海南省白沙中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末綜合測試模擬試題含解析

海南省白沙中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末綜合測試模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．我們知道，償還銀行貸款時，“等額本金還款法”是一種很常見的還款方式，其本質(zhì)是將本金平均分配到每一期進行償還，每一期的還款金額由兩部分組成，一部分為每期本金，即貸款本金除以還款期數(shù)，另一部分是利息，即貸款本金與已還本金總額的差乘以利率．自主創(chuàng)業(yè)的大學(xué)生張華向銀行貸款的本金為48萬元，張華跟銀行約定，按照等額本金還款法，每個月還一次款，20年還清，貸款月利率為，設(shè)張華第個月的還款金額為元，則（）A.2192 B.C. D.2．已知橢圓經(jīng)過點，當(dāng)該橢圓的四個頂點構(gòu)成的四邊形的周長最小時，其標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.3．已知等比數(shù)列的首項為1，公比為2，則=（）A. B.C. D.4．已知向量與平行，則（）A. B.C. D.5．高中生在假期參加志愿者活動，既能服務(wù)社會又能鍛煉能力．某同學(xué)計劃在福利院、社區(qū)、圖書館和醫(yī)院中任選兩個單位參加志愿者活動，則參加圖書館活動的概率為（）A. B.C. D.6．雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.7．記等比數(shù)列的前項和為，若，，則（）A.12 B.18C.21 D.278．在下列命題中正確的是（）A.已知是空間三個向量，則空間任意一個向量總可以唯一表示為B.若所在的直線是異面直線，則不共面C.若三個向量兩兩共面，則共面D.已知A，B，C三點不共線，若，則A，B，C，D四點共面9．函數(shù)f(x)＝－1＋lnx，對?x0，f(x)≥0成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）A(－∞，2] B.[2，＋∞)C.(－∞，1] D.[1，＋∞)10．過雙曲線的右焦點有一條弦是左焦點，那么的周長為（）A.28 B.C. D.11．已知復(fù)數(shù)滿足(其中為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B.C. D.12．設(shè)，若函數(shù)，有大于零的極值點，則A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．下圖是個幾何體的展開圖，圖①是由個邊長為的正三角形組成；圖②是由四個邊長為的正三角形和一個邊長為的正方形組成；圖③是由個邊長為的正三角形組成；圖④是由個邊長為的正方形組成.若幾何體能夠穿過直徑為的圓，則該幾何體的展開圖可以是______（填所有正確結(jié)論的序號）.14．已知數(shù)列滿足下列條件：①數(shù)列是等比數(shù)列；②數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列；③數(shù)列的公比滿足.請寫出一個符合條件的數(shù)列的通項公式__________.15．已知集合，，將中的所有元素按從大到小的順序排列構(gòu)成一個數(shù)列，則數(shù)列的前n項和的最大值為___________.16．寫出一個公比為3，且第三項小于1的等比數(shù)列______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）記數(shù)列的前n項和為，已知點在函數(shù)的圖像上（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前9項和18．（12分）已知橢圓：的離心率為，，分別為橢圓的左，右焦點，為橢圓上一點，的周長為.（1）求橢圓的方程；（2）為圓上任意一點，過作橢圓的兩條切線，切點分別為A，B，判斷是否為定值?若是，求出定值：若不是，說明理由，19．（12分）已知拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點為F，過F且與x軸垂直的直線交該拋物線于A，B兩點，|AB|＝4（1）求拋物線的方程；（2）過點F的直線l交拋物線于P，Q兩點，若△OPQ的面積為4，求直線l的斜率（其中O為坐標(biāo)原點）20．（12分）二項式展開式中第五項的二項式系數(shù)是第三項系數(shù)的4倍.求：（1）；（2）展開式中的所有的有理項.21．（12分）已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；（2）當(dāng)時，求函數(shù)的極值.22．（10分）已知橢圓的長軸長是6，離心率是.（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點，過點的直線l與橢圓E交于A，B兩點，判斷是否存在常數(shù)，使得為定值？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】計算出每月應(yīng)還的本金數(shù)，再計算第n個月已還多少本金，由此可計算出個月的還款金額.【詳解】由題意可知：每月還本金為2000元，設(shè)張華第個月的還款金額為元，則，故選：D2、A【解析】把點代入橢圓方程得，寫出橢圓頂點坐標(biāo)，計算四邊形周長討論它取最小值時的條件即得解.【詳解】依題意得，橢圓的四個頂點為，順次連接這四個點所得四邊形為菱形，其周長為，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“=”，由得a2=12，b2=4，所求標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：A【點睛】給定兩個正數(shù)和(兩個正數(shù)倒數(shù)和)為定值，求這兩個正數(shù)倒數(shù)和(兩個正數(shù)和)的最值問題，可借助基本不等式中“1”的妙用解答.3、D【解析】數(shù)列是首項為1，公比為4的等比數(shù)列，然后可算出答案.【詳解】因為等比數(shù)列的首項為1，公比為2，所以數(shù)列是首項為1，公比為4的等比數(shù)列所以故選：D4、D【解析】根據(jù)兩向量平行可求得、的值，即可得出合適的選項.【詳解】由已知，解得，，則.故選：D.5、D【解析】對4個單位分別編號，利用列舉法求出概率作答.【詳解】記福利院、社區(qū)、圖書館和醫(yī)院分別為A，B，C，D，從4個單位中任選兩個的試驗有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6個基本事件，它們等可能，其中有參加圖書館活動的事件有AC，BC，CD，共3個基本事件，所以參加圖書館活動的概率.故選：D6、B【解析】把雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中的1換成0，可得其漸近線的方程【詳解】雙曲線的漸近線方程是，即，故選B【點睛】本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單的幾何性質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題7、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，可知等比數(shù)列的公比,所以成等比數(shù)列，根據(jù)等比的中項性質(zhì)即可求出結(jié)果.【詳解】因為為等比數(shù)列的前項和，且，，易知等比數(shù)列的公比,所以成等比數(shù)列所以，所以，解得.故選：C8、D【解析】對于A，利用空間向量基本定理判斷，對于B，利用向量的定義判斷，對于C，舉例判斷，對于D，共面向量定理判斷【詳解】對于A，若三個向量共面，在平面，則空間中不在平面的向量不能用表示，所以A錯誤，對于B，因為向量是自由向量，是可以自由平移，所以當(dāng)所在的直線是異面直線時，有可能共面，所以B錯誤，對于C，當(dāng)三個向量兩兩共面時，如空間直角坐標(biāo)系中的3個基向量兩兩共面，但這3個向量不共面，所以C錯誤，對于D，因為A，B，C三點不共線，，且，所以A，B，C，D四點共面，所以D正確，故選：D9、B【解析】由導(dǎo)數(shù)求得的最小值，由最小值非負(fù)可得的范圍【詳解】定義域是，，若，則在上恒成立，單調(diào)遞增，，不合題意；若，則時，，遞減，時，，遞增，所以時，取得極小值也是最小值，由題意，解得故選：B10、C【解析】根據(jù)雙曲線方程得，，由雙曲線的定義，證出，結(jié)合即可算出△的周長【詳解】雙曲線方程為，，根據(jù)雙曲線的定義，得，，，，相加可得，，，因此△的周長，故選：C11、A【解析】由題目條件可得，即，然后利用復(fù)數(shù)的運算法則化簡.【詳解】因為，所以，則故復(fù)數(shù)的虛部為.故選：A.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的相關(guān)概念及復(fù)數(shù)的乘除運算，按照復(fù)數(shù)的運算法則化簡計算即可，較簡單.12、B【解析】設(shè)，則，若函數(shù)在x∈R上有大于零的極值點即有正根，當(dāng)有成立時，顯然有，此時．由，得參數(shù)a的范圍為．故選B考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①【解析】根據(jù)幾何體展開圖可知①正四面體、②正四棱錐、③正八面體、④正方體，進而求其外接球半徑，并與比較大小，即可確定答案.【詳解】①由題設(shè)，幾何體為棱長為的正四面體，該正四面體可放入一個正方體中，且正方體的棱長為，該正四面體的外接球半徑為，滿足要求；②由題設(shè)，幾何體為棱長為的正四棱錐，如下圖所示：設(shè)，連接，則為、的中點，因為四邊形是邊長為的正方形，則，所以，，所以，，所以，，，所以點為正四棱錐的外接球球心，且該球的半徑為，不滿足要求；③由題設(shè)，幾何體為棱長為的正八面體，該正八面體可由兩個共底面，且棱長均為的正四棱錐拼接而成，由②可知，該正八面體的外接球半徑為，不滿足要求；④由題設(shè)，幾何體為棱長為的正方體，其外接球半徑為，不滿足要求；故答案為：①.14、（答案不唯一）【解析】根據(jù)題意判斷數(shù)列特征，寫出一個符合題意的數(shù)列的通項公式即可.【詳解】因為數(shù)列是等比數(shù)列，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，數(shù)列公比滿足，所以等比數(shù)列公比，且各項均為負(fù)數(shù)，符合題意的一個數(shù)列的通項公式為.故答案為：（答案不唯一）15、【解析】由題意設(shè)，，根據(jù)可得，從而，即可得出答案.【詳解】設(shè)，由，得，由，得中的元素滿足，即，可得所以，由,所以所以，要使得數(shù)列的前n項和的最大值，即求出數(shù)列中所以滿足的項的和即可.即，得，則所以數(shù)列的前n項和的最大值為故答案為：147216、（答案不唯一）【解析】由條件確定該等比數(shù)列的首項的可能值，由此確定該數(shù)列的通項公式.【詳解】設(shè)數(shù)列的公比為，則，由已知可得，∴，所以，故可取，故滿足條件的等比數(shù)列的通項公式可能為，故答案為：（答案不唯一）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）利用的關(guān)系可求.（2）利用裂項相消法可求數(shù)列的前9項和【小問1詳解】由題意知當(dāng)時，；當(dāng)時，，適合上式所以【小問2詳解】則18、（1）（2）是；【解析】（1）由離心率和焦點三角形周長可求出，結(jié)合關(guān)系式得出，即可得出橢圓的方程；（2）由平行于軸特殊情況求出，即；當(dāng)平行于軸時，設(shè)過的直線為，聯(lián)立橢圓方程，令化簡得關(guān)于的二次方程，由韋達定理即可求解.【小問1詳解】由題可知，，解得，又，解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；【小問2詳解】如圖所示，當(dāng)平行于軸時，恰好平行于軸，，，；當(dāng)不平行于軸時，設(shè)，設(shè)過點的直線為，聯(lián)立得，令得，化簡得，設(shè)，則，又，故，即.綜上所述，.19、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)拋物線的定義以及拋物線通徑的性質(zhì)可得，從而可得結(jié)果；（2）設(shè)直線的方程為，代入，得，利用弦長公式，結(jié)合韋達定理可得的值，由點到直線的距離公式，根據(jù)三角形面積公式可得，從而可得結(jié)果.【詳解】（1）由拋物線的定義得到準(zhǔn)線的距離都是p，所以|AB|＝2p＝4，所以拋物線的方程為y2＝4x（2）設(shè)直線l的方程為y＝k(x-1)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)因為直線l與拋物線有兩個交點，所以k≠0，得，代入y2＝4x，得，且恒成立，則，y1y2＝-4，所以又點O到直線l的距離，所以，解得，即【點睛】本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系的相關(guān)問題，意在考查綜合利用所學(xué)知識解決問題能力和較強的運算求解能力，其常規(guī)思路是先把直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消元、化簡，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問題20、（1）6；（2），，【解析】（1）先得到二項展開式的通項，再根據(jù)第五項的二項式系數(shù)是第三項系數(shù)的4倍，建立方程求解.（2）根據(jù)（1）的通項公式求解.【詳解】（1）二項展開式的通項.依題意得，，所以，解得.（2）由（1）得，當(dāng)，3，6時為有理項，故有理有，，.【點睛】本題主要考查二項式定理的通項公式，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.21、（1）2（2）當(dāng)時，沒有極值；當(dāng)時，極大值為，極小值為.【解析】（1）當(dāng)時，，可得：.，，得或，列出函數(shù)單調(diào)性表格，即可最大值；（2），令，得或，分別討論和，即可求得的極值.【詳解】（1）當(dāng)時，，所以.令，得或，列表如下：-2-11+0-0+極大值極小值由于，，所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為2.（2），令，得或.當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值.當(dāng)時，列表如下：+0-0+極大值極小值函數(shù)的極大值為，極小值為.【點睛】本題主要考查根據(jù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性和極值，解題關(guān)鍵是掌握導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性的方法和極值定義，考查分析能力和計算能力，屬于中檔題.22、（1）；（2）存在，.【解析】(1)根據(jù)給定條件求出橢圓長短半軸長即可代入計算作答.(2)當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)出直線l的方程，與橢