高考數(shù)學(xué)（北師大版文）練習(xí)第十二章　推理與證明算法復(fù)數(shù)第1講　歸納與類比

第1講歸納與類比一、選擇題1．(2016·西安八校聯(lián)考)觀察一列算式：1?1,1?2,2?1，1?3，2?2,3?1,1?4,2?3,3?2,4?1，…，則式子3?5是第()A．22項(xiàng)B．23項(xiàng)C．24項(xiàng)D．25項(xiàng)解析兩數(shù)和為2的有1個(gè)，和為3的有2個(gè)，和為4的有3個(gè)，和為5的有4個(gè)，和為6的有5個(gè)，和為7的有6個(gè)，前面共有21個(gè)，3?5為和為8的第3項(xiàng)，所以為第24項(xiàng)，故選C.答案C2．命題“有些有理數(shù)是無(wú)限循環(huán)小數(shù)，整數(shù)是有理數(shù)，所以整數(shù)是無(wú)限循環(huán)小數(shù)”是假命題，推理錯(cuò)誤的原因是()A．使用了歸納推理B．使用了類比推理C．使用了“三段論”，但推理形式錯(cuò)誤D．使用了“三段論”，但小前提錯(cuò)誤解析由“三段論”的推理方式可知，該推理的錯(cuò)誤原因是推理形式錯(cuò)誤．答案C3．觀察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由歸納推理得：若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝f(x)，記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g(－x)＝()A．f(x)B．－f(x)C．g(x)D．－g(x)解析由已知得偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)，故g(－x)＝－g(x)．答案D4．觀察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，則a10＋b10等于()A．28B．76C．123D．199解析觀察規(guī)律，歸納推理．從給出的式子特點(diǎn)觀察可推知，等式右端的值，從第三項(xiàng)開(kāi)始，后一個(gè)式子的右端值等于它前面兩個(gè)式子右端值的和，照此規(guī)律，則a10＋b10＝123.答案C5．由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則：①“mn＝nm”類比得到“a·b＝b·a”；②“(m＋n)t＝mt＋nt”類比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；③“(m·n)t＝m(n·t)”類比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；④“t≠0，mt＝xt?m＝x”類比得到“p≠0，a·p＝x·p?a＝x”；⑤“|m·n|＝|m|·|n|”類比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；⑥“eq\f(ac,bc)＝eq\f(a,b)”類比得到“eq\f(a·c,b·c)＝eq\f(a,b)”．以上式子中，類比得到的結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是()A．1B．2C．3D．4解析①②正確；③④⑤⑥錯(cuò)誤．答案B6．(2017·宜春一中月考)老師帶甲、乙、丙、丁四名學(xué)生去參加自主招生考試，考試結(jié)束后老師向四名學(xué)生了解考試情況，四名學(xué)生回答如下：甲說(shuō)：“我們四人都沒(méi)考好”；乙說(shuō)：“我們四人中有人考的好”；丙說(shuō)：“乙和丁至少有一人沒(méi)考好”；丁說(shuō)：“我沒(méi)考好”．結(jié)果，四名學(xué)生中有兩人說(shuō)對(duì)了，則四名學(xué)生中說(shuō)對(duì)的兩人是()A．甲，丙B．乙，丁C．丙，丁D．乙，丙解析甲與乙的關(guān)系是對(duì)立事件，二人說(shuō)話矛盾，必有一對(duì)一錯(cuò)，如果丁正確，則丙也是對(duì)的，所以丁錯(cuò)誤，可得丙正確，此時(shí)乙正確．故答案為D.答案D7．平面內(nèi)有n條直線，最多可將平面分成f(n)個(gè)區(qū)域，則f(n)的表達(dá)式為()A．n＋1 B．2nC.eq\f(n2＋n＋2,2) D．n2＋n＋1解析1條直線將平面分成1＋1個(gè)區(qū)域；2條直線最多可將平面分成1＋(1＋2)＝4個(gè)區(qū)域；3條直線最多可將平面分成1＋(1＋2＋3)＝7個(gè)區(qū)域；……；n條直線最多可將平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋eq\f(nn＋1,2)＝eq\f(n2＋n＋2,2)個(gè)區(qū)域，選C.答案C8．如圖，有一個(gè)六邊形的點(diǎn)陣，它的中心是1個(gè)點(diǎn)(算第1層)，第2層每邊有2個(gè)點(diǎn)，第3層每邊有3個(gè)點(diǎn)，…，依此類推，如果一個(gè)六邊形點(diǎn)陣共有169個(gè)點(diǎn)，那么它的層數(shù)為()A．6B．7C．8D．9解析由題意知，第1層的點(diǎn)數(shù)為1，第2層的點(diǎn)數(shù)為6，第3層的點(diǎn)數(shù)為2×6，第4層的點(diǎn)數(shù)為3×6，第5層的點(diǎn)數(shù)為4×6，…，第n(n≥2，n∈N＋)層的點(diǎn)數(shù)為6(n－1)．設(shè)一個(gè)點(diǎn)陣有n(n≥2，n∈N＋)層，則共有的點(diǎn)數(shù)為1＋6＋6×2＋…＋6(n－1)＝1＋eq\f(6＋6n－1,2)×(n－1)＝3n2－3n＋1，由題意得3n2－3n＋1＝169，即(n＋7)·(n－8)＝0，所以n＝8，故共有8層．答案C二、填空題9．仔細(xì)觀察下面○和●的排列規(guī)律：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●○○○○○○●……若依此規(guī)律繼續(xù)下去，得到一系列的○和●，那么在前120個(gè)○和●中，●的個(gè)數(shù)是________．解析進(jìn)行分組○●|○○●|○○○●|○○○○●|○○○○○●|○○○○○○●|……，則前n組兩種圈的總數(shù)是f(n)＝2＋3＋4＋…＋(n＋1)＝eq\f(nn＋3,2)，易知f(14)＝119，f(15)＝135，故n＝14.答案1410．觀察下列等式：13＝12,13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，……，根據(jù)上述規(guī)律，第n個(gè)等式為_(kāi)_______．解析觀察所給等式左右兩邊的構(gòu)成易得第n個(gè)等式為13＋23＋…＋n3＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(nn＋1,2)))2＝eq\f(n2n＋12,4).答案13＋23＋…＋n3＝eq\f(n2n＋12,4)11．(2017·重慶模擬)在等差數(shù)列{an}中，若公差為d，且a1＝d，那么有am＋an＝am＋n，類比上述性質(zhì)，寫出在等比數(shù)列{an}中類似的性質(zhì)：___________________________.解析等差數(shù)列中兩項(xiàng)之和類比等比數(shù)列中兩項(xiàng)之積，故在等比數(shù)列中，類似的性質(zhì)是“在等比數(shù)列{an}中，若公比為q，且a1＝q，則am·an＝am＋n.”答案在等比數(shù)列{an}中，若公比為q，且a1＝q，則am·an＝am＋n12．已知點(diǎn)A(x1，ax1)，B(x2，ax2)是函數(shù)y＝ax(a＞1)的圖像上任意不同兩點(diǎn)，依據(jù)圖像可知，線段AB總是位于A，B兩點(diǎn)之間函數(shù)圖像的上方，因此有結(jié)論eq\f(ax1＋ax2,2)＞aeq\f(x1＋x2,2)成立．運(yùn)用類比思想方法可知，若點(diǎn)A(x1，sinx1)，B(x2，sinx2)是函數(shù)y＝sinx(x∈(0，π))的圖像上任意不同兩點(diǎn)，則類似地有________成立．解析對(duì)于函數(shù)y＝ax(a＞1)的圖像上任意不同兩點(diǎn)A，B，依據(jù)圖像可知，線段AB總是位于A，B兩點(diǎn)之間函數(shù)圖像的上方，因此有結(jié)論eq\f(ax1＋ax2,2)＞aeq\f(x1＋x2,2)成立；對(duì)于函數(shù)y＝sinx(x∈(0，π))的圖像上任意不同的兩點(diǎn)A(x1，sinx1)，B(x2，sinx2)，線段AB總是位于A，B兩點(diǎn)之間函數(shù)圖像的下方，類比可知應(yīng)有eq\f(sinx1＋sinx2,2)＜sineq\f(x1＋x2,2)成立．答案eq\f(sinx1＋sinx2,2)＜sineq\f(x1＋x2,2)13．(2017·湖北八校二聯(lián))有6名選手參加演講比賽，觀眾甲猜測(cè)：4號(hào)或5號(hào)選手得第一名；觀眾乙猜測(cè)：3號(hào)選手不可能得第一名；觀眾丙猜測(cè)：1,2,6號(hào)選手中的一位獲得第一名；觀眾丁猜測(cè)：4,5,6號(hào)選手都不可能獲得第一名．比賽后發(fā)現(xiàn)沒(méi)有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜對(duì)比賽結(jié)果，此人是()A．甲B．乙C．丙D．丁解析根據(jù)題意，6名選手比賽結(jié)果甲、乙、丙、丁猜測(cè)如下表：1號(hào)2號(hào)3號(hào)4號(hào)5號(hào)6號(hào)甲不可能不可能不可能可能可能不可能乙可能可能不可能可能可能可能丙可能可能不可能不可能不可能可能丁可能可能可能不可能不可能不可能由表知，只有丁猜對(duì)了比賽結(jié)果，故選D.答案D14．古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來(lái)研究數(shù)．比如：他們研究過(guò)圖1中的1,3,6,10，…，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似地，稱圖2中的1,4,9,16，…，這樣的數(shù)為正方形數(shù)．下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是()A．289B．1024C．1225D．1378解析觀察三角形數(shù)：1,3,6,10，…，記該數(shù)列為{an}，則a1＝1，a2＝a1＋2，a3＝a2＋3，…an＝an－1＋n.∴a1＋a2＋…＋an＝(a1＋a2＋…＋an－1)＋(1＋2＋3＋…＋n)?an＝1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2)，觀察正方形數(shù)：1,4,9,16，…，記該數(shù)列為{bn}，則bn＝n2.把四個(gè)選項(xiàng)的數(shù)字，分別代入上述兩個(gè)通項(xiàng)公式，可知使得n都為正整數(shù)的只有1225.答案C15．若P0(x0，y0)在橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)外，過(guò)P0作橢圓的兩條切線的切點(diǎn)為P1，P2，則切點(diǎn)弦P1P2所在的直線方程是eq\f(x0x,a2)＋eq\f(y0y,b2)＝1，那么對(duì)于雙曲線則有如下命題：若P0(x0，y0)在雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)外，過(guò)P0作雙曲線的兩條切線，切點(diǎn)為P1，P2，則切點(diǎn)弦P1P2所在直線的方程是________．解析設(shè)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則P1，P2的切線方程分別是eq\f(x1x,a2)－eq\f(y1y,b2)＝1，eq\f(x2x,a2)－eq\f(y2y,b2)＝1.因?yàn)镻0(x0，y0)在這兩條切線上，故有eq\f(x1x0,a2)－eq\f(y1y0,b2)＝1，eq\f(x2x0,a2)－eq\f(y2y0,b2)＝1，這說(shuō)明P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直線eq\f(x0x,a2)－eq\f(y0y,b2)＝1上，故切點(diǎn)弦P1P2所在的直線方程是eq\f(x0x,a2)－eq\f(y0y,b2)＝1.答案eq\f(x0x,a2)－eq\f(y0y,b2)＝116．(2016·濟(jì)南模擬)有一個(gè)奇數(shù)組成的數(shù)陣排列如下：1371321…591523……111725………1927…………29……………則第30行