【中心極限定理及其應用探究（論文）4700字】

中心極限定理及其應用研究目錄TOC\o"1-2"\h\u22882第一章緒論 223888第二章關于獨立分布的中心極限定理的討論 2120502．1中心極限定理的提出 3188312．2獨立同分布情形的兩個定理 35072．3獨立不同分布情形的兩個定理 523421第三章中心極限定理在商業(yè)管理中的應用 10141683．1食堂管理問題 10226733．2盈利問題 13196453．3抽樣檢驗問題 14179513．4供應問題 1532759第四章結(jié)論與展望 1610600參考文獻 17摘要本文通過概率論中中心極限定理的研究，把獨立同分布和不同分布這兩種情形進行對比描述，得到了平均結(jié)果的穩(wěn)定性是隨機現(xiàn)象的根本性質(zhì)．文章從中心極限定理的提出、內(nèi)容以及證明過程等，得到正態(tài)分布也可以表示獨立隨機變量之和的分布．同時我們在討論中心極限定理的內(nèi)容時必須要從兩種情形進行描述，即獨立同分布和不同分布．最后通過各種各樣的例題，展現(xiàn)出中心極限定理生活中的應用，進一步證實了該定理在各個方面的重要價值，也貫徹了知識與生活相結(jié)合的思想．關鍵詞弱收斂；獨立隨機變量；中心極限定理第一章緒論1．1引言概率論與數(shù)理統(tǒng)計作為理學的基本課程，在科學、醫(yī)學、經(jīng)濟、管理中有方方面面的應用．大數(shù)定律和中心極限定理是概率論中兩個極為重要的定理，在數(shù)理統(tǒng)計方面也有廣泛應用，其中大數(shù)定律是一種隨機收斂的相關理論，而中心極限定理則為一種分布收斂的概率論研究理論，本文重點著眼于對后一種理論進行研究．人們時常發(fā)現(xiàn)，生活中各種各樣的事常常受不確定因素干擾，亦稱為隨機因素擾動，微小因素聚集起來整體服從正態(tài)分布的規(guī)律，以上為中心極限定理的證明結(jié)論。中心極限定理最早是在重伯努利實驗中，在后來又得到了很快的發(fā)展．但后來的發(fā)展得益于P．萊維系統(tǒng)地建立起的特征函數(shù)理論．隨著社會的進步，人們對科學的探索乃至對世界的探索越來越深入，極限定理的應用以及極限定理研究所形成的方法在發(fā)揮很大作用的同時，自身也得到了完善與發(fā)展．中心極限定理的首次應用是解決某一單一事件出現(xiàn)頻次的服從概率分布是否為正態(tài)分布［］1．2研究目標經(jīng)濟社會的快速發(fā)展，推動了人民對科學研究更為深入的探索，而與之而來問題也會不斷產(chǎn)生．同樣，極限理論的問題也在產(chǎn)生．尤其是如今進入大數(shù)據(jù)時代，大數(shù)據(jù)作為一種技術性革命，其中統(tǒng)計分析和概率計算與計算機相結(jié)合起來也得到了更廣泛的應用．所以，中心極限定理的研究也變得十分的有意義．科學知識的研究再深入也是要與生活實際相結(jié)合的，所以在學習的過程中，我們必須學會運用所學知識解決生活問題．本文從隨機序列研究這個角度，系統(tǒng)分析了中心極限定理，并例證其在生活中（主要是商業(yè)管理）的應用，目的是把理論與實踐相結(jié)合，從而更好的幫助大家用隨機觀念和統(tǒng)計思想去對待和處理生活中的問題．第二章關于獨立分布的中心極限定理的討論2．1中心極限定理的提出誤差是人們在生活中隨處可遇到的一個量，通過研究表明，誤差的產(chǎn)生是由大量因素疊加而成．．這些因素是隨機的且相互獨立．每個因素都是人們無法控制，可以大也可以小，可以為正也可以為負．誤差用表示，指代的是隨機變量，該變量可視為眾多微小擾動項的合計數(shù)，即．那當時，的分布是什么？當然，我們可以通過積卷公式去計算的分布，但當我們將分布函數(shù)的過程寫出來后就會發(fā)現(xiàn)形式太復雜了，我們根本無法求出來，這也使我們不得不去找近似分布．因此，中心極限定理被提出．2．2獨立同分布情形的兩個定理（1）則稱服從中心極限定理，若對均滿足如下極限公式：（2）則表明系服從關于均勻的趨于的正態(tài)分布。2．2．1林德伯格—萊維中心極限定理記為隨機變量序列，變量同分布且相互獨立，則對?，有（3）證明設的特征函數(shù)為，則的特征函數(shù)為又因為，所以有，則系服從正態(tài)分布的相關特征函數(shù)，即可得證。2．2．2棣莫弗—拉普拉斯定理記重貝努里試驗事件出現(xiàn)概率值為，為其出現(xiàn)次數(shù)，令對實數(shù)，例據(jù)一淘寶公司服裝店鋪統(tǒng)計顯示，今年所有的購買人員中，因為服裝沒有達到預期效果而申請退貨的人占．在今年的消費者中隨意抽取位，用表示認為服裝沒有達到預期效果而退貨的人．(1)寫出的分布列．(2)位消費者中，射服裝未達到效果退貨的人概率為，則為多少？解:(1)是服從的二項分布，即(2)由隸莫弗－拉普拉斯中心極限定理，有所以，．2．3獨立不同分布情形的兩個定理如誤差的產(chǎn)生是由大量隨機因素構(gòu)成，即，且該部分因素相互獨立，即獨立，并不要求同分布，故該情形下的極限分布亦需再行討論。2．3．1林德貝格中心極限定理若滿足林德貝格條件，且相關獨立，則對?，有，有(4)(5)(6)實際上，對上三式明顯．設，則；易得，他們對成立．證明林德貝各中心極限定理令（7）以、分別表的特征函數(shù)與分布函數(shù)，因而（8），（9）（10）由（6）故林德貝格條件可化為：，；（11）(2)式化為：對均勻的有（12）如果在條件（11）下，能夠證明的特征函數(shù)亦即（13）若（13）成立則問題得證證明（13）①先證可展開為（14）函數(shù)在任意有窮區(qū)間0由（9）中前一式（15）根據(jù)（5）．（16）其中，由（11），對一切充分大的有所以及任何有限區(qū)間中的，同時有因而對任意，均勻的有（17）當時，對一切充分大的，下式成立：（18）因此，在中，（19）其中由（18）但由（16）中第一個不等式及（10）故由（17）可見當時，關于任意區(qū)間中的均勻的有（20）②令由（15）得（21）若對?屬于，有．(22)將（21）表達式代入（14），結(jié)合①可證(13)證（22），由（10）對任意，由（4）（5）得由（10）可見：對，有（23）對任意，可選使又由（11），有為正整數(shù)，使及，有（24）則若，對一切，有2．3．2李雅普諾夫中心極限定理設為隨機序列且相互獨立的變量，如果有，使得（25）則對?，有．證僅需證明其符合林德貝格條件，由（25）中心極限定理在商業(yè)管理中的應用如今經(jīng)濟飛速發(fā)展，很多公司在推行商品項目之前都會做樣本采集、市場調(diào)查、產(chǎn)品試銷、客戶滿意度調(diào)查等工作，在這些工作背后無不運用了概率論與數(shù)理統(tǒng)計的知識，同時中心極限定理如也經(jīng)被應用到各行各業(yè)中，有較為重要的意義．很多已經(jīng)應用到的領域和目前未涉及的領域都還待我們?nèi)ダ^續(xù)探索．文章僅舉了食堂管理問題、盈利問題、抽樣檢驗問題、供應問題幾個例子，但還有很多很多，如保險索賠問題，如公共場所設置座位問題，產(chǎn)品銷售問題等．文中就不一一列舉了．3．1食堂管理問題某學校食堂窗口有限，每天吃飯都會出現(xiàn)很多同學排長隊的現(xiàn)象，為學校準備新加若干學生打飯的窗口，經(jīng)后勤處深入仔細考察，研究發(fā)現(xiàn)平均一個學生在窗口打飯需耗費時間。目前窗口僅有個并共有在校生，并總結(jié)需確定問題如下：

（1）增設窗口前的擁堵概率值？（2）保證以上概率不擁堵應怎設窗口數(shù)？解：（1）設在某一具體的時點，名學生中有名占用窗口，則有擁堵概率值可表示如下：借助隸莫佛-拉普拉斯定理解答如下：上式可確定值有，，則故．擁堵概率值高達．（2）欲求，使得根據(jù)標準正態(tài)分布主要指標經(jīng)查詢分布表，得即故至少需增設窗口個。問題的變形：要保證以上的概率不擁擠，需至少新增多少個窗口?解：欲求，使得即即查表得即故至少需增設窗口個。（4）若將現(xiàn)有條件僅修改為個已有窗口，則具體計算結(jié)果如下所示：答：（1）．（2）同上．（5）若僅將現(xiàn)有條件中學生占用窗口耗費時間提至，其余的條件不變，則具體計算結(jié)果如下所示：答：(1)設某一具體時點，個學生中排隊打飯的人數(shù)為，則，，，擁擠的概率是擁擠的概率竟達到．(2)欲求，使得即查標準正態(tài)分布表，得即故需新增個窗口．3．2盈利問題假設某彩票公司即將推行搖數(shù)字中大獎游戲，共有個人參加游戲，參加刮獎活動每人交付元，每人中獎概率為，一旦中獎，彩票公司向該參與者發(fā)放元作為獎金，問（1）上述設計引發(fā)公司虧本的概率值？（2）相關活動使得利潤值不低于元，元，元的概率值？解：設為刮中獎的人數(shù)，則，即，根據(jù)德莫佛－拉普拉斯中心極限定理得：（2）設分別表示不低于、、元的活動利潤值，該公司利潤不少于元的概率為，不少于元的概率為，不少于元的概率為．3．3抽樣檢驗問題經(jīng)過某項臨床測驗得出，某藥品對慢性的血管堵塞治愈率為．測驗員任抽查名服藥病人樣本，若有個以上得到治愈，則認為臨床測試通過，反之則不通過。若該藥實際治愈率分別為、，則測試通過率分別計算如下：解：設

指樣本中治愈人數(shù)，則

實際治愈率為時，通過這項測驗的概率約為．

實際治愈率為時，通過這項測驗的概率約為3．4供應問題假設某工廠有臺機器獨立工作著，工作時各耗電個單位的電力，且開工率為，為了完成任務，要的概率保證這個工廠電力是足夠的的，問供電所至少要給該工廠多少電力?解:

設每工作著的機器數(shù)為，服從二項分布，．機器工作時耗電量為千瓦，該工廠的供電量為．查表得解之得即要完成任務要給該工廠個單位的的電力．結(jié)論與展望在這篇文章中，首先提出何謂極限定理，并就此在獨立同分布下較為詳盡地證明了極限定理，同時對獨立不同分布下的情形加以證明，把抽象的例子盡量簡單化，最后，舉例更詳細地說明中心極限定理在各個方面的應用．其實我們的生活中，很多現(xiàn)象都受到不確定因素干擾，亦稱為隨機因素擾動，微小因素聚集起來整體服從正態(tài)分布的規(guī)律，中心極限定理對上述結(jié)論進行了完美論證，這在解決實際問題中有著廣泛而重要的作用．正態(tài)分布在概率分布中十分重要，中心極限定理在概率論中也有著同樣重要的地位．回顧課本，我們在學習概率論的過程中，先學習了隨機變量序列的兩種收斂性，隨后又學習了復隨機變量，從而引出特征函數(shù)，這使得我們學習大數(shù)定律和中心極限定理的時候更為輕松．課本后的習題也貼近人們的社會、經(jīng)濟、生活和生產(chǎn)管理，更具有時代氣息，這也使我們在學習時能更好的聯(lián)系到實際．概率論與數(shù)理統(tǒng)計學這門學科是教我們有效地收集分析數(shù)據(jù)，再通過建立模型等方式從數(shù)據(jù)中心提取有用信息以進行推測、預算或?qū)で笠?guī)律、為作決策提供依據(jù)等．同時這門學科在一定程度上也屬于交叉學科，所以它需要與其他學科相結(jié)合起來才能更好地發(fā)揮作用．比如概率統(tǒng)計與醫(yī)學相結(jié)合，對臨床診斷、藥物研究、化驗檢測等提供了極大的幫助；概率統(tǒng)計與經(jīng)濟相結(jié)合，利于人們更好地預測經(jīng)濟前景．尤其在大數(shù)據(jù)時代，當我們在使用電子產(chǎn)品，在使用各種智能工具，在瀏覽大數(shù)據(jù)推送的商品、新聞、廣告等方方面面的信息的時候，其技術背后無不滲透了這門學科的知識，其重要性可想而知．生活很有無數(shù)多種可能性，有時候感覺自己穩(wěn)操勝算了但還是會失敗，但是有時候覺得不可能發(fā)生的事也許真的發(fā)生了．這是因為概率為1的事件也未必是必然事件，概率為0的事件未必是不可能事件．數(shù)學的發(fā)展方向正伴隨著人類認識世界的需要．人類從最開始對計數(shù)的需要，發(fā)展到需要測量，需要分析很小的變化，需要認識不同的形狀和結(jié)構(gòu)，這些需求刺激了數(shù)論、幾何、分析、代數(shù)等學科的發(fā)展．現(xiàn)在人類需要認識更加微觀的世界，以及微觀世界和宏觀世界的聯(lián)系和統(tǒng)一，所以概率論這門學科的發(fā)展也會越來越好．也希望概率論與數(shù)理統(tǒng)計這門學科能隨著時代的發(fā)展不斷進步，與各行業(yè)充分的結(jié)合起來更好的造福人類．參考文獻[1]卯詩松．程依明．概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程[M]．北京:高等教育出版社，2004．[2]盛驟．概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題全解指南[M]．第四版．浙江：浙江大學，1990．[3]盛驟，謝式千，潘承毅．