河北省石家莊市2025屆高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量摸底檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷

石家莊市2025屆普通高中學(xué)校畢業(yè)年級(jí)教學(xué)質(zhì)量摸底檢測(cè)數(shù)學(xué)（本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．設(shè)集合，，則（）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z的虛部為（）A． B． C． D．3．已知平面向量a，b滿足，且，，則向量a，b的夾角為（）A． B． C． D．4．已知正四棱錐底面邊長(zhǎng)為2，且其側(cè)面積的和是底面積的2倍，則此正四棱錐的體積為（）A． B． C． D．5．已知，，則（）A．3 B． C． D．6．若數(shù)列為等差數(shù)列，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，，則的最小值為（）A． B． C． D．7．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與雙曲線C交于A、B兩點(diǎn)，若，則（）A． B． C． D．48．已知函數(shù)為定義在R上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，滿足，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足，則下列選項(xiàng)正確的是（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A．當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增B．若，且，則函數(shù)的最小正周期為C．若的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則的最小值為3D．若在上恰有4個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為11．如圖，曲線C過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，且C上的動(dòng)點(diǎn)滿足到兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之積為9，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．若直線與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為C．周長(zhǎng)的最小值為12D．面積的最大值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12．在等比數(shù)列中，，，則____________．13．已知函數(shù)，若與的圖象相切于A、B兩點(diǎn)，則直線的方程為_(kāi)___________．14．金字塔在埃及和美洲等地均有分布，現(xiàn)在的尼羅河下游，散布著約80座金字塔遺跡，大小不一，其中最高大的是胡夫金字塔，如圖，胡夫金字塔可以近似看做一個(gè)正四棱錐，則該正四棱錐的5個(gè)面所在的平面將空間分成____________部分（用數(shù)字作答）．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．（本小題滿分13分）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，A是拋物線上橫坐標(biāo)為2且位于x軸上方的點(diǎn)，A到拋物線焦點(diǎn)的距離為．（1）求拋物線C的方程；（2）若過(guò)點(diǎn)F的直線l交拋物線C于B、D兩點(diǎn)（異于O點(diǎn)），連接、，若，求的長(zhǎng)．16．（本小題滿分15分）如圖，在直四棱柱中，，，，，．（1）設(shè)過(guò)點(diǎn)G、B、D的平面交直線于點(diǎn)M，求線段的長(zhǎng)；（2）若，當(dāng)二面角為直二面角時(shí)，求直四棱柱的體積．17．（本小題滿分15分）在中，，，點(diǎn)D在邊上，且．（1）若，求的長(zhǎng)；（2）若，點(diǎn)E在邊上，且，與交于點(diǎn)M，求．18．（本小題滿分17分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；（2）設(shè)方程的所有根之和為T(mén)，且，求整數(shù)n的值；（3）若關(guān)于x的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．19．（本小題滿分17分）母函數(shù)（又稱生成函數(shù)）就是一列用來(lái)展示一串?dāng)?shù)字的掛衣架．這是數(shù)學(xué)家赫伯特·維爾夫?qū)δ负瘮?shù)的一個(gè)形象且精妙的比喻．對(duì)于任意數(shù)列，即用如下方法與一個(gè)函數(shù)聯(lián)系起來(lái)：，則稱是數(shù)列的生成函數(shù)．例如：求方程的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)．設(shè)此方程的生成函數(shù)為，其中x的指數(shù)代表的值．，則非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)為．若，則，可得，于是可得函數(shù)的收縮表達(dá)式為：．故（廣義的二項(xiàng)式定理：兩個(gè)數(shù)之和的任意實(shí)數(shù)次冪可以展開(kāi)為類似項(xiàng)之和的恒等式）則根據(jù)以上材料，解決下述問(wèn)題：定義“規(guī)范01數(shù)列”如下：共有項(xiàng)，其中m項(xiàng)為0，m項(xiàng)為1，且對(duì)任意，，不同的“規(guī)范01數(shù)列”個(gè)數(shù)記為．（1）判斷以下數(shù)列是否為“規(guī)范01數(shù)列”；①0，1，0，1，0，1；②0，0，1，1，1，0，0，1；③0，1，0，0，0，1，1，1．（2）規(guī)定，計(jì)算，，，的值，歸納數(shù)列的遞推公式；（3）設(shè)數(shù)列對(duì)應(yīng)的生成函數(shù)為①結(jié)合與之間的關(guān)系，推導(dǎo)的收縮表達(dá)式；②求數(shù)列的通項(xiàng)公式．石家莊市2025屆普通高中學(xué)校畢業(yè)年級(jí)教學(xué)質(zhì)量摸底檢測(cè)數(shù)學(xué)答案一、單選題：1-5CABCD 6-8BAD二、多選題：9．BCD 10．ABD 11．AD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12．16 13． 14．23四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15．解：（1）由題意得 （2分）解得， （3分）故拋物線方程為． （5分）（2）由題意得直線l的斜率不為0，設(shè)直線，與聯(lián)立得，由韋達(dá)定理得，① （7分）設(shè)，，過(guò)O點(diǎn)做l垂線，垂足為G．由，得，即由得② （9分）由①②聯(lián)立上式得，， （11分）． （13分）16．證明：（1）連接，由題意可得， （2分）又因?yàn)槠矫?，平面平面，平面，所以，由平行傳遞性可知 （4分）所以M為靠近的三等分點(diǎn)， （6分）（2）如圖，設(shè)，連接，，由題意得，，，故面，同理可證面，故，，所以為二面角的平面角 （8分）設(shè)，由二面角為直二面角可知，由（1）可得，故，，在中，由勾股定理可得 （10分）即整理得，解得 （12分）題設(shè)可知，則 （14分）所以 （15分）方法二：向量法：設(shè)直線與直線交于點(diǎn)O，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為x軸，以為y軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：．在中，∵．由射影定理得：，，，設(shè)，則：，，， （8分）設(shè)平面的一個(gè)法向量為則：，即：，∴令，則，……∴， （10分）設(shè)平面的一個(gè)法向量為則：，即：，∴令，則，∴， （12分）當(dāng)二面角為直二面角時(shí)，，即：，得：． （13分）∴ （15分）17．解：（1）設(shè)在中，① （2分）在中，由余弦定理② （4分）所以，所以，， （6分）（2） （7分） （9分） （11分） （13分） （15分）18．解：（1）， （2分），，單調(diào)遞減，，，單調(diào)遞增， （3分）； （4分）（2）方程可化簡(jiǎn)為方程的根就是函數(shù)的零點(diǎn)，易知在，上單調(diào)遞增 （5分）因?yàn)椋?，所以函?shù)在有唯一零點(diǎn)，且 （7分）因?yàn)?，，所以函?shù)在有唯一零點(diǎn)，且 （9分）則，因此，． （10分）（3）設(shè)，則當(dāng)時(shí)恒成立， （12分）①由（1）得，當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減，，，單調(diào)遞增，∴ （14分）②當(dāng)時(shí)，，這與矛盾， （16分）綜上，． （17分）19．解析：（1）由題意得①，③是“規(guī)范01數(shù)列”， （2分）對(duì)于②，由于時(shí)，，故②不是“規(guī)范01數(shù)列”； （3分）（2），，，； （每個(gè)1分）（7分）“規(guī)范01數(shù)列”中，首項(xiàng)，若同時(shí)滿足：①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，，此時(shí)可將劃分為兩部