黑龍江省雙鴨山市第三十一中學(xué)2025屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題含解析

黑龍江省雙鴨山市第三十一中學(xué)2025屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．下列函數(shù)既是奇函數(shù)又是周期為π的函數(shù)是()A. B.C. D.2．已知正方體ABCD-ABCD中,E、F分別為BB、CC的中點(diǎn),那么異面直線AE與DF所成角的余弦值為A. B.C. D.3．命題“”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是（）A. B.C. D.4．已知兩個(gè)非零向量，滿足，則下面結(jié)論正確的是A. B.C. D.5．酒駕是嚴(yán)重危害交通安全的違法行為．根據(jù)國(guó)家有關(guān)規(guī)定：駕駛?cè)搜褐械木凭看笥冢ɑ虻扔冢┖量?毫升，小于毫克/毫升的情況下駕駛機(jī)動(dòng)車屬于飲酒駕車；含量大于（或等于）毫克/毫升的情況下駕駛機(jī)動(dòng)車屬于醉酒駕車．假設(shè)某駕駛員一天晚上點(diǎn)鐘喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到毫克/毫升．如果在停止喝酒后，他血液中酒精含量以每小時(shí)的速度減少，則他次日上午最早（）點(diǎn)（結(jié)果取整數(shù)）開(kāi)車才不構(gòu)成酒駕．（參考數(shù)據(jù)：，）A. B.C. D.6．角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的值為（）A. B.C. D.7．集合，集合或，則集合（）A. B.C. D.8．半徑為2的扇形OAB中，已知弦AB的長(zhǎng)為2，則的長(zhǎng)為A. B.C. D.9．“”是“”的條件A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.即不充分也不必要條件10．將長(zhǎng)方體截去一個(gè)四棱錐，得到的幾何體如右圖所示，則該幾何體的左視圖為（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知函數(shù)是定義在的奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)b的值為_(kāi)________；若函數(shù)，如果對(duì)于，，使得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________12．若函數(shù)（，且）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則___________.13．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)和之間的距離為_(kāi)___________.14．已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，方差，則另外一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為_(kāi)__________，方差為_(kāi)__________.15．設(shè)函數(shù)；若方程有且僅有1個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是__________16．命題“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”的否定是三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知函數(shù)過(guò)定點(diǎn)，函數(shù)的定義域?yàn)?（Ⅰ）求定點(diǎn)并證明函數(shù)的奇偶性；（Ⅱ）判斷并證明函數(shù)在上的單調(diào)性；（Ⅲ）解不等式.18．已知函數(shù)（1）判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性的定義給出證明；（2）設(shè)（k為常數(shù)）有兩個(gè)零點(diǎn)，且，當(dāng)時(shí)，求k的取值范圍19．為弘揚(yáng)中華傳統(tǒng)文化，學(xué)校課外閱讀興趣小組進(jìn)行每日一小時(shí)“經(jīng)典名著”和“古詩(shī)詞”的閱讀活動(dòng).根據(jù)調(diào)查，小明同學(xué)閱讀兩類讀物的閱讀量統(tǒng)計(jì)如下：小明閱讀“經(jīng)典名著”的閱讀量（單位：字）與時(shí)間t（單位：分鐘）滿足二次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示；t01020300270052007500閱讀“古詩(shī)詞”的閱讀量（單位：字）與時(shí)間t（單位：分鐘）滿足如圖1所示的關(guān)系.（1）請(qǐng)分別寫出函數(shù)和的解析式；（2）在每天的一小時(shí)課外閱讀活動(dòng)中，小明如何分配“經(jīng)典名著”和“古詩(shī)詞”的閱讀時(shí)間，使每天的閱讀量最大，最大值是多少？20．如圖，在三棱錐P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，CA＝CB，點(diǎn)D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)．求證：（1）DE∥平面PBC；（2）CD⊥平面PAB21．某地區(qū)今年1月、2月、3月患某種傳染病的人數(shù)分別為52、54、58；為了預(yù)測(cè)以后各月的患病人數(shù)，根據(jù)今年1月、2月、3月的數(shù)據(jù)，甲選擇了模型fx=ax2+bx+c，乙選擇了模型y=p?qx+r，其中y為患病人數(shù)，x為月份數(shù)，a，b，（1）如果4月、5月、6月份的患病人數(shù)分別為66、82、115，你認(rèn)為誰(shuí)選擇的模型較好？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）至少要經(jīng)過(guò)多少個(gè)月患該傳染病的人數(shù)將會(huì)超過(guò)2000人？試用你認(rèn)為比較好的模型解決上述問(wèn)題．（參考數(shù)據(jù)：210=1024，

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】先判斷函數(shù)的奇偶性，再求函數(shù)的周期，然后確定選項(xiàng)【詳解】是最小正周期為的奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；的最小正周期是π是偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；是最小正周期是π是偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；最小正周期為π的奇函數(shù)，故D正確﹒故選：D2、C【解析】連接DF,因?yàn)镈F與AE平行,所以∠DFD即為異面直線AE與DF所成角的平面角,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則FD=FD=,由余弦定理得cos∠DFD==.3、D【解析】先確定“”為真命題時(shí)的范圍，進(jìn)而找到對(duì)應(yīng)選項(xiàng).【詳解】“”為真命題，可得，因?yàn)椋蔬x:D.4、B【解析】，所以，故選B考點(diǎn)：平面向量的垂直5、D【解析】根據(jù)題意可得不等式，解不等式可求得，由此可得結(jié)論.【詳解】假設(shè)經(jīng)過(guò)小時(shí)后，駕駛員開(kāi)車才不構(gòu)成酒駕，則，即，，則，，次日上午最早點(diǎn)，該駕駛員開(kāi)車才不構(gòu)成酒駕.故選：D.6、D【解析】根據(jù)三角函數(shù)定義求解即可.【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，，所以.故選：D7、C【解析】先求得，結(jié)合集合并集的運(yùn)算，即可求解.【詳解】由題意，集合或，可得，又由，所以.故選：C.8、C【解析】由已知可求圓心角的大小，根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可計(jì)算得解【詳解】設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為l，圓心角大小為，∵半徑為2的扇形OAB中，弦AB的長(zhǎng)為2，∴，∴故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查了弧長(zhǎng)公式的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題9、A【解析】若,則；若,則,推不出．所以“”是“”成立的充分不必要條件．故選A考點(diǎn)：充分必要條件10、D【解析】答案：D左視圖即是從正左方看，找特殊位置的可視點(diǎn)，連起來(lái)就可以得到答案二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、①.0②.【解析】由，可得，設(shè)在的值域?yàn)?，在上的值域?yàn)椋鶕?jù)題意轉(zhuǎn)化為，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)和的值域，結(jié)合集合的運(yùn)算，列出不等式組，即可求解.【詳解】由函數(shù)是定義在的奇函數(shù)，可得，即，經(jīng)檢驗(yàn)，b=0成立，設(shè)在值域?yàn)?，在上的值域?yàn)?，?duì)于，，使得，等價(jià)于，又由為奇函數(shù)，可得，當(dāng)時(shí)，，，所以在的值域?yàn)椋驗(yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可得的最小值為，最大值為，所以函數(shù)的值域?yàn)?，則，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：；.12、【解析】把點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式，即可求出的值.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，解得.故答案為：.13、【解析】利用空間兩點(diǎn)間的距離公式求解.【詳解】由空間直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間距離公式可得.故答案為：14、①.32②.135【解析】由平均數(shù)與方差的性質(zhì)即可求解.【詳解】由題意，數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為.故答案為：；15、【解析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式作出函數(shù)圖象，將方程有且僅有1個(gè)實(shí)數(shù)根轉(zhuǎn)化為函數(shù)與直線有一個(gè)交點(diǎn)，然后數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】作出函數(shù)的圖象，如圖：結(jié)合圖象可得：，故答案為：.16、對(duì)任何x∈R，都有x2+2x+5≠0【解析】因?yàn)槊}“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”是特稱命題，根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題，可得命題的否定為：對(duì)任何x∈R，都有x2+2x+5≠0故答案為對(duì)任何x∈R，都有x2+2x+5≠0三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（Ⅰ）定點(diǎn)為，奇函數(shù)，證明見(jiàn)解析；（Ⅱ）在上單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析；（Ⅲ）.【解析】（Ⅰ）根據(jù)解析式可求得定點(diǎn)為，即可得解析式，根據(jù)奇函數(shù)的定義，即可得證；（Ⅱ）利用定義法即可證明的單調(diào)性；（Ⅲ）根據(jù)的單調(diào)性和奇偶性，化簡(jiǎn)整理，可得，根據(jù)函數(shù)的定義域，列出不等式組，即可求得答案.【詳解】（Ⅰ）函數(shù)過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)為，，定義域?yàn)椋?函數(shù)為奇函數(shù).（Ⅱ）上單調(diào)遞增.證明：任取，且，則.，，，，，即，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù).（Ⅲ），即，函數(shù)為奇函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，，，解得：.故不等式的解集為：【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是熟練掌握函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的定義，并靈活應(yīng)用，在處理單調(diào)性、奇偶性綜合問(wèn)題時(shí)，需要注意函數(shù)所有的自變量都要在定義域內(nèi)，方可求得正確答案.18、（1）在區(qū)間上的單調(diào)遞減，證明詳見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）在區(qū)間上的單調(diào)遞減，任取，且，再判斷的符號(hào)即可；（2）令，得到，根據(jù)，轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)零點(diǎn)，且，求解.【小問(wèn)1詳解】解：在區(qū)間上的單調(diào)遞減，證明如下：任取，且，則，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，即，所以在區(qū)間上的單調(diào)遞減；【小問(wèn)2詳解】令，則，因?yàn)?，所以，則，即，因?yàn)椋╧為常數(shù)）有兩個(gè)零點(diǎn)，且，，所以（k為常數(shù)）有兩個(gè)零點(diǎn)，且，，所以，解得.19、（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【解析】（1）設(shè)f（t）=代入（10，2700）與（30，7500），解得a與b.令＝kt，,代入（40，8000），解得k,再令＝mt+b，,代入（40，8000），（60，11000），解得m，b的值．即可得到和的解析式；（2）由題意知每天的閱讀量為=，分和兩種情況，分別求得最大值，比較可得結(jié)論.【詳解】（1）因?yàn)閒（0）=0，所以可設(shè)f（t）=代入（10，2700）與（30，7500），解得a=-1,b=280.所以,又令＝kt，,代入（40，8000），解得k=200,令＝mt+b，,代入（40，8000），（60，11000），解得m=150,b=2000，所以.（2）設(shè)小明對(duì)“經(jīng)典名著”的閱讀時(shí)間為，則對(duì)“古詩(shī)詞”的閱讀時(shí)間為，①當(dāng)，即時(shí)，==，所以當(dāng)時(shí)，有最大值13600.當(dāng)，即時(shí)，h=，因?yàn)榈膶?duì)稱軸方程為，所以當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，有最大值為13200.因?yàn)?3600>13200，所以閱讀總字?jǐn)?shù)的最大值為13600，此時(shí)對(duì)“經(jīng)典名著”的閱讀時(shí)間為40分鐘，對(duì)“古詩(shī)詞”的閱讀時(shí)間為20分鐘【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)解析式的求法及應(yīng)用，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，難度中檔20、（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】(1)由點(diǎn)D、E分別為AB、AC中點(diǎn)得知DE∥BC,由此證得DE∥平面PBC;(2)要證CD⊥平面PAB,只需證明垂直平面內(nèi)的兩條相交直線與即可.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)D、E分別為AB、AC中點(diǎn)，所以DE∥BC又因?yàn)镈E?平面PBC，BC?平面PBC，所以DE∥平面PBC（2）因?yàn)镃A＝CB，點(diǎn)D為AB中點(diǎn)，所以CD⊥AB因?yàn)镻A⊥平面ABC，CD?平面ABC，所以PA⊥CD又因?yàn)镻A∩AB＝A，所以CD⊥平面PAB【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明,線面垂直的證明,屬于基礎(chǔ)題.垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見(jiàn)類型(1)證明線面、面面平行,需轉(zhuǎn)化為證明線線平行;(2)證明線面垂直,需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直;(3)證明線線垂直,需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.21、（1）應(yīng)將y=2（2）至少經(jīng)過(guò)11個(gè)月患該傳染病的人數(shù)將會(huì)超過(guò)2000人【解析】（1）分別將x=1，2，3代入兩個(gè)解析式，求得a，b，c，p，q，r，求得解析式，并分別檢驗(yàn)x=4，5