江西省宜春實(shí)驗(yàn)中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末經(jīng)典模擬試題含解析

江西省宜春實(shí)驗(yàn)中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末經(jīng)典模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知關(guān)于的不等式的解集是，則的值是（）A B.5C. D.72．已知數(shù)列通項(xiàng)公式，則（）A.6 B.13C.21 D.313．設(shè)變量，滿足約束條件則的最小值為（）A.3 B.－3C.2 D.－24．已知點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，則該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A. B.C. D.5．已知向量＝（3，0，1），＝（﹣2，4，0），則3+2等于（）A.（5，8，3） B.（5，﹣6，4）C.（8，16，4） D.（16，0，4）6．已知、是平面直角坐標(biāo)系上的直線，“與的斜率相等”是“與平行”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分條件也非必要條件7．某超市收銀臺(tái)排隊(duì)等候付款的人數(shù)及其相應(yīng)概率如下：排隊(duì)人數(shù)01234概率0.10.16030.30.10.04則至少有兩人排隊(duì)的概率為（）A.0.16 B.0.26C.0.56 D.0.748．已知等比數(shù)列滿足，則（）A.168 B.210C.672 D.10509．《西游記》《三國(guó)演義》《水滸傳》和《紅樓夢(mèng)》是中國(guó)古典文學(xué)瑰寶，并稱為中國(guó)古典小說四大名著.某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機(jī)調(diào)查了100學(xué)生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有90位，閱讀過《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有60位，則該校閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值為A. B.C. D.10．已知橢圓與圓在第二象限的交點(diǎn)是點(diǎn)，是橢圓的左焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，到直線的距離是，則橢圓的離心率是（）A. B.C. D.11．已知圓：和點(diǎn)，是圓上一點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程是:（）A. B.C. D.12．已知且，則的值為（）A.3 B.4C.5 D.6二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，命題p：，；命題q：，，且為真命題，則a的取值范圍為______14．已知，求_____________.15．某學(xué)校為了獲得該校全體高中學(xué)生的體有鍛煉情況，按照男、女生的比例分別抽樣調(diào)查了55名男生和45名女生的每周鍛煉時(shí)間，通過計(jì)算得到男生每周鍛煉時(shí)間的平均數(shù)為8小時(shí)，方差為6；女生每周鍛煉時(shí)間的平均數(shù)為6小時(shí)，方差為8．根據(jù)所有樣本的方差來估計(jì)該校學(xué)生每周鍛煉時(shí)間的方差為________16．已知三角形OAB頂點(diǎn)，，，則過B點(diǎn)的中線長(zhǎng)為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.18．（12分）已知雙曲線：的兩條漸近線所成的銳角為且點(diǎn)是上一點(diǎn)（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)能否為線段的中點(diǎn)？并說明理由19．（12分）如圖，在三棱柱中，面ABC，，，D為BC的中點(diǎn)（1）求證：平面；（2）若F為中點(diǎn)，求與平面所成角的正弦值20．（12分）已知圓：，定點(diǎn)，A是圓上的一動(dòng)點(diǎn)，線段的垂直平分線交半徑于P點(diǎn)（1）求P點(diǎn)的軌跡C的方程；（2）設(shè)直線過點(diǎn)且與曲線C相交于M，N兩點(diǎn)，不經(jīng)過點(diǎn)．證明：直線MQ的斜率與直線NQ的斜率之和為定值21．（12分）如圖，三棱錐中，兩兩垂直，，且分別為線段的中點(diǎn).（1）若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，求證：直線平面；（2）求證：平面平面.22．（10分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求不等式的解集.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】由題意可得的根為，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系列方程組可求得結(jié)果【詳解】因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集是，所以方程的根為，所以，得，所以，故選：D2、C【解析】令即得解.【詳解】解：令得.故選：C3、D【解析】轉(zhuǎn)化為，則最小即直線在軸上的截距最大，作出不等式組表示的可行域，數(shù)形結(jié)合即得解【詳解】轉(zhuǎn)化為，則最小即直線在軸上的截距最大作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示，作出直線，平移該直線，當(dāng)直線經(jīng)過時(shí)，在軸上的截距最大，最小，此時(shí)，故選：D4、C【解析】首先表示出拋物線的準(zhǔn)線，根據(jù)點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，即可求出參數(shù)，即可求出拋物線的焦點(diǎn).【詳解】解：拋物線的準(zhǔn)線為因?yàn)樵趻佄锞€的準(zhǔn)線上故其焦點(diǎn)為故選：【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解析】直接根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算，即可得到答案；【詳解】，故選：A6、D【解析】根據(jù)直線平行與直線斜率的關(guān)系，即可求解.【詳解】解：與的斜率相等”，“與可能重合，故前者不可以推出后者，若與平行，與的斜率可能都不存在，故后者不可以推出前者，故前者是后者的既非充分條件也非必要條件，故選：D.7、D【解析】利用互斥事件概率計(jì)算公式直接求解【詳解】由某超市收銀臺(tái)排隊(duì)等候付款的人數(shù)及其相應(yīng)概率表，得：至少有兩人排隊(duì)的概率為：故選：D【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法、互斥事件概率計(jì)算公式，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題8、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求得，再根據(jù)，即可求得結(jié)果.【詳解】等比數(shù)列滿足,設(shè)等比數(shù)列的公比為q,所以,解得，故，故選：C9、C【解析】根據(jù)題先求出閱讀過西游記人數(shù)，進(jìn)而得解.【詳解】由題意得，閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)為90-80+60=70，則其與該校學(xué)生人數(shù)之比為70÷100=0.7．故選C【點(diǎn)睛】本題考查容斥原理，滲透了數(shù)據(jù)處理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．采取去重法，利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解題10、B【解析】連接，得到，作，求得，利用橢圓的定義，可求得，在直角中，利用勾股定理，整理的，即可求解橢圓的離心率.【詳解】如圖所示，連接，因?yàn)閳A，可得，過點(diǎn)作，可得，且，由橢圓的定義，可得，所以，在直角中，可得，即，整理得，兩側(cè)同除，可得，解得或，又因?yàn)?，所以橢圓的離心率為.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的定義，直角三角形的勾股定理，以及橢圓的離心率的求解，其中解答中熟記橢圓的定義，結(jié)合直角三角形的勾股定理，列出關(guān)于的方程是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】先由在線段的垂直平分線上得出，再由題意得出，進(jìn)而由橢圓定義可求出點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】如圖，因?yàn)樵诰€段的垂直平分線上，所以，又點(diǎn)在圓上，所以，因此，點(diǎn)在以、為焦點(diǎn)的橢圓上.其中，，則.從而點(diǎn)的軌跡方程是.故選：B.12、C【解析】由空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解【詳解】由已知，解得故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先求出命題p,q為真命題時(shí)的a的取值范圍，根據(jù)為真可知p,q都是真命題,即可求得答案.【詳解】命題p：，為真時(shí)，有，命題q：，為真時(shí)，則有，即，故為真命題時(shí)，且，即，故a的取值范圍為，故答案為：14、【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義即可求解.【詳解】，所以，故答案為：.15、【解析】先求出100名學(xué)生每周鍛煉的平均時(shí)間，然后再求這100名學(xué)生每周鍛煉時(shí)間的方差，從而可估計(jì)該校學(xué)生每周鍛煉時(shí)間的方差【詳解】由題意可得55名男生和45名女生的每周鍛煉時(shí)間的平均數(shù)為小時(shí)，因?yàn)?5名男生每周鍛煉時(shí)間的方差為6；45名女生每周鍛煉時(shí)間的方差為8，所以這100名學(xué)生每周鍛煉時(shí)間的方差為，所以該校學(xué)生每周鍛煉時(shí)間的方差約為，故答案為：16、【解析】先求出中點(diǎn)坐標(biāo)，再由距離公式得出過B點(diǎn)的中線長(zhǎng).【詳解】由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得中點(diǎn)，則過B點(diǎn)的中線長(zhǎng)為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.【解析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義進(jìn)行證明即可；（2）利用分組求和法，結(jié)合錯(cuò)位相減法進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】由題知：所以又因?yàn)樗运詳?shù)列為以－1為首項(xiàng)，－1為公比的等比數(shù)列；【小問2詳解】由（1）知：，所以，，記，所以，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；記兩式相減得：，所以，所以，當(dāng)偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.18、（1）；（2）點(diǎn)不能為線段的中點(diǎn)，理由見解析.【解析】（1）由漸近線夾角求得一個(gè)斜率，再代入點(diǎn)的坐標(biāo)，然后可解得得雙曲線方程；（2）設(shè)直線方程為（斜率不存在時(shí)另說明），與雙曲線方程聯(lián)立，消元后應(yīng)用韋達(dá)定理，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得，然后難驗(yàn)證直線與雙曲線是否相交即可得【詳解】解：（1）由題意知，雙曲線的漸近線的傾斜角為30°或60°，即或當(dāng)時(shí)，的標(biāo)準(zhǔn)方程為，代入，無(wú)解當(dāng)時(shí)，的標(biāo)準(zhǔn)方程為，代入，解得故的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）不能是線段的中點(diǎn)設(shè)交點(diǎn)，，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程組，整理得，則，由得，將代入判別式，所以滿足題意的直線也不存在所以點(diǎn)不能為線段的中點(diǎn)19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）連接交于點(diǎn)O，連接OD，通過三角形中位線證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【小問1詳解】解法1：如圖，連接交于點(diǎn)O，連接OD，因?yàn)樵谌庵?，四邊形是平行四邊形，所以O(shè)是的中點(diǎn)，因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，所以在中，，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面平面解?：因?yàn)樵谌庵?，面ABC，，所以BA，BC，兩兩垂直，故以B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以B（0,0,0），A（2,0,0），D（0,1,0），，，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，∴，平面，所以平面；【小問2詳解】設(shè)與平面所成角為，由(1)知平面法向量為，F(xiàn)為中點(diǎn)，∴，，∴即與平面所成角正弦值為.20、（1）；（2）證明見解析，定值為-1.【解析】(1)根據(jù)給定條件探求出，再利用橢圓定義即可得軌跡C的方程.(2)由給定條件可得直線的斜率k存在且不為0，寫出直線的方程，再聯(lián)立軌跡C的方程，借助韋達(dá)定理計(jì)算作答.【小問1詳解】圓：的圓心，半徑為8，因A是圓上一動(dòng)點(diǎn)，線段的垂直平分線交半徑于P點(diǎn)，則，于是得，因此，P點(diǎn)的軌跡C是以，為左右焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=8的橢圓，短半軸長(zhǎng)b有，所以P點(diǎn)的軌跡C的方程是.【小問2詳解】因直線過點(diǎn)且與曲線C：相交于M，N兩點(diǎn)，則直線的斜率存在且不為0，又不經(jīng)過點(diǎn)，即直線的斜率不等于-1，設(shè)直線的斜率為k，且，直線的方程為：，即，由消去y并整理得：，，即，則有且，設(shè)，則，直線MQ的斜率，直線NQ的斜率，，所以直線MQ的斜率與直線NQ的斜率之和為定值.21、（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】（1）由題意可得，從而可證.(2)由題意可得平面，從而可得，由根據(jù)條件可