導(dǎo)數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)篇講義

第1節(jié)導(dǎo)數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)篇考點(diǎn)出現(xiàn)頻率2022年預(yù)測(cè)導(dǎo)數(shù)的幾何意義16/322022年高考仍然重點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求函數(shù)的切線(xiàn)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值問(wèn)題，難度可以基礎(chǔ)題，也可為中檔題，也可為難題，題型為選擇、填空或解答題．導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性7/32導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值5/32導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值5/32基礎(chǔ)知識(shí)診斷回顧教材務(wù)實(shí)基礎(chǔ)【知識(shí)梳理】考點(diǎn)1導(dǎo)數(shù)的概念和幾何性質(zhì)1.概念函數(shù)在處瞬時(shí)變化率是，我們稱(chēng)它為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù),記作或．要點(diǎn)詮釋?zhuān)孩僭隽靠梢允钦龜?shù)，也可以是負(fù)，但是不可以等于0．的意義：與0之間距離要多近有多近，即可以小于給定的任意小的正數(shù)；②當(dāng)時(shí)，在變化中都趨于0，但它們的比值卻趨于一個(gè)確定的常數(shù)，即存在一個(gè)常數(shù)與無(wú)限接近；③導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)就是函數(shù)的平均變化率在某點(diǎn)處的極限，即瞬時(shí)變化率．如瞬時(shí)速度即是位移在這一時(shí)刻的瞬間變化率，即．2.幾何意義函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義即為函數(shù)在點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率．用導(dǎo)數(shù)研究切線(xiàn)問(wèn)題，切點(diǎn)是關(guān)鍵．（三大基本關(guān)鍵點(diǎn)：切點(diǎn)在切線(xiàn)上，切點(diǎn)在曲線(xiàn)上，切點(diǎn)橫坐標(biāo)的導(dǎo)函數(shù)值為切線(xiàn)斜率）．(表示傾斜角，注意等于的特殊情況)．3.物理意義函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度，即；在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是物體在時(shí)刻的瞬時(shí)加速度，即．考點(diǎn)2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算1.求導(dǎo)的基本公式基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)（為常數(shù)）2.導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則（1）函數(shù)和差求導(dǎo)法則：；（2）函數(shù)積的求導(dǎo)法則：；（3）函數(shù)商的求導(dǎo)法則：，則．3.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)，的導(dǎo)數(shù)間關(guān)系為：如我們將分三步：①將復(fù)合函數(shù)分解為基本初等函數(shù)；②將對(duì)的導(dǎo)數(shù)記為，將對(duì)的導(dǎo)數(shù)記為；③．基礎(chǔ)知識(shí)診斷回顧教材務(wù)實(shí)基礎(chǔ)考點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)的概念和幾何性質(zhì)【例1】（2020?南陽(yáng)月考）若，則＝（）A． B． C． D．【例2】（2020?全國(guó)Ⅰ卷）曲線(xiàn)的一條切線(xiàn)的斜率為，則該切線(xiàn)的方程為．【例3】（2020?全國(guó)Ⅰ卷）函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為（）A． B． C． D．【拓展提升】（2020?韶關(guān)期末）已知曲線(xiàn)：，求過(guò)點(diǎn)并與曲線(xiàn)相切的直線(xiàn)方程．【拓展提升】（2020?深圳月考）設(shè)點(diǎn)在曲線(xiàn)上，點(diǎn)在曲線(xiàn)上，則最小值為（）A． B． C． D．【解題總結(jié)】1．注意導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義．2．先化簡(jiǎn)解析式，在求導(dǎo)．3．注意區(qū)分在點(diǎn)的切線(xiàn)方程和過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)方程在點(diǎn)的切線(xiàn)方程切線(xiàn)方程的計(jì)算：函數(shù)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，抓住關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)方程設(shè)切點(diǎn)為，則斜率，過(guò)切點(diǎn)的切線(xiàn)方程為：，又因?yàn)榍芯€(xiàn)方程過(guò)點(diǎn)，所以然后解出的值．（有幾個(gè)值，就有幾條切線(xiàn)）注意在做此類(lèi)題目時(shí)要分清題目提供的點(diǎn)在曲線(xiàn)上還是在曲線(xiàn)外．【訓(xùn)練1】（2021?朝陽(yáng)期末）已知，則的值為（）A． B． C． D．【訓(xùn)練2】（2020?全國(guó)Ⅲ）設(shè)函數(shù)，若，則．【訓(xùn)練3】（2020?渭南一模）在處的切線(xiàn)的傾斜角為，則的值為（）A． B． C． D．【訓(xùn)練4】(2018?全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)函數(shù)，若為奇函數(shù)，則曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為（）A． B． C． D．【訓(xùn)練5】（2019?全國(guó)Ⅲ）已知曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，則A． B． C． D．【訓(xùn)練6】（2020?清新期末）曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)與曲線(xiàn)相切，則（）A． B． C． D．【訓(xùn)練7】（2020?珠海期中）直線(xiàn)分別與曲線(xiàn)，交于點(diǎn)，，則的最小值為（）A． B． C． D．考點(diǎn)2八大同構(gòu)函數(shù)八大同構(gòu)函數(shù)分別是：，，，，，，，我們通過(guò)基本的求導(dǎo)來(lái)看看這六大同構(gòu)函數(shù)的圖像，再分析單調(diào)區(qū)間及極值，以及它們之間的本質(zhì)聯(lián)系．圖1-2-1圖1-2-3圖1-2-5圖1-2-7圖1-2-2圖1-2-4圖1-2-6圖1-2-8對(duì)于：如圖1-2-1，求導(dǎo)后知：，在區(qū)間遞減，在區(qū)間遞增，；對(duì)于：如圖1-2-2，求導(dǎo)后知：，在區(qū)間遞減，在區(qū)間遞增，；關(guān)于圖1-2-1和圖1-2-2，我們仔細(xì)觀察會(huì)發(fā)現(xiàn)對(duì)于函數(shù)，我們把換成即可得到．對(duì)于：如圖1-2-3，求導(dǎo)后知：，在區(qū)間遞減，在區(qū)間遞增，；對(duì)于：如圖1-2-4，求導(dǎo)后知：，在區(qū)間遞增，在區(qū)間遞減，；關(guān)于圖1-2-3和圖1-2-4，我們仔細(xì)觀察會(huì)發(fā)現(xiàn)對(duì)于函數(shù)，我們把換成即可得到．對(duì)于：如圖1-2-5，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間遞減；當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間遞減，在區(qū)間遞增，；對(duì)于：如圖1-2-6，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間遞減；當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間遞減，在區(qū)間遞增，；關(guān)于圖1-2-5和圖1-2-6，我們仔細(xì)觀察會(huì)發(fā)現(xiàn)對(duì)于函數(shù)，我們把換成即可得到．對(duì)于：如圖1-2-7，求導(dǎo)后知：，在區(qū)間遞減，在區(qū)間遞增，；對(duì)于：如圖1-2-8，求導(dǎo)后知：，在區(qū)間遞減，在區(qū)間遞增，；關(guān)于圖1-2-7和圖1-2-8，仔細(xì)觀察會(huì)發(fā)現(xiàn)對(duì)于函數(shù)，我們把換成即可得到．【例1】（2020?福建模擬）函數(shù)的最小值為.【例2】（2020?荊州期末）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為A． B． C． D．【例3】（2021?江蘇期末）函數(shù)的最小值為．【解題總結(jié)】1．熟悉掌握八大函數(shù)的基本性質(zhì)．2．利用八大函數(shù)基本性質(zhì)解決最值單調(diào)區(qū)間問(wèn)題．3．注意函數(shù)之間的同構(gòu)式轉(zhuǎn)化．【跟蹤訓(xùn)練1】（2020?惠州期末）函數(shù)的最小值為.【跟蹤訓(xùn)練2】（2020?成都二診）已知函數(shù)，若存在，使得成立，則的最大值為A． B． C． D．考點(diǎn)3三次函數(shù)的圖像和性質(zhì)1.基本性質(zhì)設(shè)三次函數(shù)為：(、、、且),其基本性質(zhì)有：性質(zhì)1：=1\*GB3①定義域?yàn)椋?2\*GB3②值域?yàn)?，函?shù)在整個(gè)定義域上沒(méi)有最大值、最小值．=3\*GB3③單調(diào)性和圖像：圖像圖1-6-1圖1-6-2圖1-6-3圖1-6-4性質(zhì)2：三次方程的實(shí)根個(gè)數(shù)對(duì)于三次函數(shù)(、、、且),其導(dǎo)數(shù)為當(dāng)，其導(dǎo)數(shù)有兩個(gè)解，，原方程有兩個(gè)極值，．當(dāng)時(shí),原方程有且只有一個(gè)實(shí)根；當(dāng)時(shí),原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí),原方程三個(gè)實(shí)數(shù)根；性質(zhì)3：對(duì)稱(chēng)性（1）三次函數(shù)是中心對(duì)稱(chēng)曲線(xiàn)，且對(duì)稱(chēng)中心是；；（2）奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)，周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù)．【例1】(2020?瀘州期末)函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【例2】（2020?金鳳期末）已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的（）有一個(gè)零點(diǎn)在處有極大值 在上單調(diào)遞增 在處有極大值【例3】(2020?貴池期中)設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)，且是偶函數(shù)，則的遞減區(qū)間為（）A． B．， C． D．【例4】(2020?新課標(biāo)Ⅲ)已知函數(shù)．討論的單調(diào)性．若有三個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍【解題總結(jié)】1．注意三次函數(shù)的基本性質(zhì)．2．?dāng)?shù)形結(jié)合便于理解．【跟蹤訓(xùn)練】1．(2020?煙臺(tái)期末)若函數(shù)在定義域上不單調(diào)，實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A．或 B． C． D．2．若函數(shù)有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．3．（2014?全國(guó)=1\*ROMANI理）已知函數(shù)，若存在唯一的零點(diǎn)，且，則的取值范圍為（）A． B． C． D．考點(diǎn)4抽象函數(shù)導(dǎo)函數(shù)構(gòu)造（拓展提升）類(lèi)型一導(dǎo)數(shù)和差，構(gòu)造和差型函數(shù)：；；；和與積聯(lián)系，構(gòu)造乘積型函數(shù)；差與商聯(lián)系，構(gòu)造分式型函數(shù)：；．類(lèi)型二冪函數(shù)及其抽象構(gòu)造定理1；證明：因?yàn)?；，所以，則函數(shù)單調(diào)遞增；，則單調(diào)遞增．定理2當(dāng)時(shí)，；證明因?yàn)?；，所以，則函數(shù)單調(diào)遞增；，則單調(diào)遞減．類(lèi)型三指數(shù)函數(shù)與抽象構(gòu)造定理3；；證明：因?yàn)椋?，所以，則單調(diào)遞增；反之單調(diào)遞減；，則單調(diào)遞增；反之單調(diào)遞減．定理4；．證明：因?yàn)椋?，所以，則單調(diào)遞增；，單調(diào)遞減；若，則單調(diào)遞增，若，則單調(diào)遞減． 定理5正弦同號(hào)，余弦反號(hào)定理，當(dāng)，；，當(dāng)，；，當(dāng)，；，當(dāng)，．遇正切時(shí)化切為弦，請(qǐng)自己證明相關(guān)結(jié)論．【例1】（2020?湛河月考）已知定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，若，且當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（）A． B． C． D．【例2】（2015?新課標(biāo)II）設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)（）的導(dǎo)函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，則使得成立的的取值范圍是（） B． C． D．【例3】（2020?南平一模）已知定義在上的連續(xù)函數(shù)滿(mǎn)足且，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有，則不等式的解集為A．B．C． D．【例4】（2020?汕頭一模）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，函數(shù)對(duì)于任意的滿(mǎn)足（其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），則下列不等式成立的是A． B． C． D．【解題總結(jié)】1．構(gòu)造時(shí)抓住問(wèn)題最后的不等式，往往隱藏著原函數(shù)影子．2．利用單調(diào)性求解范圍．【跟蹤訓(xùn)練】1．（2020?宛城模擬）定義在上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函