2025屆永州市重點中學高二數(shù)學第一學期期末預測試題含解析

2025屆永州市重點中學高二數(shù)學第一學期期末預測試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．為了了解某地區(qū)的名學生的數(shù)學成績，打算從中抽取一個容量為的樣本，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的方法，需從總體中剔除個個體，在整個過程中，每個個體被剔除的概率和每個個體被抽取的概率分別為（）A. B.C. D.2．若x，y滿足約束條件,則的最大值為（）A.2 B.3C.4 D.53．若、且，則下列式子一定成立的是（）A. B.C. D.4．平面的法向量為，平面的法向量為，則下列命題正確的是（）A.，平行 B.，垂直C.，重合 D.，相交不垂直5．已知橢圓的左，右兩個焦點分別為，若橢圓C上存在一點A，滿足，則橢圓C的離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.6．將一枚骰子先后拋擲兩次，若先后出現(xiàn)的點數(shù)分別記為a，b，則直線到原點的距離不超過1的概率是（）A. B.C. D.7．1852年英國來華傳教士偉烈亞力將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問題解法傳至歐洲，西方人稱之為“中國剩余定理”．現(xiàn)有這樣一個問題：將1到200中被3整除余1且被4整除余2的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構成數(shù)列，則=（）A.130 B.132C.140 D.1448．已知向量，，且，則實數(shù)等于（）A.1 B.2C. D.9．直線的斜率為（）A.135° B.45°C.1 D.-110．若的解集是，則等于（）A.-14 B.-6C.6 D.1411．“1＜x＜2”是“x＜2”成立的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件12．在正方體的12條棱中任選3條，其中任意2條所在的直線都是異面直線的概率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，，則___________.14．已知雙曲線過點，且漸近線方程為，則該雙曲線的標準方程為____________________.15．已知直線和平面，且；①若異面，則至少有一個與相交；②若垂直，則至少有一個與垂直；對于以上命題中，所有正確的序號是___________.16．已知直線與直線平行，則實數(shù)______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓過點，且離心率，為坐標原點.（1）求橢圓的方程；（2）判斷是否存在直線，使得直線與橢圓相交于兩點，直線與軸相交于點，且滿足，若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.18．（12分）已知直線過點，且被兩條平行直線，截得的線段長為.（1）求的最小值；（2）當直線與軸平行時，求的值.19．（12分）已知等差數(shù)列各項均不為零，為其前項和，點在函數(shù)的圖像上.（1）求的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，求的前項和；（3）若數(shù)列滿足，求的前項和的最大值、最小值.20．（12分）已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若對任意的，都有成立，求的取值范圍21．（12分）已知雙曲線與有相同的漸近線，且經(jīng)過點.（1）求雙曲線的方程；（2）已知直線與雙曲線交于不同的兩點，且線段的中點在圓上，求實數(shù)的值.22．（10分）已知點是圓：上任意一點，是圓內(nèi)一點，線段的垂直平分線與半徑相交于點（1）當點在圓上運動時，求點的軌跡的方程；（2）設不經(jīng)過坐標原點，且斜率為的直線與曲線相交于，兩點，記，的斜率分別是，．當，都存在且不為時，試探究是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)每個個體被抽取的概率都是相等的、被剔除的概率也都是相等的，分別由剔除的個數(shù)和抽取的樣本容量除以總體個數(shù)即可求解.【詳解】根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義和方法可知：每個個體被抽取的概率都是相等的，每個個體被剔除的概率也都是相等的，所以每個個體被剔除的概率為，每個個體被抽取的概率為，故選：D.2、C【解析】畫出約束條件的可行域，利用目標函數(shù)的幾何意義即可求解【詳解】作出可行域如圖所示，把目標函數(shù)轉(zhuǎn)化為，平移，經(jīng)過點時，縱截距最大，所以的最大值為4.故選：C3、B【解析】構造函數(shù)，利用函數(shù)在上的單調(diào)性可判斷AB選項；構造函數(shù)，利用函數(shù)在上的單調(diào)性可判斷CD選項.【詳解】對于AB選項，構造函數(shù)，其中，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為、且，則，即，A錯B對；對于CD選項，構造函數(shù)，其中，則.當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，故函數(shù)在上不單調(diào)，無法確定與的大小關系，故CD都錯.故選：B.4、B【解析】根據(jù)可判斷兩平面垂直.【詳解】因為，所以，所以，垂直.故選：B.5、C【解析】根據(jù)題意可知當A為橢圓的上下頂點時，即可滿足橢圓C上存在一點A，使得，由此可得，解此不等式可得答案.【詳解】由橢圓的對稱性可知，當A為橢圓的上下頂點時，最大，故只需即可滿足題意，設O為坐標原點，則只需,即有，所以，解得，故選：C6、C【解析】先由條件得出a，b滿足，得出滿足的基本事件數(shù)，再求出總的基本事件數(shù)，從而可得答案.【詳解】直線到原點的距離不超過1，則所以當時，可以為5，6當時，可以為4，5，6當時，可以為4，5，6當時，可以為2，3，4，5，6當時，可以為1，2，3，4，5，6當時，可以為1，2，3，4，5，6滿足的共有25種結(jié)果.將一枚骰子先后拋擲兩次，若先后出現(xiàn)的點數(shù)分別記為a，b，共有種結(jié)果所以滿足條件的概率為故選：C7、A【解析】分析數(shù)列的特點，可知其是等差數(shù)列，寫出其通項公式，進而求得結(jié)果,【詳解】被3整除余1且被4整除余2的數(shù)按從小到大的順序排成一列，這樣的數(shù)構成首項為10，公差為12的等差數(shù)列，所以，故，故選:A.8、C【解析】利用空間向量垂直的坐標表示計算即可得解【詳解】因向量，，且，則，解得，所以實數(shù)等于.故選：C9、D【解析】由斜截式直接看出直線斜率.【詳解】由題意得：直線斜率為-1，故選：D10、A【解析】由一元二次不等式的解集，結(jié)合根與系數(shù)關系求參數(shù)a、b，即可得.【詳解】∵的解集為，∴-5和2為方程的兩根，∴有，解得，∴.故選：A.11、A【解析】因為“若，則”是真命題，“若，則”是假命題，所以“”是“”成立的充分不必要條件．選A考點：充分必要條件的判斷【易錯點睛】本題主要考查了充分條件,必要條件,充要條件的判斷,屬于基礎題.對于命題“若,則”是真命題,我們說,并且說是的充分條件，是的必要條件，命題“若,則”是假命題,我們說,由充分條件，必要條件的定義，可以判斷出“”是“”成立的充分不必要條件．掌握充分條件，必要條件的定義是解題關鍵12、B【解析】根據(jù)正方體的性質(zhì)確定3條棱兩兩互為異面直線的情況數(shù)，結(jié)合組合數(shù)及古典概率的求法，求任選3條其中任意2條所在的直線是異面直線的概率.【詳解】如下圖，正方體中如：中任意2條所在的直線都是異面直線，∴這樣的3條直線共有8種情況，∴任選3條，其中任意2條所在的直線都是異面直線的概率為.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、5【解析】根據(jù)空間向量的數(shù)量積運算的坐標表示運算求解即可.【詳解】解：因為，，所以.故答案為：14、【解析】依題意，設所求的雙曲線的方程為.點為該雙曲線上的點，.該雙曲線的方程為：，即.故本題正確答案是.15、①②【解析】假設與都不相交得到，得到①正確，若不垂直，上取一點，作交于，得到，得到②正確，得到答案.【詳解】若與都不相交，，，則，同理，故，與異面矛盾，①正確；若不垂直，上取一點，作交于，，，故，，故，，，故，，，故，②正確.故答案為：①②.16、【解析】分類討論，兩種情況，結(jié)合直線平行的知識得出實數(shù).【詳解】當時，直線與直線垂直；當時，，則且，解得.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）存在，方程為和.【解析】（1）根據(jù)橢圓上的點、離心率和關系可構造方程求得，由此可得橢圓方程；（2）設，與橢圓方程聯(lián)立可得韋達定理形式，根據(jù)共線向量可得，代入韋達定理中可構造關于的方程，解方程可求得，進而得到直線方程.【小問1詳解】由題意得：，解得：，橢圓的方程為；【小問2詳解】由題意知：直線斜率存在且不為零，可設，，，由得：，則；，，，，，解得：，，滿足條件的直線存在，方程為和.18、（1）3；（2）5【解析】（1）由題可得和的距離即為的最小值；（2）可得此時直線的方程為，求出交點坐標即可求出距離.【詳解】（1）由題可得當且時，取得最小值，即和的距離，由兩平行線間的距離公式，得，所以的最小值為3.（2）當直線與軸平行時，方程為，設直線與直線，分別交于點，，則，，所以，即，所以.19、（1）（2）（3）最大值為，最小值為【解析】（1）將點代入函數(shù)解析再結(jié)合前和即可求解；（2）運用錯位相減法或分組求和法都可以求解；（3）將數(shù)列的通項變形為，再求和，通過分類討論從單調(diào)性上分析求解即可.【小問1詳解】因為點在函數(shù)的圖像上，所以，又數(shù)列是等差數(shù)列，所以，即所以，；【小問2詳解】解法1：，==，解法2：，①，②①-②得，；【小問3詳解】記的前n項和為，則=，當n為奇數(shù)時隨著n的增大而減小，可得，當n為偶數(shù)時隨著n增大而增大，可得，所以的最大值為，最小值為.20、（1）答案見解析；（2）.【解析】（1）求，分別討論不同范圍下的正負，分別求單調(diào)性；（2）由（1）所求的單調(diào)性，結(jié)合，分別求出的范圍再求并集即可.【詳解】解：（1）由已知定義域為，當，即時，恒成立，則在上單調(diào)遞增；當，即時，（舍）或，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以時，在上單調(diào)遞增；時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）由（1）可知，當時，在上單調(diào)遞增，若對任意的恒成立，只需，而恒成立，所以成立；當時，若，即，則在上單調(diào)遞增，又，所以成立；若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，所以，，不滿足對任意的恒成立.所以綜上所述：.21、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)所求雙曲線與有共同的漸近線可設出所求雙曲線方程為，在根據(jù)點在雙曲線上，代入雙曲線方程中即可求解.（2）聯(lián)立直線與雙曲線的方程，得關于的一元二次方程，利用韋達定理得出的關系，再根據(jù)中點坐標公式求出線段的中點的坐標，代入圓方程即可求解.【小問1詳解】由題意，設雙曲線的方程為，則又因為雙曲線過點，，所以雙曲線的方程為：【小問2詳解】由，消去整理，得，設，則因為直線與雙曲線交于不同的兩點，所以，解得.，所以則中點坐標為，代入圓得，解得.實數(shù)的值為22、（1）；（2）是定值，.【解析】(1)根據(jù)給定條件探求得，再借助橢圓定義直接求得軌跡的方程.(2)設出直線的方程，再與軌跡的方程聯(lián)立，借助韋達定理計算作答.【小問1詳解】圓