到直線的距離，直線與圓的位置關(guān)系為相切.故選：C2．若圓被直線平分，則（

）A．2 B． C． D．【詳解】由題意得圓心在直線上，則，解得.選D.3．已知圓與直線交于，兩點(diǎn)，則經(jīng)過點(diǎn)，，三點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【詳解】聯(lián)立直線和圓，解得，設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則有，解得，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.4．已知圓，則圓在點(diǎn)處的切線方程為．【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，又的圓心為，所以，易知，直線PC與所求切線垂直，所以所求切線的斜率為：，所以圓在點(diǎn)處的切線方程為，即．5．過點(diǎn)M（2，4）向圓引切線，求其切線的方程．【詳解】由于（2－1）2＋（4＋3）2＝50>1，故點(diǎn)M在圓外．當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程是y－4＝k（x－2），即kx－y＋4－2k＝0，由于直線與圓相切，故，解得．所以切線方程為24x－7y－20＝0．又當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，直線x＝2與圓相切．綜上所述，所求切線方程為24x－7y－20＝0或x＝2．6．直線與圓交于兩點(diǎn)，則弦的長（

）A． B． C． D．【詳解】設(shè)圓的圓心為，半徑，因?yàn)榈街本€的距離，所以.7．已知直線與圓交于兩點(diǎn)，若，則（

）A． B． C． D．【詳解】圓的圓心，所以圓心到直線的距離為，則，而，所以，解得：.故選：A.已知直線與圓交于A,B兩點(diǎn)，則當(dāng)弦最短時(shí)，直線l的方程為（

）A． B． C． D．【詳解】，所以直線恒過定點(diǎn)，，因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，所以當(dāng)時(shí)，弦最短,設(shè)直線的斜率為，則,所以直線的方程為，即.故選：D.課后作業(yè)布置作業(yè)1：完成教材：第93頁練習(xí)1,2,3作業(yè)2：配套輔導(dǎo)資料對應(yīng)的《直線與圓的位置關(guān)系》課后作業(yè)答案練習(xí)（第93頁）1．判斷下列各組直線l與圓C的位置關(guān)系：（1），圓；（2），圓；（3），圓．解析：（1）圓的圓心坐標(biāo)是，半徑．所以圓心到直線的距離QUOTE．因?yàn)椋灾本€與圓相交．（2）方程經(jīng)過配方，得．所以圓心坐標(biāo)是，半徑．所以圓心到直線的距離．因?yàn)椋灾本€QU