第四章 實(shí)數(shù)（單元重點(diǎn)綜合測(cè)試）

第四章實(shí)數(shù)（單元重點(diǎn)綜合測(cè)試）一、選擇題（每題3分，共24分）1．如果一個(gè)數(shù)的平方等于，那么這個(gè)數(shù)是（）A． B． C．3 D．2．如圖，數(shù)軸上的無(wú)理數(shù)被擋住了，則的相反數(shù)是（）A． B． C． D．3．設(shè)為實(shí)數(shù)，且，則的值是（）A． B． C． D．4．按括號(hào)內(nèi)的要求用四舍五入法取近似數(shù)，其中錯(cuò)誤的是（）A．（精確到個(gè)位） B．（精確到）C．（精確到） D．（精確到）5．64的立方根是（）A．4 B． C． D．6．估算的值（）A．在與之間 B．在與之間C．在與之間 D．在與之間7．設(shè)表示最接近x的整數(shù)（，為整數(shù)），則（）A．132 B．146 C．164 D．1768．對(duì)實(shí)數(shù)，定義一種新運(yùn)算，規(guī)定：（其中為非零常數(shù)）；例如：；已知，給出下列結(jié)論：①；②若，則；③若，則；④有最小值，最小值為3；以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)填空題（每題3分，共30分）9．的算術(shù)平方根為_(kāi)______．10．計(jì)算：________．11．已知：，那么的值為_(kāi)_________．12．已知：，，且，則的值為_(kāi)_____．13．若m的平方根是，則______．14．已知一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根分別是和，則______．15．觀察下列等式：，，，，，，…，則的末位數(shù)字是_________．16．比較大小______．（填“>”或“<”）17．當(dāng)時(shí)，a，，，之間的大小關(guān)系是____（用“＞”連接）．18．對(duì)任意一個(gè)兩位數(shù)n，如果n滿足個(gè)位與十位上的數(shù)字互不相同，且都不為零，那么稱這個(gè)數(shù)為“相異數(shù)”，將一個(gè)“相異數(shù)”的十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字互換位置后，得到一個(gè)新兩位數(shù)：把所得的新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的和與11的商記為．例如．互換十位與個(gè)位上的數(shù)字得到32，所得的新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的和為，，所以．若s，t都是“相異數(shù)”，其中，（，．x，y都是正整數(shù)），當(dāng)時(shí)，則的最大值為_(kāi)___．三、解答題（一共9題，共86分）19．（本題8分）求下列各式中x的值：(1)；(2)．20．（本題8分）把下列各數(shù)填入相應(yīng)的集合里：①0.236，②，③，④，⑤0，⑥18，⑦（相鄰兩個(gè)5之間的8的個(gè)數(shù)逐次增加一個(gè)）．正數(shù)集合：{___________}；負(fù)數(shù)集合：{___________}；有理數(shù)集合：{___________}；無(wú)理數(shù)集合：{___________}．21．（本題8分）已知的平方根為，的立方根為．(1)求，的值；(2)求的算術(shù)平方根．22．（本題10分）閱讀下面的文字，解答問(wèn)題：大家知道是無(wú)理數(shù)，而無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，因此的小數(shù)部分我們不可能全部地寫出來(lái)，于是小明用﹣1來(lái)表示的小數(shù)部分，你同意小明的表示方法嗎？事實(shí)上，小明的表示方法是有道理的，因?yàn)榈恼麛?shù)部分是1，將這個(gè)數(shù)減去其整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分．又例如：∵，即，∴的整數(shù)部分為2，小數(shù)部分為．請(qǐng)解答：(1)的整數(shù)部分是_____，小數(shù)部分是_____(2)如果的小數(shù)部分為a，的整數(shù)部分為b，求的值．23．（本題8分）已知的平方根為，的立方根為，是的整數(shù)部分．求的算術(shù)平方根．24．（本題10分）（1）如圖，作直角邊為1的等腰，則其面積；以為一條直角邊，1為另一條直角邊作，則其面積；以為一條直角邊，1為另一多直角邊作，則其面積，……則__________；（2）請(qǐng)用含有（是正整數(shù)）的等式表示，并求的值．

25．（本題10分）（1）如圖，把兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形沿著對(duì)角線剪開(kāi)，所得的4個(gè)直角三角形拼成一個(gè)面積為2的大正方形，由此得到了一種能在數(shù)軸上畫(huà)出無(wú)理數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的方法．圖2中、兩點(diǎn)表示的數(shù)分別為_(kāi)_____，______；

（2）小麗想用一塊面積為的正方形紙片，沿著邊的方向裁出一塊面積為的長(zhǎng)方形紙片（如圖），使它的長(zhǎng)是寬的2倍．小麗能用這塊紙片裁出符合要求的紙片嗎？請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由．26．（本題12分）深化理解：新定義：對(duì)非負(fù)實(shí)數(shù)“四舍五入”到個(gè)位的值記為，即：當(dāng)為非負(fù)整數(shù)時(shí)，如果，則；反之，當(dāng)為非負(fù)整數(shù)時(shí)，如果，則．例如：，，，，…試解決下列問(wèn)題：(1)填空：①________，________（為圓周率），________；②如果，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若關(guān)于的不等式組的整數(shù)解恰有4個(gè)，求的取值范圍；(3)求滿足的所有非負(fù)實(shí)數(shù)的值．27．（本題12分）勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，是用代數(shù)思想解決幾何問(wèn)題的最重要工具之一，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一．它不但因證明方法層出不窮吸引著人們，更因?yàn)閼?yīng)用廣泛而使人入迷．(1)證明勾股定理取4個(gè)與（圖1）全等的三角形，其中，把它們拼成邊長(zhǎng)為的正方形，其中四邊形是邊長(zhǎng)為c的正方形，如圖2，請(qǐng)你利用以下圖形驗(yàn)證勾股定理．

(2)應(yīng)用勾股定理

①應(yīng)用場(chǎng)景1：在數(shù)軸上畫(huà)出表示無(wú)理數(shù)的點(diǎn)．如圖3，在數(shù)軸上找出表示1的點(diǎn)D和表示4的點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作直線l垂直于，在l上取點(diǎn)B，使，以點(diǎn)D為圓心，為半徑作弧，則弧與數(shù)軸的交點(diǎn)C表示的數(shù)是______．②應(yīng)用場(chǎng)景2：解決實(shí)際問(wèn)題．如圖4，某公園有一秋千，秋千靜止時(shí)，踏板離地的垂直高度，將它往前推至C處時(shí)，水平距離，踏板離地的垂直高度，它的繩索始終拉直，求繩索的長(zhǎng)．

第四章實(shí)數(shù)（單元重點(diǎn)綜合測(cè)試）答案全解全析一、選擇題（每題3分，共24分）1．如果一個(gè)數(shù)的平方等于，那么這個(gè)數(shù)是（）A． B． C．3 D．【答案】A【分析】利用平方根的定義解題即可．【詳解】解：因?yàn)閿?shù)的平方等于，，∴這個(gè)數(shù)為，選故A．2．如圖，數(shù)軸上的無(wú)理數(shù)被擋住了，則的相反數(shù)是（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)a的位置可判斷a的相反數(shù)的位置，然后根據(jù)無(wú)理數(shù)的估算可得答案．【詳解】解：∵，∴．∵，，∴的相反數(shù)是．故選B．3．設(shè)為實(shí)數(shù)，且，則的值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)二次根式的非負(fù)性可求的值，再根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：，∵，則；，則；∴，∴，∴，故選：．4．按括號(hào)內(nèi)的要求用四舍五入法取近似數(shù)，其中錯(cuò)誤的是（）A．（精確到個(gè)位） B．（精確到）C．（精確到） D．（精確到）【答案】B【分析】根據(jù)四舍五入法求近似數(shù)的方法逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A、（精確到個(gè)位），此選項(xiàng)正確，不符合題意；B、（精確到），此選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；C、（精確到），此選項(xiàng)正確，不符合題意；D、（精確到），此選項(xiàng)正確，不符合題意，故選：B．5．64的立方根是（）A．4 B． C． D．【答案】A【分析】如果一個(gè)數(shù)的立方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的立方根或三次方根，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵，∴64的立方根是4，故選：A．6．估算的值（）A．在與之間 B．在與之間C．在與之間 D．在與之間【答案】B【分析】根據(jù)，得出的大小，繼而即可求解．【詳解】解：，，，故選：B．7．設(shè)表示最接近x的整數(shù)（，為整數(shù)），則（）A．132 B．146 C．164 D．176【答案】D【分析】先計(jì)算出，，，，，即可得出，，中有2個(gè)1，4個(gè)2，6個(gè)3，8個(gè)4，10個(gè)5，11個(gè)6，從而可得出答案．【詳解】解：，即，，則有2個(gè)1；，即，，，都是2，則有4個(gè)2；，同理，可得出有6個(gè)3；，同理，可得出有8個(gè)4；，同理，可得出有10個(gè)5；則剩余11個(gè)數(shù)全為6．故．故選：D．8．對(duì)實(shí)數(shù)，定義一種新運(yùn)算，規(guī)定：（其中為非零常數(shù)）；例如：；已知，給出下列結(jié)論：①；②若，則；③若，則；④有最小值，最小值為3；以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)新定義運(yùn)算法則，一元一次不等式的解法，平方根的定義判斷即可．【詳解】解：，，解得：，故①正確；若，，則，故②正確；，解得：，故③錯(cuò)誤；，當(dāng)時(shí)，有最小值，故④錯(cuò)誤．故選：B．填空題（每題3分，共30分）9．的算術(shù)平方根為_(kāi)______．【答案】【分析】先計(jì)算，在計(jì)算9的算術(shù)平方根即可得出答案．【詳解】，9的算術(shù)平方根為的算術(shù)平方根為．故答案為：．10．計(jì)算：________．【答案】2【分析】根據(jù)零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪化簡(jiǎn)即可．【詳解】，故答案為：．11．已知：，那么的值為_(kāi)_________．【答案】【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列式求出的值，然后代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：，，，，，解得：，，，故答案為：．12．已知：，，且，則的值為_(kāi)_____．【答案】1或9/9或1【分析】根據(jù)絕對(duì)值和算術(shù)平方根的性質(zhì)求出所有可能的值，根據(jù)，確定的值，進(jìn)而求的值即可．【詳解】解：∵，，∴，，∵，∴，即，∴當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，故答案為：1或9．13．若m的平方根是，則______．【答案】9【分析】根據(jù)平方根的定義解答即可．【詳解】解：因?yàn)閙的平方根是，所以；故答案為：9．14．已知一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根分別是和，則______．【答案】2【分析】根據(jù)一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)列出方程求解即可．【詳解】解：∵一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根分別是和，∴，解得，故答案為：2．15．觀察下列等式：，，，，，，…，則的末位數(shù)字是_________．【答案】【分析】根據(jù)含有乘方的有理數(shù)的運(yùn)算，確定尾數(shù)規(guī)律，由此即可求解．【詳解】解：∵，，，，∴的末位數(shù)和為，即尾數(shù)為，∵，∴的位數(shù)和為，即尾數(shù)為，故答案為：．16．比較大小______．（填“>”或“<”）【答案】>【分析】先用減去，再進(jìn)行整理，然后兩邊平方得出與0的大小關(guān)系，最后進(jìn)行移項(xiàng)，即可得出答案．【詳解】解：∵，又∵，∴，∴，故答案為：>．17．當(dāng)時(shí)，a，，，之間的大小關(guān)系是____（用“＞”連接）．【答案】【分析】根據(jù)a的取值范圍利用不等式的基本性質(zhì)判斷出，，進(jìn)而得出，即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵，∴，，∴，即，∴，即，故答案為：．18．對(duì)任意一個(gè)兩位數(shù)n，如果n滿足個(gè)位與十位上的數(shù)字互不相同，且都不為零，那么稱這個(gè)數(shù)為“相異數(shù)”，將一個(gè)“相異數(shù)”的十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字互換位置后，得到一個(gè)新兩位數(shù)：把所得的新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的和與11的商記為．例如．互換十位與個(gè)位上的數(shù)字得到32，所得的新兩位數(shù)與原兩位數(shù)的和為，，所以．若s，t都是“相異數(shù)”，其中，（，．x，y都是正整數(shù)），當(dāng)時(shí)，則的最大值為_(kāi)___．【答案】//【分析】先用含x的式子表示出，再用含y的式子表示出，然后根據(jù)x和y的取值求出最大值即可．【詳解】將s的十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字互換位置后的數(shù)記為，，，；將t的十位上的數(shù)字與個(gè)位上的數(shù)字互換位置后的數(shù)記為，，，，，，，，，又，都是正整數(shù)，最大為6時(shí)，最大，，故答案為：．三、解答題（一共9題，共86分）19．（本題8分）求下列各式中x的值：(1)；(2)．【答案】(1)(2)或【分析】（1）系數(shù)化為1，根據(jù)平方根的定義即可求解；（2）將看作整體，根據(jù)平方根的定義即可求解.【詳解】（1），，解得：；（2），，，解得：或.20．（本題8分）把下列各數(shù)填入相應(yīng)的集合里：①0.236，②，③，④，⑤0，⑥18，⑦（相鄰兩個(gè)5之間的8的個(gè)數(shù)逐次增加一個(gè)）．正數(shù)集合：{___________}；負(fù)數(shù)集合：{___________}；有理數(shù)集合：{___________}；無(wú)理數(shù)集合：{___________}．【答案】0.236，，18；，，（相鄰兩個(gè)5之間的8的個(gè)數(shù)逐次增加一個(gè)）；0.236，，，0，18；，（相鄰兩個(gè)5之間的8的個(gè)數(shù)逐次增加一個(gè)）【分析】根據(jù)正數(shù)是大于0的數(shù)，負(fù)數(shù)時(shí)小于0的數(shù)，整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，無(wú)限不循環(huán)小數(shù)為無(wú)理數(shù)，進(jìn)行判斷即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)題意得：正數(shù)集合：{0.236，，18}；負(fù)數(shù)集合：{，，（相鄰兩個(gè)5之間的8的個(gè)數(shù)逐次增加一個(gè)）}；有理數(shù)集合：{0.236，，，0，18}；無(wú)理數(shù)集合：{，（相鄰兩個(gè)5之間的8的個(gè)數(shù)逐次增加一個(gè)）}．21．（本題8分）已知的平方根為，的立方根為．(1)求，的值；(2)求的算術(shù)平方根．【答案】(1)，(2)5【分析】（1）根據(jù)平方根及立方根得出，，然后求解即可；（2）將（1）中結(jié)果代入，然后求算術(shù)平方根即可．【詳解】（1）解：∵的平方根是，的立方根為，∴，，∴，．（2）由（1）知，，∴，∵25的算術(shù)平方根為，∴的算術(shù)平方根是5．22．（本題10分）閱讀下面的文字，解答問(wèn)題：大家知道是無(wú)理數(shù)，而無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，因此的小數(shù)部分我們不可能全部地寫出來(lái)，于是小明用﹣1來(lái)表示的小數(shù)部分，你同意小明的表示方法嗎？事實(shí)上，小明的表示方法是有道理的，因?yàn)榈恼麛?shù)部分是1，將這個(gè)數(shù)減去其整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分．又例如：∵，即，∴的整數(shù)部分為2，小數(shù)部分為．請(qǐng)解答：(1)的整數(shù)部分是_____，小數(shù)部分是_____(2)如果的小數(shù)部分為a，的整數(shù)部分為b，求的值．【答案】(1)3，(2)4【分析】（1）先估算出的取值范圍，進(jìn)而可得出結(jié)論；（2）先求出，的值，再代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：，，的整數(shù)部分是3，小數(shù)部分是．故答案為：3，；（2），，；，，，．23．（本題8分）已知的平方根為，的立方根為，是的整數(shù)部分．求的算術(shù)平方根．【答案】【分析】首先根據(jù)平方根與立方根的概念可得、的值；接著估出的大小，可得的值；進(jìn)而可得，根據(jù)平方根的求法可得答案．【詳解】解：由題意，得，，，，，的整數(shù)部分，，的算術(shù)平方根是，即的算術(shù)平方根為．24．（本題10分）（1）如圖，作直角邊為1的等腰，則其面積；以為一條直角邊，1為另一條直角邊作，則其面積；以為一條直角邊，1為另一多直角邊作，則其面積，……則__________；（2）請(qǐng)用含有（是正整數(shù)）的等式表示，并求的值．

【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)題干規(guī)律即可求解；（2）將所有三角形的面積值代入化簡(jiǎn)即可；【詳解】（1）為正整數(shù)，，．故答案為：.（2）．25．（本題10分）（1）如圖，把兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形沿著對(duì)角線剪開(kāi)，所得的4個(gè)直角三角形拼成一個(gè)面積為2的大正方形，由此得到了一種能在數(shù)軸上畫(huà)出無(wú)理數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的方法．圖2中、兩點(diǎn)表示的數(shù)分別為_(kāi)_____，______；

（2）小麗想用一塊面積為的正方形紙片，沿著邊的方向裁出一塊面積為的長(zhǎng)方形紙片（如圖），使它的長(zhǎng)是寬的2倍．小麗能用這塊紙片裁出符合要求的紙片嗎？請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由．

【答案】（1）；（2）不能，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)圖1得出小正方形對(duì)角線長(zhǎng)即可；（2）設(shè)這個(gè)面積為的正方形紙片的邊長(zhǎng)為，面積為的長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)、寬分別為、，根據(jù)題意即可求得、的值，再進(jìn)行比較即可判定．【詳解】解：（1）設(shè)邊長(zhǎng)為的小正方形沿對(duì)角線長(zhǎng)為x，由圖1得：，∴對(duì)角線為，圖2中、兩點(diǎn)表示的數(shù)分別，故答案為：，（2）不能，說(shuō)明如下：設(shè)這個(gè)面積為的正方形紙片的邊長(zhǎng)為，面積為的長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)、寬分別為、．由題得，，．，．．∵∴小麗不能用這塊紙片裁出符合要求的紙片．26．（本題12分）深化理解：新定義：對(duì)非負(fù)實(shí)數(shù)“四舍五入”到個(gè)位的值記為，即：當(dāng)為非負(fù)整數(shù)時(shí)，如果，則；反之，當(dāng)為非負(fù)整數(shù)時(shí)，如果，則．例如：，，，，…試解決下列問(wèn)題：(1)填空：①________，________（為圓周率），________；②如果，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若關(guān)于的不等式組的整數(shù)解恰有4個(gè)，求的取值范圍；(3)求滿足的所有非負(fù)實(shí)數(shù)的值．【答案】(1)①7，3，4；②(2)；(3)，，，．【分析】（1）①利用對(duì)非負(fù)實(shí)數(shù)x“四舍五入”到個(gè)位的值記為，進(jìn)而得出相關(guān)的值；②利用對(duì)非負(fù)實(shí)數(shù)x“四舍五入”到個(gè)位的值記為，進(jìn)而得出x的取值范圍；（2）首先將看作一個(gè)字母，解不等式組進(jìn)而根據(jù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)得出a的取值范圍；（3）利用，為整數(shù)，設(shè)，k為整數(shù)，