專題1.5 二次函數(shù)與一元二次方程、不等式（舉一反三）（新高考專用）（學(xué)生版） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

專題1.5二次函數(shù)與一元二次方程、不等式【八大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1不含參一元二次不等式的解法】 3【題型2含參一元二次不等式的解法】 3【題型3由一元二次不等式的解確定參數(shù)】 4【題型4其他不等式的解法】 4【題型5一元二次不等式根的分布問題】 5【題型6二次函數(shù)的單調(diào)性、最值問題】 6【題型7一元二次不等式恒成立問題】 6【題型8一元二次不等式有解問題】 71、二次函數(shù)與一元二次方程、不等式考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析(1)會(huì)從實(shí)際情景中抽象出一元二次不等式

(2)掌握三個(gè)“二次”的關(guān)系，會(huì)解一元二次不等式

(3)了解分式、高次、絕對值不等式的解法2020年I卷：第1題，5分2023年新高考I卷：第1題，5分一元二次不等式是高考數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容.從近幾年高考情況來看，三個(gè)“二次”

的關(guān)系是必考內(nèi)容，單獨(dú)考查的頻率很低，偶爾作為已知條件的一部分出現(xiàn)在其他考點(diǎn)的題目中；此外，“含參不等式恒成立與能成立問題”也是常考的熱點(diǎn)內(nèi)容，這類問題把不等式、函數(shù)、三角、幾何等知識有機(jī)地結(jié)合起來，其以覆蓋知識點(diǎn)多、綜合性強(qiáng)、解法靈活等特點(diǎn)備受高考命題者的青睞.【知識點(diǎn)1一元二次不等式】1．一元二次不等式的解法(1)解不含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟：①通過對不等式變形，使二次項(xiàng)系數(shù)大于零；②計(jì)算對應(yīng)方程的判別式；③求出相應(yīng)的一元二次方程的根，或根據(jù)判別式說明方程沒有實(shí)根；④根據(jù)函數(shù)圖象與x軸的相關(guān)位置寫出不等式的解集．(2)解含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟：①若二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)，則需對二次項(xiàng)系數(shù)大于0、等于0與小于0進(jìn)行討論；②若求對應(yīng)一元二次方程的根需用公式，則應(yīng)對判別式Δ進(jìn)行討論；③若求出的根中含有參數(shù)，則應(yīng)對兩根的大小進(jìn)行討論．2．分式、高次、絕對值不等式的解法(1)解分式不等式的一般步驟：①對于比較簡單的分式不等式，可直接轉(zhuǎn)化為一元二次不等式或一元一次不等式組求解，但要注意分母不為零．②對于不等號右邊不為零的較復(fù)雜的分式不等式，先移項(xiàng)再通分(不要去分母)，使之轉(zhuǎn)化為不等號右邊為零，然后再用上述方法求解．(2)解高次不等式的一般步驟：高次不等式的解法：如果將分式不等式轉(zhuǎn)化為正式不等式后，未知數(shù)的次數(shù)大于2，一般采用“穿針引線法”，步驟如下：①標(biāo)準(zhǔn)化；②分解因式；③求根；④穿線；⑤得解集.(3)解絕對值不等式的一般步驟：對于絕對值不等式，可以分類討論然后去括號求解；還可以借助數(shù)軸來求解.3．一元二次不等式恒成立、存在性問題不等式對任意實(shí)數(shù)x恒成立，就是不等式的解集為R，對于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集為R的條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝b2－4ac<0；))一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集為R的條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝b2－4ac≤0；))一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集為?的條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ≤0.))【方法技巧與總結(jié)】1．已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為R，則一定滿足；2．已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足；3．已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為R，則一定滿足；4．已知關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足．【題型1不含參一元二次不等式的解法】【例1】（2023·廣東珠?！つM預(yù)測）不等式x2+x?6<0的解集是（

）A．?6,1 B．?1,6 C．?2,3 D．?3,2【變式1-1】（2024·天津·一模）設(shè)x∈R，則“x<0”是“x2?x>0”的（A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【變式1-2】（2023·湖南岳陽·模擬預(yù)測）不等式x2?1<3x+1A．x∣x<4 B．x∣?4<x<1C．x∣?1<x<4 D．x∣x<?1或x>4【變式1-3】（2024·湖南衡陽·模擬預(yù)測）已知命題p：集合A=xx2+x?2>0，命題q：集合B=xx2A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要【題型2含參一元二次不等式的解法】【例2】（23-24高一上·海南?？凇て谥校┤?<m<1，則不等式x?mx?1mA．x1m<x<m B．xx>1m【變式2-1】（23-24高一上·山東·階段練習(xí)）不等式ax2?A．x1a≤x≤1C．xx≤1a或x≥1 D．【變式2-2】（23-24高一上·河南開封·期中）關(guān)于x的不等式ax2?A．? B．xx>1 C．x1<x<1【變式2-3】（23-24高一上·浙江臺州·期中）不等式ax2+bx+c>0的解集為xA．a(chǎn)+b+c<0B．9a+3b+c>0C．不等式cx2D．不等式cx2+bx+a>0的解集為【題型3由一元二次不等式的解確定參數(shù)】【例3】（23-24高一下·云南·階段練習(xí)）若關(guān)于x的不等式x2?m+1x+m<0的解集中恰有三個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)A．?3,?2∪4,5 B．?2,?1∪4,5 C．【變式3-1】（2024·廣東·一模）已知a,b,c∈R且a≠0，則“ax2+bx+c>0的解集為xx≠1”是“A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【變式3-2】（23-24高三上·云南德宏·期末）已知關(guān)于x的不等式x2?ax+b≤0的解集為x2≤x≤3，則關(guān)于x的不等式xA．x2<x<3 B．C．x2<x<5 D．【變式3-3】（23-24高一上·黑龍江大慶·期末）關(guān)于x的不等式x2?ax?6a<0的解集是{x|m<x<n}，且n?m≤5，則實(shí)數(shù)a的取值范圍（

A．?25,?24 B．0C．?25,?24∪0，【題型4其他不等式的解法】【例4】（23-24高一上·湖南長沙·期末）解下列不等式：(1)2xx?1(2)2x?3+【變式4-1】（23-24高一上·江蘇揚(yáng)州·期中）求下列不等式的解集(1)3x?1x+1(2)2x?3(3)x+2【變式4-2】（22-23高一上·上海徐匯·階段練習(xí)）解下列不等式：(1)5?xx(2)(x?1)(x+2)【變式4-3】（2023高一·上?！ｎ}練習(xí)）解下列關(guān)于x的不等式．(1)x+4x+5(2)x2【題型5一元二次不等式根的分布問題】【例5】（2024高三·全國·專題練習(xí)）關(guān)于x的方程ax2+a+2x+9a=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1,A．?27<a<C．a(chǎn)<?27 【變式5-1】（23-24高三上·四川·階段練習(xí)）若關(guān)于x的方程x2?2ax+a+2=0在區(qū)間?2,1上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是（A．?65,?1C．?∞,?6【變式5-2】（23-24高一上·上海浦東新·期中）已知實(shí)數(shù)a<b，關(guān)于x的不等式x2?a+bx+ab+1<0的解集為x1,x2，則實(shí)數(shù)a、A．a(chǎn)<x1<C．a(chǎn)<x1<b<【變式5-3】（23-24高三·全國·階段練習(xí)）方程x2+(m?2)x+5?m=0的一根在區(qū)間(2,3)內(nèi)，另一根在區(qū)間(3,4)內(nèi)，則m的取值范圍是（A．(?5,?4) B．?133,?2 C．?【題型6二次函數(shù)的單調(diào)性、最值問題】【例6】（23-24高一上·江蘇南京·期末）若函數(shù)fx=x2?mx+3在區(qū)間?A．?∞,2 B．2,+∞ C．?【變式6-1】（23-24高一上·湖北武漢·期中）已知函數(shù)f(x)=2x2?kx?8A．k≤-8 B．k≥4 C．k≤-8或k≥4 D．-8≤k≤4【變式6-2】（23-24高一上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）若函數(shù)y=x2?2x?3的定義域?yàn)閇?1,t]，值域?yàn)閇?4,0]則實(shí)數(shù)tA．1≤t≤3 B．1<t<3C．?1<t<3 D．?1<t≤3【變式6-3】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)fx=x2+ax+ba,b∈R的最小值為0，若關(guān)于x的不等式fA．9 B．8 C．6 D．4【題型7一元二次不等式恒成立問題】【例7】（2023·福建廈門·二模）不等式ax2?2x+1>0A．a(chǎn)>2 B．a(chǎn)≥1 C．a(chǎn)>1 D．0<a<【變式7-1】（2023·江西九江·模擬預(yù)測）無論x取何值時(shí)，不等式x2?2kx+4>0恒成立，則k的取值范圍是（A．?∞,?2 B．?∞,?4 C．【變式7-2】（2023·遼寧鞍山·二模）若對任意的x∈(0,+∞),x2?mx+1>0A．(?2,2) B．(2,+∞) C．(?∞【變式7-3】（23-24高一上·貴州銅仁·期末）當(dāng)x∈?1,1時(shí)，不等式2kx2?kx?3A．?3,0 B．?3,0 C．?3,18 【題型8一元二次不等式有解問題】【例8】（2023·福建寧德·模擬預(yù)測）命題“?x∈[1,2],x2≤aA．a(chǎn)≥1 B．a(chǎn)≥4C．a(chǎn)≥?2 D．a(chǎn)≤4【變式8-1】（2023高三·全國·專題練習(xí)）若關(guān)于x的不等式x2+mx?4>0在區(qū)間2,4上有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（A．?3,+∞ B．0,+∞ C．?∞【變式8-2】（2023·河南·模擬預(yù)測）已知命題“?x0∈?1,1，?xA．?∞,?2 B．?∞,4 C．【變式8-3】（23-24高一上·福建·期中）若至少存在一個(gè)x<0，使得關(guān)于x的不等式3?3x?a>x2+2xA．?374,3 B．?3,134 一、單選題1．（2023·山東泰安·模擬預(yù)測）“c∈?23,23”是“A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2023·湖南岳陽·模擬預(yù)測）不等式x?1x?2023≥0的解集為（A．{x∣x≥2023或x≥1} B．{x∣x≤1或x≥2023}C．x∣1≤x≤2023 D．{x∣x<1或x>2023}3．（2024·浙江·模擬預(yù)測）若不等式kx2+k?6x+2>0A．2≤k≤18 B．?18<k<?2C．2<k<18 D．0<k<24．（2024·甘肅張掖·模擬預(yù)測）不等式x2?3x<2?2xA．?1,12 B．?12,15．（2023·山東·模擬預(yù)測）若不等式2x2+bx+c<0的解集是(0,4)，函數(shù)f(x)=2A．x=2 B．x=4 C．x=52 6．（23-24高一上·四川成都·期中）一元二次不等式ax2+bx+c>0的解為x?2<x<3，那么A．xx>3或x<?2C．x?2<x<3 D．7．（2023·遼寧鞍山·二模）已知當(dāng)x>0時(shí)，不等式：x2?mx+16>0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（A．?8,8 B．?∞,8 C．?∞8．（2023·河南·模擬預(yù)測）某同學(xué)解關(guān)于x的不等式ax2+bx+c<0(a≠0)時(shí)，因弄錯(cuò)了常數(shù)c的符號，解得其解集為(?∞,?3)∪(?2,+A．?1,?15 C．15,1 二、多選題9．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）下列說法正確的是（

）A．不等式4x2B．不等式2x2C．若不等式ax2+8ax+21<0恒成立，則D．若關(guān)于x的不等式2x2+px?3<0的解集是q,1，則10．（2023·江蘇連云港·模擬預(yù)測）若對于任意實(shí)數(shù)x，不等式a?1x2?2a?1x?4<0A．?2 B．0 C．?4 D．111．（23-24高二上·山東威?！て谀┮阎P(guān)于x的不等式ax2+bx+c>0的解集為?A．a(chǎn)<0B．不等式bx+c>0的解集是x|x<?6C．a(chǎn)+b+c>0D．不等式cx2三、填空題12．（2023·江西鷹潭·模擬預(yù)測）若命題p：“?x∈R，k2?1x2+413．（2023·河南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)y=kx?k與曲線y=x2?1x14．（23-24高一上·江蘇徐州·階段練習(xí)）若關(guān)于x的不等式0≤ax2+bx+c≤2a>0的解集為x?1≤x≤3四、解答題15．（23-24高一下·四川成都·開學(xué)考試）已知函數(shù)fx(1)若關(guān)于x的不等式fx≥0的解集為R，求實(shí)數(shù)(2)解關(guān)于x的不等式fx16．