江蘇省南通市如東高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（含答案）

如東中學(xué)2023級(jí)高二數(shù)學(xué)一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1.若直線的傾斜角為，則（）.A.0B.C.D.不存在2.已知直角梯形，且，，，，則過(guò)其中三點(diǎn)的圓的方程可以為（）A.B.C.D.3.已知直線：和直線：，則“”是“”的（）A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4.已知圓的方程為，若點(diǎn)在圓外，則的取值范圍是（）A.B.C.D.5.設(shè)點(diǎn)，若直線與線段有交點(diǎn)，則的取值范圍是（）A.B.C.D.6.已知直線：與直線：交于點(diǎn)，則的最大值為（）A.4B.8C.32D.647.已知直線與圓交于不同的兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且有，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A.B.C.D.8.數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美，寓意美好的曲線，曲線C：就是其中之一如圖，給出下列三個(gè)結(jié)論：①曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積大于3②曲線C恰好經(jīng)過(guò)8個(gè)整點(diǎn)即橫?縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)③曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離都不超過(guò)其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A.①②B.①③C.③D.①二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.對(duì)于直線.以下說(shuō)法正確的有（）A.的充要條件是B.當(dāng)時(shí)，C.直線一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)D.點(diǎn)到直線的距離的最大值為510.設(shè)圓，直線，為上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線?，切點(diǎn)分別為?，則下列說(shuō)法中正確的有（）A.的取值范圍為B.四邊形面積的最小值為C.存在點(diǎn)使D.直線過(guò)定點(diǎn)11.“曼哈頓距離”是十九世紀(jì)的赫爾曼-閔可夫斯基所創(chuàng)詞匯，用以標(biāo)明兩個(gè)點(diǎn)在標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系上的絕對(duì)軸距總和，其定義如下：在直角坐標(biāo)平面上任意兩點(diǎn)的曼哈頓距離，則下列結(jié)論正確的是（）A.若點(diǎn)，則B.若點(diǎn)，則在軸上存在點(diǎn)，使得C.若點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，則的最小值是3D.若點(diǎn)在上，點(diǎn)在直線上，則的值可能是4三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.圓與圓的位置關(guān)系為_(kāi)__________.13.經(jīng)過(guò)兩條直線與的交點(diǎn)，且在軸上的截距是軸上的倍的直線方程為_(kāi)__________.14.已知圓O：圓：，則下列結(jié)論正確的是___________.①無(wú)論k取何值，圓心始終在直線上；②若圓O與圓有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為；③若圓O與圓的公共弦長(zhǎng)為，則或；④與兩個(gè)圓都相切的直線叫做這兩個(gè)圓的公切線，如果兩個(gè)圓在公切線的同側(cè)，則這條公切線叫做這兩個(gè)圓的外公切線，當(dāng)時(shí)，兩圓的外公切線長(zhǎng)為.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.根據(jù)下列條件，分別求滿足條件的直線或圓的方程：（1）已知以點(diǎn)為圓心的圓與直線相切，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與圓A相交于，當(dāng)時(shí)，求直線的方程；（2）以為圓心的圓與圓相切，求圓的方程.16.已知直線.（1）求證：直線過(guò)定點(diǎn)；（2）若直線不經(jīng)過(guò)第二象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若直線與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成的三角形面積最小，求的方程.17.已知以點(diǎn)為圓心的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).、異于原點(diǎn)（1）求證：的面積為定值.（2）設(shè)直線與圓交于點(diǎn)，，若，求圓的方程.（3）在（2）的條件下，設(shè)，分別是直線和圓上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).18.已知圓過(guò)點(diǎn)，且與圓關(guān)于直線對(duì)稱.（1）判斷圓與圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）過(guò)點(diǎn)作兩條相異直線分別與相交于，.①若直線和直線互相垂直，求的最大值；②若直線和直線與軸分別交于點(diǎn)?，且，為坐標(biāo)原點(diǎn)，試判斷直線和是否平行？請(qǐng)說(shuō)明理由.19.某校興趣小組在如圖所示的矩形區(qū)域ABCD內(nèi)舉行機(jī)器人攔截挑戰(zhàn)賽，在E處按方向釋放機(jī)器人甲，同時(shí)在A處按某方向釋放機(jī)器人乙，設(shè)機(jī)器人乙在Q處成功攔截機(jī)器人甲.若點(diǎn)Q在矩形區(qū)域ABCD內(nèi)（包含邊界），則挑戰(zhàn)成功，否則挑戰(zhàn)失敗.已知米，E為AB中點(diǎn)，比賽中兩機(jī)器人均按勻速直線運(yùn)動(dòng)方式行進(jìn)，記與的夾角為.（1）若，AD足夠長(zhǎng)，機(jī)器人乙的速度是機(jī)器人甲的速度的倍，則如何設(shè)置機(jī)器人乙的釋放角度才能挑戰(zhàn)成功？（2）若機(jī)器人乙的速度是機(jī)器人甲的速度的2倍，應(yīng)如何設(shè)計(jì)矩形區(qū)域ABCD的寬AD的長(zhǎng)度，才能確保無(wú)論的值為多少，總可以通過(guò)設(shè)置機(jī)器人乙的釋放角度使機(jī)器人乙在矩形區(qū)域ABCD內(nèi)成功攔截機(jī)器人甲？如東中學(xué)2023級(jí)高二數(shù)學(xué)一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1.【答案】C2.【答案】C3.【答案】B4.【答案】D5.【答案】A6.【答案】D7.【答案】C8.【答案】B二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.【答案】BD10.【答案】ABD11.【答案】ACD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.【答案】外離13.經(jīng)過(guò)兩條直線與的交點(diǎn)，且在軸上的截距是軸上的倍的直線方程為_(kāi)__________.【答案】或14.【答案】①③④四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.【解】（1）易知到直線的距離為圓A半徑r，所以，則圓A方程為，過(guò)A做，由垂徑定理可知，且，在中由勾股定理易知.當(dāng)動(dòng)直線斜率不存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，經(jīng)檢驗(yàn)圓心到直線的距離為，且根據(jù)勾股定理可知，顯然合題意，當(dāng)動(dòng)直線斜率存在時(shí)，過(guò)點(diǎn)，設(shè)方程為：，由到距離為知得，代入解之可得，所以或?yàn)樗蠓匠?（2）兩圓的圓心之間的距離為.當(dāng)兩圓外切時(shí)，圓的半徑為；當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，圓的半徑為.∴圓的方程為或.故答案為：或.16.【解】（1）由，即，則，解得，所以直線過(guò)定點(diǎn)；（2）如圖所示，結(jié)合圖像可知，當(dāng)時(shí)，直線斜率不存在，方程為，不經(jīng)過(guò)第二象限，成立；當(dāng)時(shí)，直線斜率存在，方程為，又直線不經(jīng)過(guò)第二象限，則，解得；綜上所述；（3）已知直線，且由題意知，令，得，得，令，得，得，則，所以當(dāng)時(shí)，取最小值，此時(shí)直線的方程為，即.17.【解】（1）由題意可得圓的方程為：，化簡(jiǎn)可得，與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為：，，為定值.（2）如圖所示，，原點(diǎn)在線段的垂直平分線上，設(shè)線段的中點(diǎn)為，則，，三點(diǎn)共線，又的斜率，，解得，又，所以，可得圓心，圓的方程為：；（3）如圖所示，由（2）可知：圓心，半徑，，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則中點(diǎn)為，且，解得，即，則，又點(diǎn)到圓上點(diǎn)的最短距離為，則的最小值為，此時(shí)直線的方程為：，點(diǎn)為直線與直線的交點(diǎn)，則，解得，即點(diǎn).18.【解】（1）由題可得圓圓心為，設(shè)圓心，則，解得則圓的方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入得，故圓的方程為，又兩半徑之和為，圓與圓外切.（2）方法一：令?即，為過(guò)點(diǎn)的兩條弦，設(shè)?被圓所截得弦的中點(diǎn)分別為?，弦長(zhǎng)分別為，，因?yàn)樗倪呅问蔷匦?，所以，即，化?jiǎn)得從而，時(shí)取等號(hào)，此時(shí)直線，必有一條斜率不存在）綜上：?被圓所截得弦長(zhǎng)之和的最大值為方法二：若直線與中有一條直線的斜率不存在，則，此時(shí)若直線與斜率都存在，且互為負(fù)倒數(shù)，故可設(shè)，即，，點(diǎn)到的距離為，同理可得點(diǎn)到的距離為，，，綜上：?被圓所截得弦長(zhǎng)之和的最大值為②直線和平行，理由如下：由題意知，直線和直線的斜率存在，且互為相反數(shù)，故可設(shè)，，由，得，因?yàn)榈臋M坐標(biāo)一定是該方程的解，故可得，同理，所以，，所以，直線和一定平行.19.【解】（1）解：根據(jù)題意，在中，可得，由正弦定理得：，可得，因?yàn)闉殇J角，所以，所以應(yīng)