河北省武邑中學2017-2018學年高二上學期期末考試數學（文）試題

河北省武邑中學20172018學年高二上學期期末考試數學（文）試題第Ⅰ卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】取a=?2,b=?1,可得，即A不正確；2，即B不正確；∵a<b<0,∴，正確；，即D不正確，故選C.2.拋物線的準線方程是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】試題分析：由題意得，拋物線的標準方程為，所以且開口向上，所以準線方程為，故選D.考點：拋物線的幾何性質.3.已知直線的參數方程為（為參數)，則直線的普通方程為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】第一式反解代入第二式便可得，故選B.4.觀察下列各圖，其中兩個分類變量之間關系最強的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】試題分析：在二維條形圖中，主對角線上的兩個條形高度的乘積與副對角線上的兩個條形高度的乘積相差越大，兩者有關系的可能性就越大，由圖中所給的四個量高度的大小來判斷，D選項的兩個分類變量關系最強，故選D．考點：1.獨立性檢驗；2.二維條形圖.5.橢圓（是參數）的離心率是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】試題分析：因為橢圓，所以a=5,b=3，橢圓的離心率=，關系B。考點：本題主要考查橢圓的參數方程，橢圓的幾何意義。點評：簡單題，橢圓的離心率。6.若是正數，且，則有（）A.最大值16B.最小值C.最小值16D.最大值【答案】C【解析】試題分析：由不等式性質可知，所以最大值為16考點：不等式性質求最值7.清代著名數學家梅彀成在他的《增刪算法統(tǒng)宗》中有這樣一歌謠：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”其譯文為：“遠遠望見7層高的古塔，每層塔點著的燈數，下層比上層成倍地增加，一共有381盞，請問塔尖幾盞燈？”則按此塔各層燈盞的設置規(guī)律，從上往下數第4層的燈盞數應為（）A.3B.12C.24D.36【答案】C由,解得=3，故.故選：C.8.對任意的實數，不等式恒成立，則實數的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】當m=0時,，不等式成立；設，當m≠0時函數y為二次函數，y要恒小于0，拋物線開口向下且與x軸沒有交點，即要m<0且△<0得到：解得?4<m<0.綜上得到?4<m?0.故選B.9.設變量滿足約束條件，則的最大值是（）A.1B.C.D.2【答案】B【解析】變量x、y滿足約束條件，則求的最大值問題等價于在可行域內找一點P，使得點P與點(?1,0)連線的斜率最大.如圖，可行域上的點A與點(?1,0)連線的斜率最大，解方程組得點A的坐標為，所以的最大值為.故選B.點睛：本題主要考查簡單線性規(guī)劃．解決此類問題的關鍵是正確畫出不等式組表示的可行域，將目標函數賦予幾何意義；求目標函數的最值的一般步驟為：一畫二移三求．其關鍵是準確作出可行域，理解目標函數的意義．常見的目標函數有：（1）截距型：形如.求這類目標函數的最值常將函數轉化為直線的斜截式：，通過求直線的截距的最值間接求出的最值；（2）距離型：形如；（3）斜率型：形如.10.已知是的充分不必要條件，是的必要條件，是的必要條件.那么是成立的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】依題意有p?r，r?s，s?q，∴p?r?s?q.但由于r推不出p，∴q推不出p.∴是成立的充分不必要條件故選A.11.已知點與點在直線的兩側，給出以下結論：①；②當時，有最小值，無最大值；③；④當且時，的取值范圍是，正確的個數是（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】∵點M(a,b)與點N(0,?1)在直線3x?4y+5=0的兩側,∴，即，故①錯誤；當時,，a+b即無最小值，也無最大值，故②錯誤；設原點到直線3x?4y+5=0的距離為d,則,則>4，故③正確；當且a≠1時,表示點M(a,b)與P(1,?1)連線的斜率。∵當,b=時,,又直線3x?4y+5=0的斜率為，故的取值范圍為，故④正確.∴正確命題的個數是2個.故選：B.點睛：本題是常規(guī)的線性規(guī)劃問題，線性規(guī)劃問題常出現的形式有：①直線型，轉化成斜截式比較截距，要注意前面的系數為負時，截距越大，值越小；②分式型，其幾何意義是已知點與未知點的斜率；③平方型，其幾何意義是距離，尤其要注意的是最終結果應該是距離的平方；④絕對值型，轉化后其幾何意義是點到直線的距離.12.在函數的圖象上，橫坐標在內變化的點處的切線斜率均大于1，則實數的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】函數，求導得：，由橫坐標在區(qū)間(1,2)內變化的點處的切線斜率均大于1，可得對恒成立。即有對恒成立。令,對稱軸，區(qū)間(1,2)為增區(qū)間，即有1則有.故選：C.第Ⅱ卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.若公差為2的等差數列的前9項和為81，則__________．【答案】17【解析】等差數列的前9項和為，所以，因為等差數列的公差為2，所以.得，解得.故答案為：17.14.過點作拋物線的弦，恰被所平分，則弦所在直線方程為__________．【答案】【解析】設則.兩式相減得所以∴，又∴KAB=4直線AB方程：y?1=4(x?4),即.故答案為：.15.已知函數有兩個極值點，則實數的取值范圍是__________．【答案】【解析】函數f（x）=的導數f′（x）=x2+2ax+1由于函數f（x）有兩個極值點，則方程f′（x）=0有兩個不相等的實數根，即有△=4a2﹣4＞0，解得，a＞1或a＜﹣1．故答案為：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）16.已知命題，命題，若是的必要不充分條件，則實數的取值范圍是__________．【答案】【解析】命題q：，解得a≤x≤a+1．∵￢p是￢q的必要不充分條件，∴q是p的必要不充分條件．∴，且等號不能同時成立．解得．則實數a的取值范圍是．三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.在中，角的對邊分別是，.（1）求角；（2）若，的面積，求的值.【答案】（1）（2）【解析】試題分析：（1）由正弦定理邊化角得，根據三角形內角范圍可得解；（2）由余弦定理得，從而得，又，從而得，進而可得的值.試題解析：解：（1)由已知得，∴由正弦定理得，∴，故.由，得.(2)在中，，∴，故.①又，∴.②聯(lián)立①②式解得.18.數列的前項和為，.（1）設，證明：數列是等比數列；（2）求數列的前項和.【答案】（1）（2）【解析】試題分析：（Ⅰ）利用遞推關系式進行轉化，然后通過構造數列證明數列是等比數列；（Ⅱ）利用錯位相減法求解數列的前項和.試題解析：（Ⅰ）因為，所以①當時，，則，1分②當時，，2分所以，即，4分所以，而，5分所以數列是首項為，公比為的等比數列，所以．6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得．所以①，②，8分②①得：，10分.12分考點：1.數列的遞推式；2.等比數列的證明；3.數列求和.19.已知函數.（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）若在上單調遞增，求實數的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】試題分析：（1），求得斜率，且切點，由此得到切線方程為；（2）若在上單調遞增，等價于函數的導數恒大于零，分離參數得，令，利用導數求得的最大值為，所以.試題解析：（1）∵，∵，即，∴所求切線方程為，即（2），∵在上單調遞增，∴在上恒成立，∴在上恒成立，令，，令，則，∵在上；在上，，∴在上單調遞增，在上單調遞減，∴，∴，∴實數的取值范圍為考點：函數導數與不等式．【方法點晴】本題考查函數導數與不等式的問題，解答此類問題，應該首先確定函數的定義域，否則，寫出的單調區(qū)間易出錯.解決含參數問題及不等式問題注意兩個轉化：（1）利用導數解決含有參數的單調性問題可將問題轉化為不等式恒成立問題，要注意分類討論和數形結合思想的應用．（2）將不等式的證明、方程根的個數的判定轉化為函數的單調性問題處理．20.設橢圓的左焦點為，離心率為，橢圓與軸左交點與點的距離為.（1）求橢圓方程；（2）過點的直線與橢圓交于不同的兩點，當面積為時，求.【答案】（1）（2）【解析】試題分析：（1）依題意有，由此解得，橢圓方程為；（2）設出直線方程，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，寫出韋達定理，求出弦長關于斜率的表達式，利用點到直線的距離公式求得三角形的高，然后利用三角形面積建立方程，求得斜率的值，代入的表達式，從而求得弦長.試題解析：（1）由題意可得，又，解得，所以橢圓方程為．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）根據題意可知，直線的斜率存在，故設直線的方程為，設由方程組消去得關于的方程，．．．．．．．．．．．．．6分由直線與橢圓相交于兩點，則有，即，得：，由根與系數的關系得，故，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分又因為原點到直線的距離，故的面積，．．．．．．．．．．．．．．．．10分由，得，此時．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考點：直線與圓錐曲線位置關系.【方法點晴】本題主要考查直線與圓錐曲線位置關系，考查韋達定理和弦長公式.直線和圓錐曲線的位置關系一方面要體現方程思想，另一方面要結合已知條件，從圖形角度求解．聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程得到方程組，化為一元二次方程后由根與系數的關系求解是一個常用的方法.涉及弦長的問題中，應熟練地利用根與系數關系、設而不求法計算弦長；涉及垂直關系時也往往利用根與系數關系、設而不求法簡化運算；涉及過焦點的弦的問題，可考慮用圓錐曲線的定義求解．21.已知拋物線的方程為，過點的直線與拋物線相交于兩點，分別過點作拋物線的兩條切線和，記和相交于點.（1）證明：直線和的斜率之積為定值；（2）求證：點在一條定直線上.【答案】（1）直線和的斜率之積為定值.（2）點在定直線上.【解析】試題分析：（1）依題意，直線的斜率存在，設直線的方程為，與拋物線聯(lián)立得，設的坐標分別為，根據求導得切線斜率，結合韋達定理即可證得；（2）由點斜式寫出直線和的方程，聯(lián)立這兩個方程，消去得整理得，注意到，所以，此時，從而得證.試題解析：解：（1）依題意，直線的斜率存在，設直線的方程為，將其代入，消去整理得.設的坐標分別為，則.將拋物線的方程改寫為，求導得.所以過點的切線的斜率是，過點的切線的斜率是，故，所以直線和的斜率之積為定值.（2）設.因為直線的方程為，即，同理，直線的方程為，聯(lián)立這兩個方程，消去得，整理得，注意到，所以.此時.由（1）知，，所以，所以點在定直線上.點睛：本題主要考查直線與圓錐曲線位置關系，所使用方法為韋達定理法：因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉化為方程組關系問題，最終轉化為一元二次方程問題，故用韋達定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點方法之一，尤其是弦中點問題，弦長問題，可用韋達定理直接解決，但應注意不要忽視判別式的作用．22.已知函數.（1）當時，求函數的單調遞減區(qū)間；（2）當時，設函數，若函數在區(qū)間上有兩個零點，求實數的取值范圍.【答案】（1）見解析（2）【解析】試題分析：（1）討論當時，當時，當時三種情況，得增區(qū)間，得減區(qū)間；（2）在上有零點，即關于的方程在上有兩個不相等的實數根，可證當時單調遞減，當時單調遞增，故.試題解析：（1）的定義域為，．①當時，，由，得或．∴當時，單調遞減．∴的單調遞減區(qū)間為．②當時，恒有，∴的單調遞減區(qū)間為．③當時，，由，得或．∴當時，單調遞減．∴的單調遞減區(qū)間為．綜上，當時，的單調遞減區(qū)間為；當時，的單調遞減區(qū)間為；當時，的單調遞減區(qū)間為．（