陜西省四校2025屆數(shù)學(xué)高二上期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

陜西省四校2025屆數(shù)學(xué)高二上期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．命題：，否定是（）A.， B.，C.， D.，2．已知A（3，2），點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線上移動(dòng)，為使取得最小值，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A.（0，0） B.（2，2）C. D.3．已知，數(shù)列，，，與，，，，都是等差數(shù)列，則的值是（）A. B.C. D.4．直線與直線的位置關(guān)系是（）A.相交但不垂直 B.平行C.重合 D.垂直5．拋擲兩枚硬幣，若記出現(xiàn)“兩個(gè)正面”“兩個(gè)反面”“一正一反”的概率分別為，，，則下列判斷中錯(cuò)誤的是（）.A. B.C. D.6．某雙曲線的一條漸近方程為，且焦點(diǎn)為，則該雙曲線的方程是（）A. B.C. D.7．已知A，B，C是橢圓M：上三點(diǎn)，且A（A在第一象限，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，過A作x軸的垂線交橢圓M于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，若直線AC與BC的斜率之積為，則（）A.橢圓M的離心率為 B.橢圓M的離心率為C. D.8．已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.9．下面四個(gè)條件中，使成立的充分而不必要的條件是A. B.C. D.10．在等差數(shù)列中，，則等于A.2 B.18C.4 D.911．楊輝三角是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在中國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中就有出現(xiàn).在歐洲，帕斯卡（1623～1662）在1654年發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律，比楊輝要遲了393年.如圖所示，在“楊輝三角”中，從1開始箭頭所指的數(shù)組成一個(gè)鋸齒形數(shù)列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，則在該數(shù)列中，第37項(xiàng)是A.153 B.171C.190 D.21012．“趙爽弦圖”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的瑰寶，如圖所示，它是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)正方形構(gòu)成.現(xiàn)用4種不同的顏色（4種顏色全部使用）給這5個(gè)區(qū)域涂色，要求相鄰的區(qū)域不能涂同一種顏色，每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，則不同的涂色方案有（）A.24種 B.48種C.72種 D.96種二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)，，若將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位能使其圖像與原圖像重合，則正實(shí)數(shù)的最小值為___________.14．如圖，在三棱錐中，，二面角的余弦值為，若三棱錐的體積為，則三棱錐外接球的表面積為______15．已知過點(diǎn)作拋物線的兩條切線,切點(diǎn)分別為A、B,直線經(jīng)過拋物線C的焦點(diǎn)F,則___________16．若，滿足不等式組，則的最大值為________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線：的焦點(diǎn)是圓與軸的一個(gè)交點(diǎn).（1）求拋物線的方程;（2）若過點(diǎn)的直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、B，О為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：.18．（12分）已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要條件，求m的取值范圍19．（12分）為慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年，某校舉行了黨史知識(shí)競(jìng)賽，在必答題環(huán)節(jié)，甲、乙兩位選手分別從3道選擇題（1）甲至少抽到1道填空題（2）甲答對(duì)的題數(shù)比乙多的概率.20．（12分）函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；（2）若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.21．（12分）某廠有4臺(tái)大型機(jī)器，在一個(gè)月中，一臺(tái)機(jī)器至多出現(xiàn)1次故障，出現(xiàn)故障時(shí)需1名工人進(jìn)行維修，且每臺(tái)機(jī)器是否出現(xiàn)故障是相互獨(dú)立的，每臺(tái)機(jī)器出現(xiàn)故障的概率為（1）若出現(xiàn)故障的機(jī)器臺(tái)數(shù)為X，求X的分布列；（2）已知一名工人每月只有維修1臺(tái)機(jī)器的能力，每月需支付給每位工人1萬(wàn)元的工資，每臺(tái)機(jī)器不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障時(shí)能及時(shí)維修，都產(chǎn)生5萬(wàn)元的利潤(rùn)，否則將不產(chǎn)生利潤(rùn)．若該廠在雇傭維修工人時(shí)，要保證在任何時(shí)刻多臺(tái)機(jī)器同時(shí)出現(xiàn)故障能及時(shí)進(jìn)行維修的概率不小于90%，雇傭幾名工人使該廠每月獲利最大？22．（10分）已知點(diǎn)，圓（1）若過點(diǎn)的直線與圓相切，求直線的方程；（2）若直線與圓相交于A，兩點(diǎn)，弦的長(zhǎng)為，求的值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)給定條件利用全稱量詞命題的否定是存在量詞命題直接寫出作答.【詳解】命題：，是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，所以命題：，的否定是：，.故選：D2、B【解析】設(shè)點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為，根據(jù)拋物線的定義可知，即可根據(jù)點(diǎn)到直線的距離最短求出【詳解】如圖所示：設(shè)點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為，準(zhǔn)線方程為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為與拋物線的交點(diǎn)時(shí)，取得最小值，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為故選：B3、A【解析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，分別表示出，，整理即可得答案.【詳解】數(shù)列，，，和，，，，各自都成等差數(shù)列，，，，故選:A4、C【解析】把直線化簡(jiǎn)后即可判斷.【詳解】直線可化為，所以直線與直線的位置關(guān)系是重合.故選：C5、A【解析】把拋擲兩枚硬幣的情況均列舉出來(lái)，利用古典概型的計(jì)算公式，把，，算出來(lái)，判斷四個(gè)選項(xiàng)的正誤.【詳解】?jī)擅队矌牛洖榕c，則拋擲兩枚硬幣，一共會(huì)出現(xiàn)的情況有四種，A正B正，A正B反，A反B正，A反B反，則，，，所以A錯(cuò)誤，BCD正確故選：A6、D【解析】設(shè)雙曲線的方程為，利用焦點(diǎn)為求出的值即可.【詳解】因?yàn)殡p曲線的一條漸近方程為，且焦點(diǎn)為，所以可設(shè)雙曲線的方程為，則，，所以該雙曲線方程為.故選：D.7、C【解析】設(shè)出點(diǎn)，,的坐標(biāo)，將點(diǎn)，分別代入橢圓方程兩式作差，構(gòu)造直線和的斜率之積，得到，即可求橢圓的離心率，利用，求出，可知點(diǎn)在軸上，且為的中點(diǎn),則.【詳解】設(shè)，，，則，，，兩式相減并化簡(jiǎn)得，即，則,則AB錯(cuò)誤；∵，，∴，又∵，∴，即，解得，則點(diǎn)在軸上，且為的中點(diǎn)即，則正確.故選：C.8、D【解析】由在上恒成立，再轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的取值范圍可得【詳解】由已知，在上是增函數(shù)，則在上恒成立，即，，當(dāng)時(shí)，，所以故選：D9、A【解析】由，但無(wú)法得出，A滿足；由、均無(wú)法得出，不滿足“充分”；由，不滿足“不必要”.考點(diǎn)：不等式性質(zhì)、充分必要性.10、D【解析】利用等差數(shù)列性質(zhì)得到，，計(jì)算得到答案.詳解】等差數(shù)列中，故選D【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的計(jì)算，利用性質(zhì)可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，是解題的關(guān)鍵.11、C【解析】根據(jù)“楊輝三角”找出數(shù)列1，2，3，3，6，4，10，5，…之間的關(guān)系即可?！驹斀狻坑深}意可得從第3行起的每行第三個(gè)數(shù)：，所以第行的第三個(gè)數(shù)為在該數(shù)列中，第37項(xiàng)為第21行第三個(gè)數(shù)，所以該數(shù)列的第37項(xiàng)為故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了歸納、推理的能力，屬于中等題。12、B【解析】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析區(qū)域①、②、⑤和區(qū)域③、④的涂色方法，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案.【詳解】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：當(dāng)區(qū)域①、②、⑤這三個(gè)區(qū)域兩兩相鄰，有種涂色的方法；當(dāng)區(qū)域③、④，必須有1個(gè)區(qū)域選第4種顏色，有2種選法，選好后，剩下的區(qū)域有1種選法，則區(qū)域③、④有2種涂色方法，故共有種涂色的方法.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)正弦型函數(shù)圖像平移法則和正弦函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行解題.【詳解】解：由題意得：函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位后得：該函數(shù)與原函數(shù)圖像重合故可知，即故當(dāng)時(shí)，最小正實(shí)數(shù).故答案為：14、【解析】取的中點(diǎn)，連接，，過點(diǎn)A作，垂足為，設(shè)，利用三角形的邊角關(guān)系求出，利用錐體的體積公式求出的值，確定三棱錐外接球的球心，求解外接球的半徑，由表面積公式求解即可【詳解】取的中點(diǎn)，連接，，過點(diǎn)A作，交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，所以為二面角的平面角，設(shè)，則，，所以，所以，EH=，因?yàn)槿忮F的體積為，所以，解得：，，設(shè)外接圓的圓心為，三棱錐外接球的球心為，連接，，，過點(diǎn)O作OF⊥AH于點(diǎn)F，則，，，，設(shè)，則，，由勾股定理得：，解得：，所以三棱錐外接球的半徑滿足，則三棱錐的外接球的表面積為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的外接球問題，棱錐的體積公式的理解與應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是確定外接球球心的位置，三棱錐的外接球的球心在過各面外心且與此面垂直的直線上，由此結(jié)論可以找到外接球的球心，15、64【解析】用字母進(jìn)行一般化研究,先求出切點(diǎn)弦方程,再聯(lián)立化簡(jiǎn),最后代入數(shù)據(jù)計(jì)算【詳解】設(shè),點(diǎn)處的切線方程為聯(lián)立,得由,得即,解得所以點(diǎn)處的切線方程為,整理得同理,點(diǎn)處的切線方程為設(shè)為兩切線的交點(diǎn),則所以在直線上即直線AB的方程為又直線AB經(jīng)過焦點(diǎn)所以,即聯(lián)立得所以所以本題中所以故答案為:64【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛:過點(diǎn)作拋物線的兩條切線,切點(diǎn)弦的方程為16、10【解析】作出不等式區(qū)域,如圖所示:目標(biāo)最大值,即為平移直線的最大縱截距,當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)最大為10.故答案為10.點(diǎn)睛：本題主要考查線性規(guī)劃中利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值，屬簡(jiǎn)單題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實(shí)線還是虛線）；（2）找到目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解對(duì)應(yīng)點(diǎn)（在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù)，最先通過或最后通過的頂點(diǎn)就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）證明見解析【解析】（1）由圓與軸的交點(diǎn)分別為，可得拋物線的焦點(diǎn)為，從而即可求解；（2）設(shè)直線為，聯(lián)立拋物線方程，由韋達(dá)定理及，求出即可得證.【小問1詳解】解：由題意知，圓與軸的交點(diǎn)分別為，則拋物線的焦點(diǎn)為，所以，所以拋物線方程為；【小問2詳解】證明：設(shè)直線為，聯(lián)立方程，有，所以，所以，所以.18、.【解析】由x2﹣8x﹣20≤0，解得﹣2≤x≤10．根據(jù)非空集合S={x|1﹣m≤x≤1+m}．又x∈P是x∈S的必要條件，可得，1﹣m≤1+m，解得m范圍【詳解】由x2﹣8x﹣20≤0，解得﹣2≤x≤10．∴P=[﹣2，10]非空集合S={x|1﹣m≤x≤1+m}．又x∈P是x∈S的必要條件，∴，1﹣m≤1+m，解得0≤m≤3∴m的取值范圍是[0，3]【點(diǎn)睛】本題考查了不等式的解法、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題19、（1）；（2）.【解析】（1）把3道選擇題（2）設(shè)，分別表示甲答對(duì)1道題，2道題的事件，，分別表示乙答對(duì)0道題，1道題的事件，分別求出它們的概率，甲答對(duì)的題數(shù)比乙多這個(gè)事件是，然后由相互獨(dú)立的事件和互斥事件的概率公式計(jì)算【詳解】解：（1）記3道選擇題則試驗(yàn)的樣本空間，.共有10個(gè)樣本點(diǎn)，且每個(gè)樣本點(diǎn)是等可能發(fā)生的，所以這是一個(gè)古典概型.記事件A=“甲至少抽到1道填空題，.所以，，.所以，.因此，甲至少抽到1道填空題（2）設(shè)，分別表示甲答對(duì)1道題，2道題的事件，分別表示乙答對(duì)0道題，1道題的事件，根據(jù)獨(dú)立性假定，得，.，.記事件B=“甲答對(duì)的題數(shù)比乙多”，則，且，，兩兩互斥，與，與，與分別相互獨(dú)立，所以..因此，甲答對(duì)的題數(shù)比乙多的概率為.20、（1）；（2）.【解析】（1）由題設(shè)，原不等式等價(jià)于，分類討論即可得出結(jié)論；（2）不等式對(duì)任意恒成立，即，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于，當(dāng)時(shí)，，解得，即；當(dāng)時(shí)，恒成立，即；當(dāng)時(shí)，，解得，即；綜上，不等式的解集為；（2），，即或，解得，∴a取值范圍是.21、（1）答案見解析（2）雇傭3名【解析】（1）設(shè)出現(xiàn)故障的機(jī)器臺(tái)數(shù)為X，由題意知，即可由二項(xiàng)分布求解；（2）設(shè)該廠雇傭n名工人，n可取0、1、2、3、4，先求出保證在任何時(shí)刻多臺(tái)機(jī)器同時(shí)出現(xiàn)故障能及時(shí)進(jìn)行維修的概率不小于90%需要至少3人，再分別計(jì)算3人，4人時(shí)的獲利即可得解.【小問1詳解】每臺(tái)機(jī)器運(yùn)行是否出現(xiàn)故障看作一次實(shí)驗(yàn)，在一次試驗(yàn)中，機(jī)器出現(xiàn)故障的概率為，4臺(tái)機(jī)器相當(dāng)于4次獨(dú)立試驗(yàn)設(shè)出現(xiàn)故障的機(jī)器臺(tái)數(shù)為X，則，，，，，，則X的分布列為：X01234P【小問2詳解】設(shè)該廠雇傭n名工人，n可取0、1、2、3、4，設(shè)“在任何時(shí)刻多臺(tái)機(jī)器同時(shí)出現(xiàn)故障能及時(shí)進(jìn)行維修”的概率為，則：n01234P1∵，∴至少要3名工人，才能保證在任何時(shí)刻多臺(tái)機(jī)器同時(shí)出現(xiàn)故障時(shí)能及時(shí)進(jìn)行維修的概率不小于90%當(dāng)該廠雇傭3名工人時(shí)，設(shè)該廠獲利為Y萬(wàn)元，則Y的所有可能取值為17，12，，，∴Y的分布列為：Y1712P∴，∴該廠獲利的均值為16.9萬(wàn)元當(dāng)該廠雇傭4名工人時(shí)，4臺(tái)機(jī)器在任何時(shí)刻同時(shí)出現(xiàn)故障時(shí)能及時(shí)進(jìn)行維修的概率為100%，該廠獲利的均值為萬(wàn)元∴若該廠要保