中考數(shù)學試題分類匯編考點22勾股定理含解析-初中

2018中考數(shù)學試題分類匯編：考點22勾股定理

選擇題（共7小題）

1.（2018?濱州）在直角三角形中，若勾為3,股為4,則弦為（）

A.5B.6C.7D.8

【分析】直接根據(jù)勾股定理求解即可.

【解答】解：???在直角三角形中，勾為3,股為4,

弦為匠工05.

故選：A.

2.（2018?棗莊）如圖，在RtZ\ABC中，NACB=90°,CD1AB,垂足為D,AF平分NCAB,

交CD于點E,交CB于點F.若AC=3,AB=5,則CE的長為（）

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出NCAF+NCFA=90°,ZFAD+ZAED=90°,根據(jù)角

平分線和對頂角相等得出NCEF二NCFE,即可得出EC=FC,再利用相似三角形的判定與

性質(zhì)得出答案.

【解答】解：過點F作FGLAB于點G,

VZACB=90°,CD1AB,

/.ZCDA=90°,

AZCAF+ZCFA=90°,NFAD+NAED=90°,

〈AF平分NCAB,

JNCAF二NFAD,

AZCFA=ZAED=ZCEF,

???CE=CF,

YAF平分NCAB,NACF=NAGF=90°,

AFC=FG,

VZB=ZB,ZFGB=ZACB=90°,

.,.△BFG^ABAC,

.BF_FG

「年而‘

VAC=3,AB=5,ZACB=90°,

ABCM,

.4-FC_FG

??_,

53

VFC=FG,

?.?4-FCFC，

53

解得：FC=-^-,

3.(2018?瀘州)“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學

的驕傲.如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一

個大正方形.設(shè)直角三角形較長直角邊長為a,較短直角邊長為b.若ab=8,大正方形

【分析】由題意可知：中間小正方形的邊長為：a-b,根據(jù)勾股定理以及題目給出的己

知數(shù)據(jù)即可求出小正方形的邊長.

【解答】解：由題意可知：中間小正方形的邊長為：a-b,

?.?每一個直角三角形的面積為：gab==X8=4,

22

，4X京+(a-b)J25,

:.(a-b)2=25-16=9,

/.a-b=3,

故選：D.

2

4.（2018?溫州）我國古代偉大的數(shù)學家劉徽將勾股形（古人稱直角三角形為勾股形）

分割成一個正方形和兩對全等的直角三角形，得到一個恒等式.后人借助這種分割方法

所得的圖形證明了勾股定理，如圖所示的矩形由兩個這樣的圖形拼成，若a=3,b=4,

則該矩形的面積為（）

【分析】欲求矩形的面積，則求出小正方形的邊長即可，由此可設(shè)小正方形的邊長為X,

在直角三角形ACB中，利用勾股定理可建立關(guān)于x的方程，解方程求出x的值，進而可

求出該矩形的面積.

【解答】解：設(shè)小正方形的邊長為X,

*/a=3,b=4,

；.AB=3+4=7,

在RtZ\ABC中，AC2+BC2=AB2,

即（3+x）2+（x+4）守,

整理得，X2+7X-12=0,

解得x=*匣或x=上近（舍去），

22

該矩形的面積=（二It返Z+3）（二71^+4）=24,

22

故選：B.

5.（2018?婁底）如圖，由四個全等的直角三角形圍成的大正方形的面積是169,小正

方形的面積為49,則sina-cosa=（)

A

-卷B--方吉D.

【分析】分別求出大正方形和小正方形的邊長，再利用勾股定理列式求出AC,然后根

據(jù)正弦和余弦的定義即可求sina和cosa的值，進而可求出sina-cosa的值.

【解答】解：?.?小正方形面積為49,大正方形面積為169,

二小正方形的邊長是7,大正方形的邊長是13,

在RtAABC中，AC2+BC2=AB2,

即AC2+（7+AC）邑0，

整理得，AC2+7AC-60=0,

解得AC=5,AC=-12（舍去），

?,.BC=^AB2_AC2=i2,

/.sina-cos

131313

故選：D.

6.（2018?長沙）我國南宋著名數(shù)學家秦九韶的著作《數(shù)書九章》里記載有這樣一道題:

“問有沙田一塊，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知為田幾何？”

這道題講的是：有一塊三角形沙田，三條邊長分別為5里，12里，13里，問這塊沙田

面積有多大？題中“里”是我國市制長度單位，1里=500米，則該沙田的面積為（）

A.7.5平方千米B.15平方千米C.75平方千米D.750平方千米

【分析】直接利用勾股定理的逆定理進而結(jié)合直角三角形面積求法得出答案.

【解答】V52+122=132,

.?.三條邊長分別為5里，12里，13里，構(gòu)成了直角三角形，

,這塊沙田面積為：—X5X500X12X500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）.

故選:A.

4

7.（2018?東營）如圖所示，圓柱的高AB=3,底面直徑BC=3,現(xiàn)在有一只螞蟻想要從

A處沿圓柱表面爬到對角C處捕食，則它爬行的最短距離是（）

【分析】要求最短路徑，首先要把圓柱的側(cè)面展開，利用兩點之間線段最短，然后利用

勾股定理即可求解.

【解答】解：把圓柱側(cè)面展開，展開圖如右圖所示，點A、C的最短距離為線段AC的長.

在RtAADC中，ZADC=90°,CD=AB=3,AD為底面半圓弧長,AD=1.5”，

二.填空題（共8小題）

8.（2018?吉林）如圖，在平面直角坐標系中，A（4,0）,B（0,3）,以點A為圓心,

AB長為半徑畫弧，交x軸的負半軸于點C,則點C坐標為（-1,0）.

【分析】求出0A、0B,根據(jù)勾股定理求出AB,即可得出AC,求出0C長即可.

【解答】解：,??點A,B的坐標分別為（4,0）,（0,3）,

；.0A=4,0B=3,

在RtAAOB中，由勾股定理得：AB=^32+42=5）

.,.AC=AB=5,

，0C=5-4=1,

.,.點C的坐標為（-1,0）,

故答案為：（-1,0）,

9.（2018?玉林）如圖，在四邊形ABCD中，ZB=ZD=90°,ZA=60°,AB=4,則AD的

取值范圍是2<AD<8.

【分析】如圖，延長BC交AD的延長線于E,作BFLAD于F.解直角三角形求出AE、

AF即可判斷；

【解答】解：如圖，延長BC交AD的延長線于E,作BFLAD于F.

在RtZ\ABE中,：NE=3A°,AB=4,

.?.AE=2AB=8,

在Rt/SABF中，AF=LB=2,

2

AAD的取值范圍為2<AD<8,

故答案為2<ADV8.

10.（2018?襄陽）己知CD是aABC的邊AB上的高，若CD=JWAD=1,AB=2AC,則BC

的長為2代或2近.

【分析】分兩種情況：

①當AABC是銳角三角形，如圖1,

②當AABC是鈍角三角形，如圖2,

分別根據(jù)勾股定理計算AC和BC即可.

【解答】解：分兩種情況：

①當AABC是銳角三角形，如圖1,

6

VCD±AB,

...NCDA=90°,

VCD=73-AD=1,

；.AC=2,

VAB=2AC,

AABM,

.\BD=4-1=3,

BC=VCD2+BD2=732+（V3）

②當aABC是鈍角三角形，如圖2,

同理得：AC=2,AB=4,

???BC=VCD2+BDM（A/3）2+52=2V7：

綜上所述，BC的長為2或2仃.

故答案為：2'破2d7

11.（2018?鹽城）如圖,在直角△ABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,P、Q分別為邊BC、

AB上的兩個動點，若要使4APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形，則AQ=

30

千

【分析】分兩種情形分別求解：①如圖1中，當AQ=PQ,ZQPB=90°時，②當AQ=PQ,

NPQB=90°時;

【解答】解：①如圖1中,當AQ=PQ,NQPB=90°時，設(shè)AQ=PQ二x,

VPQ//AC,

??.△BPQS/XBCA,

,BQ-PQ

*'BAAC'

?

??10-x_x，

106

4

/.AQ=—.

4

②當AQ=PQ,ZPQB=90°時，設(shè)AQ=PQ=y.

,/△BQP^ABCA,

.PQ_BQ

"ACBC'

?.?y_10-y，

68

._30

綜上所述，滿足條件的AQ的值為”或3烏.

47

cr6Qp

圖1圖2

12.（2018?黔南州）如圖，已知在△ABC中,BC邊上的高AD月AC邊上的高BE交千點

F,且NBAC=45°,BD=6,CD=4,則AABC的面積為60.

A

BDC

【分析】首先證明4AEF絲△!?￡（；,推出AF=BC=10,設(shè)DF=x.由△ADCSABDF,推出

祟黑，構(gòu)建方程求出X即可解決問題；

DCDF

【解答】解：VAD1BC,BEXAC,AZAEF=ZBEC=ZBDF=90°;?

VZBAC=45°，

8

AAE=EB,

VZEAF+ZC=90°,ZCBE+ZC=90°,

ZEAF=ZCBE,

AAAEF^ABEC,

.\AF=BC=10,設(shè)DF=x.

VAADC^ABDF,

.AD_BD

??記F

?10+x6

**4x

整理得x2+10x-24=0,

解得x=2或-12（舍棄），

AAD=AF+DF=12,

???SAW=L?BC?AD=LX10X12=60.

22

故答案為60.

13.（2018?濱州）如圖,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,點E、F分別在BC、CD上,若

【分析】取AB的中點M,連接ME,在AD上截取ND=DF,設(shè)DF=DN=x,則NF=后，再利

用矩形的性質(zhì)和已知條件證明△AMES/XFNA,利用相似三角形的性質(zhì)：對應邊的比值相

等可求出x的值，在直角三角形ADF中利用勾股定理即可求出AF的長.

【解答】解：取AB的中點M,連接ME,在AD上截取ND=DF,設(shè)DF=DN=x,

?..四邊形ABCD是矩形，

.\ZD=ZBAD=ZB=90°,AD=BC=4,

NF=,AN=4-x,

VAB=2,

?「AE二灰，AB=2,

VZEAF=45°,

AZMAE+ZNAF=45°,

VZMAE+ZAEM=45°,

，ZMEA=ZNAF,

AAAME^AFNA,

.AMME

^FN^AN'

.1_近

A/2X4-X

解得：x=-^-.

14.（2018?湘潭）《九章算術(shù)》是我國古代最重要的數(shù)學著作之一，在“勾股”章中

記載了一道“折竹抵地”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾

何？”翻譯成數(shù)學問題是：如圖所示，AABC中，ZACB=90°,AC+AB=10,BC=3,求AC

的長，如果設(shè)AC=x,則可列方程為x、-（10-x）,.

【分析】設(shè)AC=x,可知AB=10-x,再根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論.

【解答】解：設(shè)AC=x,

VAC+AB=10,

/.AB=10-x.

???在RtZ\ABC中，ZACB=90°,

.,.AC2+BC2=AB2,即X>32=(10-x)2.

故答案為：X2+3Z=(10-x)2.

10

15.（2018?黃岡）如圖，圓柱形玻璃杯高為14cm,底面周長為32cm,在杯內(nèi)壁離杯底

5cm的點B處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿3cm與蜂蜜相對的點

A處，則螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的最短距離為（杯壁厚度不計）.

螞蟻4

3桌蜜

【分析】將杯子側(cè)面展開，建立A關(guān)于EF的對稱點A',根據(jù)兩點之間線段最短可知A'B

的長度即為所求.

【解答】解:如圖:

將杯子側(cè)面展開，作A關(guān)于EF的對稱點A',

連接A'B,貝IJA'B即為最短距離，A'B=Q了高&5浸訴=20（cm）.

故答案為20.

三.解答題（共2小題）

16.（2018?杭州）如圖，在△ABC中，ZACB=90°,以點B為圓心，BC長為半徑畫弧,

交線段AB于點D；以點A為圓心，AD長為半徑畫弧，交線段AC于點E,連結(jié)CD.

（1）若/A=28°,求/ACD的度數(shù).

（2）設(shè)BC=a,AC=b.

①線段AD的長是方程x2+2ax-1=0的一個根嗎？說明理由.

②若AD=EC,求熱■的值.

b

【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出NB,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出NBCD,計

算即可；

（2）①根據(jù)勾股定理求出AD,利用求根公式解方程，比較即可；

②根據(jù)勾股定理列出算式，計算即可.

【解答】解：（1）VZACB=90°,ZA=28",

/.ZB=62°,

VBD=BC,

.?./BCD=/BDC=59°,

.,.ZACD=900-ZBCD=31°；

（2）①由勾股定理得，AB=^AC2+BC2=^a2+b2,

.?.AD刃a2+b?-a,

2222

解方程x+2ax-b=0得，x=Z2a±V1a!+4bl=±Va+b-a，

二線段AD的長是方程x2+2ax-b2=0的一個根；

@VAD=AE,

.*.AE=EC=—,

2

由勾股定理得，a2+b2=帝+a）2,

整理得，=4.

b4

17.（2018?臺灣）嘉嘉參加機器人設(shè)計活動，需操控機器人在5X5的方格棋盤上從A

點行走至B點，且每個小方格皆為正方形，主辦單位規(guī)定了三條行走路徑R”R2,R3,

其行經(jīng)位置如圖與表所示：

路徑編號圖例行徑位置

第一條路徑Ri—A->C-D~B

第二條路徑氏???A-E-DfF-B

第三條路徑A-G-B

R3一

已知A、B、C、D、E、F、G七點皆落在格線的交點上，且兩點之間的路徑皆為直線，在

無法使用任何工具測量的條件下，請判斷R,、R?、&這三條路徑中，最長與最短的路徑

分別為何？請寫出你的答案，并完整說明理由.

12

B（終點）

【分析】利用勾股定理分別計算出三條路徑的長，比較大小即可得.

［解答］解：第一條路徑的長度為412+32+近2+］2+近2+32=2^^0,

第二條路徑的長度為《12+12+J12+32+1+{12+2■近1,

第三條路徑的長度為1心+22+1］2+3區(qū)2代+伍,

2V5+VTO<2揚倔］，

?二最長路徑為AfEfDfFfB；最短路徑為AfGfB.