2.5等腰三角形的軸對稱性（解析版）

2.5等腰三角形的軸對稱性【推本溯源】1.把等腰三角形紙片沿頂角平分線折疊，有什么發(fā)現(xiàn)？幾何語言說明：由題意得AB=AC，∠BAD=∠CAD，在▲ABD和▲ACD中，∴▲ABD≌▲ACD（SAS）所以三角形ABD和三角形ACD重合。所以，∠B=∠C，∠ADB=∠ADC=90°，BD=CD。由此可以發(fā)現(xiàn)，等腰三角形是軸對稱圖形，頂角平分線所在的直線是它的對稱軸。并且得到下面定理：（1）等腰三角形的兩底角相等（簡稱“等邊對等角”）幾何語言：∵AB=AC∴∠B=∠C（2）等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角平分線重合（三線合一）幾何語言：已知角平分線，用SAS證高與中線。幾何語言：∵AB＝AC，∠BAD＝∠CAD∴AD⊥BC，BD＝CD已知中線，用SSS證角平分線與高線。幾何語言：∵AB＝AC，BD＝CD∴∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC（3）已知高線，用HL證角平分線與中線。幾何語言：∵AB＝AC，AD⊥BC∴∠BAD＝∠CAD，BD＝CD按下列作法，用直尺和圓規(guī)作等腰三角形ABC，使底邊BC=a，高AD=h。作法：（1）作線段BC=a；（2）作線段BC的垂直平分線，MN交BC與點D；（3）在MN上截取線段DA，使DA=h；（4）連接AB、AC。▲ABC就是所求作的等腰三角形。3.已知如圖，在△ABC中，∠B＝∠C．求證：AB＝AC．方法1：作∠BAC的平分線AD，交BC于點D．由∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD，AD＝AD，可得△BAD≌△CAD，則AB＝AC．方法2：作BC邊上的高AD．由∠B＝∠C，∠BDA＝∠CDA＝90°，AD＝AD，可得△BAD≌△CAD，則AB＝AC．因此，可以得到有兩個角相等的三角形是等腰三角形（簡稱“等角對等邊”）幾何語言：∵∠B＝∠C∴AB=AC4.（1）回想一下什么是等邊三角形，也可以稱為什么三角形？三邊相等的三角形叫做等邊三角形或正三角形。（2）等邊三角形是特殊的等腰三角形，它有它特有的性質嗎？等邊三角形是軸對稱圖形，并且有3條對稱軸。已知AB=BC=CA，證∠A=∠B=∠C。證：∵AB=BC，BC=CA∴∠A=∠C，∠A=∠B∴∠A=∠B=∠C∵∠A+∠B+∠C=180°∴∠A=∠B=∠C=60°因此，等邊三角形的各角都等于60°。幾何語言：∵AB=AC=BC∴∠A=∠B=∠C=60°5.（1）那如果一個三角形的三個角都相等，那么這個三角形是等邊三角形嗎？已知∠A=∠B=∠C，證：AB=AC=BC證：∵∠A=∠C，∠A=∠B∴AB=BC，BC=CA∴AB=AC=BC∴▲ABC是等邊三角形因此，三個角都相等的三角形是等邊三角形。幾何語言：∵∠A=∠B=∠C∴▲ABC是等邊三角形（2）有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形嗎？已知頂角∠A=60°，AB=AC，證：▲ABC是等邊三角形證：∵∠A=60°，AB=AC∴∠B=∠C==60°∴∠A=∠B=∠C∴▲ABC是等邊三角形已知底角∠A=60°，BA=BC，證：▲ABC是等邊三角形證：∵∠A=60°，BA=BC∴∠A=∠C=60°∴∠B=180°-∠A-∠C=60°∴∠A=∠B=∠C∴▲ABC是等邊三角形因此，有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。幾何語言：∵∠A=60°，AB=AC∴▲ABC是等邊三角形6.兩個斜邊的一半（1）如圖，已知∠B=90°，∠A=30°，證：證：延長CB到點D，使得BC=BD，連接AD。∵BC=BD,BC+BD=CD∴∵∠B=90°，BC=BD∴AD垂直平分CD∴AC=AD∵∠BAC=30°，∠ABC=90°∴∠C=60°∵AC=AD∴▲ACD是等邊三角形∴CD=AC∵∴因此，30°對應的直角邊等于斜邊的一半。幾何語言：∵∠B=90°，∠A=30°∴（2）如圖，∠ABC=90°，在AC上取一點D，使得BD=CD證：∵∠ABC=90°∴∠A+∠C=90°，∠ABD+∠CBD=90°∵BD=CD∴∠C=∠CBD∴∠A=∠ABD∴AD=BD∵BD=CD，AC=AD+CD∴AC=2BD∴因此，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。幾何語言：∵∠ABC=90°，D是AC中點∴【解惑】例1：如圖，中，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形的等邊對等角和三角形的內(nèi)角和定理，即可解答．【詳解】解：，，，故選：C．【點睛】本題考查了等腰三角形的等邊對等角性質，三角形內(nèi)角和定理，熟知上述概念是解題的關鍵．例2：如圖，在中，的垂直平分線分別交、于點、，的垂直平分線分別交、于點F、G．

(1)若，求的周長．(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)9(2)【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質得到，，根據(jù)三角形的周長公式計算，得到答案；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到，根據(jù)等腰三角形的性質得到，計算即可．【詳解】（1）解：是的垂直平分線，是的垂直平分線，，，的周長；（2），，，，，，，．【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質、三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵．例3：在數(shù)學課堂上，老師帶領同學們用尺規(guī)“過直線外一點作直線的垂線”，圖①是老師畫出的第一步，圖②，圖③分別是甲、乙兩位同學補充的作圖痕跡，則補充的作圖痕跡正確的是（

）

A．甲 B．乙 C．甲和乙 D．都不正確【答案】C【分析】根據(jù)角平分線的尺規(guī)作圖和等腰三角形的性質可判斷甲，根據(jù)尺規(guī)作直線的垂線的畫法可判斷乙，進而可得答案.【詳解】解：根據(jù)圖②的做法可知：是的平分線，即，由圖①可得：，∴；故甲作圖痕跡正確；

根據(jù)圖③的作圖痕跡可知：，故乙的作圖痕跡正確；故選：C.【點睛】本題考查了尺規(guī)作角的平分線和已知直線的垂線以及等腰三角形的性質等知識，熟練掌握相關作圖方法以及等腰三角形的性質是解題的關鍵.例4：如圖，在四邊形中，，，相交于點E，點G，H分別是，的中點，若，則______．

【答案】/80度【分析】連接和，根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質得出，根據(jù)等腰三角形性質求出，求出，即可得出答案．【詳解】解：連接和，如圖所示，

∵H為的中點，，∴，∵G為的中點，∴，∴，∵，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了直角三角形斜邊上中線性質，等腰三角形的性質，三角形內(nèi)角和定理的應用，能求出是解此題的關鍵．例5：如圖，中，，，，點P是邊上的動點，則長不可能是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】利用垂線段最短分析可知：的最小值為3；根據(jù)含30度角的直角三角形的性質得出；接下來可知的最大值為6，由此即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)垂線段最短，可知的最小值為3．中，，，，，的最大值為6，長不可能是，故選：A．【點睛】本題主要考查了垂線段最短和的性質和含30度角的直角三角形的理解和掌握，解答此題的關鍵是利用含30度角的直角三角形的性質得出．例6：如圖，在中，于點D，，點E、F分別是、的中點且，求證：．【答案】見解析【分析】利用證明，即可解決問題．【詳解】證明：，．∵點E、F分別是、的中點，，，，，在和中，，，．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，直角三角形斜邊上中線的性質，正確證明三角形全等是解題的關鍵．【摩拳擦掌】1．（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，直線為正五邊形的對稱軸，連接交于點，以為邊作等邊，連接，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)正五邊形和等邊三角形的性質可得，，，從而可得的度數(shù)．【詳解】解：∵正五邊形，∴，∴，∵等邊，直線為正五邊形的對稱軸，∴，，∴，∴．故選：B．【點睛】本題考查了正五邊形的性質，等邊三角形的性質，解題的關鍵是結合圖形求出相應角的度數(shù).2．（2023春·廣東深圳·九年級校考期中）如圖，在中，，且，根據(jù)圖中的尺規(guī)作圖痕跡，計算（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】由作圖得：垂直平分，平分，根據(jù)角平分線和線段垂直平分線的性質求解．【詳解】解：如圖，由作圖得：垂直平分，平分，∴，∴，∵，，∴，∴，，∴，故選：B．

【點睛】本題考查基本作圖，角平分線的性質，垂直平分線的性質，等腰三角形的性質，三角形內(nèi)角和定理．掌握角平分線和線段垂直平分線的性質是解題的關鍵．3．（2023春·四川達州·八年級?？茧A段練習）如圖，已知在中，平分，平分，且，，若，則的周長是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)角平分線，平行線的性質，可得是等腰三角形，將的周長轉換為的長，由此即可求解．【詳解】解：∵平分，平分，∴，，∵，，∴，，∴，，∴是等腰三角形，即，∴的周長是，故選：．【點睛】本題主要考查角平分線，平行線，等腰三角形的綜合，掌握角平分線的性質，平行線的性質，等腰三角形的性質是解題的關鍵．4．（2023春·廣東東莞·八年級虎門五中?？计谥校┰谥校?，點D是的中點，，則_____．【答案】5【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質即可解答．【詳解】解：如圖所示，在中，，點D是邊的中點，．故答案為：5．【點睛】本題考查了直角三角形的性質，熟練掌握和運用直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半是解決本題的關鍵．5．（2023春·湖南邵陽·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，，，，點為的中點，則為____________．【答案】/4厘米【分析】根據(jù)直角三角形所對的直角邊等于斜邊的一半以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得出答案．【詳解】解：∵中，，，，∴，∵點為的中點，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了直角三角形的性質以及直角三角形斜邊上中線的性質，熟練掌握相關性質定理是解本題的關鍵．6．（2023春·廣東佛山·八年級?？计谥校┑妊切蔚囊粋€內(nèi)角是，則它的頂角的度數(shù)是___________．【答案】/120度【分析】根據(jù)等腰三角形的性質和三角形的內(nèi)角和為，即可得到答案．【詳解】解：，是頂角，不是底角，它的頂角的度數(shù)是，故答案為：．【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質和三角形的內(nèi)角和為，熟練掌握等腰三角形的性質和三角形的內(nèi)角和為，是解題的關鍵．7．（2023春·全國·七年級專題練習）如圖，在中，，，的垂直平分線交于點，則_____度．

【答案】【分析】先根據(jù)線段垂直平分線的性質得到，再根據(jù)等腰三角形的性質求解即可．【詳解】解：∵的垂直平分線交于點，，∴，∴，∵在中，，，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查線段垂直平分線的性質、等腰三角形的性質，熟練掌握線段垂直平分線的性質和等腰三角形的性質是解答的關鍵．8．（2023春·陜西咸陽·八年級統(tǒng)考期中）如圖，是等邊三角形，是中線，過點D作于點E且交邊的延長線于點F，，的長．

【答案】12【分析】根據(jù)等邊三角形的性質可得，，推得，根據(jù)30度的直角三角形的性質可得，根據(jù)中線的性質可得，求得，根據(jù)30度的直角三角形的性質即可求得．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，，∵，∴，∴，在中，∵，且，∴，∵是中線，∴，∴，∴，在中，∵，∴，∴．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，30度的直角三角形的性質，中線的性質，熟練運用在直角三角形中30度所對的邊是斜邊的一半是解題的關鍵．9．（2023春·廣東佛山·八年級?？计谥校┮阎涸谥?，為的中點，，，垂足分別為點、，且．求證：是等腰三角形．【答案】見解析【分析】先推出，再根據(jù)全等三角形的性質得到，即可得到結論．【詳解】證明：，，垂足分別為點、，，為的中點，，在和中，，，，，是等腰三角形．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定，中點的性質，熟練掌握知識點是解題的關鍵．10．（2023·全國·八年級專題練習）如圖，在中，，平分交于點，是上一點，且．求證：．

【答案】見解析【分析】作于點，根據(jù)等腰三角形的性質得出，再證明即可得出結論．【詳解】證明：如圖，作于點．

，．，．平分，．在和中，，，，【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質，角平分線的定義，全等三角形的判定和性質，正確作出輔助線，構建全等三角形是解題的關鍵．11．（2023·全國·八年級專題練習）如圖，在中，，點，，分別在，，上，且，，是的中點．求證：．

【答案】見解析【分析】首先連，，再證明，進而得到，然后根據(jù)等腰三角形的性質可得．【詳解】解：證明：連，，，，在和中，，，，是的中點，．

【點睛】此題主要考查了全等三角形的性質與判定，以及等腰三角形的性質，關鍵是掌握全等三角形的判定定理．【知不足】1．（2023春·廣東茂名·七年級?？计谥校┮阎粋€三角形中兩個內(nèi)角分別是和，則這個三角形一定是（）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．不能確定【答案】C【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得第三個角，進而即可求解．【詳解】解：∵一個三角形中兩個內(nèi)角分別是和，∴第三個角為，根據(jù)等角對等邊，可得這個三角形是等腰三角形，故選：C．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形的分類，等腰三角形的判定，熟練掌握三角內(nèi)角和定理是解題的關鍵．2．（湖南省衡陽市八中教育集團2022-2023學年七年級下學期第二次月考數(shù)學試題）等腰三角形的一邊等于3，一邊等于6，則它的周長等于（

）A．12 B．15 C．12或15 D．17【答案】B【分析】由題意知，等腰三角形的第三邊長為3或6，由三角形的三邊關系可得，等腰三角形的第三邊長為6，然后求周長即可．【詳解】解：由題意知，等腰三角形的第三邊長為3或6，由三角形的三邊關系可得，等腰三角形的第三邊長為6，∴等腰三角形的周長為，故選：B．【點睛】本題考查了等腰三角形的定義，三角形的三邊關系．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．3．（2023·陜西西安·西安市曲江第一中學校考模擬預測）如圖，中，，點E為的中點，點D在上，且，相交于點F，若，則等于（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質可得，進而可得，再根據(jù)三角形外角的定義和性質即可求解．【詳解】解：中，，點E為的中點，，，，，，，故選B．【點睛】本題考查直角三角形斜邊中線的性質、等腰三角形的性質、三角形外角的定義和性質，解題的關鍵是掌握直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半；等腰三角形中等邊對等角；三角形中任意一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．4．（2023春·廣東清遠·八年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，，，線段的垂直平分線分別交，于點D，E，連接．若，則的長為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】根據(jù)垂直平分線的性質以及所對的直角邊等于斜邊的一半即可得出答案．【詳解】解：∵，，∴，∵垂直平分，∴，∴，∴，故選：A．【點睛】本題考查了垂直平分線的性質以及所對的直角邊等于斜邊的一半，熟知垂直平分線上的任意一點到線段兩端點的距離相等、所對的直角邊等于斜邊的一半是解本題的關鍵．5．（2023·河北保定·統(tǒng)考二模）在解答一道習題時，嘉嘉先作出了的一條高，又作出了的一條角平分線，發(fā)現(xiàn)作的是同一條線段，則一定是（

）A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形的性質和全等三角形的判定與性質即可得出答案．【詳解】解：由題意可得：平分，，與是同一條線段，如圖所示：∵，，，∴，∴，故選：C．

【點睛】本題考查等腰三角形的性質、全等三角形的判定與性質，熟練掌握等腰三角形“三線合一”的性質是解題的關鍵．6．（2023春·上海寶山·七年級校考期中）如果一個等腰三角形的兩條邊長分別等于3厘米和7厘米，那么這個等腰三角形的周長等于________厘米．【答案】17【分析】分兩種情況討論：當3厘米是腰時,當7厘米是腰時．根據(jù)三角形的三邊關系檢驗即可求解．【詳解】解：當3厘米是腰時，∵，∴不能構成三角形；當7厘米是腰時，∵，∴能構成三角形，∴三角形的周長是（厘米）．故答案為：17．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質和三角形的三邊關系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進行討論，還應驗證各種情況是否能構成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關鍵．此類題不要漏掉一種情況，同時注意看是否符合三角形的三邊關系．7．（2023秋·重慶渝北·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在直角三角形中，，D為線段上一點，連接．過點A作，連接，當平分時，延長至點F使得，連接．若且，則__________．【答案】1.8【分析】延長到點G，使，證明，得，再證明，然后根據(jù)即可求出的長．【詳解】延長到點G，使，則，∵∴，∵，∴，在和中，∴，∴．∵平分時，∴．∵，∴，∴，∴．∵，∴．∵，∴，∴，∴．故答案為：1.8．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，三角形外角的性質，等腰三角形的判定，以及平行線的性質，正確作出輔助線是解答本題的關鍵．8．（2023·陜西西安·?？寄M預測）如圖，是等邊三角形，點E是的中點，過點E作于點F，延長交的反向延長線于點D，若，則的長為__________．【答案】3【分析】由是等邊三角形，點E是的中點，得，，根據(jù)，得，得到，在中，求得，即可得答案．【詳解】解：連接，∵是等邊三角形，點E是的中點，∴，，∵，∴，即，∴，在中，，∴，∴，∴，故答案為：3．【點睛】本題考查等邊三角形的性質及應用，解題的關鍵是靈活運用含30度角的直角三角形的性質解決問題．9．（2023春·廣東梅州·八年級校考開學考試）如圖，在等邊三角形中，點、分別在、上，且，和相交一點，于，，，___________．【答案】【分析】根據(jù)等邊三角形的性質，得，，根據(jù)全等三角形的判定和性質作答即可．【詳解】∵是等邊三角形，∴，，∵，在和中，∴，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查三角形的知識，解題的關鍵是掌握全等三角形的判定和性質，等邊三角形的性質．10．（2023春·廣東佛山·八年級?？茧A段練習）如圖，C為線段上一動點（點C不與點A，E重合），在同側分別作等邊三角形和等邊三角形，與交于點O．(1)求證：；(2)求．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）利用證明，得；（2）結合（1）可得，然后利用三角形內(nèi)角和定理即可解決問題．【詳解】（1）證明：、是等邊三角形，∴，，，，∴，；（2）解：∵，∴，∵，∴．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，證明是解題的關鍵．11．（2023春·廣東佛山·七年級校考期中）等邊中，，且．

(1)求證：．(2)求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)已知條件，利用證明，即可證明；（2）根據(jù)得到，根據(jù)，結合外角的性質得到．【詳解】（1）解：在和中，，∴，∴；（2）∵，∴，∵，∴．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，等邊三角形的性質，外角的性質，解題的關鍵是根據(jù)全等三角形的性質得到相等角．12．（2023·廣東廣州·?？既＃┮阎粋€等腰三角形的底邊長a，底邊上的高長b．

(1)求作等腰三角形，底邊上的高為（請用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法．）(2)若，則的長為______．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）先在射線上截取，再作的垂直平分線，垂足為點，然后在垂直平分線上截取，則滿足條件；（2）根據(jù)等腰三角形的“三線合一”得到平分，則，所以為等邊三角形，從而得到．【詳解】（1）解：如圖，先在射線上截取，再作的垂直平分線，垂足為點，接著截取，則為所作；

（2），，平分，，為等邊三角形，．【點睛】本題考查了作圖復雜作圖：解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了等腰三角形的性質及等邊三角形點判定與性質．13．（2023秋·江蘇常州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，垂足為D，，垂足為E，F(xiàn)是的中點連接．(1)求證：；(2)連接，若，．①判斷的形狀，并說明理由；②_________．【答案】(1)見解析；(2)①等邊三角形，見解析；②．【分析】（1）在和中用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可證；（2）①由（1）、求出長度都為，由等邊三角形的定義即可證明；②利用等邊對等角、三角形內(nèi)角和定理可求，在用“直角三角形中所對的直角邊等于斜邊的一半”可求出比值．【詳解】（1）證明：，，，，在中，，F(xiàn)是中點，；在中，，F(xiàn)是中點，；．（2）解：①等邊三角形，理由如下：由（1）知，，，，是等邊三角形．②解：由（1）得，同理可證：，是等邊三角形，，，，

，，，，，，，，在中，，，．故答案為．【點睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理、直角三角形中相關基本性質的綜合運用及等邊三角形判斷問題，掌握并熟練應用是解決問題的關鍵．14．（2023春·江蘇·七年級專題練習）如圖，在中，于F，于E，M為的中點．(1)若＝4，＝10，求的周長；(2)若，，求的度數(shù)．【答案】(1)的周長為14；(2)．【分析】（1）首先根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，，進而得出的周長；（2）根據(jù)等腰三角形的性質，得，，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出，，進而求出的度數(shù)即可得出答案．【詳解】（1）解：于F，于E，M為的中點，，，，,的周長；故的周長為14．（2），，，，，，故的度數(shù)為．【點睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，等腰三角形兩底角相等的性質，熟練應用以上性質是解題的關鍵．【一覽眾山小】1．（2023春·廣東深圳·八年級校聯(lián)考期中）若一個等腰三角形腰上的高等于腰長的一半，則此等腰三角形的底角的度數(shù)是（）A． B． C．或 D．無法確定【答案】C【分析】分兩種情況，畫出相應的圖形，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，結合等邊三角形的判定和性質求出頂角度數(shù)，即可得到等腰三角形底角的度數(shù)．【詳解】解：當為銳角三角形時，作于點D，取的中點E，連接，如圖：

則，∵E為的中點，∴，∵，∴，∴為等邊三角形，∴，∴，∵，∴；當為鈍角三角形時，作，交的延長線于點D，取的中點，連接，如圖：

則，∵E為的中點，∴，∵，∴為等邊三角形，∴，∴，∴，∵，∴；綜上分析可知，此等腰三角形的底角的度數(shù)是或，故C正確．故選：C．【點睛】本題考查解直角三角形、等腰三角形的性質，直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半，等邊三角形的判定和性質，解答本題的關鍵是明確題意，畫出相應的圖形，利用數(shù)形結合的思想解答．2．（2023春·廣東梅州·八年級校考開學考試）如圖，在中，，，平分，，點、分別為線段、上的動點，則的最小值是____．

【答案】【分析】作關于的對稱點，連接，根據(jù)角平分線的性質以及軸對稱的性質，垂線段最短，進而根據(jù)含角的直角三角形的性質求解即可．【詳解】解：如圖，作關于的對稱點，連接，

∴，∴，則當、、三點共線，且時，最小，∵平分，，∴在上，，∵，，∴，即：最小值為．故答案為：．【點睛】此題考查了角平分線的定義，軸對稱的性質求最短距離，垂線段最短，含角的直角三角形的性質，正確的作出圖形是解題的關鍵．3．（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，在，點是上的一點，連接，平分，交于中點，連接，若，則___________．

【答案】【分析】延長交于點，判定，即可得出，再根據(jù)三線合一即可得到即可解答．【詳解】解：如圖，延長交于點，∵點是的中點，∴，∵平行四邊形中，，∴，∵，∴，∴，∵平分，，∴，∴，∵是的中點，∴，∴中，，故答案為：．

【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質，全等三角形的判定與性質以及等腰三角形的性質的綜合運用，解決問題的關鍵是作輔助線構造全等三角形，利用全等三角形的對應邊相等，對應角相等進行推算．4．（2023·黑龍江哈爾濱·?？既＃┤鐖D，四邊形ABCD中，且，過點A作交BC于點E，若，則___________

【答案】8【分析】如圖所示，在延長線上取一點F使得，過點A作交延長線于G，連接，證明是等邊三角形，得到，再根據(jù)平行線的性質求出，；證明得到，進而求出，則，即可得到，則．【詳解】解：如圖所示，在延長線上取一點F使得，過點A作交延長線于G，連接，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，，∴，，∵，∴∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：8．

【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，含30度角的直角三角形的性質，等邊三角形的性質與判定，三角形內(nèi)角和定理等等，正確作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．5．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考三模）如圖，小明練習冊上的一個等腰三角形被墨跡污染了，只有它的底邊和還保留著．

(1)小明要在練習冊上畫出原來的等腰，用到的基本作圖可以是___________（填寫正確答案的序號）；①作一條線段等于已知線段；②作一個角等于已知角；③作已知角的平分線；④作已知線段的垂直平分線；⑤過一點作已知直線的垂線；(2)為邊上的中線，若的一個外角為，求的度數(shù)．【答案】(1)②或④(2)【分析】（1）作線段的垂直平分線，C垂足為D，的另一邊交直線于點C，連接，即為所求作．（2）利用等腰三角形的性質求解即可．【詳解】（1）解：作線段的垂直平分線，垂足為D，的另一邊交直線于點C，連接，即為所求作．

作，它們的另一邊的交點即為點C，則即為所求．而①③⑤的作圖均不能畫出原來的三角形，故答案為：②或④；（2）解：∵的一個外角為，∴，∵，∴，∴，∵，，∴．【點睛】本題考查作圖﹣應用與設計作圖，等腰三角形的性質等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．6．（2023·陜西西安·校考二模）如圖，已知，，點M、N分別在線段、上，請用尺規(guī)作圖法在線段上求作一點P，使得·（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】見解析【分析】作的垂直平分線與線段的交點即為所求，此時由可得，由垂直平分線可得，進而得到，則．【詳解】作的垂直平分線與線段的交點即為所求點P：【點睛】本題考查了等腰三角形三線合一，軸對稱的性質，線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等的性質，熟記垂直平分線的性質是解題的關鍵．7．（2023春·廣東深圳·七年級校聯(lián)考期中）【學習新知】等邊對等角是等腰三角形的性質定理，如圖1，可以表述為∵∴【新知應用】已知：在中，，若，則______；若，則______．【嘗試探究】如圖2，四邊形中，，，若連接，則平分．某數(shù)學小組成員通過觀察、實驗，提出以下想法：延長到點，使得，連接，利用三角形全等的判定和等腰三角形的性質可以證明．請你參考他們的想法，寫出完整的證明過程．【拓展應用】借助上一問的嘗試，繼續(xù)探究：如圖3所示，在五邊形中，，，，連接，平分嗎?請說明理由．【答案】新知應用：；嘗試探究：見解析拓展應用：平分；見解析【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質和三角形內(nèi)角和定理求解即可；（2）延長到點，使得，連接，證明得到，，從而得出平分；（3）連接，延長到，使，連接，由，得到，，，再證明得到，從而得出平分．【詳解】新知應用：∵，∴，若，則；若，則，∴；故答案是；嘗試探究：證明：如圖，延長到點，使得，連接，∵，又∵，∴，∵在和中，，∴，∴，，又∵，∴，∴，即平分；拓展應用：證明：連接，延長到，使，連接，∵，，∴∵在和中，，∴，∴，，又∵，，∴在和中，，∴，∴，∴，即平分；【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質，全等三角形的判定和性質，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義等知識，熟練掌握等腰三角形的性質，全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．8．（2023春·廣東河源·八年級?？计谥校┤鐖D，已知是邊長為的等邊三角形，動點P從A點出發(fā)，以的速度向B運動，同時點Q從B點出發(fā)以速度向C運動，當Q點到達點時，兩點停止運動．設點P的運動時間為t（），則

(1)___________，___________；（用含t的代數(shù)式表示）(2)當t為何值時，是等邊三角形？(3)當t為何值時，是直角三角形？【答案】(1)，(2)2(3)或3【分析】（1）根據(jù)等邊三角形得到，再根據(jù)運動方向和速度可列代數(shù)式；（2）根據(jù)等邊三角形的判定得：，列等式可得的值；（3）分兩種情況：①當時，，則；②當時，，則，分別求出的值．【詳解】（1）解：∵是等邊三角形，∴，，，故荅案為：；（2）是等邊三角形，，當時，是等邊三角形，則，解得：，當時，為等邊三角形；

（3）分兩種情況：①如圖，當時，，，，則，解得：；

②如圖，當時，，，，，解得：，

由題意得：，當或3時，為直角三角形．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質和判定、角的直角三角形的性質、動點運動問題，本題的關鍵是熟練掌握等邊三角形的性質和判定，要注意直角三角形分情況討論．9．（2023春·江西上饒·七年級統(tǒng)考期中）在如圖所示的網(wǎng)格紙中，點，，都在網(wǎng)格點上，請僅用無刻度的直尺按下列要求作圖．

(1)在圖中過點畫的垂線，且點在網(wǎng)格點上．(2)在圖中畫，再畫，且點，都在網(wǎng)格點上．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）如圖，取格點P，作直線，則即為所作垂線；（2）根據(jù)平移和平行線的性質或等腰三角形的性質畫出即可．【詳解】（1）如圖，取格點P，作直線，則即為所作垂線；

（2）如圖2，圖中、或、即為所作點．

【點睛】本題考查格點作圖，平移的性質、等腰三角形的性質等，解題的關鍵是理解題意，利用平行線的性質平移是解決此題的關鍵．10．（2023·河南南陽·統(tǒng)考二模）如圖，中，，，點F是邊上的中點，點D、E分別在線段、邊上運動，且保持．連接、、．

(1)求證：是等腰三角形．(2)判斷的度數(shù)，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）如圖所示，連接，只需要證明得到，即可證明是等腰三角形；（2）由全等三角形的性質得到，由三線合一定理得到，則，即可求出．【詳解】（1）解：證明：，，點是邊上的中點，，在和中，，，，是等腰三角形；（2），，，點是邊上的中點，，即，，，．【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，等腰三角形的性質與判定，直角三角形斜邊上的中線的性質，正確作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．11．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖，在中，交于點，點是的中點，交的延長線于點，交于點，．求證：為的角平分線．【答案】證明見解析；【分析】根據(jù)全等三角形的判定與性質得到，再根據(jù)等腰三角形的性質及平行線的性質即可解答．【詳解】證明：如圖，延長到，使，連接,∵點是的中點,∴，在和中，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即為的角平分線．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，中點定義，平行線的性質，等腰三角形的性12．（2022秋·貴州遵義·八年級統(tǒng)考期末）和均為等腰三角形．(1)如圖1，當旋轉至點A，D，E在同一直線上，連接BE．若，求證：；(2)如圖2，當旋轉至點A，D，E在同一直線上，連接BE．若，為中DE邊上的高，試猜想，，之間的關系，并證明你的結論．(3)如圖1中的和，若在旋轉過程中，當點A，D，E不在同一直線上時，設直線與相交于點O，求的度數(shù)．【答案】(1)證明見詳解；(2)，證明見詳解；(3)的度數(shù)為：或；【分析】（1）根據(jù)和均為等腰三角形，，可得和均為等邊三角形，可得，，，即可得到，即可得到，即可得到證明；（2）根據(jù)和均為等腰三角形，可得，，，根據(jù)為中DE邊上的高，即可得到，根據(jù)三角形全等邊角邊判定可得，即可得到答案；（3）由（1）可得和均為等邊三角形，，可得，分D在內(nèi)部與外部兩