上海市上海師范大學(xué)附屬外國語中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研模擬試題含解析

上海市上海師范大學(xué)附屬外國語中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知橢圓的左右焦點分別為，直線與C相交于M，N兩點（其中M在第一象限），若M，，N，四點共圓，且直線傾斜角不小于，則橢圓C的離心率e的取值范圍是（）A. B.C. D.2．等差數(shù)列中，，則前項的和（）A. B.C. D.3．正方體的棱長為2，E，F(xiàn)，G分別為，AB，的中點，則直線ED與FG所成角的余弦值為（）A. B.C. D.4．“橢圓的離心率為”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件5．已知A為拋物線C:y2=2px（p>0）上一點，點A到C的焦點的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則p=（）A.2 B.3C.6 D.96．觀察下列各式：，，，，，可以得出的一般結(jié)論是A.B.C.D.7．如圖所示，正方形邊長為2cm，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長是（）A.16cm B.cmC.8cm D.cm8．在中，，，為所在平面上任意一點，則的最小值為（）A.1 B.C.－1 D.-29．等比數(shù)列的前項和為，若，則（）A. B.8C.1或 D.或10．已知是雙曲線的左焦點，為右頂點，是雙曲線上的點，軸，若，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.11．南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，他所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項之差并不相等，而是逐項差數(shù)之差或者高次差相等.對這類高階等差數(shù)列的研究，在楊輝之后一般稱為“垛積術(shù)”.現(xiàn)有一個高階等差數(shù)列，其前7項分別為1，5，11，21，37，61，95，則該數(shù)列的第7項為（）A.101 B.99C.95 D.9112．雙曲線：的左、右焦點分別為、，過的直線與y軸交于點A、與雙曲線右支交于點B，若為等邊三角形，則雙曲線C的離心率為（）A. B.C.2 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若橢圓的焦點在軸上，且長軸長是短軸長的2倍，則______.14．經(jīng)過點且與雙曲線有公共漸近線的雙曲線方程為_________15．已知三棱錐中，平面BCD，，，，則三棱錐的外接球的表面積為_____.16．若正四棱柱的底面邊長為5，側(cè)棱長為4，則此正四棱柱的體積為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線的焦點到準線的距離為4，直線與拋物線交于兩點.（1）求此拋物線的方程；（2）若以為直徑的圓過原點O，求實數(shù)k的值.18．（12分）已知圓的圓心在直線上，且圓與軸相切于點（1）求圓的標準方程；（2）若直線與圓相交于，兩點，求的面積19．（12分）已知拋物線的焦點為F，點是拋物線上的點，且.（1）求拋物線方程；（2）直線與拋物線交于、兩點，且.求△OPQ面積的最小值.20．（12分）已知數(shù)列的前項和為，且，（1）求的通項公式；（2）求的最小值21．（12分）已知直線l：，圓C：.（1）當時，試判斷直線l與圓C的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若直線l被圓C截得的弦長恰好為，求k的值.22．（10分）已知函數(shù)，且a0（1）當a=1時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）記函數(shù)，若函數(shù)有兩個零點，①求實數(shù)a的取值范圍；②證明：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】設(shè)橢圓的半焦距為c，由橢圓的中心對稱性和圓的性質(zhì)得以為直徑的圓與橢圓C有公共點，則有以，再根據(jù)直線傾斜角不小于得，由橢圓的定義得，由此可求得橢圓離心率的范圍.【詳解】解：設(shè)橢圓的半焦距為c，由橢圓的中心對稱性和M，，N，四點共圓得，四邊形必為一個矩形，即以為直徑的圓與橢圓C有公共點，所以，所以，所以，因為直線傾斜角不小于，所以直線傾斜角不小于，所以，化簡得，，因為，所以，所以，，又，因為，所以，所以，所以，所以.故選：B.2、D【解析】利用等差數(shù)列下標和性質(zhì)可求得，根據(jù)等差數(shù)列求和公式可求得結(jié)果.【詳解】數(shù)列為等差數(shù)列，，解得：；.故選：D.3、B【解析】建立空間直角坐標系，利用空間向量坐標運算即可求解.【詳解】如圖所示建立適當空間直角坐標系，故選：B4、C【解析】討論橢圓焦點的位置，根據(jù)離心率分別求出參數(shù)m，由充分必要性的定義判斷條件間的充分、必要關(guān)系.【詳解】當橢圓的焦點在軸上時，，得；當橢圓的焦點在軸上時，，得故“橢圓的離心率為”是“”的必要不充分條件故選：C.5、C【解析】利用拋物線的定義建立方程即可得到答案.【詳解】設(shè)拋物線的焦點為F，由拋物線的定義知，即，解得.故選：C.【點晴】本題主要考查利用拋物線的定義計算焦半徑，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸思想，是一道容易題.6、C【解析】1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，…，由上述式子可以歸納：左邊每一個式子均有2n-1項，且第一項為n，則最后一項為3n-2右邊均為2n-1的平方故選C點睛：歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表達的一般性命題（猜想）7、A【解析】由直觀圖確定原圖形中平行四邊形中線段的長度與關(guān)系，然后計算可得【詳解】由斜二測畫法，原圖形是平行四邊形，，又，，，所以，周長為故選：A8、C【解析】以為建立平面直角坐標系，設(shè)，把向量的數(shù)量積用坐標表示后可得最小值【詳解】如圖，以為建立平面直角坐標系，則，設(shè)，，，，，∴，∴當時，取得最小值故選：C【點睛】本題考查向量的數(shù)量積，解題方法是建立平面直角坐標系，把向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為坐標表示9、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的前項和公式及等比數(shù)列通項公式即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則因為，所以，即，解得或，所以或.故選：C.10、C【解析】根據(jù)條件可得與，進而可得，，的關(guān)系，可得解.【詳解】由已知得，設(shè)點，由軸，則，代入雙曲線方程可得，即，又，所以，即，整理可得，故，解得或（舍），故選：C.11、C【解析】根據(jù)所給數(shù)列找到規(guī)律：兩次后項減前項所得數(shù)列為公差為2的數(shù)列，進而反向確定原數(shù)列的第7項.【詳解】根據(jù)所給定義，用數(shù)列的后一項減去前一項得到一個數(shù)列，得到的數(shù)列也用后一項減去前一項得到一個數(shù)列，即得到了一個等差數(shù)列，如圖：故選：C.12、B【解析】由雙曲線的定義知，，又為等邊三角形，所以，由對稱性有，所以，在直角三角形中，求出，在三角形中，由余弦定理求出，從而即可求解.【詳解】解：由雙曲線的定義知，，又為等邊三角形，所以，由對稱性有，所以，在直角三角形中，，在三角形中，由余弦定理有，所以，解得，所以雙曲線C的離心率，故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解析】根據(jù)橢圓焦點在軸上方程的特征進行求解即可.【詳解】因為橢圓的焦點在軸上，所以有，因為長軸長是短軸長的2倍，所以有，故答案為：414、【解析】由題意設(shè)所求雙曲線的方程為，∵點在雙曲線上，∴，∴所求的雙曲線方程為，即答案：15、【解析】由題意可知三棱錐的外接球即為三棱柱的外接球，進而求出三棱柱的外接球的半徑即可得出結(jié)果.【詳解】因為，，所以，故，又因為平面BCD，因此三棱錐的外接球即為三棱柱的外接球，如圖：取的中點，則為外接圓的圓心，取的中點，則為外接圓的圓心，則的中點即為外接球的球心，因此，,因此，所以三棱錐的外接球的表面積為，故答案為：.16、100【解析】根據(jù)棱柱體積公式直接可得.【詳解】故答案為：100三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)焦點到準線的距離，可得到，可得結(jié)果.（2）假設(shè)的坐標，得到，然后聯(lián)立直線與拋物線的方程，利用韋達定理，根據(jù)，可得結(jié)果.【詳解】（1）由題知：拋物線的焦點到準線的距離為，∴拋物線的方程為（2）設(shè)聯(lián)立，得，則，，，∵以為直徑圓過原點O，∴，∴，即，解得或（舍），∴【點睛】本題主要考查直線與拋物線的幾何關(guān)系的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.18、（1）（2）4【解析】（1）由已知設(shè)圓心，再由相切求圓半徑從而得解.（2）求弦長，再求點到直線的距離，進而可得解.【小問1詳解】因為圓心在直線上，所以設(shè)圓心，又圓與軸相切于點，所以，即圓與軸相切，則圓的半徑，于是圓的方程為【小問2詳解】圓心到直線的距離，則，又到直線的距離為，所以.19、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)拋物線的定義列方程，由此求得，進而求得拋物線方程.（2）聯(lián)立直線的方程和拋物線方程，寫出根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合求得的值，求得三角形面積的表達式，進而求得面積的最小值.【詳解】（1）依題意.（2）與聯(lián)立得，，得，又，又m>0，m=4.且，，當k=0時，S最小，最小值為.20、（1）（2）【解析】（1）由可求得的值，由可求得數(shù)列的通項公式；（2）求得，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最小值.【小問1詳解】解：由題意可得，解得，所以，.當時，，當時，，也滿足，故對任意的，.【小問2詳解】解：，所以，當或時，取得最小值，且最小值為.21、（1）相離，理由見解析；（2）0或【解析】（1）求出圓心到直線的距離和半徑比較即可判斷；（2）求出圓心到直線的距離，利用弦長計算即可得出.【詳解】（1）圓C：的圓心為，半徑為2，當時，線l：，則圓心到直線的距離為，直線l與圓C相離；（2）圓心到直線的距離為，弦長為，則，解得或.22、（1）函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，+)上單調(diào)遞減（2）①；②證明見解析【解析】（1）求導(dǎo)，求解可得導(dǎo)函數(shù)恒小于等于0,即得證；（2）①分析函數(shù)的單調(diào)性，由有兩個實數(shù)根可