中考數(shù)學數(shù)學平行四邊形試題含答案

中考數(shù)學數(shù)學平行四邊形試題含答案

一、選擇題

1.如圖，將5個全等的陰影小正方形擺放得到邊長為1的正方形ABCD,中間小正方形的

各邊的中點恰好為另外4個小正方形的一個頂點，小正方形的邊長為紇巨（。、b為正

b

整數(shù)），則a+6的值為（）

A.10B.11C.12D.13

2.如圖，正方形ABCD中，AB=4,E為CD上一動點，連接AE交BD于F,過F作

FH1.AE于F,過H作HG_LBD于G.則下列結(jié)論：①AF=FH；②NHAE=45。；③BD=

2FG；④△CEH的周長為8.其中正確的個數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

3.如圖所示，正方形ABCO中，E為BC邊上一點，連接4E，作4E的垂直平分線交

AS于G,交CD于F,若DF=2,BG=4,則AE的長為（）

4.如圖，在平行四邊形ABC。中，E、F是對角線AC上的兩點且AE=b,下列說

法中正確的是（）

①BE=DF；②BE//DF；③AB=DE；④四邊形E3ED為平行四邊形；

⑤SgDE=SMBE；⑥Ab—CE.

B

A.①⑥B.①②④⑥C.①②③④D.①②④⑤⑥

5.如圖，在平行四邊形ABCD中，AE平分/BAD,交BC于點E且AB=AE,延長AB與DE

的延長線相交于點F,連接AC、CF.下列結(jié)論：①AABC絲4EAD；②4ABE是等邊三角

形；③BF=AD；@SABEF—SAABC;⑤SACEF=S.、ABE;其中正確的有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

6.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點E是邊CD上一點，且BC=EC,CF_LBE交AB于

點F,P是EB延長線上一點，下列結(jié)論：①BE平分NCBF；②CF平分NDCB；③BC=FB；

?PF=PC.其中正確結(jié)論的個數(shù)為（）

DE

7.如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC,BD相交于點。，CE平分ZDCB交BD于點F,

且NABC=60°,AB=2BC,連接OE,下列結(jié)論：①NACD=30°；

②SYABCD=ACBC；③OE：AC=1:4?其中正確的有（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

8.如圖，長方形ABCD中，點E是邊CD的中點，將4ADE沿AE折疊得到aAFE,且點F

AD

在長方形ABCD內(nèi)，將AF延長交邊BC于點G,若BG=3CG,則——=（）

A.-B.1C.好D.—

422

9.如圖，在AABC中，AB=3,AC=4,BC=5,P為邊BC上一動點，PE_LAB于E,PFJ_AC于

F,M為EF中點，則AM的最小值為（）

10.如圖，在菱形ABC。中，AB=5cm,ZM>C=120。，點E、尸同時由A、C兩點

出發(fā)，分別沿AB、CB方向向點5勻速移動（到點8為止），點E的速度為lan/s,點

產(chǎn)的速度為2cm/s,經(jīng)過f秒△￡>七萬為等邊三角形，則f的值為（）

二、填空題

11.在平行四邊形ABCD中，BC邊上的高為4,AB=5,AC=2下，則平行四邊形ABCD

的周長等于.

12.如圖，NMAN=90。，點C在邊AM上，AC=4,點B為邊AN上一動點，連接

BC,AA-BC與AABC關于BC所在直線對稱，點D,E分別為AC,BC的中點，連接DE并延

長交AB所在直線于點F,連接AE當^NEF為直角三角形時，AB的長為.

13.在平行四邊形ABCD中，44=30。,4。=2百,8。=2,則平行四邊形ABCD的面積

等于.

14.如圖，正方形ABCD的對角線相交于點。，對角線長為1cm,過點。任作一條直線分

別交AD,BC于E,F,則陰影部分的面積是.

15.已知：點B是線段AC上一點，分別以AB,BC為邊在AC的同側(cè)作等邊△ABD和等

邊BCE,點M,N分別是AD,CE的中點，連接MN.若AC=6,設BC=2,則線段MN的

長是.

16.如圖，正方形ABCD中，ZDAC的平分線交DC于點E,若P,Q分別是AD和AE上

的動點，則DQ+PQ能取得最小值4時，此正方形的邊長為.

17.如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=2AB.F是AD的中點，作CE_LAB,垂足E在線段

AB±,連接EF、CF,則下列結(jié)論：⑴NDCF+JND=90°；(2)NAEF+NECF=90°；

⑶SBEC=2ScEF；⑷若NB=80。，則/AEF=50。.其中一定成立的是（把所有正確結(jié)

論的字號都填在橫線上）.

18.如圖，RtAABE中,/8=90°,45=85，將&$￡繞點4逆時針旋轉(zhuǎn)45°，得到

過。作OC_L8￡交防的延長線于點C,連接8"并延長交OC于點F，連接

DE交BF于點0.下列結(jié)論：①DE平分NHDC；②DO=OE；③CD=HF；

@BC-CF=2CE；⑤”是8尸的中點，其中正確的是

19.已知：如圖，在ABC中，ADVBC,垂足為點。，BELAC，垂足為點E,

M為A3邊的中點，連結(jié)ME、MD、ED，設43=4,〃4C=30。則

EM=；EDM的面積為，

20.如圖，長方形ABC。中，AO=26,A6=12，點。是BC的中點，點P在AD邊

上運動，當V8PQ是以QP為腰的等腰三角形時，AP的長為，

三、解答題

21.如圖，在矩形A8C。中，點E是AD上的一點（不與點A，。重合），AABE沿

折疊，得8石尸，點A的對稱點為點尸.

（1）當A6=AD時，點尸會落在CE上嗎？請說明理由.

AD

（2）設一=加（0（根<1）,且點口恰好落在CE上.

AD

①求證：CF=DE.

AP

②若一=〃，用等式表示加，〃的關系.

AD

22.如圖，在菱形ABCD中，AB=2cm,NADC=120。.動點E、F分別從點B、D同時出

發(fā)，都以0.5cm/s的速度向點A、C運動，連接AF、CE,分別取AF、CE的中點G、H.設

運動的時間為ts（0<t<4）.

（1）求證：AFIICE；

/7

（2）當t為何值時，△ADF的面積為'二cm?；

2

23.已知，在△ABC中，N8AC=90°,/ABC=45°,。為直線BC上一動點（不與點8,C

重合），以AD為邊作正方形ADEF,連接CF.

段之間的數(shù)量關系為;

(2)如圖2,當點D在線段BC的延長線上時，其他條件不變，請猜想BC與CF的位置關

系8C,CD,CF三條線段之間的數(shù)量關系并證明；

(3)如圖3,當點D在線段BC的反向延長線上時，點A,F分別在直線8c的兩側(cè)，其他

13

條件不變.若正方形ADEF的對角線AE,DF相交于點O,0C=—,DB=5,則△A8C的面積

2

為.(直接寫出答案)

24.已知正方形ABCD.

(1)點P為正方形ABCD外一點，且點P在AB的左側(cè)，ZAPB=45°.

①如圖(1),若點P在DA的延長線上時，求證：四邊形APBC為平行四邊形.

②如圖(2),若點P在直線AD和BC之間，以AP,AD為鄰邊作。APQZ),連結(jié)AQ.求

ZPAQ的度數(shù).

(2)如圖(3),點F在正方形ABCD內(nèi)且滿足BC=CF,連接BF并延長交AD邊于點E,過

Ap1

點E作EHJ_AD交CF于點H,若EH=3,FH=1,當。=彳時.請直接寫出HC的長

Cr3

25.如圖平行四邊形A8CD,E,F分別是AD,BC上的點，且AE=CF,EF與AC交于點。.

(1)如圖①.求證：0E=0F-,

(2)如圖②，將平行四邊形ABCD(紙片沿直線EF折疊，點A落在4處，點B落在點81

處，設FB交CD于點G.4B分別交CD,0E于點H,P.請在折疊后的圖形中找一條線

段，使它與EP相等，并加以證明；

CF

(3)如圖③，若AAB。是等邊三角形，A8=4,點F在8c邊上，且BF=4.則——=

0F

(直接填結(jié)果).

圖①

26.如圖.正方形ABCD的邊長為4,點E從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿射

線AD運動，運動時間為t秒(t>0),以AE為一條邊，在正方形ABCD左側(cè)作正方形

AEFG,連接BF.

(1)當t=l時，求BF的長度；

(2)在點E運動的過程中，求D、F兩點之間距離的最小值；

(3)連接AF、DF,當aADF是等腰三角形時，求t的值.

27.類比等腰三角形的定義，我們定義：有三條邊相等的凸四邊形叫做“準等邊四邊

形”.

(1)已知：如圖1,在“準等邊四邊形”A8CD中，BC#AB,BD±CD,AB=3,BD=4,求BC

的長；

(2)在探究性質(zhì)時，小明發(fā)現(xiàn)一個結(jié)論：對角線互相垂直的“準等邊四邊形”是菱形.請

你判斷此結(jié)論是否正確，若正確，請說明理由；若不正確，請舉出反例；

(3)如圖2,在△A8c中，AB=AC=應,ZB4C=90°.在A8的垂直平分線上是否存在點

P,使得以A，B,C,P為頂點的四邊形為“準等邊四邊形”.若存在，請求出該“準等邊

四邊形”的面積；若不存在，請說明理由.

D

A

28.探究：如圖①，aABC是等邊三角形，在邊A8、8c的延長線上截取8/W=CM連結(jié)

MC、AN,延長MC交AN于點P.

（1）求證：△ACNgACBM；

（2）NCPN=。；（給出求解過程）

（3）應用：將圖①的△ABC分別改為正方形ABCD和正五邊形ABCDE,如圖②、③，在邊

AB.BC的延長線上截取B/W=CN,連結(jié)MC、DN,延長MC交。N于點P,則圖②中

ZCPN=。；（直接寫出答案）

（4）圖③中/CPN=。；（直接寫出答案）

（5）拓展：若將圖①的△ABC改為正"邊形，其它條件不變，則/CPN=。（用含"

的代數(shù)式表示，直接寫出答案）.

圖①圖②圖③

29.如圖，在四邊形。鉆C是邊長為4的正方形點P為。4邊上任意一點（與點0、A不

重合），連接CP,過點P作尸M_LCP,且PM=CP,過點M作交80

于點N,聯(lián)結(jié)80、CN,設0P=x.

（1）當x=l時，點〃的坐標為（,）

（2）設S四邊形內(nèi)皿二丁，求出）'與X的函數(shù)關系式，寫出函數(shù)的自變量的取值范圍―

（3）在x軸正半軸上存在點Q,使得QMN是等腰三角形，請直接寫出不少于4個符合

條件的點Q的坐標（用x的式子表示）

30.如圖，在矩形ABCD中，AB=16,BC=18,點E在邊AB上，點F是邊BC上不與點

B、C重合的一個動點，把AEBF沿EF折疊，點B落在點e處.

⑴若AE=O時，且點&恰好落在AD邊上，請直接寫出DB，的長；

（II）若AE=3時，且ACDB,是以DB，為腰的等腰三角形，試求DB，的長；

（川）若AE=8時，且點B，落在矩形內(nèi)部（不含邊長），試直接寫出DB，的取值范圍.

【參考答案】***試卷處理標記，請不要刪除

一、選擇題

1.B

解析：B

【解析】

【分析】

通過小正方形的邊長表示出大正方形的邊長，再利用a、b為正整數(shù)的條件分析求解.

【詳解】

解：由題意可知，4。=2*竺巫+正X紇，1=1

b2b

(4a-2)-(4-a)V2=2/?

：a、b都是正整數(shù)

4—<7=0,4a-2=2b

a=4,b=7

a+b=l1

故選：B.

【點睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)以及有理數(shù)、無理數(shù)的性質(zhì)，表示出大正方形的邊長利用有理

數(shù)、無理數(shù)的性質(zhì)求出a、b是關鍵.

2.D

解析：D

【分析】

①作輔助線，延長HF交AD于點L,連接CF,通過證明ZkADF也Z\CDF,可得：AF=CF,故

需證明FC=FH,可證：AF=FH；

②由FH±AE,AF=FH,可得：NHAE=45°；

③作輔助線，連接AC交BD于點0,證BD=2FG,只需證OA=GF即可，根據(jù)

△AOF^AFGH,可證OA=GF,故可證BD=2FG；

④作輔助線，延長AD至點M,使AD=DM,過點C作CI〃HL,則IL=HC,可證AL=HE,再

根據(jù)AMEC絲△MIC,可證：CE=IM,故ACEH的周長為邊AM的長.

【詳解】

VBD為正方形ABCD的對角線,

/ADB=NCDF=45°.

VAD=CD,DF=DF,

.".△ADF^ACDF.

，F(xiàn)C=AF,ZECF=ZDAF.

VZALH+ZLAF=90°,

；.NLHC+NDAF=90°.

VZECF=ZDAF,

，/FHC=NFCH,

AFH=FC.

；.FH=AF.

②：FHJ_AE,FH=AF,

AZHAE=45".

③連接AC交BD于點。，可知：BD=20A,

ZAFO+ZGFH=ZGHF+ZGFH,

/AFO=/GHF.

VAF=HF,ZAOF=ZFGH=90°,

.".△AOF^AFGH.

AOA=GF.

VBD=2OA,

ABD=2FG.

④連接EM,延長AD至點M,使AD=DM,過點C作a〃HL,則：LI=HC,

VHL1AE,CI〃HL,

AAEICI,

AZDIC+ZEAD=90°,

ZEAD+ZAED=90",

.,.ZDIC=ZAED,

VED±AM,AD=DM,

EA=EM,

NAED=NMED,

AZDIC=ZDEM,

.\ZCIM=ZCEM,

VCM=MC,ZECM=ZCMI=45°,

/.△MEC^ACIM,可得：CE=IM,

同理，可得：AL=HE,

HE+HC+EC=AL+LI+IM=AM=8.

.?.△CEH的周長為8,為定值.

故①②③④結(jié)論都正確.

故選D.

【點睛】

解答本題要充分利用正方形的特殊性質(zhì)，在解題過程中要多次利用三角形全等.

3.B

解析：B

【分析】

如圖，連接GE,作GH_LCD于H.則四邊形AGHD是矩形，設AG=DH=x,則FH=x-2.首先

證明AABEgZXGHF,推出BE=FH=x-2,在RMBGE中，根據(jù)GE2=BG2+BE2,構(gòu)建方程求出X

即可解決問題.

【詳解】

如圖，連接GE,作GHJ_CD于H.則四邊形AGHD是矩形，設AG=DH=x,則FH=x-2.

：GF垂直平分AE,四邊形ABCD是正方形，

ZABE=ZGHF=90°AB=AD=GH,AG=GE=X,

?.,ZBAE+ZAGF=90",NAGF+NFGH=90°,

AZBAE=ZFGH,

.".△ABE^AGHF,

?\BE=FH=x-2,

在RtABGE中，VGE2=BG2+BE2,

.*.x2=42+(x-2)2,

，x=5,

；.AB=9,BE=3,

在RtAABE中,AE=S]AB2+BE2=792+32=3M，

故選:B.

【點睛】

此題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理，解題的關鍵是學會添加常

用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題.

4.D

解析：D

【分析】

先根據(jù)全等三角形進行證明，即可判斷①和②，然后作輔助線，推出OD=OF,得出四邊形

BEDF是平行四邊形，求出BM=DM即可判斷④和⑤，最后根據(jù)AE=CF,即可判斷⑥.

【詳解】

①；四邊形ABCD是平行四邊形，

.IAB〃DC,AB=DC,

，ZBAC=ZADC,

在aABE和ADFC中

AE=FC

<ABAC=AADC

AB=DC

.".△ABE^ADFC(SAS),

；.BE=DF,

故①正確.

②?:△ABE之△DFC,

ZAEB=ZDFC,

ZBEF=ZDFE,

.".BEZ/DF,

故②正確.

③根據(jù)已知的條件不能推AB=DE,故③錯誤.

④連接BD交AC于0,過D作DM_LAC于M,過B作BN_LAC于N,

?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

.".D0=B0,0A=0C,

VAE=CF,

；.0E=0F,

四邊形BEDF是平行四邊形，

故④正確.

(§)VBN±AC,DM±AC,

AZBN0=ZDM0=90°,

在△BNO和△DMO中

ZBN0=ZDM0

■ZB0N=ZD0M

OB=OD

.,.△BNO也△DMO(AAS)

.?.BN=DM

-xAExDM,S=—xAExBN

△ADE2AAABRE2

?s=s

??0AADE°AABE，

故⑤正確.

@VAE=CF,

，AE+EF=CF+EF,

；.AF=CE,

故⑥正確.

故答案是D.

【點睛】

本題主要考查了全等三角形的判定和平行四邊形的判定以及性質(zhì)，熟練掌握相關的性質(zhì)是

解題的關鍵.

5.B

解析：B

【分析】

根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AD〃BC,AD=BC,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NBEA=/EAD,根據(jù)

等腰三角形的性質(zhì)可得/ABE=NBEA,即可證明/EAD=NABE,利用SAS可證明

△ABC^AEAD；可得①正確；由角平分線的定義可得NBAE=NEAD,即可證明

ZABE=ZBEA=ZBAE,可得AB=BE=AE,得出②正確；由SAAEC=SADEC,SAABE=SACEF得出

⑤正確；題中③和④不正確.綜上即可得答案.

【詳解】

?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

；.AD〃BC,AD=BC,

.".ZBEA=ZEAD,

VAB=AE,

AZABE=ZBEA,

NEAD=NABE,

AB=AE

在AABC和AEAD中，<ZABE=ZEAD,

BC=AD

.".△ABC^AEAD（SAS）;故①正確；

VAE平分NBAD,

/BAE=NDAE,

AZABE=ZBEA=ZBAE,

/BAE=NBEA,

；.AB=BE=AE,

.??△ABE是等邊三角形；②正確；

AZABE=ZEAD=60",

VAFCD與4ABC等底（AB=CD）等高（AB與CD間的距離相等），

?'?SAFCD-SAABC>

VAAEC與4DEC同底等高，

SAAEC=SADEC,

SAABE—SACEF;⑤正確.

若AD=BF,則BF=BC,題中未限定這一條件，

.?.③不一定正確；

如圖，過點E作EH_LAB于H,過點A作AG_LBC于G,

VAABE是等邊三角形，

；.AG=EH,

若SABEF=SAABC,則BF=BC,題中未限定這一條件,

.?.④不一定正確；

綜上所述：正確的有①②⑤.

故選：B.

【點睛】

本題考查平行四邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練

掌握等底、等高的三角形面積相等的性質(zhì)是解題關鍵.

6.D

解析:D

【分析】

分別利用平行線的性質(zhì)結(jié)合線段垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)分別判斷得出答

案.

【詳解】

證明：如圖：

：BC=EC,

二/CEB=/CBE,

?.?四邊形ABCD是平行四邊形,

；.DC〃AB,

AZCEB=ZEBF,

AZCBE=ZEBF,

...①BE平分NCBF,正確；

：BC=EC,CF1BE,

；.NECF=NBCF,

...②CF平分NDCB,正確；

；DC〃AB,

NDCF=NCFB,

：/ECF=NBCF,

；./CFB=/BCF,

；.BF=BC,

...③正確；

VFB=BC,CF±BE,

AB點一定在FC的垂直平分線上，即PB垂直平分FC,

；.PF=PC,故④正確.

故選：D.

【點睛】

此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知

識，正確應用等腰三角形的性質(zhì)是解題關鍵.

7.C

解析：C

【分析】

由四邊形ABCD是平行四邊形，得至［|NABC=NADC=60°,ZBAD=120°,根據(jù)角平分

線的定義得到NDCE=NBCE=60°推出4CBE是等邊三角形，證得NACB=90°,求出

NACD=NCAB=30°,故①正確；由ACLBC,得到S°ABCD=AC?BC,故②正確，根據(jù)直

角三角形的性質(zhì)得到AC=6BC，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到OE=，BC,于是得

2

至iJOE：AC=73：6；故③錯誤；

【詳解】

解：???四邊形ABCD是平行四邊形，

:.ZABC=ZADC=(^°,/BCD=120。

■:CE平分/BCD交AB于點、E,

：.ADCE=ZBCE=(^,

△CBE是等邊三角形，

BE-BC-CE.

?/AB=2BC,

AE=BE=CE,

，ZACB=90°,

ZAC￡>=NC4B=30°,故①正確；

ACVBC,

：.SABCD=AC-BC,故②正確；

在Rtz^ACB中，ZACB=90°,NC4B=30°,

AC=MBC.

40=0C,AE=BE，

AOE=-BC,

2

；.OE：AC=LBC：CBC=6：6,故③錯誤.

2

故選：C.

【點睛】

此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、三角形中位線的性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì).注意

證得aBCE是等邊三角形，0E是aABC的中位線是關鍵.

8.B

解析：B

【解析】

【分析】

根據(jù)中點定義得出DE=CE,再根據(jù)折疊的性質(zhì)得出DE=EF,AF=AD,NAFE=/D=90。，從而

得出CE=EF,連接EG,利用"HL"證明4ECG絲AEFG,根據(jù)全等三角形性質(zhì)得出CG=FG,設

CG=",則BC=4”,根據(jù)長方形性質(zhì)得出AD=BC=4",再求出AF=4”,最后求出

AG=AF+FG=5",最后利用勾股定理求出AB,從而進一步得出答案即可.

【詳解】

C

G

如圖，連接EG,

?.?點E是CD中點，

；.DE=EC,

根據(jù)折疊性質(zhì)可得：AD=AF,DE=EF,ND=NAFE=90°,

；.CE=EF,

在RtAECG與RtAEFG中，

VEG=EG,EC=EF,

ARtAECG^RtAEFG(HL),

；.CG=FG,

設CG=a,

BG=3CG=3a,

：.BC=4a,

AF=AD=BC=4a.

；.AG=5a.

在RtAABG中，

?>-AB=\lAG2-BG2=4a，

絲=1,

AB

故選B.

【點睛】

本題主要考查了長方形與勾股定理及全等三角形判定和性質(zhì)的綜合運用，熟練掌握相關概

念是解題關鍵，

9.C

解析：C

【分析】

首先證明四邊形AEPF為矩形，可得AM=；AP,最后利用垂線段最短確定AP的位置，利

用面積相等求出AP的長，即可得AM.

【詳解】

在AABC中,因為AB2+AC2=BC2,

所以AABC為直角三角形，ZA=90°,

又因為PEJ_AB,PF±AC,

故四邊形AEPF為矩形，

因為M為EF中點，

所以M也是AP中點，即AM=^AP,

2

故當AP_LBC時，AP有最小值，此時AM最小，

1112

由S=-XABXAC=—XBCXAP，可得AP=—，

ABC225

16..

AM=—AP=-=1.2

25

故本題正確答案為C.

【點睛】

本題考查了矩形的判定和性質(zhì),確定出AP1BC時AM最小是解題關鍵.

10.D

解析：D

【分析】

連接BD,證出4ADE會△BDF,得到AE=BF,再利用AE=t,CF=2t,則BF=BLCF=512t求

出時間t的值.

【詳解】

解：連接BD,

D

?.,四邊形ABC。是菱形，NADC=120°,

：.AB=AD,ZADB=-ZADC=60a,

2

：./\ABD是等邊三角形，

：.AD=BD,

又「△DEF是等邊三角形，

：.NEDF=NDEF=60°,

又,.,NADB=60°,

，NADE=NBDF,

'AD=BD

在aADE和△BDF中，＜NA=Z-DBC

ZADE=NBDF

：./\ADE^/\BDF(ASA),

：.AE=BF,

'：AE=t,CF=2t,

：.BF^BC-CF^5-2t,

r.t=5-2t

?.?I/-，

3

故選：D.

【點睛】

本題考查全等三角形，等邊三角形，菱形等知識，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，等

邊三角形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)為解題關鍵.

二、填空題

11.12或20

【分析】

根據(jù)題意分別畫出圖形，BC邊上的高在平行四邊形的內(nèi)部和外部，進而利用勾股定理求出

即可.

【詳解】

解：情況一：當BC邊上的高在平行四邊形的內(nèi)部時，如圖1所示：

圖1

在平行四邊形ABCD中，BC邊上的高為4,AB=5,AC=275.

在R3ACE中，由勾股定理可知：CE7AC?-的=J(26)2_42=2，

在R3ABE中，由勾股定理可知：BE=JAB?-AE?=后-4?=3,

；.BC=BE+CE=3+2=5,

此時平行四邊形ABCD的周長等于2X(AB+BC)=2x(5+5)=20：

情況二：當BC邊上的高在平行四邊形的外部時，如圖2所示：

在平行四邊形ABCD中，BC邊上的高為AE=4,AB=5,AC=2逐

在RtAACE中，由勾股定理可知：CE=VAC2-AE2=7(275)2-42=2，

在ABE中，由勾股定理可知：BE=JAB?-AE?=后-42=3,

；.BC=BE-CE=3-2=1,

平行四邊形ABCD的周長為2X(AB+BC)=2x(5+l)=12,

綜上所述，平行四邊形ABCD的周長等于12或20.

故答案為：12或20.

【點睛】

此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及勾股定理等知識，分高在平行四邊形內(nèi)部還是外部

討論是解題關鍵.

12.4百或4

【解析】

分析：當AA，EF為直角三角形時，存在兩種情況：

①當NA，EF=90。時，如圖1,根據(jù)對稱的性質(zhì)和平行線可得：A'C=A'E=4,根據(jù)直角三角形斜

邊中線的性質(zhì)得：BC=2A，B=8,最后利用勾股定理可得AB的長；

②當NA'FE=90°時，如圖2,證明AABC是等腰直角三角形，可得AB=AC=4.

詳解：當AZEF為直角三角形時，存在兩種情況：

①當NA'EF=90°時，如圖1,

AA-BC與AABC關于BC所在直線對稱,

，A'C=AC=4,ZACB=ZA'CB,

?.?點D,E分別為AC,BC的中點，

；.D、E是AABC的中位線，

；.DE〃AB,

NCDE=NMAN=90",

ZCDE=ZA'EF,

...AC〃A'E,

ZACB=ZA'EC,

AZA'CB=ZA'EC,

.,.A'C=A'E=4,

RtAA'CB中，是斜邊BC的中點，

，BC=2A'E=8,

由勾股定理得：AB2=BC2-AC2,

.-.AB=T87^47=4>/3；

ZADF=ZA=ZDFB=90°,

/ABF=90°,

AA-BC與AABC關于BC所在直線對稱,

.,.ZABC=ZCBA'=45'',

...△ABC是等腰直角三角形，

；.AB=AC=4；.

綜上所述，AB的長為或4；

故答案為4月或4.

點睛：本題考查了三角形的中位線定理、勾股定理、軸對稱的性質(zhì)、等腰直角三角形的判

定、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，并利用分類討論的思想解決問題.

13.4G或20

【分析】

分情況討論作出圖形，通過解直角三角形得到平行四邊形的底和高的長度，根據(jù)平行四邊

形的面積公式即可得到結(jié)論.

【詳解】

解：過。作。于E,

在Rt/XADE中,ZA=30°,AD=2。

R

:.DE=-AD=y/3,AE=—AD=3,

22

在Rt△BOE中,BD=2,

BE=BUr-DE?=&-（我2=i,

；.AB=4，

二平行四邊形ABCD的面積=A8DE=4x6=46，

如圖2,

AB=2,

???平行四邊形ABCD的面積=ABDE=2X6=26

圖3

在RtZXABE中，設AE=x,則OE=2百-x，

ZA=30°,BE-尤，

3

在RtZXBDE中，BD=2,

：.22=(^yX)2+(2^-X)2,

X——y[?>>X-2V3(不合題意舍去)，

；.BE=1,

,平行四邊形ABCD的面積=A。BE=lx2石=26,

當A￡>_LB￡>時，平行四邊形ABC。的面積=A￡>8。=4>行，

故答案為：4石或2百.

【點睛】

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行四邊形的面積公式的運用、30度角的直角三角形的性

質(zhì)，根據(jù)題意作出圖形是解題的關鍵.

12

14.-cm"

8

【分析】

根據(jù)正方形的性質(zhì)可以證明△AEOZCF。，就可以得出SAAEO=SACF。，就可以求出AAOD面積

等于正方形面積的,，根據(jù)正方形的面積就可以求出結(jié)論.

【詳解】

解：如圖:

?.?正方形ABCD的對角線相交于點。，

AAAEO與ACFO關于0點成中心對稱,

/.△AEO^CFO,

???對角線長為1cm,

**?S正方形ABCD=—xlx1=—cm2,

22

2

.*.SAOD=—cm,

A8

.??陰影部分的面積為[cm?.

故答案為：-cm2.

8

【點睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用正方形的面積及三角形

的面積公式的運用，在解答時證明△AEO&CF。是關鍵.

15.721

【分析】

如圖（見解析），先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)可得

ME//AB,ME=AB=4,再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得NFEM=NC=60°,然后利用直角

三角形的性質(zhì)、勾股定理可得EF=2,A/R=26,從而可得/W=3,最后在RrFMN

中，利用勾股定理即可得.

【詳解】

如圖，連接ME,過點M作MELCE,交CE延長線于點F,

和3CE都是等邊三角形，BC=2,

:.ZA=ZCBE=^C=6Q°,BE=CE=BC=2,AD=AB,

：.AD//BE,

4C=6,

AD=AB=6—2=4,

點M,N分別是AD,CE的中點，

.-.AM=-AD=2,EN=-CE=1,

22

:.AM=BE,

二四邊形ABEM是平行四邊形，

:.ME〃AB,ME=AB=4,

NF￡M=NC=60。，

在Rt/XEFM中，NEMF=90°-60°=30°,

：.EF=-ME=2,MF=y/ME2-EF2=26,

2

:.FN=EN+EF=1+2=3,

則在HFMN中,MN=[FM+MF?=《3。+（2后=后，

故答案為：V21.

D

【點睛】

本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)

等知識點，通過作輔助線，構(gòu)造直角三角形和平行四邊形是解題關鍵.

16.472

【分析】

作P點關于線段AE的對稱點尸，，根據(jù)軸對稱將OQ+PQ轉(zhuǎn)換成0P',然后當

OP_LAC的時候OP是最小的，得到。P'長，最后求出正方形邊長DC.

【詳解】

?；AE是ND4c的角平分線，

???P點關于線段AE的對稱點一定在線段AC上，記為P'

由軸對稱可以得到PQ=P'Q,

DQ+PQ=DQ+P'Q=DP',

如圖，當。P'_LAC的時候。P是最小的，也就是。Q+PQ取最小值4,

￡>P=4,

由正方形的性質(zhì)P'是AC的中點，且￡)P'=P'C,

在向Z5CP中，DC=dDp2+PC2=代+甲=后=4日

故答案是：472?

APD

【點睛】

本題考查軸對稱的最短路徑問題，解題的關鍵是能夠分析出QQ+PQ取最小值的狀態(tài)，

并將它轉(zhuǎn)換成DP'去求解.

17.⑴⑵⑷

【分析】

由平行四邊形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得出⑴正確；

由ASA證明△AEF@Z\DMF,得出EF=MF,ZAEF=ZM,由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得

出CF=1EM=EF,由等腰三角形的性質(zhì)得出/FEC=/ECF,得出(2)正確;

2

證出SAEFC=SACFM,由MOBE,得出SABEC<2SAEFCI得出⑶錯誤；

由平行線的性質(zhì)和互余兩角的關系得出⑷正確；即可得出結(jié)論.

【詳解】

(1)；F是AD的中點,

；.AF=FD,

:在。ABCD中，AD=2AB,

；.AF=FD=CD=AB,

.\ZDFC=ZDCF,

：AD〃BC,

ZDFC=ZFCB,ZBCD+ZD=180°,

AZDCF=ZBCF,

1

，/DCF=-ZBCD,

2

.".ZDCF+-ZD=90°,故(1)正確；

2

?.?四邊形ABCD是平行四邊形,

；.AB〃CD,

NA=NMDF,

；F為AD中點，

AAF=FD,

在4AEF和△DMF中，

-ZA=ZFDM

<AF=DF,

ZAFE=ZDFM

.,.△AEF^ADMF(ASA),

，EF=MF,ZAEF=ZM,

VCE±AB,

AZAEC=90°,

AZAEC=ZECD=90°,

VFM=EF,

1

.\CF=-EM=EF,

2

AZFEC=ZECF,

ZAEF+ZECF=ZAEF+ZFEC=ZAEC=90",故⑵正確；

(3)VEF=FM,

SAEFC=S&CFM,

VMC>BE,

*L?SABEC<2SAEFC,故⑶錯誤；

(4)VZB=80",

.".ZBCE=90o-800=10,,,

：AB〃CD,

AZBCD=1800-80o=100°,

1

.?.NBCF=-NBCD=50°,

2

，/FEC=NECF=50°-10°=40°,

AZAEF=90°-40°=50°,故⑷正確.

故答案為：⑴⑵⑷.

【點睛】

本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形的判定與性

質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)等知識；本題綜合性強，有一定難度，證明

△AEF會△DMF是解題關鍵.

18.①②④⑤

【分析】

根據(jù)NB=90。，AB=BE,aABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45。，得到AAHD,可得△ABEWZiAHD,并且

△ABE和AAHD都是等腰直角三角形，可證AD〃BC,根據(jù)DC_LBC,可得NHDE=NCDE,根

據(jù)三角形的內(nèi)角和可得NHDE=/CDE,即DE平分/HDC,所以①正確；

利用NDAB=NABC=NBCD=90。,得到四邊形ABCD是矩形,有NADC=90。,ZHDC=45°,由

①有DE平分/HDC,得/HDO=22.5°,可得NAHB=67.5°,ZDHO=22.5°,可證OD=OH,

利用AE=AD易證/OHE=NHEO=67.5°,則有OE=OH,OD=OE,所以②正確；

利用AAS證明ADHE三ADCE,貝I」有DH=DC,NHDE=NCDE=22.5°,易的/DHF=22.5°,

NDFH=112.5。，則ADHF不是直角三角形，并DHwHF,即有：CDxHF,所以③錯誤；

根據(jù)4ABE是等腰直角三角形，JHLJE,：J是BC的中點，H是BF的中點，得到2JH=CF,

2JC=BC,JC=JE+CE,易證BC-CF=2CE,所以④正確；

過H作HUBC于J,并延長HJ交AD于點I,得IUAD,I是AD的中點，J是BC的中點，

H是BF的中點，所以⑤正確；

【詳解】

?；RtAABE中，NB=90°,AB=BE,

AZBAE=ZBEA=45°,

又?將AABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°,得到AAHD,

.,.△ABE=AAHD,并且AABE和ZkAHD都是等腰直角三角形，

NEAD=45",AE=AD,ZAHD=90°,

AZADE=ZAED,

AZBAD=ZBAE+ZEAD=450+45°=90°,

；.AD〃BC,

/.ZADE=ZDEC,

AZAED=ZDEC,

XVDC1BC,

NDCE=NDHE=90°

由三角形的內(nèi)角和可得NHDE=/CDE,

即：DE平分NHDC,所以①正確；

VZDAB=ZABC=ZBCD=90°,

四邊形ABCD是矩形，

AZADC=90°,

；./HDC=45°,

由①有DE平分NHDC,

AZHDO=—ZHDC=-X45°=22.5Q,

22

：/BAE=45°,AB=AH,

AZOHE=ZAHB=g(180--ZBAE)=g乂(180。-45。)=67.5。，

ZDHO=ZDHE-ZFHE=ZDHE-ZAHB=90°-67.50=22.5°,

/.OD=OH,

在AAED中，AE=AD,

，ZAED=1(180°-ZEAD)=；x(180o-45°)=67.5°,

AZOHE=ZHEO=67.5°,

.*.OE=OH,

，OD=OE,所以②正確；

在ADHE和ADCE中，

ZDHE=NDCE

,NHDE=ZCDE,

DE=DE

.\ADHE=ADCE(AAS),

；.DH=DC,NHDE=NCDE」X45°=22.5",

2

VOD=OH,

；.NDHF=22.5°,

AZDFH=1800-ZHDF-ZDHF=1800-45<>-22.50=112.50,

.?.△DHF不是直角三角形，并DHJHF,

即有：CDHHF,所以③不正確：

如圖，過H作HJ_LBC于J,并延長HJ交AD于點I,

???△ABE是等腰直角三角形，JHLE,

.,.JH=JE,

又是BC的中點，H是BF的中點，

；.2JH=CF,2JC=BC,JC=JE+CE,

，2JC=2JE+2CE=2JH+2CE=CF+2CE=BC,

即有:BC-CF=2CE,所以④正確；

VAD//BC,

AIJ1AD,

又???△AHD是等腰直角三角形，

二1是AD的中點，

?.?四邊形ABCD是矩形,HJ1BC,

.?.J是BC的中點，

，H是BF的中點，所以⑤正確；

綜上所述，正確的有①②④⑤，

故答案為：①②④⑤.

【點睛】

本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)以及等

腰直角三角形的判定與性質(zhì)；證明三角形全等和等腰直角三角形是解決問題的關鍵.

19.2百

【分析】

根據(jù)EM是用ZX/LBE斜邊上的中線，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可

求出EM的長；根據(jù)已知條件推導出OWE是等邊三角形，且邊長為2,進一步計算即

可得解.

【詳解】

解：VAD1BC,〃為A3邊的中點，A」B=4

...在RtAABO中，===2

22

同理，在HrAABE中，EMAM=-AB=-x4^2

22

：.ZMDA=ZMAD，ZMEA=ZMAE

,/ZBME=ZMEA+ZMAE=2ZMAE，ZBMD=AMDA+ZMAD=2ZMAD

：.ZDME=ZBME-ZBMD

^2ZMAE-2ZMAD

=2(NMAE-NMAD)

=2Ztt4c

=60°

DM=EM

OME是等邊三角形，且邊長為2

X

SEDM=-2X>/3=\/3

故答案是：2；

【點睛】

本題考查了直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)、三角形的外角定理、角的和差以及等邊三角

形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關知識點是進行推理論證的前提.

20.6.5或8或18

【分析】

根據(jù)題意分8P=Q/\BQ=QP兩種情況分別討論，再結(jié)合勾股定理求解即可.

【詳解】

解：,??四邊形ABCO是矩形，AO=26,點。是3C的中點

BQ=13

①當5P=QP時，過點P作PMLB。交5Q于點M,如圖，

則BM=MQ=6.5，且四邊形ABMP為矩形

/.AP=BM=6.5

②當6Q=QP時，以點。為圓心，8Q為半徑作圓，與AO交于尸'、尸兩點，如圖,

過。作QN_LP〃，交p產(chǎn)于點N，則可知PN=P"N

?.?在放P'NQ,尸'。=13,NQ=AB=\2

???P'N=yjp'Q2-NQ2=V132-122=5

同理，在心P"NQ中,產(chǎn)N=5

AD—P'N—P"N26-5-5

...L/vf=川''=8,AP"^AP'+PN+=8+5+5=18