專(zhuān)題111有理數(shù)中規(guī)律和新定義綜合應(yīng)用的六大題型（滬科版）

專(zhuān)題1.11有理數(shù)中規(guī)律和新定義綜合應(yīng)用的六大題型【滬科版】考卷信息：本套訓(xùn)練卷共36題，共六大題型，每個(gè)題型6題，題型針對(duì)性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可加強(qiáng)學(xué)生對(duì)有理數(shù)中規(guī)律和新定義綜合應(yīng)用的六大題型的理解！【題型1數(shù)列型規(guī)律探究】1．（2023春·山東濟(jì)寧·六年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將大小相同的小圓規(guī)律擺放：第1個(gè)圖形有5個(gè)小圓，第2個(gè)圖形有8個(gè)小圓，第3個(gè)圖形有11個(gè)小圓，…依此規(guī)律，第n個(gè)圖形的小圓個(gè)數(shù)是（

）A．3n-2個(gè) B．3n+2個(gè) C．5【答案】B【分析】觀察圖形的變化先計(jì)算出前幾個(gè)圖形的小圓的個(gè)數(shù)，進(jìn)而可得第n個(gè)圖形的小圓個(gè)數(shù)．【詳解】解：觀察圖形的變化可知：第1個(gè)圖形有5個(gè)小圓，即5=2×1+3，第2個(gè)圖形有8個(gè)小圓，即8=2×2+3+1第3個(gè)圖形有11個(gè)小圓，即11=2×3+3+2?依此規(guī)律，第n個(gè)圖形的小圓個(gè)數(shù)是：2n+故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是先計(jì)算出前幾個(gè)圖形的小圓的個(gè)數(shù)，找到規(guī)律．2．（2023春·安徽滁州·七年級(jí)?？计谥校┠撤N細(xì)胞開(kāi)始分裂時(shí)有兩個(gè)，1小時(shí)后分裂成4個(gè)并死去一個(gè)，2小時(shí)后分裂成6個(gè)并死去一個(gè)，3小時(shí)后分裂成10個(gè)并死去一個(gè)，按此規(guī)律，8小時(shí)后細(xì)胞存活的個(gè)數(shù)是（）A．253 B．255 C．257 D．259【答案】C【分析】從特殊出發(fā)，歸納得到一般規(guī)律即可完成．【詳解】解：根據(jù)題意，1小時(shí)后分裂成4個(gè)并死去1個(gè)，剩3個(gè)，3＝2+1；2小時(shí)后分裂成6個(gè)并死去1個(gè)，剩5個(gè)，5＝22+1；3小時(shí)后分裂成10個(gè)并死去一個(gè)，剩9個(gè)，9＝23+1；……n個(gè)小時(shí)后細(xì)胞存活的個(gè)數(shù)是2n+1，當(dāng)n＝8時(shí)，存活個(gè)數(shù)是28+1＝257．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了乘方的應(yīng)用，根據(jù)前幾個(gè)的情況得出一般規(guī)律是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．3．（2023春·河北保定·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示：下列各三角形中的三個(gè)數(shù)均有相同的規(guī)律，由此規(guī)律最后一個(gè)三角形中，y的值是（

）A．380 B．382 C．384 D．386【答案】B【分析】根據(jù)已知圖形得出下面的數(shù)字是左邊數(shù)字與左邊數(shù)加1的乘積與2的和，據(jù)此可得答案．【詳解】解：由4＝1×2+2，8＝2×3+2，14＝3×4+2，22＝4×5+2，得到規(guī)律：下面的數(shù)字是左邊數(shù)字與左邊數(shù)加1的乘積與2的和，y＝19×20+2＝382，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知圖形得出右邊數(shù)字是左邊數(shù)字與1的和，下面數(shù)字是上面兩個(gè)數(shù)字乘積與2的和．4．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)期末）如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)A表示數(shù)1,現(xiàn)將點(diǎn)A沿?cái)?shù)軸作如下移動(dòng)，第一次將點(diǎn)A向左移動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)A1，第二次將點(diǎn)A1向右移動(dòng)6個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)A2，第三次將點(diǎn)A2向左移動(dòng)9個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)A3，…，按照這種移動(dòng)規(guī)律進(jìn)行下去，第2021A．-3029 B．-3032 C．-3035【答案】B【分析】從A的序號(hào)為奇數(shù)的情形中，尋找解題規(guī)律求解即可.【詳解】∵A表示的數(shù)為1，∴A1=1+（3）×1=2∴A2=2+（3）×（2）=4∴A3=4+（3）×3=5=2+（3∴A4=5+（3）×（4）=7∴A5=7+（3）×（5）=8=2+（3）×2∴A2021=-故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律，抓住序號(hào)為奇數(shù)時(shí)數(shù)的表示規(guī)律是解題的關(guān)鍵.5．（2023春·江西上饒·七年級(jí)?？计谥校┌阉姓麛?shù)從小到大排列，并按如下規(guī)律分組：（1），(2，3，4)，(5，6，7，8，9)，(10，11，12，13，14，15，16)，…，現(xiàn)用等式AM=(i，j)表示正整數(shù)M是第i組第j個(gè)數(shù)(從左往右數(shù))，如A8=(3，4)，則A2020=()A．(44，81) B．(44，82) C．(45，83) D．(45，84)【答案】D【分析】根據(jù)排列規(guī)律，先判斷2020在第幾組，再判斷是這一組的第幾個(gè)數(shù)即可求解；【詳解】設(shè)2020在第n組，組與組之間的數(shù)字個(gè)數(shù)規(guī)律可以表示為：2n1則1+3+5+7+???+(2n1)=12×2n×n=n當(dāng)n=44時(shí)，n2=1936當(dāng)n=45時(shí)，n2∴2020在第45組，且20201936=84，即2020為第45組的第84個(gè)數(shù)；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字類(lèi)的規(guī)律探究、有理數(shù)的加法運(yùn)算，善用聯(lián)想探究數(shù)字規(guī)律是解決此類(lèi)問(wèn)題的常用方法；6．（2023春·湖南永州·九年級(jí)?？计谥校┯^察下列算式發(fā)現(xiàn)規(guī)律：71=7，72=49，73=343，74=2401，75【答案】1【分析】根據(jù)7的指數(shù)從1到5，末位數(shù)字從7，9，3，1，7進(jìn)行循環(huán)，再用2020除以4得出余數(shù)，再寫(xiě)出72020個(gè)位數(shù)字．【詳解】解：∵71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，76=117649，上述的幾個(gè)式子，易知1次方為末位數(shù)字是7，2次方末位數(shù)字是為9，3次方末位數(shù)字是為3，4次方末位數(shù)字是為1，5次方末位數(shù)字是為7，∴個(gè)位數(shù)字的變化是以7，9，3，1為周期，即周期為4，∵2020÷4=505，∴72020的個(gè)位數(shù)字為1，故答案為：1．【點(diǎn)睛】此題主要考查了尾數(shù)特征，觀察出結(jié)果個(gè)位數(shù)字的特點(diǎn)是解本題的關(guān)鍵．【題型2裂差型規(guī)律探究】1．（2023春·浙江杭州·七年級(jí)期末）如圖，把一個(gè)面積為1的正方形等分成兩個(gè)面積為12的矩形，接著把其中一個(gè)面積為12的矩形等分成兩個(gè)面積為14的矩形，再把其中一個(gè)面積為14的矩形等分成兩個(gè)面積為1【答案】511【分析】根據(jù)題意及圖形可得12=112，12+14=114，12+14【詳解】解：由圖及題意可得：12=112，12+14=114，12+14依此規(guī)律可得：1+12+故答案為：511256【點(diǎn)睛】本題主要考查有理數(shù)的加減，關(guān)鍵是根據(jù)題意及圖形得到規(guī)律，然后進(jìn)行求解即可．2．（2023春·福建泉州·七年級(jí)福建省惠安第一中學(xué)校聯(lián)考期中）觀察下列等式：第1個(gè)等式：a1=11×3=第3個(gè)等式：a3=15×7=…請(qǐng)回答下列問(wèn)題：（1）按以上規(guī)律列出第5個(gè)等式：a5=_________=（2）用含n的代數(shù)式表示第n個(gè)等式：an=_________=_________(n（3）求a1（4）求15×10【答案】（1）19×11=12×19-111；（2【分析】（1）根據(jù)前面4個(gè)等式找到規(guī)律即可得出第5個(gè)等式；（2）由題意可知：分子為1，分母是兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的乘積，可以拆成分子是1，分母是以這兩個(gè)奇數(shù)為分母差的一半，由此得出答案即可；（3）依照上述規(guī)律，相加后，采用拆項(xiàng)相消法即可得出結(jié)果；（4）模仿上述規(guī)律，相加后，采用拆項(xiàng)相消法即可得出結(jié)果．【詳解】解：(1)1(2)1(3)a=1=1=2018(4)1=1=1=1=403【點(diǎn)睛】本題考查的是有理數(shù)運(yùn)算中的規(guī)律探究，掌握“從具體到一般的探究方法，并運(yùn)用運(yùn)算規(guī)律解決問(wèn)題”是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·北京·七年級(jí)景山學(xué)校?？计谥校┰谟行┣闆r下，不需要計(jì)算出結(jié)果也能把絕對(duì)值符號(hào)去掉，例如：|6＋7|＝6＋7；|7－6|＝7－6；|6－7|＝－6＋7；|－6－7|＝6＋7（1）根據(jù)上面的規(guī)律，把下列各式寫(xiě)成去掉絕對(duì)值符號(hào)的形式：①|(zhì)7＋2|＝；②|－12＋15|＝（2）用簡(jiǎn)單的方法計(jì)算：|13－12|＋|14－13|＋|15－14|＋……＋【答案】（1）①7+2；②12-15【分析】（1）①②根據(jù)正數(shù)的絕對(duì)值等于本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是其相反數(shù)可得答案；（2）根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)化簡(jiǎn)，再相互抵消可得答案．【詳解】解：（1）①∵7+2>0∴|7＋2|＝7+2；②∵-12∴|－12＋15|＝（2）原式＝12-=12＝20194042【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練地掌握運(yùn)算法則和絕對(duì)值的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．4．（2023春·河北保定·七年級(jí)校聯(lián)考期中）觀察下列各式：---……(1)按照上述規(guī)律，第4個(gè)等式是：________________________________(2)第n個(gè)等式是：________________________(3)運(yùn)用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算：-(4)-1×【答案】(1)-(2)-(3)-(4)-【分析】（1）按照上面計(jì)算方法計(jì)算即可得出答案；（2）根據(jù)題目規(guī)律可發(fā)現(xiàn)，-1（3）按（2）的公式運(yùn)算即可得出答案；（4）由規(guī)律式子變形，中間部分互相抵消，只剩首項(xiàng)和尾項(xiàng)，即可算出答案．【詳解】（1）-1（2）-1（3）-1（4）原式=-1+1【點(diǎn)睛】本題考查找規(guī)律，抽象概括出規(guī)律并能計(jì)算是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·河南新鄉(xiāng)·七年級(jí)?？计谥校?）121212猜想：12（2）根據(jù)上面的規(guī)律，解答下列問(wèn)題：①計(jì)算：1②將2020減去它的12，再減去余下的13，再減去余下的14……，依次類(lèi)推，最后減去余下的【答案】（1）13；14；15；1n+1；（2【分析】（1）約分計(jì)算即可求解；（2）①先算括號(hào)里面的減法，再約分計(jì)算即可求解；②根據(jù)題意列出算式2020×(1-1【詳解】解：（1）1212112故答案為：13；14；15（2）①(=-=-1②依題意有：2020×(1-=2020×=1．【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，第（2）問(wèn)根據(jù)題意列出算式是解本題的關(guān)鍵．6．（2023春·浙江金華·七年級(jí)統(tǒng)考期中）我們知道：1-12=21×2-11×2=11×2；12-13根據(jù)上面的規(guī)律，解答下列問(wèn)題：(1)11×2+(2)計(jì)算：11×5(3)計(jì)算：11×4×7【答案】(1)6(2)25(3)101【分析】（1）根據(jù)規(guī)律，裂項(xiàng)相減即可求解；（2）每項(xiàng)提出14（3）每項(xiàng)提出16【詳解】（1）解：1=1-=1-=（2）解：原式===1（3）解：原式==1【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的加減運(yùn)算，有理數(shù)的乘法運(yùn)算，根據(jù)題意，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【題型3新定義型規(guī)律探究】1．（2023春·四川成都·七年級(jí)校考期中）已知：C32=3×21×2=3，C53【答案】165【分析】對(duì)于Cab(b<a)來(lái)講，等于一個(gè)分式，其中分母是從1到b的b【詳解】解：∵C?32=3×21×2∴C故答案為：165．【點(diǎn)睛】此題考查了數(shù)字的變化規(guī)律，利用已知得出分子與分母之間的規(guī)律是解題關(guān)鍵．2．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)期末）符號(hào)“f”表示一種運(yùn)算，它對(duì)一些數(shù)的運(yùn)算結(jié)果如下：（1）f(1)=0，f(2)=1，f(3)=2，f（2）f(12)=2，f(13利用以上規(guī)律計(jì)算：f(12008【答案】1【分析】直接利用運(yùn)算公式化簡(jiǎn)，即可得出答案．【詳解】解：f=20082007=1，故答案為：1．【點(diǎn)睛】此題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，數(shù)字變化規(guī)律，通過(guò)觀察，分析、歸納并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問(wèn)題．3．（2023春·江西宜春·七年級(jí)統(tǒng)考期中）對(duì)于正數(shù)x，規(guī)定fx=x1+x，例如：f2=2f12019+f1【答案】2018【分析】按照定義式f(x)=【詳解】f=1=(=2018+=2018故答案為：2018【點(diǎn)睛】本題考查了定義新運(yùn)算在有理數(shù)的混合運(yùn)算中的應(yīng)用，讀懂定義，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·山西臨汾·七年級(jí)校聯(lián)考期中）探究規(guī)律，完成相關(guān)題目．老師說(shuō)：“我定義了一種新的運(yùn)算，叫※（加乘）運(yùn)算．”然后老師寫(xiě)出了一些按照※（加乘）運(yùn)算的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算的算式：(+5)※(+2)=+(|5|+|2|)=+7；(-3)※(-5)=+(|3|+|5|)=+8；(-3)※(+4)=-(|3|+|4|)=-7；(+5)※(-6)=-(|5|+|6|)=-110※(+8)=8；(-6)※0=6．小明看了這些算式后說(shuō)：“我知道老師定義的※（加乘）運(yùn)算的運(yùn)算法則了．”聰明的你也明白了嗎？(1)歸納※（加乘）運(yùn)算的運(yùn)算法則．兩數(shù)進(jìn)行※（加乘）運(yùn)算時(shí)，運(yùn)算法則是：；特別地，0和任何數(shù)進(jìn)行※（加乘）運(yùn)算，或任何數(shù)和0進(jìn)行※（加乘）運(yùn)算運(yùn)算法則是：．(2)計(jì)算：①(-5)※0※(-3)②(-4)※3※【答案】(1)兩數(shù)進(jìn)行※（加乘）運(yùn)算時(shí)，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把它們的絕對(duì)值相加；0和任何數(shù)進(jìn)行※（加乘）運(yùn)算，或任何數(shù)和0進(jìn)行※（加乘）都等于這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值(2)①-8；②【分析】（1）歸納總結(jié)得到加乘法則，寫(xiě)出即可；（2）各式利用得出的法則計(jì)算即可求出值．【詳解】（1）兩數(shù)進(jìn)行※（加乘）運(yùn)算時(shí)，運(yùn)算法則是：兩數(shù)進(jìn)行※（加乘）運(yùn)算時(shí)，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把它們的絕對(duì)值相加；特別地，0和任何數(shù)進(jìn)行※（加乘）運(yùn)算，或任何數(shù)和0進(jìn)行※（加乘）運(yùn)算運(yùn)算法則是：0和任何數(shù)進(jìn)行※（加乘）運(yùn)算，或任何數(shù)和0進(jìn)行※（加乘）都等于這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值；（2）①根據(jù)題中的新定義得：(-5)※=(-5)※3=-(5+3)=-8；②根據(jù)題中的新定義得：(-4)※3=-7※15=-(7+15)=-22．【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．5．（2023春·重慶潼南·七年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀材料，探究規(guī)律，完成下列問(wèn)題．甲同學(xué)說(shuō)：“我定義了一種新的運(yùn)算，叫*（加乘）運(yùn)算．“然后他寫(xiě)出了一些按照*（加乘）運(yùn)算的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算的算式：(+2)*(+3)=+5；(-1)*(-9)=+10；(-3)*(+6)=-9；(+4)*(-4)=-8；0*(+1)=1；0*(-7)=7．乙同學(xué)看了這些算式后說(shuō)：“我知道你定義的*（加乘）運(yùn)算的運(yùn)算法則了．”(1)請(qǐng)你根據(jù)甲同學(xué)定義的*（加乘）運(yùn)算的運(yùn)算法則，計(jì)算下列式子：(-2)*(-7)=；(+4)*(-3)=；0*(-5)=．請(qǐng)你嘗試歸納甲同學(xué)定義的*（加乘）運(yùn)算的運(yùn)算法則：兩數(shù)進(jìn)行*（加乘）運(yùn)算時(shí)，．特別地，0和任何數(shù)進(jìn)行*（加乘）運(yùn)算，．(2)我們知道有理數(shù)的加法滿(mǎn)足交換律和結(jié)合律，這兩種運(yùn)算律在甲同學(xué)定義的*（加乘）運(yùn)算中還適用嗎？請(qǐng)你任選一個(gè)運(yùn)算律，判斷它在*（加乘）運(yùn)算中是否適用，并舉例驗(yàn)證．（舉一個(gè)例子即可）【答案】(1)+9-75同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相加(2)加乘運(yùn)算滿(mǎn)足交換律，不滿(mǎn)足結(jié)合律，舉例見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)題干提供的運(yùn)算特例的運(yùn)算特點(diǎn)分別進(jìn)行計(jì)算，再歸納可得：加乘運(yùn)算的運(yùn)算法則；（2）對(duì)于加乘運(yùn)算的交換律，可舉例(-3)*(-5),(-5)*(-3),進(jìn)行運(yùn)算后再判斷，對(duì)于加乘運(yùn)算的結(jié)合律，可舉例[0*(-3)]*(-5),0*[(-3)*(-5)],進(jìn)行運(yùn)算后再判斷即可【詳解】（1）解：根據(jù)加乘運(yùn)算的運(yùn)算法則可得：(-2)*(-7)=+9；(+4)*(-3)=-7；0*(-5)=5．歸納可得：兩數(shù)進(jìn)行*（加乘）運(yùn)算時(shí)，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相加．特別地，0和任何數(shù)進(jìn)行*（加乘）運(yùn)算，等于這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值．（2）解：加法的交換律仍然適用，例如：(-3)*(-5)=8,(-5)*(-3)=8,所以(-3)*(-5)=(-5)*(-3),故加法的交換律仍然適用．加法的結(jié)合律不適用，例如：[0*(-3)]*(-5)=3*(-5)=-8,0*[(-3)*(-5)]=0*(+8)=8,所以[0*(-3)]*(-5)≠0*[(-3)*(-5)],故加法的結(jié)合律不適用．【點(diǎn)睛】本題考查的是新定義運(yùn)算，同時(shí)考查的是有理數(shù)的加法運(yùn)算，絕對(duì)值的含義，理解新定義，歸納總結(jié)運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.6．（2023春·北京房山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）將n個(gè)互不相同的整數(shù)置于一排，構(gòu)成一個(gè)數(shù)組．在這n個(gè)數(shù)字前任意添加“+”或“”號(hào)，可以得到一個(gè)算式．若運(yùn)算結(jié)果可以為0，我們就將這個(gè)數(shù)組稱(chēng)為“運(yùn)算平衡”數(shù)組．（1）數(shù)組1，2，3，4是否是“運(yùn)算平衡”數(shù)組？若是，請(qǐng)?jiān)谝韵聰?shù)組中填上相應(yīng)的符號(hào)，并完成運(yùn)算；1

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=（2）若數(shù)組1，4，6，m是“運(yùn)算平衡”數(shù)組，則m的值可以是多少？（3）若某“運(yùn)算平衡”數(shù)組中共含有n個(gè)整數(shù)，則這n個(gè)整數(shù)需要具備什么樣的規(guī)律？【答案】（1）是，+123+4=0；（2）m=±1，±3，±9，±11；（3）這n個(gè)整數(shù)互不相同，在這n個(gè)數(shù)字前任意添加“+”或“”號(hào)后運(yùn)算結(jié)果為0．【分析】（1）根據(jù)“運(yùn)算平衡”數(shù)組的定義即可求解；（2）根據(jù)“運(yùn)算平衡”數(shù)組的定義得到關(guān)于m的方程，解方程即可；（3）根據(jù)“運(yùn)算平衡”數(shù)組的定義可以得到n個(gè)數(shù)的規(guī)律．【詳解】解：（1）數(shù)組1，2，3，4是“運(yùn)算平衡”數(shù)組，+123+4=0；（2）要使數(shù)組1，4，6，m是“運(yùn)算平衡”數(shù)組，有以下情況：1+4+6+m=0；1+4+6+m=0；14+6+m=0；1+46+m=0；1+4+6m=0；14+6+m=0；1+46+m=0；1+4+6m=0；146+m=0；14+6m=0；1+46m=0；146+m=0；14+6m=0，1+46m=0，146m=0；146m=0；共16中情況，經(jīng)計(jì)算得m=±1，±3，±9，±11；（3）這n個(gè)整數(shù)互不相同，在這n個(gè)數(shù)字前任意添加“+”或“”號(hào)后運(yùn)算結(jié)果為0．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義問(wèn)題，理解“運(yùn)算平衡”數(shù)組的定義是解題關(guān)鍵．【題型4含n2型規(guī)律探究】1．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)期末）觀察下列等式：（1）1（2）1（3）1（4）1……根據(jù)此規(guī)律，第10個(gè)等式的右邊應(yīng)該是a2，則a的值是（

A．45 B．54 C．55 D．65【答案】C【分析】根據(jù)所給的算式，探索其底數(shù)之間的關(guān)系，根據(jù)規(guī)律解答即可.【詳解】其底數(shù)之間的關(guān)系為：（1）1=1（2）1+2=3（3）1+2+3=6（4）1+2+3+4=10……（10）1+2+3+…+10=55故選：C【點(diǎn)睛】本題考查的是探索數(shù)字之間的規(guī)律，關(guān)鍵是要善于觀察，抓住其底數(shù)之間的關(guān)系.2．（2023·浙江嘉興·七年級(jí)校聯(lián)考期中）數(shù)列：0，2，4，8，12，18，…是我國(guó)的大衍數(shù)列，也是世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題．該數(shù)列中的奇數(shù)項(xiàng)可表示為n2-1如：第一個(gè)數(shù)為12-12=0，第二個(gè)數(shù)為現(xiàn)在數(shù)軸的原點(diǎn)上有一點(diǎn)P，依次以大衍數(shù)列中的數(shù)為距離向左右來(lái)回跳躍．第1秒時(shí)，點(diǎn)P在原點(diǎn)，記為P1；第2秒時(shí)，點(diǎn)P向左跳2個(gè)單位，記為P2，此時(shí)點(diǎn)P2所表示的數(shù)為2；第3秒時(shí)，點(diǎn)P向右跳4個(gè)單位，記為P3，此時(shí)點(diǎn)P3所表示的數(shù)為2；…按此規(guī)律跳躍，點(diǎn)P20表示的數(shù)為．【答案】110【分析】通過(guò)總結(jié)規(guī)律和數(shù)軸上表示即可求解.【詳解】第1秒時(shí)，點(diǎn)P在原點(diǎn)，記為P1；第2秒時(shí)，點(diǎn)P向左跳2個(gè)單位，記為P2，此時(shí)點(diǎn)P2所表示的數(shù)為2；第3秒時(shí)，點(diǎn)P向右跳4個(gè)單位，記為P3，此時(shí)點(diǎn)P3所表示的數(shù)為2；第4秒時(shí)，點(diǎn)P向左跳8個(gè)單位，記為P4，此時(shí)點(diǎn)P3所表示的數(shù)為6；第5秒時(shí)，點(diǎn)P向右跳12個(gè)單位，記為P5，此時(shí)點(diǎn)P4所表示的數(shù)為6；第6秒時(shí)，點(diǎn)P向左跳18個(gè)單位，記為P6，此時(shí)點(diǎn)P5所表示的數(shù)為12；第7秒時(shí)，點(diǎn)P向右跳24個(gè)單位，記為P7，此時(shí)點(diǎn)P6所表示的數(shù)為12；通過(guò)規(guī)律得出以0為軸左右兩邊的絕對(duì)值相等，符號(hào)相反，只要求出一邊即可得出結(jié)論，通過(guò)秒數(shù)為奇數(shù)1對(duì)應(yīng)0，3對(duì)應(yīng)2，5對(duì)應(yīng)6，7對(duì)應(yīng)12，以此推類(lèi)得出奇數(shù)所對(duì)應(yīng)的數(shù)值為n2-12，將P21代入得110答案為110.【點(diǎn)睛】本題主要考查了規(guī)律和數(shù)軸，正確找出規(guī)律是關(guān)鍵.3．（2023春·廣東珠?！ぐ四昙?jí)校聯(lián)考期末）觀察下列式子：0×2+1＝12……①1×3+1＝22……②2×4+1＝32……③3×5+1＝42……④……（1）第⑤個(gè)式子，第⑩個(gè)式子；（2）請(qǐng)用含n（n為正整數(shù)）的式子表示上述的規(guī)律，并證明：（3）求值：（1+11×3）（1+12×4）（1+13×5）（1+14×6）…【答案】（1）4×6+1＝52，9×11+1＝102；（2）（n﹣1）（n+1）+1＝n2；（3）20171009【分析】(1)觀察發(fā)現(xiàn)一個(gè)正整數(shù)乘以比這個(gè)正整數(shù)大2的數(shù)再加1就等于這個(gè)正整數(shù)加1的平方；（2）根據(jù)（1）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解答即可；（3）先通分，然后根據(jù)（2）中結(jié)論解答即可.【詳解】解：（1）第⑤個(gè)式子為4×6+1＝52，第⑩個(gè)式子9×11+1＝102，故答案為4×6+1＝52，9×11+1＝102；（2）第n個(gè)式子為（n﹣1）（n+1）+1＝n2，證明：左邊＝n2﹣1+1＝n2，右邊＝n2，∴左邊＝右邊，即（n﹣1）（n+1）+1＝n2．（3）原式＝1×3+11×3×2×4+12×4×3×5+1=22＝2×2017＝20171009【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律型數(shù)字類(lèi)規(guī)律與探究，要求學(xué)生通過(guò)觀察，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問(wèn)題．4．（2023春·四川樂(lè)山·七年級(jí)統(tǒng)考期中）(1)把左右兩邊計(jì)算結(jié)果相等的式子用線(xiàn)連接起來(lái)：1﹣1(1+11﹣1(1+1﹣1(1+1﹣1(1+(2)觀察上面計(jì)算結(jié)果相等的各式之間的關(guān)系，可歸納得出：1﹣1n2(3)利用上述規(guī)律計(jì)算下式的值：(1122)×(1132)×(114【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)(1+1n)(1-1【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)的乘法和乘方運(yùn)算分別計(jì)算結(jié)果可得；（2）根據(jù)以上表格中的計(jì)算結(jié)果可得；（3）根據(jù)以上規(guī)律，將原式裂項(xiàng)、約分即可得．【詳解】(1)把左右兩邊計(jì)算結(jié)果相等的式子用線(xiàn)連接起來(lái)：1﹣1(1+1﹣1(1+1﹣1(1+1﹣1(1+(2)觀察上面計(jì)算結(jié)果相等的各式之間的關(guān)系，可歸納得出：1-1n2故答案為(1+1(3)原式=(1+12)(112)×(1+13)(113)×(1+14)(114)×…×(1+199=12×32×23×43×34×5=12×=101200【點(diǎn)睛】本題主要考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的乘法和乘方運(yùn)算法則及數(shù)字的變化規(guī)律．5．（2023春·河南鄭州·七年級(jí)鄭州外國(guó)語(yǔ)中學(xué)校考期中）閱讀探究：12=1×2×36；12+(1)根據(jù)上述規(guī)律，求12(2)你能用一個(gè)含有n（n為正整數(shù)）的算式表示這個(gè)規(guī)律嗎？請(qǐng)直接寫(xiě)出這個(gè)算式（不計(jì)算）；(3)根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，計(jì)算下面算式的值：112【答案】(1)55(2)1(3)780【分析】（1）仿照閱讀材料中的方法計(jì)算即可；（2）歸納總結(jié)得到一般性規(guī)律，寫(xiě)出即可；（3）原式利用得出的規(guī)律計(jì)算即可求出值．【詳解】（1）12+22+（2）12（3）112+122+132【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算及算式規(guī)律，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．6．（2023春·北京·七年級(jí)北京四中?？计谥校╅喿x材料．我們知道，1+2+3+…+n=nn+12，那么12+22+32在圖1所示三角形數(shù)陣中，第1行圓圈中的數(shù)為1，即12，第2行兩個(gè)圓圈中數(shù)的和為2+2，即22，…；第n行n個(gè)圓圈中數(shù)的和為n+n+n+…+n，即n2．這樣，該三角形數(shù)陣中共有nn+12個(gè)圓圈，所有圓圈中數(shù)的和為12+22+32【規(guī)律探究】將三角形數(shù)陣經(jīng)兩次旋轉(zhuǎn)可得如圖2所示的三角形數(shù)陣，觀察這三個(gè)三角形數(shù)陣各行同一位置圓圈中的數(shù)（如第n﹣1行的第一個(gè)圓圈中的數(shù)分別為n﹣1，2，n），發(fā)現(xiàn)每個(gè)位置上三個(gè)圓圈中數(shù)的和均為，由此可得，這三個(gè)三角形數(shù)陣所有圓圈中數(shù)的總和為3（12+22+32+…+n2）=，因此，12+22+32+…+n2=．【解決問(wèn)題】根據(jù)以上發(fā)現(xiàn)，計(jì)算：12+22+【答案】2n+1，nn+12n【分析】根據(jù)圖1和圖2，歸納總結(jié)得到一般性規(guī)律，利用此規(guī)律確定出所求即可．【詳解】解：【規(guī)律探究】將三角形數(shù)陣經(jīng)兩次旋轉(zhuǎn)可得如圖2所示的三角形數(shù)陣，觀察這三個(gè)三角形數(shù)陣各行同一位置圓圈中的數(shù)（如第n﹣1行的第一個(gè)圓圈中的數(shù)分別為n﹣1，2，n），發(fā)現(xiàn)每個(gè)位置上三個(gè)圓圈中數(shù)的和均2n+1；由此可得，這三個(gè)三角形數(shù)陣所有圓圈中數(shù)的總和為3（12+22+32+…+n2）=nn+12n+12；因此，12+22+3【解決問(wèn)題】根據(jù)以上發(fā)現(xiàn)，計(jì)算：：12+2故答案為2n+1；nn+12【點(diǎn)睛】此題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，以及規(guī)律型：數(shù)字的變化類(lèi)，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．【題型5定義兩個(gè)數(shù)的運(yùn)算】1．（2023春·天津·七年級(jí)?？计谀┈F(xiàn)定義運(yùn)算“*”，對(duì)于任意有理數(shù)a，b滿(mǎn)足a*b＝2a-b,a≥ba-2b,a<b．如5*3＝2×5﹣3＝7，A．4 B．11 C．4或11 D．1或11【答案】A【分析】對(duì)x的取值分為兩種情況，當(dāng)x≥3和x＜3分類(lèi)求解，得出符合題意得答案即可.【詳解】當(dāng)x≥3，則x*3＝2x﹣3＝5，x＝4；當(dāng)x＜3，則x*3＝x﹣2×3＝5，x＝11，但11＞3，這與x＜3矛盾，所以此種情況舍去．∴若x*3＝5，則有理數(shù)x的值為4，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，理解題目中運(yùn)算規(guī)則是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·重慶萬(wàn)州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）定義一種新運(yùn)算“?”，規(guī)定：a?b=2a-3b等式右邊的運(yùn)算就是加、減、乘、除四則運(yùn)算，例如：2?(-3)=2×2-3×(-3)=4+9=13A．-2 B．-18 C．-28【答案】D【分析】根據(jù)新運(yùn)算的運(yùn)算法則，先計(jì)算3?-2，再計(jì)算【詳解】解：由題意，得：3?-∴-1故選D．【點(diǎn)睛】本題考查定義新運(yùn)算．理解并掌握新運(yùn)算的運(yùn)算法則，是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·浙江臺(tái)州·七年級(jí)?？计谥校┒x：對(duì)于任意的有理數(shù)a，ba