8.2 函數(shù)與數(shù)學(xué)模型【導(dǎo)學(xué)案學(xué)生版】

高中數(shù)學(xué)精選資源2/2第8章 函數(shù)應(yīng)用第02講函數(shù)與數(shù)學(xué)模型目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)重難點(diǎn)理解“指數(shù)爆炸”的含義；掌握函數(shù)增長速度的差異；掌握函數(shù)增長速度的比較；理解并掌握函數(shù)增長速度的應(yīng)用．1.函數(shù)增長速度的比較2.函數(shù)增長速度的應(yīng)用3.利用函數(shù)模型解決實(shí)際問題4.實(shí)際問題中函數(shù)模型的選擇問題知識精講知識精講一、常見的幾種函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)分段函數(shù)模型f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1x，x∈D1,f2x，x∈D2,……,fnx，x∈Dn))二、解決函數(shù)應(yīng)用問題的一般步驟(1)利用函數(shù)知識和函數(shù)觀點(diǎn)解決實(shí)際問題時，一般按以下幾個步驟進(jìn)行：(一)審題；(二)建模；(三)求模；(四)還原.(2)這些步驟用框圖表示如圖：【思考】一次函數(shù)模型、二次函數(shù)模型、冪函數(shù)模型的選取的標(biāo)準(zhǔn)是什么？它們的增長速度是如何變化的？三、函數(shù)模型的應(yīng)用幾種常見函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝kx＋b(k，b為常數(shù)，k≠0)反比例函數(shù)模型f(x)＝＋b(k，b為常數(shù)且k≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)指數(shù)型函數(shù)模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a>0且a≠1)對數(shù)型函數(shù)模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a>0且a≠1)冪函數(shù)型模型f(x)＝axn＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)參考答案二、一次函數(shù)模型y＝kx＋b(k>0)增長特點(diǎn)是直線上升，增長速度不變.二次函數(shù)模型y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的最值容易求出，常常用于最優(yōu)、最省等最值問題，冪函數(shù)y＝axn＋b(x>0，n>0，a>0)隨x的增大而增大，但增長的速度相對平穩(wěn)，圖象隨n的變化而變化.能力拓展能力拓展考法01一次函數(shù)模型（1）一次函數(shù)模型應(yīng)用時，本著“問什么，設(shè)什么，列什么”這一原則．（2）一次函數(shù)求最值，常轉(zhuǎn)化為求解不等式ax＋b≥0(或≤0)，解答時，注意系數(shù)a的正負(fù)，也可以結(jié)合函數(shù)圖象或其單調(diào)性來求最值．例1某電腦公司在甲、乙兩地各有一個分公司，甲分公司有電腦6臺，乙分公司現(xiàn)有同一型號的電腦12臺．現(xiàn)A地某單位向該公司購買該型號的電腦10臺，B地某單位向該公司購買該型號的電腦8臺．已知從甲地運(yùn)往A，B兩地每臺電腦的運(yùn)費(fèi)分別是40元和30元，從乙地運(yùn)往A，B兩地每臺電腦的運(yùn)費(fèi)分別是80元和50元例1(1)設(shè)甲地調(diào)運(yùn)x臺至B地，該公司運(yùn)往A，B兩地的總運(yùn)費(fèi)為y元，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2)若總運(yùn)費(fèi)不超過1000元，問能有幾種調(diào)運(yùn)方案？【跟蹤訓(xùn)練】某種產(chǎn)品每件80元，每天可售出30件，如果每件定價120元，則每天可售出20件，如果售出件數(shù)是定價的一次函數(shù)，則這個函數(shù)解析式為________.考法02二次函數(shù)模型利用二次函數(shù)求最值的方法及注意點(diǎn)(1)方法：根據(jù)實(shí)際問題建立函數(shù)模型解析式后，可利用配方法、判別式法、換元法利用函數(shù)的單調(diào)性等方法求最值，從而解決實(shí)際問題中的利潤最大、用料最省等最值問題．(2)注意：取得最值的自變量與實(shí)際意義是否相符．例2一塊形狀為直角三角形的鐵皮，直角邊長分別是40cm與60cm，現(xiàn)在將它剪成一個矩形，并以此三角形的直角為矩形的一個角，問怎樣剪才能使剩下的殘料最少？并求出此時殘料的面積．例2【名師指點(diǎn)】解含參數(shù)的一元二次不等式的步驟特別提醒：對應(yīng)方程的根優(yōu)先考慮用因式分解確定，分解不開時再求判別式Δ，用求根公式計(jì)算．【跟蹤訓(xùn)練】A，B兩城相距100km，在兩地之間距A城xkm處D地建一核電站給A，B兩城供電，為保證城市安全，核電站距城市距離不得少于10km，已知每個城市的供電費(fèi)用與供電距離的平方和供電量之積成正比，比例系數(shù)λ＝0.25.若A城供電量為20億度/月，B城為10億度/月．(1)把A，B兩城月供電總費(fèi)用y(萬元)表示成x(km)的函數(shù)，并求定義域；(2)核電站建在距A城多遠(yuǎn)，才能使供電總費(fèi)用最小．考法03分段函數(shù)模型應(yīng)用分段函數(shù)時的三個注意點(diǎn)(1)分段函數(shù)的“段”一定要分得合理，不重不漏.(2)分段函數(shù)的定義域?yàn)閷?yīng)每一段自變量取值范圍的并集.(3)分段函數(shù)的值域求法為：逐段求函數(shù)值的范圍，最后比較再下結(jié)論.例3例3(1)寫出每人需交費(fèi)用y關(guān)于人數(shù)x的函數(shù)；(2)旅行團(tuán)人數(shù)為多少時，旅行社可獲得最大利潤？【跟蹤訓(xùn)練】某游樂場每天的盈利額y元與售出的門票張數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，試由圖象解決下列問題：(1)求y與x的函數(shù)解析式；(2)要使該游樂場每天的盈利額超過1000元，每天至少賣出多少張門票？考法04指數(shù)型模型的應(yīng)用指數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用1．在實(shí)際問題中，有關(guān)人口增長、銀行利率、細(xì)胞分裂等增長率問題?？梢杂弥笖?shù)函數(shù)模型表示．通常可以表示為y＝N(1＋p)x(其中N為基礎(chǔ)數(shù)，p為增長率，x為時間)的形式．2．解答數(shù)學(xué)應(yīng)用題應(yīng)過的三關(guān)(1)理解關(guān)：數(shù)學(xué)應(yīng)用題的文字閱讀量較大，需要通過閱讀找出關(guān)鍵詞、句，確定已知條件是什么，要解決的問題是什么．(2)建模關(guān)：將實(shí)際問題的文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)符號語言，用數(shù)學(xué)式子表達(dá)文字關(guān)系，進(jìn)而建立實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，將其轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題．(3)數(shù)理關(guān)：建立實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型時，要運(yùn)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法．例4(鏈接教材P148例4(1)求t年后，這種放射性元素的質(zhì)量w的表達(dá)式；(2)由求出的函數(shù)表達(dá)式，求這種放射性元素的半衰期(結(jié)果精確到0.1)．即這種放射性元素的半衰期為6.6年．

【跟蹤訓(xùn)練】設(shè)在海拔xm處的大氣壓強(qiáng)為ykPa，y與x的函數(shù)關(guān)系可近似表示為y＝100eax，已知在海拔1000m處的大氣壓強(qiáng)為90kPa，則根據(jù)函數(shù)關(guān)系式，在海拔2000m處的大氣壓強(qiáng)為________kPa.考法05對數(shù)型模型的應(yīng)用對數(shù)函數(shù)應(yīng)用題的基本類型和求解策略：(1)基本類型：有關(guān)對數(shù)函數(shù)的應(yīng)用題一般都會給出函數(shù)的解析式，然后根據(jù)實(shí)際問題求解；(2)求解策略：首先根據(jù)實(shí)際情況求出函數(shù)解析式中的參數(shù)，或根據(jù)給出的具體情境，從中提煉出數(shù)據(jù)，代入解析式求值，然后根據(jù)數(shù)值回答其實(shí)際意義．例5大西洋鮭魚每年都要逆流而上，游回產(chǎn)地產(chǎn)卵，經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)鮭魚的游速可以表示為函數(shù)v＝eq\f(1,2)log3eq\f(θ,100)，單位是m/s，θ是表示魚的耗氧量的單位數(shù)．例5(1)當(dāng)一條鮭魚的耗氧量是900個單位時，它的游速是多少？(2)某條鮭魚想把游速提高1m/s，那么它的耗氧量的單位數(shù)是原來的多少倍？[母題探究](變設(shè)問)若本例條件不變：(1)當(dāng)一條鮭魚的耗氧量是8100個單位時，它的游速是多少？(2)求一條鮭魚靜止時耗氧量的單位數(shù)．【跟蹤訓(xùn)練】某公司為了業(yè)務(wù)發(fā)展制訂了一個激勵銷售人員的獎勵方案，在銷售額x為8萬元時，獎勵1萬元；銷售額x為64萬元時，獎勵4萬元．若公司擬定的獎勵模型為y＝alog4x＋b.某業(yè)務(wù)員要得到8萬元獎勵，則他的銷售額應(yīng)為________萬元．考法06建立擬合函數(shù)模型解決實(shí)際問題例6為了估計(jì)山上積雪融化后對下游灌溉的影響，在山上建立了一個觀察站，測量最大積雪深度x與當(dāng)年灌溉面積y例6年序最大積雪深度x(cm)灌溉面積y(公頃)115.228.6210.421.1321.240.5418.636.6526.449.8623.445.0713.529.2816.734.1924.045.81019.136.9(1)描點(diǎn)畫出灌溉面積隨積雪深度變化的圖象；(2)建立一個能基本反映灌溉面積變化的函數(shù)模型，并畫出圖象；(3)根據(jù)所建立的函數(shù)模型，估計(jì)若今年最大積雪深度為25cm，則可以灌溉土地多少公頃？【跟蹤訓(xùn)練】某化工廠引進(jìn)一條先進(jìn)生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品，其生產(chǎn)的總成本y(萬元)與年產(chǎn)量x(噸)之間的函數(shù)關(guān)系式可以近似地表示為y＝eq\f(x2,5)－48x＋8000，已知此生產(chǎn)線年產(chǎn)量最大為210噸．若每噸產(chǎn)品平均出廠價為40萬元，那么當(dāng)年產(chǎn)量為多少噸時，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．毛衣柜里的樟腦丸會隨著時間揮發(fā)而體積縮小，剛放進(jìn)的新丸體積為，經(jīng)過天后體積與天數(shù)的關(guān)系式為．若新丸經(jīng)過50天后，體積變?yōu)?，則一個新丸體積變?yōu)樾杞?jīng)過的時間為（）A．125天 B．100天 C．75天 D．50天2．“綠水青山就是金山銀山”，黨的十九大以來，城鄉(xiāng)深化河道生態(tài)環(huán)境治理，科學(xué)治污．某鄉(xiāng)村一條污染河道的蓄水量為立方米，每天的進(jìn)出水量為立方米．已知污染源以每天個單位污染河水，某一時段（單位：天）河水污染質(zhì)量指數(shù)為（每立方米河水所含的污染物）滿足（為初始質(zhì)量指數(shù)），經(jīng)測算，河道蓄水量是每天進(jìn)出水量的80倍．若從現(xiàn)在開始關(guān)閉污染源，要使河水的污染水平下降到初始時的10%，需要的時間大約是（參考數(shù)據(jù)：）（）A．1個月 B．3個月 C．半年 D．1年3．核酸檢測分析是用熒光定量法，通過化學(xué)物質(zhì)的熒光信號，對在擴(kuò)增進(jìn)程中成指數(shù)級增加的靶標(biāo)實(shí)時監(jiān)測，在擴(kuò)增的指數(shù)時期，熒光信號強(qiáng)度達(dá)到閾值時，的數(shù)量與擴(kuò)增次數(shù)滿足，其中為擴(kuò)增效率，為的初始數(shù)量.已知某被測標(biāo)本擴(kuò)增次后，數(shù)量變?yōu)樵瓉淼谋?，那么該樣本的擴(kuò)增效率約為（）(參考數(shù)據(jù)：，)A．0.369 B．0.415 C．0.585 D．0.6314．某醫(yī)藥研究所研發(fā)了一種治療某疾病的新藥，服藥后，當(dāng)每毫升血液中含藥量不少于0.25毫克時，治療疾病有效．據(jù)監(jiān)測，服藥后每毫升血液中的含藥量y（單位：毫克）與時間t（單位：時）之間滿足如圖所示的曲線，則服藥一次后治療疾病的有效時間為（）A． B． C．5 D．65．視力檢測結(jié)果有兩種記錄方式，分別是小數(shù)記錄與五分記錄，其部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：小數(shù)記錄五分記錄現(xiàn)有如下函數(shù)模型：①，②，表示小數(shù)記錄數(shù)據(jù)，表示五分記錄數(shù)據(jù)，請選擇最合適的模型解決如下問題：小明同學(xué)檢測視力時，醫(yī)生告訴他的視力為，則小明同學(xué)的小數(shù)記錄數(shù)據(jù)為（附，，）（）A． B． C． D．6．某化工廠對產(chǎn)生的廢氣進(jìn)行過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量（單位：）與時間（單位：）間的關(guān)系為：，其中是正的常數(shù)．如果在前消除了的污染物，則污染物減少需要花費(fèi)的時間為（）（精確到，參考數(shù)據(jù)）A．30 B．31 C．32 D．337．為了保護(hù)水資源，提倡節(jié)約用水，某城市對居民實(shí)行“階梯水價”，計(jì)費(fèi)方法如下表：每戶每月用水量水價不超過的部分3元/超過但不超過的部分6元/超過的部分9元/若某戶居民本月交納的水費(fèi)為54元，則此戶居民的用水量為（）A． B． C． D．8．單位時間內(nèi)通過道路上指定斷面的車輛數(shù)被稱為“道路容量”，與道路設(shè)施、交通服務(wù)、環(huán)境、氣候等諸多條件相關(guān).假設(shè)某條道路一小時通過的車輛數(shù)滿足關(guān)系，其中為安全距離，為車速.當(dāng)安全距離取時，該道路一小時“道路容量”的最大值約為（）A．135 B．149C．165 D．195所以該道路一小時“道路容量”的最大值約為149.故選：B題組B能力提升練1．某市出租車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：起步價為8元，起步里程為（不超過按起步價付費(fèi)）；超過但不超過時，超過部分按每千米2.15元收費(fèi)；超過時，超過部分按每千米2.85元收費(fèi)，另每次乘坐需付燃油附加費(fèi)1元，下列結(jié)論正確的是（）A．出租車行駛，乘客需付費(fèi)8元B．出租車行駛，乘客需付費(fèi)9.6元C．出租車行駛，乘客需付費(fèi)25.45元D．某人兩次乘出租車均行駛的費(fèi)用之和超過他乘出租車行駛一次的費(fèi)用2．如圖，某池塘里浮萍的面積（單位：）與時間（單位：月）的關(guān)系為，關(guān)于下列說法正確的是（）A．浮萍每月的增長率為2B．浮萍每月增加的面積都相等C．第4個月時，浮萍面積超過D．若浮萍蔓延到所經(jīng)過的時間分別是，則3．已知每生產(chǎn)100克餅干的原材料加工費(fèi)為1.8元，某食品加工廠對餅干采用兩種包裝，其包裝費(fèi)用、銷售價格如表所示：型號小包裝大包裝質(zhì)量100克300克包裝費(fèi)0.5元0.7元銷售價格3.00元8.4元則下列說法正確的是（）A．買小包裝實(shí)惠B．買大包裝實(shí)惠C．賣3小包比賣1大包盈利多D．賣1大包比賣3小包盈利多4．創(chuàng)新是一個民族的靈魂，國家大力提倡大學(xué)畢業(yè)生自主創(chuàng)業(yè)，以創(chuàng)業(yè)帶動就業(yè)，有利于培養(yǎng)大學(xué)生的創(chuàng)新精神.小李同學(xué)大學(xué)畢業(yè)后，決定利用所學(xué)專業(yè)進(jìn)行自主創(chuàng)業(yè).經(jīng)過調(diào)查，生產(chǎn)某小型電子產(chǎn)品需投入年固定成本5萬元，每年生產(chǎn)x萬件，需另投入流動成本C(x)萬元，在年產(chǎn)量不足8萬件時，(萬元)；在年產(chǎn)量不小于8萬件時，(萬元).每件產(chǎn)品售價為10元，經(jīng)分析，生產(chǎn)的產(chǎn)品當(dāng)年能全部售完.（1）寫出年利潤P(x)(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(萬件)的函數(shù)解析式(年利潤=年銷售收入-固定成本-流動成本).（2）年產(chǎn)量為多少萬件時，小李在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？最大利潤是多少？5．自新冠病毒爆發(fā)以后，各國科技人員都在攻關(guān)疫苗的難題，近日我國在這一領(lǐng)域取得重大突破，國產(chǎn)疫苗在國際上受到廣泛認(rèn)可.我國在實(shí)驗(yàn)階段為了研究T型病毒的變化規(guī)律，將T型病毒注入一個健康的小白鼠體內(nèi)，根據(jù)觀測統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)分析，小白鼠體內(nèi)的病毒數(shù)y與天數(shù)n近似滿足.已知T型病毒在體內(nèi)超過109個時，小白鼠就會死亡，但如果注射了某種藥物可有效殺死體內(nèi)的T型病毒，為使小白鼠在實(shí)驗(yàn)過程中不會死亡，第一次注射該種藥物最遲應(yīng)在第___________天(參考數(shù)據(jù)：).6．據(jù)觀測統(tǒng)計(jì)，某濕地公園某種珍稀鳥類以平均每年4%的速度增加.按這個增長速度，大約經(jīng)過___________年以后，這種鳥類的個數(shù)達(dá)到現(xiàn)有個數(shù)的4倍或4倍以上.(結(jié)果保留整數(shù))(參考數(shù)據(jù)：)7．?dāng)?shù)學(xué)建模小組檢測到相距3米的A，B兩光源的強(qiáng)度分別為a，b，異于A，B的線段上任意一點(diǎn)C處的光強(qiáng)度y等于兩光源到該處的強(qiáng)度之和，設(shè)米.（1）假設(shè)某處的光強(qiáng)度與光源的強(qiáng)度成正比，與到光源的距離的平方成反比，比例系數(shù)為常數(shù)，測得數(shù)據(jù)：當(dāng)時，；當(dāng)時，，求A，B兩處的光強(qiáng)度，并寫出函數(shù)的解析式；（2）假設(shè)某處的光強(qiáng)度與光源的強(qiáng)度成正比，與到光源的距離成反比，比例系數(shù)為常數(shù)，測得數(shù)據(jù)：當(dāng)時，；當(dāng)時，，問何處的光強(qiáng)度最弱？并求最弱處的光強(qiáng)度.8．為了響應(yīng)國家提出的“大眾創(chuàng)業(yè)，萬眾創(chuàng)新”的號召，王韋達(dá)同學(xué)大學(xué)畢業(yè)后，決定利用所學(xué)專業(yè)進(jìn)行自主創(chuàng)業(yè)，經(jīng)過市場調(diào)查，生產(chǎn)某小型電子產(chǎn)品需投入年固定成本為2萬元，每生產(chǎn)x萬件，需另投入可變成本萬元，在年產(chǎn)量不足8萬件時，（萬元）；在年產(chǎn)量不小于8萬件時，（萬元）．每件產(chǎn)品售價為7元，假設(shè)小王生產(chǎn)的商品當(dāng)年全部售完．（1）寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（萬件）的函數(shù)解析式（注：年利潤年銷售收入固定成本可變成本）；（2）年產(chǎn)量x為多少萬件時，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？最大利潤是多少？題組C培優(yōu)拔尖練1．咖啡產(chǎn)品的經(jīng)營和銷售如何在中國開拓市場是星巴克、漫咖啡等歐美品牌一直在探索的內(nèi)容，而2018年至今中國咖啡行業(yè)的發(fā)展實(shí)踐證明了以優(yōu)質(zhì)的原材料供應(yīng)以及大量優(yōu)惠券、買贈活動吸引消費(fèi)者無疑是開拓中國咖啡市場最有效的方式之一.若某品牌的某種在售咖啡產(chǎn)品價格為30元/杯，其原材料成本為7元/杯，營銷成本為5元/杯，且該品牌門店提供如下4種優(yōu)惠方式：（1）首杯免單，每人限用一次；（2）3.8折優(yōu)惠券，每人限用一次；（3）買2杯送2杯，每人限用兩次；（4）買5杯送5杯，不限使用人數(shù)和使用次數(shù).每位消費(fèi)者都可以在以上4種優(yōu)惠方式中選擇不多于2種使用.現(xiàn)在某個公司有5位后勤工作人員去該品牌門店幫每位技術(shù)人員購買1杯咖啡，購買杯數(shù)與技術(shù)人員人數(shù)須保持一致；請問，這個公司的技術(shù)人員不少于（）人時，無論5位后勤人員采用什么樣的優(yōu)惠方式購買咖啡，這筆訂單該品牌門店都能保證盈利.A．28 B．29 C．30 D．312．(5分)為了研究國民收入在國民之間的分配，避免貧富過分懸殊，美國統(tǒng)計(jì)學(xué)家勞倫茨提出了著名的勞倫茨曲線，如圖所示.勞倫茨曲線為直線時，表示收入完全平等.勞倫茨曲線為折線時，表示收入完全不平等.記區(qū)域?yàn)椴黄降葏^(qū)域，表示其面積，為的面積，將稱為基尼系數(shù).對于下列說法：①越小，則國民分配越公平；②設(shè)勞倫茨曲線對應(yīng)的函數(shù)為，則對，均有；③若某國家某年的勞倫茨曲線近似為，則；④若某國家某年的勞倫茨曲線近似為，則.其中正確的是：A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②④3．某廠商為推銷自己品牌的可樂，承諾在促銷期內(nèi)，可以用3個該品牌的可樂空罐換1罐可樂.對于此促銷活動，有以下三個說法：①如果購買10罐可樂，那么實(shí)際最多可以飲13罐可樂;②欲飲用100