2.10 -2.11 二次函數(shù)與一元二次方程（A卷基礎鞏固） -2021-2022學年九年級數(shù)學下冊同步分層練習（基礎鞏固＋能力拓展北師大版）（解析版）

2.10—2.11二次函數(shù)與一元二次方程學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________A卷（基礎鞏固）一、單選題1．（2021·安徽淮北九年級月考）若二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，則方程的解是（）．A． B．或 C．， D．，【答案】C【分析】根據(jù)題意得：拋物線與x軸交于點，對稱軸為，從而可根據(jù)拋物線的對稱性判斷出拋物線與x軸的另一個交點的坐標，從而可得到方程的解．【詳解】解：根據(jù)題意得：拋物線與x軸交于點，對稱軸為，∴拋物線與x軸的另一個交點坐標為，∴方程的解是，．故選：C．【點睛】本題主要考查的是拋物線與x軸的交點，根據(jù)拋物線的對稱性求得拋物線與x軸的另一個交點坐標是解題的關鍵．2．（2021·福建省福州市九年級月考）函數(shù)的圖象如圖所示，關于x的一元二次方程的根的情況是（）A．有兩個相等的實數(shù)根 B．有兩個不相等的實數(shù)根C．只有一個實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)圖像可知：函數(shù)的最大值為4，即，把函數(shù)向下平移4個單位得，這時與軸只有一個交點，判斷即可得答案．【詳解】函數(shù)的最大值為4，把函數(shù)向下平移4個單位得，由圖可知，向下平移4個單位后與軸只有一個交點，一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根．故選：A．【點睛】本題考查了二次函數(shù)與一元二次方程的知識，通過二次函數(shù)平移問題判斷與軸交點個數(shù)，本題關鍵就是看軸交點個數(shù)，當二次函數(shù)與軸有2個交點，則一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，當二次函數(shù)與軸有1個交點，則一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，當二次函數(shù)與軸無交點，則一元二次方程無實數(shù)根．3．（2021·安徽安慶市第四中學九年級期中）下列表格是二次函數(shù)中x與y的對應值，則方程（、、為常數(shù)，）的一個近似解是（）6.176.186.196.20?0.03?0.010.020.06A．6.17 B．6.18 C．6.19 D．6.20【答案】B【分析】由表格中的數(shù)據(jù)可知，當x=6.18時，y=－0.01；當x=6.19時，y=0.02，由于－0.01更接近于0，從而可得出結論．【詳解】當x=6.18時，y=－0.01；當x=6.19時，y=0.02∵－0.01更接近于0∴方程的的一個近似解為6.18故選：B．【點睛】本題考查了圖象法求一元二次方程的近似解，體現(xiàn)了二次函數(shù)與一元二次方程間的緊密關系，掌握圖象法求一元二次方程的近似解是關鍵．4．（2021·陜西延安市九年級月考）如圖是二次函數(shù)的圖象，以下結論：①；②；③的兩個根是，；④，其中正確的是（）A．①③④ B．①② C．②③④ D．①②③④【答案】A【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象的開口方向、對稱軸位置、與x軸的交點坐標等知識，逐個判斷即可．【詳解】解：拋物線開口向上，a＞0，對稱軸在y軸的右側，a、b異號，因此b＜0，與y軸的交點在負半軸，因此c＜0，所以abc＞0，故結論①正確；由圖可知，對稱軸為，∴，由圖可知，令，則，∴，故結論②錯誤；由圖可知，拋物線與x軸的交點坐標為（，0），（4，0），∴的兩個根是，；故結論③正確；∵，，∴，∴，∴；故結論④正確；∴正確的結論有①③④；故選：A．【點睛】考查二次函數(shù)的圖象和性質，掌握a、b、c的值決定拋物線的位置以及二次函數(shù)與一元二次方程的關系，是正確判斷的前提．5．（2021·湖北武漢市九年級月考）拋物線y＝x2－（4a＋1）x＋3a2＋3a（a為常數(shù)）與x軸交于A、B兩點，若AB＝2，則a的值是（）A． B．－ C．－或 D．－或【答案】D【分析】根據(jù)題意，設，則，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系求解即可【詳解】則，AB＝2，即則解得－或．故選D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)與坐標軸交點的距離，一元二次方程根與系數(shù)的關系，掌握一元二次方程根與系數(shù)的關系是解題的關鍵．6．（2021·福建省福州市九年級月考）拋物線y＝﹣x2＋2x＋6在直線y＝﹣9上截得的線段長度為（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】求得拋物線與直線的交點坐標后即可求得截得的線段的長．【詳解】解：由題意得：，解得：x＝?3或x＝5，故在直線y＝?9上截得的線段的長為5?（?3）＝8，故選：C．【點睛】本題考查了拋物線與直線的交點，要熟悉二次函數(shù)與一元二次方程的關系．7．（2021·江蘇南通九年級月考）若二次函效與軸有兩個不同的交點，則的取值范圍是（）A． B．且 C． D．且【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)y=kx2-4x-2與x軸有兩個不同的交點，可以得到關于k的不等式組，從而可以求得k的取值范圍．【詳解】解：∵二次函數(shù)與x軸有兩個不同的交點，∴，解得，k>-2且k≠0，故選：B．【點睛】本題考查拋物線與x軸的交點，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質解答．8．（2021·四川成都錦江區(qū)九年級期末）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致圖象如圖所示，下列結論：①abc＜0；②9a+3b+c＜0；③a＞；④若方程ax2+bx+c＝0兩個根x1和x2，則3＜|x1﹣x2|＜4，其中正確的結論有（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】A【分析】①根據(jù)對稱軸的位置可判斷出ab的符號，然后根據(jù)函數(shù)和y軸的交點坐標可判斷出c的正負，進而可判斷出abc的正負；②根據(jù)二次函數(shù)的對稱性可得當x=3時，即可判斷函數(shù)值y的正負；③首先由對稱軸公式得出a與b的關系，然后根據(jù)當x=1時函數(shù)值y為負求解即可；④根據(jù)二次函數(shù)與x軸的交點坐標的取值范圍求解即可．【詳解】①拋物線對稱軸在y軸右側，則a，b異號，而c＞0，則abc＜0，故結論正確；②由圖象可知x＝3時，y＝9a+3b+c＜0，故結論正確；③∵＝2，∴b＝﹣4a，∵當x＝1時，y＝a+b+c＜0，∴﹣3a+c＜0，∴a＞，故結論正確；④若方程ax2+bx+c＝0兩個根x1和x2，由圖象可知，0＜x1＜1，3＜x2＜4，∴則2＜|x1﹣x2|＜4，故結論錯誤；故選：A．【點睛】此題考查了二次函數(shù)的圖像和性質，解題的關鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖像和性質．二、填空題9．（2021·武漢市九年級月考）若函數(shù)y＝（k﹣3）x2+2x+1與x軸有兩個交點，則k的取值范圍為___．【答案】k＜4且k≠3【分析】根據(jù)題意知，關于x的一元二次方程（k-3）x2+2x+1=0有兩個不同的解，然后根據(jù)一元二次方程的定義和根的判別式來求k的取值范圍．【詳解】解：∵函數(shù)y=（k-3）x2+2x+1的圖象與x軸有兩個交點，∴令y=0，則（k-3）x2+2x+1=0，則關于x的一元二次方程（k-3）x2+2x+1=0有兩個不同的解，∴△=4-4（k-3）＞0，且k-3≠0，解得，k＜4且k≠3．故答案是：k＜4且k≠3．【點睛】本題考查了拋物線與x軸的交點．二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的交點與一元二次方程ax2+bx+c=0根之間的關系．Δ=b2-4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)．Δ=b2-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；Δ=b2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；Δ=b2-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．10．（2021·內蒙古呼和浩特九年級月考）若函數(shù)y＝（m﹣1）x2﹣6xm的圖象與x軸有且只有一個交點，則m的值為____．【答案】1或2或3．【分析】根據(jù)m=1和m≠1兩種情況，根據(jù)一次函數(shù)的性質、二次函數(shù)與方程的關系解答．【詳解】解：當m=1時，函數(shù)解析式為：是一次函數(shù)，圖象與x軸有且只有一個交點，當m≠1時，函數(shù)為二次函數(shù)，∵函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個交點，∴，解得，m=2或3，綜合上述，m的值為：1或2或3；故答案為：1或2或3．【點睛】本題考查的是拋物線與x軸的交點問題，掌握二次函數(shù)與一元二次方程的關系、靈活運用分情況討論思想是解題的關鍵．11．（2021·山東青島中學二模）拋物線（為常數(shù)）與軸交點的個數(shù)是______．【答案】2個【分析】先令y=0，得出關于x的一元二次方程，由△＞0得方程有兩個不相等的實數(shù)根，即拋物線與x軸有兩個不同的交點．【詳解】解：∵拋物線y=-2x2+2（k+1）x-k（k為常數(shù)），∴當y=0時，0=-2x2+2（k+1）x-k，∴△=[2（k+1）]2-4×（-2）×（-k）=4k2+4＞0，∴0=-2x2+2（k+1）x-k有兩個不相等的實數(shù)根，∴拋物線y=-2x2+2（k+1）x-k（k為常數(shù)）與x軸有兩個交點，故答案為：2個．【點睛】本題考查拋物線與x的交點，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質解答．12．（2021·陜西延安市九年級月考）下列表格是二次函數(shù)中，的部分對應值，則一元二次方程的一個近似解是______．（精確度）【答案】6.2【分析】根據(jù)近似解的性質判斷．【詳解】解：當x=6.2時，y=-0.1；當x=6.3時，y=0.2．∵-0.1更接近于0，∴一元二次方程的一個近似解是6.2，故答案為：6.2．【點睛】本題考查了一元二次方程的近似解，熟練掌握近似解的判定方法是解題的關鍵．13．（2021·北京市人大附中九年級月考）若二次函數(shù)與軸的一個交點坐標為，則關于的方程的實數(shù)根是______．【答案】x1＝-1，x2＝3．【分析】將x＝3，y＝0代入拋物線的解析式可得到c＝?3a，然后將c＝?3a代入方程，最后利用因式分解法求解即可．【詳解】解：將x＝3，y＝0代入得：9a-6a＋c＝0．解得：c＝?3a．將c＝?3a代入方程得：∴．∴∴x1＝-1，x2＝3．故答案為：x1＝-1，x2＝3．【點睛】本題主要考查的是拋物線與x軸的交點，一元二次方程的解法，求得a與c的關系是解題的關鍵．14．（2021·浙江杭州市九年級月考）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，根據(jù)圖象回答：（1）當y＞0時，寫出自變量x的取值范圍___；（2）若方程ax2+bx+c﹣k＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍___．【答案】【分析】（1）寫出拋物線在軸上方所對應的自變量的范圍即可；（2）由于方程有兩個不相等的實數(shù)根，可看作二次函數(shù)與直線有兩個交點，則可利用圖象法確定的取值范圍．【詳解】解：（1）由圖象可知，當時，，故答案是：；（2）方程變形為，所以方程有兩個不相等的實數(shù)根可看作二次函數(shù)與直線有兩個交點，如圖，所以，故答案是：．【點睛】本題考查了拋物線與軸的交點，二次函數(shù)的圖象，解題的關鍵是把求二次函數(shù)，，是常數(shù)，與軸的交點坐標問題轉化為解關于的一元二次方程．三、解答題15．（2021·江蘇通州九年級月考）已知二次函數(shù)（k為常數(shù)）．（1）求證：無論k為何值，該函數(shù)的圖象與x軸總有公共點；（2）當k取什么值時，該函數(shù)的圖象與y軸的交點在x軸上方．【答案】（1）見解析；（2）k＞0【分析】（1）求出方程的判別式的值，利用配方法得出≥0，根據(jù)判別式的意義即可證明；（2）利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征求出該函數(shù)的圖象與y軸交點的縱坐標，令其大于0即可求出結論．【詳解】（1）證明：∵y＝x2﹣（k+3）x+3k，∴，∴＝[﹣（k+3）]2﹣4×3k＝k2﹣6k+9＝（k﹣3）2≥0，∴無論k為何值，該函數(shù)的圖象與x軸總有公共點；（2）解：∵當x＝0時，y＝x2﹣（k+3）x+3k＝3k，∴該函數(shù)的圖象與y軸交點的縱坐標為3k，∴當3k＞0，即k＞0時，該函數(shù)的圖象與y軸的交點在x軸的上方．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與x軸的交點、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解題的關鍵是：（1）由可得該函數(shù)的圖象與x軸總有公共點；（2）利用二次函數(shù)圖象上點的坐標特征求出該函數(shù)的圖象與y軸交點的縱坐標．16．（2021·天津市九年級月考）二次函數(shù)的圖象如圖所示，根據(jù)圖象回答下列問題（1）方程的兩個根是______．（2）不等式的解集是______．（3）y隨x的增大而減小的自變量x的取值范圍是______．（4）若方程無實根，則k的取值范圍是______．【答案】（1），；（2）或；（3）；（4）【分析】（1）根據(jù)一元二次方程的根即為拋物線與x軸的交點橫坐標解答；（2）根據(jù)二次函數(shù)圖象y<0解答（3）根據(jù)二次函數(shù)的性質解答；（4）當y=k時無實數(shù)根即為直線y=k與拋物線沒有交點，由此得到答案．【詳解】解：（1）由圖象可知：二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個交點為（0,0）、（2,0），∴方程的兩個根是，；（2）由圖象可知：二次函數(shù)的圖象或時y<0，∴不等式的解集是或；（3）由圖象可知：二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個交點為（0,0）、（2,0），開口向下，∴二次函數(shù)的對稱軸為直線x=1，∴當時y隨x的增大而減小，故答案為：；（4）方程無實根，即為直線y=k與拋物線沒有交點，由圖象可知：拋物線的頂點縱坐標為2，∴方程無實根，則k的取值范圍是，故答案為：．【點睛】此題考查二次函數(shù)的圖象，對稱軸，頂點坐標，增減性，利用拋物線判定方程的根及不等式的解集，直線與拋物線的交點，熟練掌握二次函數(shù)的知識點是解題的關鍵．17．（2021·北京五十五中九年級月考）在平面直角坐標系xOy中，拋物線與y軸交于點A．（1）求點A的坐標和拋物線的對稱軸；（2）過點作y軸的垂線l，若拋物線與直線l有兩個交點，設其中靠近y軸的交點的橫坐標為m，且，結合函數(shù)的圖象，求a得取值范圍．【答案】（1）A的坐標為（0，4），拋物線的對稱軸為直線x=2；（2）a＜?或a＞．【分析】（1）由拋物線解析式可求出A的坐標和拋物線的對稱軸；

（2）分a＞0和a＜0畫出圖形，求出a的值，由圖象可得a的取值范圍．【詳解】解：（1）y=ax2-4ax+4=a（x-2）2+4-4a．

∴點A的坐標為（0，4），拋物線的對稱軸為直線x=2．

（2）當a＞0時，臨界位置如圖所示：

∵靠近y