2025屆深圳市龍崗區(qū)數(shù)學(xué)高三上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題含解析_第1頁(yè)
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2025屆深圳市龍崗區(qū)數(shù)學(xué)高三上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來(lái)的答案,然后再寫(xiě)上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.是拋物線上一點(diǎn),是圓關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)圓上的一點(diǎn),則最小值是()A. B. C. D.2.已知,則的值構(gòu)成的集合是()A. B. C. D.3.港珠澳大橋于2018年10月2刻日正式通車(chē),它是中國(guó)境內(nèi)一座連接香港、珠海和澳門(mén)的橋隧工程,橋隧全長(zhǎng)55千米.橋面為雙向六車(chē)道高速公路,大橋通行限速100km/h,現(xiàn)對(duì)大橋某路段上1000輛汽車(chē)的行駛速度進(jìn)行抽樣調(diào)查.畫(huà)出頻率分布直方圖(如圖),根據(jù)直方圖估計(jì)在此路段上汽車(chē)行駛速度在區(qū)間[85,90)的車(chē)輛數(shù)和行駛速度超過(guò)90km/h的頻率分別為()A.300, B.300, C.60, D.60,4.空氣質(zhì)量指數(shù)是反映空氣狀況的指數(shù),指數(shù)值趨小,表明空氣質(zhì)量越好,下圖是某市10月1日-20日指數(shù)變化趨勢(shì),下列敘述錯(cuò)誤的是()A.這20天中指數(shù)值的中位數(shù)略高于100B.這20天中的中度污染及以上(指數(shù))的天數(shù)占C.該市10月的前半個(gè)月的空氣質(zhì)量越來(lái)越好D.總體來(lái)說(shuō),該市10月上旬的空氣質(zhì)量比中旬的空氣質(zhì)量好5.某大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院的薛教授在2019年人工智能方向招收了6名研究生.薛教授欲從人工智能領(lǐng)域的語(yǔ)音識(shí)別、人臉識(shí)別,數(shù)據(jù)分析、機(jī)器學(xué)習(xí)、服務(wù)器開(kāi)發(fā)五個(gè)方向展開(kāi)研究,且每個(gè)方向均有研究生學(xué)習(xí),其中劉澤同學(xué)學(xué)習(xí)人臉識(shí)別,則這6名研究生不同的分配方向共有()A.480種 B.360種 C.240種 D.120種6.某幾何體的三視圖如圖所示,若側(cè)視圖和俯視圖均是邊長(zhǎng)為的等邊三角形,則該幾何體的體積為A. B. C. D.7.已知拋物線,過(guò)拋物線上兩點(diǎn)分別作拋物線的兩條切線為兩切線的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)若,則直線與的斜率之積為()A. B. C. D.8.已知雙曲線與雙曲線有相同的漸近線,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.9.已知函數(shù),,若對(duì)任意的,存在實(shí)數(shù)滿足,使得,則的最大值是()A.3 B.2 C.4 D.510.是邊長(zhǎng)為的等邊三角形,、分別為、的中點(diǎn),沿把折起,使點(diǎn)翻折到點(diǎn)的位置,連接、,當(dāng)四棱錐的外接球的表面積最小時(shí),四棱錐的體積為()A. B. C. D.11.在中,角、、所對(duì)的邊分別為、、,若,則()A. B. C. D.12.函數(shù)在的圖象大致為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在正奇數(shù)非減數(shù)列中,每個(gè)正奇數(shù)出現(xiàn)次.已知存在整數(shù)、、,對(duì)所有的整數(shù)滿足,其中表示不超過(guò)的最大整數(shù).則等于______.14.在的二項(xiàng)展開(kāi)式中,所有項(xiàng)的系數(shù)之和為1024,則展開(kāi)式常數(shù)項(xiàng)的值等于_______.15.下圖是一個(gè)算法流程圖,則輸出的的值為_(kāi)_________.16.?dāng)?shù)列滿足,則,_____.若存在n∈N*使得成立,則實(shí)數(shù)λ的最小值為_(kāi)_____三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),其中,.(1)函數(shù)的圖象能否與x軸相切?若能,求出實(shí)數(shù)a;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.(2)若在處取得極大值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.18.(12分)如圖,在直角中,,通過(guò)以直線為軸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到().點(diǎn)為斜邊上一點(diǎn).點(diǎn)為線段上一點(diǎn),且.(1)證明:平面;(2)當(dāng)直線與平面所成的角取最大值時(shí),求二面角的正弦值.19.(12分)已知函數(shù),且.(1)求的解析式;(2)已知,若對(duì)任意的,總存在,使得成立,求的取值范圍.20.(12分)選修4-5:不等式選講已知函數(shù)f(x)=log2(|x+1|+|x﹣2|﹣m).(1)當(dāng)m=7時(shí),求函數(shù)f(x)的定義域;(2)若關(guān)于x的不等式f(x)≥2的解集是R,求m的取值范圍.21.(12分)已知矩陣的逆矩陣.若曲線:在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下得到另一曲線,求曲線的方程.22.(10分)已知橢圓的左焦點(diǎn)為F,上頂點(diǎn)為A,直線AF與直線垂直,垂足為B,且點(diǎn)A是線段BF的中點(diǎn).(I)求橢圓C的方程;(II)若M,N分別為橢圓C的左,右頂點(diǎn),P是橢圓C上位于第一象限的一點(diǎn),直線MP與直線交于點(diǎn)Q,且,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

求出點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而可得出圓關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)圓的方程,利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求出的最小值,由此可得出,即可得解.【詳解】如下圖所示:設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn),則,整理得,解得,即點(diǎn),所以,圓關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)圓的方程為,設(shè)點(diǎn),則,當(dāng)時(shí),取最小值,因此,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線上一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)最值的計(jì)算,同時(shí)也考查了兩圓關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中等題.2、C【解析】

對(duì)分奇數(shù)、偶數(shù)進(jìn)行討論,利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得.【詳解】為偶數(shù)時(shí),;為奇數(shù)時(shí),,則的值構(gòu)成的集合為.【點(diǎn)睛】本題考查三角式的化簡(jiǎn),誘導(dǎo)公式,分類(lèi)討論,屬于基本題.3、B【解析】

由頻率分布直方圖求出在此路段上汽車(chē)行駛速度在區(qū)間的頻率即可得到車(chē)輛數(shù),同時(shí)利用頻率分布直方圖能求行駛速度超過(guò)的頻率.【詳解】由頻率分布直方圖得:在此路段上汽車(chē)行駛速度在區(qū)間的頻率為,∴在此路段上汽車(chē)行駛速度在區(qū)間的車(chē)輛數(shù)為:,行駛速度超過(guò)的頻率為:.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查頻數(shù)、頻率的求法,考查頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題.4、C【解析】

結(jié)合題意,根據(jù)題目中的天的指數(shù)值,判斷選項(xiàng)中的命題是否正確.【詳解】對(duì)于,由圖可知天的指數(shù)值中有個(gè)低于,個(gè)高于,其中第個(gè)接近,第個(gè)高于,所以中位數(shù)略高于,故正確.對(duì)于,由圖可知天的指數(shù)值中高于的天數(shù)為,即占總天數(shù)的,故正確.對(duì)于,由圖可知該市月的前天的空氣質(zhì)量越來(lái)越好,從第天到第天空氣質(zhì)量越來(lái)越差,故錯(cuò)誤.對(duì)于,由圖可知該市月上旬大部分指數(shù)在以下,中旬大部分指數(shù)在以上,所以該市月上旬的空氣質(zhì)量比中旬的空氣質(zhì)量好,故正確.故選:【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)折線圖數(shù)據(jù)的分析,讀懂題意是解題關(guān)鍵,并能運(yùn)用所學(xué)知識(shí)對(duì)命題進(jìn)行判斷,本題較為基礎(chǔ).5、B【解析】

將人臉識(shí)別方向的人數(shù)分成:有人、有人兩種情況進(jìn)行分類(lèi)討論,結(jié)合捆綁計(jì)算出不同的分配方法數(shù).【詳解】當(dāng)人臉識(shí)別方向有2人時(shí),有種,當(dāng)人臉識(shí)別方向有1人時(shí),有種,∴共有360種.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查簡(jiǎn)單排列組合問(wèn)題,考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法,屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】

由三視圖可知,該幾何體是三棱錐,底面是邊長(zhǎng)為的等邊三角形,三棱錐的高為,所以該幾何體的體積,故選C.7、A【解析】

設(shè)出A,B的坐標(biāo),利用導(dǎo)數(shù)求出過(guò)A,B的切線的斜率,結(jié)合,可得x1x2=﹣1.再寫(xiě)出OA,OB所在直線的斜率,作積得答案.【詳解】解:設(shè)A(),B(),由拋物線C:x2=1y,得,則y′.∴,,由,可得,即x1x2=﹣1.又,,∴.故選:A.點(diǎn)睛:(1)本題主要考查拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),考查直線和拋物線的位置關(guān)系,意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握能力和分析推理能力.(2)解答本題的關(guān)鍵是解題的思路,由于與切線有關(guān),所以一般先設(shè)切點(diǎn),先設(shè)A,B,,再求切線PA,PB方程,求點(diǎn)P坐標(biāo),再根據(jù)得到最后求直線與的斜率之積.如果先設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo),計(jì)算量就大一些.8、C【解析】

由雙曲線與雙曲線有相同的漸近線,列出方程求出的值,即可求解雙曲線的離心率,得到答案.【詳解】由雙曲線與雙曲線有相同的漸近線,可得,解得,此時(shí)雙曲線,則曲線的離心率為,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用,其中解答中熟記雙曲線的幾何性質(zhì),準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵,著重考查了運(yùn)算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】

根據(jù)條件將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為,對(duì)于恒成立,然后構(gòu)造函數(shù),然后求出的范圍,進(jìn)一步得到的最大值.【詳解】,,對(duì)任意的,存在實(shí)數(shù)滿足,使得,易得,即恒成立,,對(duì)于恒成立,設(shè),則,令,在恒成立,,故存在,使得,即,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增.,將代入得:,,且,故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,零點(diǎn)存在定理和不等式恒成立問(wèn)題,考查了轉(zhuǎn)化思想,屬于難題.10、D【解析】

首先由題意得,當(dāng)梯形的外接圓圓心為四棱錐的外接球球心時(shí),外接球的半徑最小,通過(guò)圖形發(fā)現(xiàn),的中點(diǎn)即為梯形的外接圓圓心,也即四棱錐的外接球球心,則可得到,進(jìn)而可根據(jù)四棱錐的體積公式求出體積.【詳解】如圖,四邊形為等腰梯形,則其必有外接圓,設(shè)為梯形的外接圓圓心,當(dāng)也為四棱錐的外接球球心時(shí),外接球的半徑最小,也就使得外接球的表面積最小,過(guò)作的垂線交于點(diǎn),交于點(diǎn),連接,點(diǎn)必在上,、分別為、的中點(diǎn),則必有,,即為直角三角形.對(duì)于等腰梯形,如圖:因?yàn)槭堑冗吶切?,、、分別為、、的中點(diǎn),必有,所以點(diǎn)為等腰梯形的外接圓圓心,即點(diǎn)與點(diǎn)重合,如圖,,所以四棱錐底面的高為,.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查四棱錐的外接球及體積問(wèn)題,關(guān)鍵是要找到外接球球心的位置,這個(gè)是一個(gè)難點(diǎn),考查了學(xué)生空間想象能力和分析能力,是一道難度較大的題目.11、D【解析】

利用余弦定理角化邊整理可得結(jié)果.【詳解】由余弦定理得:,整理可得:,.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理邊角互化的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】

先根據(jù)函數(shù)奇偶性排除B,再根據(jù)函數(shù)極值排除A;結(jié)合特殊值即可排除D,即可得解.【詳解】函數(shù),則,所以為奇函數(shù),排除B選項(xiàng);當(dāng)時(shí),,所以排除A選項(xiàng);當(dāng)時(shí),,排除D選項(xiàng);綜上可知,C為正確選項(xiàng),故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖像,注意奇偶性、單調(diào)性、極值與特殊值的使用,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、2【解析】

將已知數(shù)列分組為(1),,共個(gè)組.設(shè)在第組,,則有,即.注意到,解得.所以,.因此,.故.14、【解析】

利用展開(kāi)式所有項(xiàng)系數(shù)的和得n=5,再利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式,求得展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng).【詳解】因?yàn)榈亩?xiàng)展開(kāi)式中,所有項(xiàng)的系數(shù)之和為4n=1024,n=5,故的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T(mén)r+1=C·35-r,令,解得r=4,可得常數(shù)項(xiàng)為T(mén)5=C·3=15,故填15.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì),二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式,屬于中檔題.15、3【解析】

分析程序中各變量、各語(yǔ)句的作用,根據(jù)流程圖所示的順序,即可得出結(jié)論.【詳解】解:初始,第一次循環(huán):;第二次循環(huán):;第三次循環(huán):;經(jīng)判斷,此時(shí)跳出循環(huán),輸出.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖的應(yīng)用問(wèn)題,解題的關(guān)鍵是對(duì)算法語(yǔ)句的理解,屬基礎(chǔ)題.16、【解析】

利用“退一作差法”求得數(shù)列的通項(xiàng)公式,將不等式分離常數(shù),利用商比較法求得的最小值,由此求得的取值范圍,進(jìn)而求得的最小值.【詳解】當(dāng)時(shí)兩式相減得所以當(dāng)時(shí),滿足上式綜上所述存在使得成立的充要條件為存在使得,設(shè),所以,即,所以單調(diào)遞增,的最小項(xiàng),即有的最小值為.故答案為:(1).(2).【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式,考查數(shù)列單調(diào)性的判斷方法,考查不等式成立的存在性問(wèn)題的求解策略,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)答案見(jiàn)解析(2)【解析】

(1)假設(shè)函數(shù)的圖象與x軸相切于,根據(jù)相切可得方程組,看方程是否有解即可;(2)求出的導(dǎo)數(shù),設(shè)(),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及在處取得極大值求出a的范圍即可.【詳解】(1)函數(shù)的圖象不能與x軸相切,理由若下:.假設(shè)函數(shù)的圖象與x軸相切于則即顯然,,代入中得,無(wú)實(shí)數(shù)解.故函數(shù)的圖象不能與x軸相切.(2)(),,設(shè)(),恒大于零.在上單調(diào)遞增.又,,,∴存在唯一,使,且時(shí),時(shí),①當(dāng)時(shí),恒成立,在單調(diào)遞增,無(wú)極值,不合題意.②當(dāng)時(shí),可得當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),.所以在內(nèi)單調(diào)遞減,在內(nèi)單調(diào)遞增,所以在處取得極小值,不合題意.③當(dāng)時(shí),可得當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),.所以在內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減,所以在處取得極大值,符合題意.此時(shí)由得即,綜上可知,實(shí)數(shù)a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性,最值問(wèn)題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類(lèi)討論思想,轉(zhuǎn)化思想,屬于難題.18、(1)見(jiàn)解析;(2)【解析】

(1)先算出的長(zhǎng)度,利用勾股定理證明,再由已知可得,利用線面垂直的判定定理即可證明;(2)由(1)可得為直線與平面所成的角,要使其最大,則應(yīng)最小,可得為中點(diǎn),然后建系分別求出平面的法向量即可算得二面角的余弦值,進(jìn)一步得到正弦值.【詳解】(1)在中,,由余弦定理得,∴,∴,由題意可知:∴,,,∴平面,平面,∴,又,∴平面.(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn),以,,的方向?yàn)椋?,軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系.∵平面,∴在平面上的射影是,∴與平面所成的角是,∴最大時(shí),即,點(diǎn)為中點(diǎn).,,,,,,,設(shè)平面的法向量,由,得,令,得,所以平面的法向量,同理,設(shè)平面的法向量,由,得,令,得,所以平面的法向量,∴,,故二面角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的判定定理以及利用向量法求二面角的正弦值,考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力,是一道中檔題.19、(1);(2)【解析】

(1)由,可求出的值,進(jìn)而可求得的解析式;(2)分別求得和的值域,再結(jié)合兩個(gè)函數(shù)的值域間的關(guān)系可求出的取值范圍.【詳解】(1)因?yàn)?所以,解得,故.(2)因?yàn)?所以,所以,則,圖象的對(duì)稱(chēng)軸是.因?yàn)?所以,則,解得,故的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的恒等變換,考查了二次函數(shù)及三角函數(shù)值域的求法,考查了學(xué)生的計(jì)算求解能力,屬于中檔題.20、(1),(2)【解析】試題分析:用零點(diǎn)分區(qū)間討論法解含絕對(duì)值的不等式,根據(jù)絕對(duì)值三角不等式得出,不等式|x+1|+|x﹣2|≥m+4解集是R,只需m+4≤3,得出的范圍.試題解析:(1)由題設(shè)知:|x+1|+|x﹣2|>7,不等式的解集是以下不等式組解集的并集:,或,或,解得函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋ī仭蓿?)∪(4,+∞).(2)不等式f(x)≥2即|x+1|+|x﹣2|≥m+4,∵x∈R時(shí),恒有|x+1|+|x﹣2|≥|(x+1)﹣(x﹣2)|=3,不等式|x+1|+|x﹣2|≥m+4解集是R,∴m+4≤3,m的取值范圍是(﹣∞,﹣1].21、【解析】

根據(jù),可解得,設(shè)為曲線任一點(diǎn),在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn),則點(diǎn)在曲線上,根據(jù)變換的定義寫(xiě)出相應(yīng)的矩陣等式,再用表示出,代入曲線的方程中,即得.【詳解】,,即.,解得,.設(shè)為曲線任一點(diǎn),則,又設(shè)在矩陣A變換作用得到點(diǎn),則,即,所以即代入,得,所以曲線的方程為.【點(diǎn)睛】本題考查逆矩陣,矩陣與變換等,是基礎(chǔ)題.22、(I).(II)【解析】

(I)寫(xiě)出坐標(biāo),利用直線與直線垂直,得到.求出點(diǎn)的坐標(biāo)代入,可得到的一個(gè)關(guān)系式,由此求得和的值,進(jìn)而求得橢圓方程.(II)設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo),由此寫(xiě)出直線的方程,從而求得點(diǎn)的坐標(biāo),代入,化簡(jiǎn)可求得點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】(I)∵橢圓的左焦點(diǎn),上頂點(diǎn),直線AF與直線垂直∴直線AF的斜率,即①又點(diǎn)A是線段BF的中點(diǎn)∴點(diǎn)的坐標(biāo)為又點(diǎn)在直線上∴

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