相似三角形的性質(zhì)及應(yīng)用

專題27.2.3相似三角形的性質(zhì)及應(yīng)用

典例體系（本專題共85題67頁）

典例1：影長測高問題

考點(diǎn)1：高度（距離）測量典例2：鏡面測高問題

典例3:其他測言問題

一、知識點(diǎn)

相似三角形的性質(zhì)

（1）對應(yīng)角相笠，對應(yīng)邊成比例.

（2）周長之比等于相似比,面積之比等于相似比的平方.

（3）相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)角平分線的比和對應(yīng)中線的比等于相似比.

二、考點(diǎn)點(diǎn)撥與訓(xùn)練

考點(diǎn)1:高度（距離）測量

典例1：影長測高問題

（2020?無錫市東北塘中學(xué)初三月考）閱讀以下文字并解答問題：在“物體的高度”活動(dòng)中，某數(shù)學(xué)興趣小組

的4名同學(xué)選擇了測量學(xué)校里的四棵樹的高度.在同一時(shí)刻的陽光下，他們分別做了以下工作：

小芳：測得一根長為1米的竹竿的影長為0.8米，甲樹的影長為4.08米（如圖1）.

小華：發(fā)現(xiàn)乙樹的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教學(xué)樓的墻壁上（如圖2）,墻壁上的影長為1.2

米，落在地面上的影長為2.4米.

小麗：測量的丙樹的影子除落在地面上外，還有一部分落在教學(xué)樓的第一級臺階上（如圖3）,測得此影子

長為0.2米，一級臺階高為0.3米，落在地面上的影長為4.4米.

小明：測得丁樹落在地面上的影長為2.4米，落在坡面上影長為3.2米（如圖4）.身高是1.6m的小明站在

坡面上，影子也都落坡面上，小芳測得他的影長為2m.

(1)在橫線上直接填寫甲樹的高度為米.

(2)求出乙樹的高度(畫出示意圖).

(3)請選擇丙樹的高度為()

A、6.5米B、5.75米C、6.05米D、7.25米

(4)你能計(jì)算出丁樹的高度嗎？試試看.

【答案】(1)5.1：(2)圖見解析，4.2米；(3)C；(4)5.56米.

【解析】(D設(shè)甲樹的高度為x米，

解得x=5.1(米)，

故答案為：5.1；

(2)如圖，設(shè)AB為乙樹的高度，BC=2.4.8=1.2,

四邊形AECD是平行四邊形，

.?.AE=C￡)=L2,

BE1BE1

由題意得:-----——，即----——

BC0.82.40.8

解得8E=3,

則乙樹的高度A3=AE+BE=1.2+3=4.2(米)；

(3)如圖，設(shè)AB為丙樹的高度，EF=0.2,CE=().3,BC=4.4.

DEDE1BGBG1

山題意得:

解得OE=0.25,BG=5.5,

：.CD=CE+DE=0.3+0.25=0.55,

四邊形AGCD是平行四邊形，

.?.AG=C￡）=0.55,

則丙樹的高度AB=AG+BG=0.55+5.5=6.05（米）,

故選：C；

（4）如圖，設(shè)AB為丁樹的高度，BC=2.4,CD=32,

…BEBE1CFCF1.6

由就息得：-=—>==—

BC2.40.8CD3.22

解得8E=3，CF=2.56,

四邊形AECF是平行四邊形,

AE=CF=2.56,

則丁樹的高度AB=A￡+BE=2.56+3=5.56（米）.

方法或規(guī)律點(diǎn)撥

本題考查了同一時(shí)刻的陽光下，樹高與其影長的比實(shí)際上就是相似比，正確畫出圖形，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為

數(shù)學(xué)問題是解題關(guān)鍵.

鞏固練習(xí)

1.《孫子算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，成書于約一千五百年前，其中有首歌謠：今有竿不知其長，

量得影長一丈五尺，立一標(biāo)桿，長一尺五寸，影長五寸，問竿長幾何？意即：有一根竹竿不知道有多長，

量出它在太陽下的影子長一丈五尺，同時(shí)立一根一尺五寸的小標(biāo)桿，它的影長五寸（提示：1丈=10尺，1

尺=10寸），則竹竿的長為（）

竹\

竿T

標(biāo)\

\

A.五丈B.四丈五尺C.一丈D.五尺

【答案】B

【解析】設(shè)竹竿的長度為x尺，

???竹竿的影長=一丈五尺=15尺，標(biāo)桿長=--尺五寸=1.5尺，影長五寸=0.5尺，

.x_1.5

解得x=45（尺）,

故選B.

2.如圖，身高為1.5米的某學(xué)生想測量一棵大樹AB的高度，他沿著樹影CB由。向8走，當(dāng)走到點(diǎn)。時(shí)，

他的影子頂端正好與樹的影子頂端重合.此時(shí)A、E、。三點(diǎn)恰好在一條直線上.經(jīng)測得0）=1米，3。=3

米，則樹的高度A6為（）

A.3米B.4米C.4.5米D.6米

【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意，可知：/ABC=/EDC=90。，

VZC=ZC,

/.△ABC^AEDC,

ABBCAB3+1

——=---,即——=----,

EDDC1.51

AB=6.

故選：D.

3.某數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組想利用樹影測量樹高，他們在同一時(shí)刻測得一身高為15〃的同學(xué)的影長為1.35%

由于大樹靠近一幢建筑物，因此樹影的一部分落在建筑物上，如圖，他們測得地面部分的影長為3.6〃?，建

筑物上的影長為18”，則樹的高度為（）

A.5.4mB.5.8tnC.5.22mD.6.4m

【答案】B

【解析】解：如下圖所示，延長BD、AC交于點(diǎn)E,BD=3.6米，CD=1.8米,

?.?同一時(shí)刻測得一身高為1.5米的同學(xué)的影長為1.35米，

CD1.51.81.5

——=----.即Rll——=----,

DE1.35DE1.35

?,.DE=1.62,

VCD//AB,

AZECD=ZEAB,NCDE=NABE,（兩直線平行，同位角相等）

/.CDEsABE,

.CDDE1.81.62

?.---=----,即Hn--------------,

ABBEAB1.62+3.6

AAB=5.8（米），

故選：B.

4.（2020?湖北巴東?初三其他）如圖，路邊有一根電線桿AB和一塊正方形廣告牌（不考慮牌子的厚度）.有

一天，小明突然發(fā)現(xiàn)，在太陽光照射下，電線桿頂端A的影子剛好落在正方形廣告牌的上邊中點(diǎn)G處，

而正方形廣告牌的影子剛好落在地面上點(diǎn)E處，己知BC=6米，正方形邊長為3米，DE=5米.則電線

桿AB的高度是（）米.

【答案】C

【解析】解：過點(diǎn)G作GH〃BC,GM±BE,

根據(jù)題意，四邊形BMGH是矩形，

，BH=GM=3米，

根據(jù)題意可得△AHGsAFDE,

.AH_GH

"~DF~~DE'

AH_7.5

亍-V

/.AH=4.5,

15?

AB=AH+BH=4.5+3=—米,

2

故選：C.

4

、《尸

H

BCMD

5.（2020.山東萊州.初二期末）興趣小組的同學(xué)要測量樹的高度.在陽光下，一名同學(xué)測得一根長為1米的

竹竿的影長為0.4米，同時(shí)另一名同學(xué)測量樹的高度時(shí)，發(fā)現(xiàn)樹的影子不全落在地面上，有一部分落在教學(xué)

樓的第一級臺階上，測得此影子長為0.2米，一級臺階高為0.3米，如圖所示，若此時(shí)落在地面上的影長為

4.4米，則樹高為（）

A.11.5米B.11.75米C.11.8米D.12.25米

【答案】C

【解析】如圖，根據(jù)題意可知EF=BC=4.4米，DE=0.2米，BE=FC=0.3米，則ED=4.6米,

,同一時(shí)刻物高與影長成正比例，

AAE：ED=1：0.4,即AE：4.6=1：0.4,

?,.AE=11.5米，

/.AB=AE+EB=11.5+0.3=11.8米，

二樹的高度是11.8米，

故選c.

6.（2019?全國初三課時(shí)練習(xí)）如圖，陽光通過窗口AB照射到室內(nèi)，在地面上留下4米寬的亮區(qū)DE,已知

亮區(qū)DE到窗口下的墻腳的距離CE=5米，窗口高48=2米，那么窗口底部離地面的高度8（2為（）

A.2米B.2.5米C.3米D.4米

【答案】B

【解析】由題意知4DIIBE,

BJWABCEMACD,

.BC_CE

*'AC-'CD"

;CD=CE+ED=5+4=9（米），AC=BCAB=（BC+2）米，

?BC5

??---------——,

BC+29

:.BC=2.5米，

故選B.

7.（2020?廣東南海?初三月考）如圖，為測量學(xué)校旗桿的高度，小東用長為3.2機(jī)的竹竿做測量工具，移動(dòng)

竹竿使竹竿和旗桿兩者頂端的影子恰好落在地面的同一點(diǎn)A,此時(shí)，竹竿與點(diǎn)4相距8處與旗桿相距22/77,

則旗桿的高為（）

【答案】C

【解析】如圖，AD=8m,AB=30m,DE=3.2m；

由于DE〃BC,則AADESZ\ABC,

得：必=匹，即色占，

ABBC30BC

解得:BC=12m,

故選C.

8.（2020?河南舞鋼?初三期末）如圖，有一張直徑（BC）為1.2米的圓桌，其高度為0.8米，同時(shí)有一盞燈

A距地面2米，圓桌的影子是DE,AD和AE是光線，建立圖示的平面直角坐標(biāo)系，其中點(diǎn)D的坐標(biāo)是（2,

0）.那么點(diǎn)E的坐標(biāo)是.

【答案】（4,0）

【解析】如圖，延長CB交y軸于F,

:桌面與x軸平行即BF〃OD,

.,.△AFB^AAOD,

VOF=0.8,

,?.AF=AO-OF=2-O.8=1.2,

：OA=OD=2,

則AF=FB=1.2,BC=1.2,FC=FB+BC=1.2+1.2=2.4,

■:FCHx軸，

/.△AFC^AAOE,

.AFFC

"AO"6E

AOFC2x2.4

OE=-----------=----------=4,

AF1.2

E(4,0).

故答案為:(4,0).

9.如圖，王華晚上由路燈A下的B處走到C處時(shí)，測得影子CD的長為1米，繼續(xù)往前走3米到達(dá)E處

時(shí)，測得影子EF的長為2米，已知王華的身高是1.5米.

（1）求路燈A的高度;

（2）當(dāng)王華再向前走2米，到達(dá)F處時(shí)，他的影長是多少？

【答案】（1）路燈A有6米高（2）王華的影子長g米.

【解析】（1）由題可知AB//MC//NE,

MCCDNEEF=八°

----=----------=-----，而MC=NE

-15BD且BBF

...-C-D-=-E--F-

BDBF

1“4

；CD=1米，EF=2米，BF=BD+4,，BD=4米，.-.AB=——=6米

1

所以路燈A有6米高

（2）依題意，設(shè)影長為x,則x=盤邑解得可=§米

x+BFAB3

答：王華的影子長5米.

10.（2019?河南平輿?初三期中）如圖所示，在離某建筑物4m處有一棵樹，在某時(shí)刻，1.2〃/長的竹竿垂直

地面，影長為2%，此時(shí)，樹的影子有一部分映在地面上，還有一部分影子映在建筑物的墻上，墻上的影

高為2m，那么這棵樹高約有多少米？

【答案】這棵樹高4.4根.

【解析】過點(diǎn)。作CE//AD交A3丁點(diǎn)E

則CD=AE=2m，，ABCE?AB'BA1

:.AB':B'B=BE:BC,即1.2:2=BE:4

:.BE=24

.L=2.4+2=4.4

答：這棵樹高4.4〃?.

11.（202。貴州貴陽?初三開學(xué)考試）如圖，某學(xué)習(xí)小組為了測量校園內(nèi)一棵小樹的高度CD,用長為1m的

竹竿AB作測量工具，移動(dòng)竹竿，使竹竿影子的頂端、樹影子的頂端落在水平地面上的同一點(diǎn)E,且點(diǎn)E，

A，。在同一直線上.已知E4=3m,AC=9m,求這棵樹的高度CD.

【答案】這棵樹的高度CD為4m

【解析】解：:人臺〃。。，

AEAfis△召CD,

.ABEA31

"CD-EC-3+9-4'

AB=1，

二C￡）=4.

答：這棵樹的高度CO為4m.

12.（2019?全國初三課時(shí)練習(xí)）某中學(xué)平整的操場上有一根旗桿（如圖），一數(shù)學(xué)興趣小組欲測量其高度,

現(xiàn)在測量工具有皮尺、標(biāo)桿，請你用所學(xué)的知識，幫助他們設(shè)計(jì)測量方案.

（1）畫出你設(shè)計(jì)的測量平面圖；

（2）簡述測量方法，并寫出測量的數(shù)據(jù).（長度用a,b,c...表示）

【答案】（1）如圖，見解析，沿著旗桿的影子豎立標(biāo)桿，使標(biāo)桿影子的頂端正好與旗桿影子的頂端重合；（2）

旗桿的高度為一cm.

h

【解析】（I）如圖，沿著旗桿的影子豎立標(biāo)桿，使標(biāo)桿影子的頂端正好與旗桿影子的頂端重合;

（2）用皮尺測量旗桿的影長8E=am,標(biāo)桿CD的影長OE=hm,標(biāo)桿高CO=ccm.

?:AEDCs^EBA，

.CDEDc_b

??------------,即------—一,

ABEBABa

4八ac

:.AB=—cm,

b

所以旗桿的高度為半cm.

b

13.（2020?上海市金山初級中學(xué)初三月考）據(jù)史料記載，古希臘數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家泰勒斯曾利用相似三角形

的原理，在金字塔影子的頂部立一根木桿，借助太陽光線構(gòu)成兩個(gè)相似三角形，來測量金字塔的高度.如

圖，如果木桿EF長2加，它的影長ED為3根，測得。4為201根，求金字塔的高度80.

【答案】BO=134m.

【解析】解：QBF//ED

:.NBAO=NEDF

又QZAOB=/DFE=90°

^ABO:ADEF

:.BO:EF=OA:FD

QEF=2m,FD=3m,OA=201m

.?.50:2=201:3

即50=134（m）

14.（2020.江蘇淮安?初三一模）如圖，花叢中有一路燈A8.在燈光下，小明在點(diǎn)D處的影長￡>E=3m,沿

方向行走到達(dá)點(diǎn)G,DG=5m,這時(shí)小明的影長GH=5m.如果小明的身高為1.7m,求路燈AB的高度.

（精確到0.1m）

*3DEGH

【答案】路燈的高度約為6.0m

【解析】由題意，得CDLBH,FG±BH,

：.CDIIABACDEs^ABE.

.CDDE

??=---------.①

ABBD+DE

同理，,

?_F_G_=_______H__G______

"AB~HG+GD+DB

乂?：CD=FG=L7,

DEHG

：.由①,②可得

BD+DE~HG+GD+BD

即=

'BD+35+5+BD

解得8。=7.5.

將3D=7.5代入①，得AB=5.95=6.0.

故路燈AB的高度約為6.0m.

15.（202。全國初三課時(shí)練習(xí)）小軍想用鏡子測量一棵古松樹的高度，但因樹旁有一條小河，不能測量鏡子

與樹之間的距離.于是他利用鏡子進(jìn)行兩次測量.如圖，第一次他把鏡子放在點(diǎn)C處，人在點(diǎn)F處正好在鏡中

看到樹尖A；第二次他把鏡子放在點(diǎn)。處,人在點(diǎn)F處正好在鏡中看到樹尖A.已知小軍的眼睛距地面1.7m,

量得CC'=12m,CF=1.8m,C'F'=3.84m.求這棵古松樹的高度.

【答案】這棵古松樹的高度為10m.

【解析】設(shè)這棵占松樹的高度AB=xm,BC=ym.

ABLBC，EF1BC,

ZABC=ZEFC=90°,

又,:ZACB=NECF，

AABCs^EFC,

EFCF

ABLBC-E'F'LC'F'，

ZABC=Z￡'F'C'=90°.

又：ZAC'B=/E'CF,

△ABC'^AE'F'C.

E'F'C'F'

ABBC'

EF=EF'，

CFC'F'1.8_3.84180

—=>即Hn—■-,解得y=—

BCBCyy+1217

即BC=-m.

17

,EFCF

乂?———,

ABBC

1.71.8

.,.T=W.

~n

解得x=10,即AB=10m.

答：這棵古松樹的高度為10m.

16.（2020?陜西師大附中初三其他）小明放學(xué)回家途經(jīng)一個(gè)小廣場，廣場的中央有一個(gè)羽毛球場地，場地的

周圍是片平坦的草坪，同時(shí)與羽毛球網(wǎng)在同一平面內(nèi)有兩個(gè)一樣高的路燈，小明想測量路燈的高度A8,但

是他沒有帶任何測量工具.于是，小明調(diào)整自己的步伐，盡量使得每一步步長相同.小明測出離路燈較近

的網(wǎng)桿在路燈AB下的影長。R為2步，離路燈較遠(yuǎn)的網(wǎng)桿在路燈A3下的影長EC為5步，回家后小明上

網(wǎng)查資料得到羽毛球網(wǎng)桿高O0=NE=1.55米，網(wǎng)長MN=6.1米，同時(shí)測得1步。1米，求路燈的高度（結(jié)

果保留一位小數(shù)）

【答案】路燈的高度約為4.7米

【解析】解：QDM//AB,

：NFMD:7FAB,

MDFD

設(shè)AB-x,BD=y

?_1_._5_5=___2__

x2+y

QNE//AB,

:NCNE:NCAB,

NECE

?_1_._5_5______5____

x5+6.1+y

._2=5

x2+y5+6.1+y

.1.55_________5-2________

x(5+6.1+y)—(2+y)

1.55x9.1*r

：.x=---------X4.7

3

答：路燈的高度約為4.7米.

17.（2020?無錫市錢橋中學(xué)初三月考）如圖，一路燈AB與墻OP相距20米，當(dāng)身高CD=1.6米的小亮在離

墻17米的D處時(shí)，影長DG為1米；當(dāng)小亮站在點(diǎn)F時(shí)，發(fā)現(xiàn)自己頭頂?shù)挠白诱媒佑|到墻的底部O處.

（1）求路燈AB的高度.

（2）請?jiān)趫D中畫出小亮EF的位置；并求出此時(shí)的影長.

（3）如果小亮繼續(xù)往前走，在距離墻2米的N處停下，那么小亮MN在墻上的影子有多高？

p

【答案】(1)6.4米；(2)5米；(3)西米

【解析】解：(1)???80=2()米，00=17米,

30=80—00=20—17=3米，

OG=1米，

二■BG=BD+￡)G=3+1=4米，

?；AB、CD都與地面BO垂直，

:.ABG~CDG，

.?.生=空,即生」,

ABBGAB4

二AB=6.4米；

(2)小亮的位置如圖所示：

EFF0??1.6F0

二---=----,即——=----.

ABB06.420

，產(chǎn)。=5米;

(3)如圖，過點(diǎn)M作B0的平行線，交AB于點(diǎn)H,交P0于點(diǎn)K,連接AM并延長交P0于點(diǎn)L,

:小亮距離墻2米，

ON=MK=2米，

二府=20-2=18米，

?..AB=6.4米，M/V=L6米，

二47=6.4-1.6=4.8米,

,/AHMLKM，

KLMKKL2

：.——=------,即un一=——，

AHHM4.818

KL5米，

30

.?.墻上的影子長為1.6—3=3米.

3015

典例2：鏡面測高問題

為了測量校園水平地面上一棵不可攀的樹的高度，學(xué)校數(shù)學(xué)興趣小組做了如下探索：根據(jù)光的反射定律，

利用一面鏡子和一根皮尺，設(shè)計(jì)如下圖所示的測量方案：把一面很小的鏡子水平放置在離B（樹底）8.4米

的點(diǎn)E處，然后沿著直線BE后退到點(diǎn)D,這時(shí)恰好在鏡子里看到樹梢頂點(diǎn)A,再用皮尺量得DE=3.2米,

觀察者目高CD=1.6米，求樹AB的高度.

【答案】樹AB的高度為4.2米

【解析】過點(diǎn)E作EFLBD于點(diǎn)E,則/1=N2,：/DEF=NBEF=90。,

.\ZDEC=ZAEB,

VCD1BD,AB±BD,

/.ZCDE=ZABE=90°,

.?.△CDES/XABE,

.DECD

BEAB

：DE=3.2米，CD=1.6米，EB=8.4米，

.3.2_1.6

?a■'-,

8.4且5

解得AB=4.2（米）.

答：樹AB的高度為4.2米.

方法或規(guī)律點(diǎn)撥

本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解這道題的關(guān)鍵是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，本題只要把實(shí)際問題抽象

到相似三角形中，利用相似比列出方程即可求出.

鞏固練習(xí)

1.如圖，小穎為測量學(xué)校旗桿AB的高度，她想到了物理學(xué)中平面鏡成像的原理，她在與旗桿底部A同一

水平線上的E處放置一塊鏡子，然后推到C處站立，使得剛好可以從鏡子E看到旗桿的頂部民已知小穎

的眼睛D離地面的高度CQ=1.6〃?，她離鏡子的水平距離CE=1.2m,鏡子E離旗桿的底部A處的距離AE

=3.6m,且A、C、E三點(diǎn)在同一水平直線你上，則旗桿AB的高度為（）

【答案】C

【解析】解：由題意可得：AE=3.6m,CE=1.2m,DC=1.6m,

,."△ABE^ACDE,

.DCCE

??一，

ABAE

1.61.2

a即n一=—,

AB3.6

解得：AB=4.8m,

故選：C.

3.如圖，小明為了測量一涼亭的高度AB（頂端A到水平地面8。的距離），在涼亭的旁邊放置一個(gè)與涼亭

臺階BC等高的臺階￡>E（OE=BC=0.6米，求A、B、C三點(diǎn)共線），把一面鏡子水平放置在平臺上的點(diǎn)G

處，測得CG=12米，然后沿直線CG后退到點(diǎn)E處，這時(shí)恰好在鏡子里看到?jīng)鐾さ捻敹薃,測得GE=2

米，小明身高EF=1.6米，則涼亭的高度A8約為（）

A.9米B.9.6米C.10米D.10.2米

【答案】D

【解析】解：如圖：

由題意NAGC=NFGE,

VZACG=ZFEG=90°,

AAACG^AFEG,

AAC：EF=CG：GE,

.-J-

??一,

1.62

.?.AC=9.6米，

/.AB=AC+BC=9.6+0.6=10.2米.

故選：D.

4.（2020?北京海淀?人大附中初三其他）如圖，小明在地面上放了一個(gè)平面鏡，選擇合適的位置，剛好在平

面鏡中看到旗桿的頂部，此時(shí)小明與平面鏡的水平距離為2m,旗桿底部與平面鏡的水平距離為16m.若

小明的眼睛與地面的距離為1.6m,則旗桿的高度為（單位：m）（）

A.12.4B.12.5C.12.8D.16

【答案】C

【解析】解：如圖，BC=2m,CE=16m,AB=1.6m,

D

由題意得/ACB=NDCE,

VZABC=ZDEC,

.,.△ACB^ADCE,

.ABBC,『1.62

??---------,即--------，

DECEDE16

，DE=12.8

即旗桿的高度為12.8m.

故答案為：C.

5.（2020?全國初三課時(shí)練習(xí)）如圖，小穎為測量學(xué)校旗桿A3的高度，她在E處放置一塊鏡子，然后退到

C處站立，剛好從鏡子中看到旗桿的頂部既已知小穎的眼睛。離地面的高度CQ=15”，她離鏡子的水平

距離CE=0.5m,鏡子E離旗桿的底部A處的距離4E=2〃?，且A、C、E三點(diǎn)在同一水平直線上，則旗桿

AB的高度為（）

【答案】D

【解析】解：由題意可得：AE=2m,CE=0.5，〃，0C=1.5，〃,

■:AABCSAEDC,

.DCCE

??=,

ABAE

解得：AB—6,

故選

7.小紅用下面的方法來測量學(xué)校教學(xué)大樓AB的高度：如圖，在水平地面點(diǎn)E處放一面平面鏡，鏡子與教

學(xué)大樓的距離AE=20米.當(dāng)她與鏡子的距離CE=2.5米時(shí)，她剛好能從鏡子中看到教學(xué)大樓的頂端B.已知

她的眼睛距地面高度DC=1.6米，請你幫助小紅測量出大樓AB的高度（注：入射角=反射角）

【答案】12.8米

【解析】???根據(jù)反射定律知：ZFEB=ZFED,

.\ZBEA=ZDEC

VZBAE=ZDCE=90°

AABAE^ADCE

.ABAE

*-EC；

???CE=2.5米，DC=L6米，

..?—AB=—20?

1.62.5*

，AB=12.8

二大樓AB的高為12.8米.

8.星期天，小麗和同學(xué)們在碧沙崗公園游玩，他們來到1928年馮玉祥將軍為紀(jì)念北伐軍陣亡將士所立的

紀(jì)念碑前，小麗問：“這個(gè)紀(jì)念碑有多高呢？“請你利用初中數(shù)學(xué)知識，設(shè)計(jì)一種方案測量紀(jì)念碑的高度（畫

出示意圖），并說明理由.

【答案】答案見解析.

【解析】解：設(shè)計(jì)方案例子：如圖，在距離紀(jì)念碑A8的地面上平放一面鏡子E,人退后到。處，在鏡子里

恰好看見紀(jì)念碑頂A.若人眼距地面距離為CD,測量出C。、DE、的長，就可算出紀(jì)念碑48的高.

理由：測量出C。、DE、BE的長，因?yàn)閆D=ZB=90°,易得根據(jù)一

AB

---，即可算出AB的高.

BE

9.（2019?全國初三課時(shí)練習(xí)）如圖，雨后初晴，小明在運(yùn)動(dòng)場上玩，當(dāng)他在E點(diǎn)時(shí)發(fā)現(xiàn)前面2米處有一處

積水C,從積水中看到旗桿頂端的倒影，若旗桿底部B距積水處40米，此時(shí)眼睛距地面1.5米.求旗桿A3

的高度.

【答案】旗桿AB的高度為30米

（解析］；，DELEC.

，ZE=ZB=90°.

又?:4DCE=^ACB，

：.APEC^AABC,

.DEEC1.52

??-------,L'l-I=—,

ABBCAB40

筋=30米，

.??旗桿AB的高度為30米.

典例3：其他測量問題

（2018?全國初三單元測試）如圖，一條東西走向的筆直公路，點(diǎn)A、8表示公路北側(cè)間隔150米的兩棵樹

所在的位置，點(diǎn)C表示電視塔所在的位置.小王在公路PQ南側(cè)直線行走，當(dāng)他到達(dá)點(diǎn)尸的位置時(shí)，觀察

樹A恰好擋住電視塔，即點(diǎn)尸、4、C在一條直線上，當(dāng)他繼續(xù)走180米到達(dá)點(diǎn)。的位置時(shí)，以同樣方法觀

察電視塔，觀察樹8也恰好擋住電視塔.假設(shè)公路兩側(cè)AB〃P。，且公路的寬為60米，求電視塔C到公路

南側(cè)PQ的距離.

//_______________

PQ

【答案】電視塔C到公路南側(cè)所在直線PQ的距離是360米.

【解析】

如圖所示，作CEL尸。于E,交AB于D點(diǎn)、,

A

J/C

//I

tt!

yA7B~~7D~

,/I

//I

PQE

設(shè)CO為x,則CE=60+x,

".'AB//PQ,

：.△ABCsXPQC,

即」-上也，

ABPQ150180

解得產(chǎn)300,

.\x+60=360米，

答：電視塔C到公路南側(cè)所在直線PQ的距離是360米.

方法或規(guī)律點(diǎn)撥

本題考查了相似三角形的性質(zhì)與應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握相似三角形的性質(zhì)與應(yīng)用.

鞏固練習(xí)

1.學(xué)校門口的欄桿如圖所示，欄桿從水平位置繞。點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AC位置，已知AB_LBD，CDA.BD,

垂足分別為3，D，AO=4m,AB=1.6m,C0=lm,則欄桿C端應(yīng)下降的垂直距離CO為（）

【答案】C

【解析】解：???AB_LB￡），CD.LBD,

AZABO-ZCDO,

VZAOB=ZCOD,

.,.△AOB^ACOD,

.AOAB

~CO~~CD

VAO=4m,AB=1.6m,CO=lm,

1.6x1

3①=OAm.

AO4

故選C.

2.（2019?河南南陽?初三期中）據(jù)《九章算術(shù)》記載：“今有山居木西，不知其高.山去五十三里，木高九丈

五尺.人立木東三里，望木末適與山峰斜平.人目高七尺.問山高幾何？”譯文如下：如圖，今有山A3位于樹

的西面.山高A3為未知數(shù)，山與樹相距53里，樹高9丈5尺.人站在離樹3里的地方，觀察到樹梢C恰好

與山峰A處在同一條直線上，人眼離地7尺.則山高AB的長為（結(jié)果保留到整數(shù)，1丈=10尺）（）

A.162丈B.163丈C.164丈D.165丈

【答案】D

【解析】由題意得，BD=53里，CD=95尺，EF=7尺，DF=3里，

過E作EG_LAB于G,交CD于H,

則BG=DH=EF=7尺，GH=BD=53里，HE=DF=3里，

?；CD〃AB,

.?.△ECHS/XEAG,

.CHEH

~AG~~EG

?_9_5_-_7____3__

'TAG3+53

AAG=164.2丈，AB=AG+0.7=164.9R65丈,

故答案選D.

3.如圖，小穎同學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測量樹的高度AB,他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF

保持水平，并且邊DE與點(diǎn)B在同一直線上，已知紙板的兩條直角邊DE=30cm,EF=15cm,測得邊DF離

地面的高度AC=1.5m,CD=7m,則樹高AB=（）m.

B

A.3.5B.4C.4.5D.5

【答案】D

【解析】VZDEF=ZBCD=90°,ZD=ZD,

/.△DEF^ADCB,

ABC：EF=DC：DE,

VDE=30cm=0.3m,EF=15cm=1.5m,AC=1.5m,CD=7m,

?BC7

，BC=3.5米，

，AB=AC+BC=1.5+3.5=5m,

故選D.

4.（2019?陜西初三專題練習(xí)）中國古代在利用“計(jì)里畫方”（比例縮放和直角坐標(biāo)網(wǎng)格體系）的方法制作地

圖時(shí)，會(huì)利用測桿、水準(zhǔn)儀和照板來測量距離.在如圖所示的測量距離AB的示意圖中，記照板“內(nèi)芯”的高

度為EF,觀測者的眼睛（圖中用點(diǎn)C表示）與BF在同一水平線上，則下列結(jié)論中，正確的是（）

圖中由左向右依次為利杵、水瓶儀、IS植

ITh

EFCFEFCFCECFCECF

i___—____B___—_______—____D.------------

AB~FBAB~CBCAFBEACB

【答案】B

EFCFCE

【解析】解：：EF〃AB,.?.△CEFs/xCAB,—=—=一匕故選B.

ABCBCA

5.（2019?北京市十一學(xué)校初三月考）如圖，為了測量某棵樹的高度，小明用長為2m的竹竿做測量工具，

移動(dòng)竹竿，使竹竿、樹的頂端的影子恰好落在地面的同一點(diǎn).此時(shí)，竹竿與這一點(diǎn)距離相距6m,與樹相距

15m,則樹的高度為m.

【答案】7

【解析】

設(shè)樹的高度為Xm,由相似可得2==解得x=7,所以樹的高度為7m

262

6.（2020?陜西交大附中分校初三月考）如圖，某小區(qū)門口的欄桿從水平位置AB繞固定點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到位置DC,

已知欄桿A8的長為3.5米，0A的長為3米，點(diǎn)C到A8的距離為0.3米，支柱OE的高為0.6米，那么欄

桿端點(diǎn)D離地面的距離為米

【答案】2.4

【解析】解：過D作DG_LAB于G,過C作CH_LAB于H,

則DG〃CH,

,.△ODG^AOCH,

.DGOP

~CH~~OC'

.?欄桿從水平位置AB繞固定點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到位置DC,

?.CD=AB=3.5m,OD=OA=3m,CH=0.3m,

*.OC=0.5m,

,DG3

?六一講‘

\DG=1.8m,

/OE=0.6m,

?.欄桿D端離地面的距離為1.8+0.6=2.4(m).

D,

/-i_-

GTTN；

7.（2019?全國初三課時(shí)練習(xí)）我軍偵察員在距敵方100m的地方發(fā)現(xiàn)敵方的一座建筑物，但不知其高度又

不能靠近建筑物物測量，機(jī)靈的偵察員將自己的食E指豎直舉在右眼前，閉上左眼，并將食指前后移動(dòng)，

使食指恰好將該建筑物遮住，如圖所示.若此時(shí)眼睛到食指的距離約為40cm,食指的長約為8cm,則敵方建

筑物的高度約是m.

建

筑

物

【答案】20

【解析】解：：40cm=0.4m,8ctn=0.08m

VBC//DE,AG1BC,AF±DE.

.,.△ABC^AADE,

ABC：DE=AG：AF,

A0.08：DE=0.4：100,

，DE=20m.

故答案為：20.

2手指位置

建

二

筑

二

物

一

//////////////

E

8.（2020?上海浦東新?初三月考）如圖，測量小玻璃管口徑的量具A8C上，AB的長為10mm,AC被分為

60等份，如果小管口DE正好對著量具上30份處（DEHAB）,那么小管口徑OE的長是mm.

加3050

【答案】5

【解析1解：VDEZ/AB

.?.△CDEs/XCAB

ACD：CA=DE：AB

A30：60=DE：10

ADE=5毫米

.?.小管口徑DE的長是5毫米，

故填:5.

9.（2020?重慶南開（融僑）中學(xué)校初二期末）我軍邊防部隊(duì)沿加勒萬河谷巡邏時(shí)發(fā)現(xiàn)，對岸我方領(lǐng)土上有y

國軍隊(duì)在活動(dòng)，為了估算其與我軍距離，偵察員手臂向前伸，將食指豎直，通過前后移動(dòng)，使食指恰好將

對岸我方樹立的旗桿遮住，如圖所示、若此時(shí)眼睛到食指距離/約為63的，食指45長約為7a篦，旗桿8

高度為28米，則對方與我軍距離d約為米.

【答案】252

【解析】解：63cm=0.63m,AB=7cm=0.07m,

：AB〃CD,

/.△ABO^ACDO,

.AB0.63

.?-------------

CDd

d=252（m））

故答案為:252.

10.（2020?福州?福建師范大學(xué)附屬中學(xué)初中部初三月考）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，書中有如下問

題：“今有井徑5尺，不知其深，立五尺木于井上，從木末望水岸，入徑四寸.問井深幾何？’‘意思是：如

圖，井徑3七=5尺，立木高AB=5尺，加＞=4寸=04尺，則井深x為__________尺.

【解析】解：依題意可得△ABDs/ViFC,

.,.AB：AC=BD：FC,

即5：AC=0.4：5,

解得AC=62.5,

X=BC=AC-AB=62.5-5=57.5尺.

故答案為：57.5.

11.（2019?山東青島?初三期中）如圖，為了測量一棵樹CZ）的高度，測量者在B處立了一根高為2.5相的標(biāo)

桿，觀測者從E處可以看到桿頂A,樹頂C在同一條直線上，若測得80=7〃?，F(xiàn)B=3m,EF=1.6m,則樹

rWi為_____

【解析】解：作EHLCD于H,交AB于G,如圖，

貝l]EG=BF=3m,GH=BD=7m,GB=HD=EF=1.6m,

所以AG=AB-GB=2.5-1.6=0.9(m),

VAG/7CH,

/.△EAG^AECH,

.AG_EG0.9_3

CHEHCH3+7

解得：CH=3,

；.CD=CH+DH=4.6(m).

故答案為：4.6.

12.（2020.陜西交大附中分校初三月考）如圖有一塊直角邊AB=4cm,BC=3cm的RjABC的鐵片，現(xiàn)要

把它加工成一個(gè)正方形（加工中的損耗忽略不計(jì)），則正方形的邊長為（）

【答案】D

【解析】如圖，過點(diǎn)8作垂足為P,BP交DE于Q.

ABBC3x412

二BP=-----------=-------=——

AC55

'：DE//AC,

:.NBDE=NA,NBED=NC,

:ABDEs叢BAC,

.DEBQ

12

-----x

設(shè)DE=x,則有：一=Ic—

512

5

解得x=.

37

故選：D.

13.（2020?上海中考真題）《九章算術(shù)》中記載了一種測量井深的方法.如圖所示，在井口8處立一根垂直

于井口的木桿BD,從木桿的頂端。觀察井水水岸C,視線OC與井口的直徑AB交于點(diǎn)E,如果測得48=1.6

米，BD=1米，BE=0.2米，那么井深A(yù)C為米.

【答案】7米.

【解析】解：'：BD±AB,ACLAB,

：.BD//AC,

：./\ACE<^/\DBE,

.AC_AE

,BD-BE

?AC_1.4

??—,

10.2

；.AC=7（米），

故答案為：7（米）.

14.（2019?安徽初三月考）如圖，一塊直角三角形木板，一條直角邊AC的長1.5m,面積為1.5m2.按圖中

要求加工成一個(gè)正方形桌面，則桌面的邊長為m.

【解析】解：???一塊直角三角形木板，一條宜角邊AC的長L5m,面積為1.5m2,

1.5

.??另一直角邊長為：1.=2（m）,

—xl.5c

2

則斜邊長為：6+1.52=2.5,

設(shè)點(diǎn)C到AB的距離為h,

貝SAABC=TTx2.5h=1.5,

2

解得:h=1.2,

?正方形GFDE的邊DE〃GF,

.,.△ACB^ADCE,

h-x_DE

hAB'

1.2—xx

即

1.2

解得：x=—,

37

故答案為一.

37

15.（2018?北京房山?初三期中）為了估算河的寬度，我們可以在河對岸的岸邊選定一個(gè)目標(biāo)記為點(diǎn)A,再

在河的這一邊選點(diǎn)B和點(diǎn)C,使得AB_LBC,然后再在河岸上選點(diǎn)E,使得EC_LBC,設(shè)BC與AE交于點(diǎn)

D,如圖所示，測得BD=120米，DC=60米，EC=50米，那么這條河的大致寬度是.

【答案】100米

【解析】,：ABLBC,ECA.BC,AZB=ZC=90°.

,ABCEAB50

又；NADB=NEDC,:.△ADBs^EDC,：.——=——，即——=—.

BDDC12060

解得：48=100米.

故答案為100米.

16.（2020?山東萊州?初二期末）小紅家的陽臺上放置了一個(gè)曬衣架，如圖1,圖2是曬衣架的側(cè)面示意圖,

立桿AB、CD相交于點(diǎn)O,B、D兩點(diǎn)在地面上，經(jīng)測量得到AB=CD=136cm,OA=OC=51cm,OE=OF=34cm,

現(xiàn)將曬衣架完全穩(wěn)固張開，扣鏈EF成一條線段，且EF=32cm,垂掛在衣架上的連衣裙總長度小于多少時(shí),

連衣裙才不會(huì)拖在地面上？

圖2

【解析】解：過點(diǎn)。作OMLEF于點(diǎn)M,

VOA-OC,

.,.ZOAC=ZOCA=—(180°-ZBOD),

2

同理可證：ZOBD=ZODB=-(180°-ZBOD),

2

.\ZOAC=ZOBD,

，AC〃BD,

在RtAOEM中，0M==30(cm),

過點(diǎn)A作AH1.BD于點(diǎn)H,

同理可證：EF〃BD,

?,.ZABH=ZOEM,則RSOEMSRSABH,

.OE_OMOMMB30x136

AH==120(cm).

,布一麗OE~34

所以垂掛在衣架上的連衣裙總長度小于120cm時(shí)，連衣裙才不會(huì)拖落到地面上.

故答案為120.

18.如圖，在相對的兩棟樓中間有一堵墻，甲、乙兩人分別在這兩棟樓內(nèi)觀察這堵墻，視線如圖1所示.根

據(jù)實(shí)際情況畫出平面圖形如圖2(CD_LDF,AB1DF,EF1DF),甲從點(diǎn)C可以看到點(diǎn)G處，乙從點(diǎn)E可

以看到點(diǎn)D處，點(diǎn)B是DF的中點(diǎn)，墻AB高5.5米，DF=100米，BG=10.5米，求甲、乙兩人的觀測點(diǎn)到

地面的距離之差(結(jié)果精確到01米)

口Q

口

口

o口

□口

□口

□口

【解析】解：由題意得NABG=NCDG=90。,

又：/AGD為公共角，

.,.△ABG^ACDG,

.ABBG

''~CD~~DG'

：AB=5.5米，BG=10.5米，

.5.510.5

"CD-50+10.51

.?.C63L69（米）

又?.?/ABD=/EFD=90。，/EDF為公共角,

.,.△ADB^AEDF,

.ABDB\

"~EF~~DF~2'

,.EF=2AB=11（米）

\CD-EF-20.7（米）

答：甲、乙兩人的觀測點(diǎn)到地面的距離之差約為20.7米.

19.某學(xué)校的學(xué)生為了對小雁塔有基本的認(rèn)識，在老師的帶領(lǐng)下對小雁塔進(jìn)行了測量.測量方法如下：如

圖，間接測得小雁塔地部點(diǎn)D到地面上一點(diǎn)E的距離為115.2米，小雁塔的頂端為點(diǎn)B,且BD1DE,在點(diǎn)

E處豎直放一個(gè)木棒，其頂端為C,CE=1.72米，在DE