江蘇省宿遷市2024年中考數學試卷

江蘇省宿遷市2024年中考數學試卷1．（2024·宿遷）6的倒數是（）A．16 B．-16 C．62．（2024·宿遷）下列運算正確的是（）A．a2+a3＝2a5 B．a4?a2＝a6C．a3÷a＝a3 D．（ab2）3＝a3b53．（2024·宿遷）地球與月球的平均距離大約為384000km，數據384000用科學記數法表示為（）A．3.84×104 B．3.84×105 C．3.84×106 D．38.4×1054．（2024·宿遷）如圖，直線AB∥CD，直線MN分別與直線AB、CD交于點E、F，且∠1＝40°，則∠2等于（）A．120° B．130° C．140° D．150°5．（2024·宿遷）全國兩會，習近平總書記在參加江蘇代表團審議時指出，我們能不能如期全面建成社會主義現代化強國，關鍵看科技自立自強．將“科技、自立、自強”六個字分別寫在某正方體的表面上，如圖是它的一種表面展開圖，在原正方體中，與“強”字所在面相對面上的漢字是（）A．自 B．立 C．科 D．技6．（2024·宿遷）我國古代問題：以繩測井，若將繩三折測之，繩多四尺；若將繩四折測之，繩多一尺．繩長、井深各幾何？這段話的意思是：用繩子量井深，把繩三折來量，井外余繩四尺把繩四折來量，井外余繩一尺．繩長、井深各幾尺？若設繩長為x尺，則可列方程為（）A．13x﹣4=14x﹣1 B．13xC．13x﹣4=14x+1 D．13x7．（2024·宿遷）規(guī)定：對于任意實數a、b、c，有【a，b】★c＝ac+b，其中等式右面是通常的乘法和加法運算，如【2，3】★1＝2×1+3＝5．若關于x的方程【x，x+1】★（mx）＝0有兩個不相等的實數根，則m的取值范圍為（）A．m＜14 B．m＞14 C．m＞14且m≠0 8．（2024·宿遷）如圖，點A在雙曲線y1=kx（x＞0）上，連接AO并延長，交雙曲線y2=k4x（x＜0）于點B，點C為x軸上一點，且AO＝AC，連接BC，若△A．2 B．3 C．4 D．59．（2024·宿遷）要使x-1有意義，則實數x的取值范圍是．10．（2024·宿遷）因式分解：x2+4x＝．11．（2024·宿遷）命題“兩直線平行，同位角相等．”的逆命題是．12．（2024·宿遷）點P（a2+1，﹣3）在第象限．13．（2024·宿遷）一組數據6，8，10，x的平均數是9，則x的值為．14．（2024·宿遷）已知圓錐的底面半徑為3，母線長為12，則其側面展開扇形的圓心角的度數為°．15．（2024·宿遷）如圖，已知正六邊形ABCDEF的邊長為2，以點E為圓心，EF長為半徑作圓，則該圓被正六邊形截得的DF的長為．16．（2024·宿遷）如圖，在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝30°，AD是高，以點A為圓心，AB長為半徑畫弧，交AC于點E，再分別以B、E為圓心，大于12BE的長為半徑畫弧，兩弧在∠BAC的內部交于點F，作射線AF，則∠DAF＝17．（2024·宿遷）若關于x、y的二元一次方程組ax+y=bcx-y=d的解是x=3y=-2，則關于x、y的方程組ax+2y=2a+bcx-2y=2c+d18．（2024·宿遷）如圖，在平面直角坐標系中，點A在直線y=34x上，且點A的橫坐標為4，直角三角板的直角頂點C落在x軸上，一條直角邊經過點A，另一條直角邊與直線OA交于點B，當點C在x軸上移動時，線段AB的最小值為19．（2024·宿遷）計算：（π﹣3）0﹣2sin60°+|-320．（2024·宿遷）先化簡，再求值：（1+2x+1）?x+1x221．（2024·宿遷）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，且AD＝DC=12BC，E是甲：若連接AE，則四邊形ADCE是菱形；乙：若連接AC，則△ABC是直角三角形．請選擇一名同學的結論給予證明．22．（2024·宿遷）某校為豐富學生的課余生活，開展了多姿多彩的體育活動，開設了五種球類運動項目：A籃球，B足球，C排球，D羽毛球，E乒乓球．為了解學生最喜歡以上哪種球類運動項目，隨機抽取部分學生進行調查（每位學生僅選一種），并繪制了統(tǒng)計圖．某同學不小心將圖中部分數據丟失，請結合統(tǒng)計圖，完成下列問題：（1）本次調查的樣本容量是，扇形統(tǒng)計圖中C對應圓心角的度數為°；（2）請補全條形統(tǒng)計圖；（3）若該校共有2000名學生，請你估計該校最喜歡“E乒乓球”的學生人數．23．（2024·宿遷）某校組織七年級學生開展以“講好紅色故事，傳承紅色基因”為主題的研學活動，策劃了四條研學線路供學生選擇：A彭雪楓紀念館，B淮海軍政大禮堂，C愛園烈士陵園，D大王莊黨性教育基地，每名學生只能任意選擇一條線路．（1）小剛選擇線路A的概率為；（2）請用畫樹狀圖或列表的方法，求小剛和小紅選擇同一線路的概率．24．（2024·宿遷）雙塔是古黃河宿遷景觀帶的標志性建筑之一，由九層的九龍塔和七層的七風塔構成．某校數學實踐小組開展測量七鳳塔高度的實踐活動，該小組制定了測量方案，在實地測量后撰寫活動報告，報告部分內容如表：測量七鳳塔高度測量工具測角儀、皮尺等活動形式以小組為單位測量示意圖測量步驟及結果如圖，步驟如下：①在C處使用測角儀測得塔的頂部點B的仰角∠BDG=37°；②沿著CA方向走到E處，用皮尺測得CE＝24米；③在E處使用測角儀測得塔的頂部點B的仰角∠BFG＝45°.……已知測角儀的高度為1.2米，點C、E、A在同一水平直線上．根據以上信息，求塔AB的高度．（參考數據：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）25．（2024·宿遷）如圖，在⊙O中，AB是直徑，CD是弦，且AB⊥CD，垂足為E，AB＝20，CD＝12，在BA的延長線上取一點F，連接CF，使∠FCD＝2∠B．（1）求證：CF是⊙O的切線；（2）求EF的長．26．（2024·宿遷）某商店購進A、B兩種紀念品，已知紀念品A的單價比紀念品B的單價高10元．用600元購進紀念品A的數量和用400元購進紀念品B的數量相同．（1）求紀念品A、B的單價分別是多少元？（2）商店計劃購買紀念品A、B共400件，且紀念品A的數量不少于紀念品B數量的2倍，若總費用不超過11000元，如何購買這兩種紀念品使總費用最少？27．（2024·宿遷）如圖①，已知拋物線y1＝x2+bx+c與x軸交于兩點O（0，0）、A（2，0），將拋物線y1向右平移兩個單位長度，得到拋物線y2．點P是拋物線y1在第四象限內一點，連接PA并延長，交拋物線y2于點Q．（1）求拋物線y2的表達式；（2）設點P的橫坐標為xP，點Q的橫坐標為xQ，求xQ﹣xP的值；（3）如圖②，若拋物線y3＝x2﹣8x+t與拋物線y1＝x2+bx+c交于點C，過點C作直線MN，分別交拋物線y1和y3于點M、N（M、N均不與點C重合），設點M的橫坐標為m，點N的橫坐標為n，試判斷|m﹣n|是否為定值．若是，直接寫出這個定值；若不是，請說明理由．28．（2024·宿遷）在綜合實踐活動課上，同學們以折疊正方形紙片展開數學探究活動．（1）【操作判斷】操作一：如圖①，對折正方形紙片ABCD，得到折痕AC，把紙片展平；操作二：如圖②，在邊AD上選一點E，沿BE折疊，使點A落在正方形內部，得到折痕BE；操作三：如圖③，在邊CD上選一點F，沿BF折疊，使邊BC與邊BA重合，得到折痕BF．把正方形紙片展平，得圖④，折痕BE、BF與AC的交點分別為G、H．根據以上操作，得∠EBF＝°．（2）【探究證明】如圖⑤，連接GF，試判斷△BFG的形狀并證明；（3）【答案】如圖⑥，連接EF，過點G作CD的垂線，分別交AB、CD、EF于點P、Q、M．求證：EM＝MF．（4）【深入研究】若AGAC=1k，請求出

答案解析部分1．【答案】A【知識點】有理數的倒數【解析】【解答】解：∵6×1∴6的倒數是16故答案為：A.【分析】利用倒數就是1除以這個數來求解.2．【答案】B【知識點】同底數冪的乘法；同底數冪的除法；合并同類項法則及應用；積的乘方運算；冪的乘方運算【解析】【解答】解：A、a2與a3不是同類項，不能合并，A錯誤；

B、a4·a2=a6，B正確；

C、a3÷a=a2，C錯誤；

D、(ab2)3=a33．【答案】B【知識點】科學記數法表示大于10的數【解析】【解答】解：384000=3.84×105，故答案為：B.【分析】用科學記數法表示較大的數，一般形式為a×10n，其中1≤|a|＜10，n為原數的整數位數.4．【答案】C【知識點】兩直線平行，同位角相等【解析】【解答】解：∵AB∥CD，∠1=40°，

∴∠DFN=∠1=40°，

∴∠2=180°-∠DFN=180°-40°=140°，故答案為：C.【分析】根據兩直線平行，同位角相等，得∠DFN=∠1=40°，再根據平角的定義得∠2=180°-∠DFN.5．【答案】C【知識點】含圖案的正方體的展開圖【解析】【解答】解：根據正方體的展開圖，可知與“強”字所在面相對面上的漢字是“科”，故答案為：C.【分析】根據正方體的展開圖特征進行求解即可.正方體的展開圖中同一行有3個或3個以上時，間隔一個的面為對立面，同一行或同一列只有兩個時，隔一個再拐彎所對的面即對立面.6．【答案】A【知識點】列一元一次方程【解析】【解答】解：根據題意，得13故答案為：A.【分析】設繩長為x尺，根據“把繩三折來量，井外余繩四尺，把繩四折來量，井外余繩一尺”即可列出方程.7．【答案】D【知識點】一元二次方程根的判別式及應用【解析】【解答】解：根據題意，得【x，x+1】★(mx)=mx2+x+1=0，

∵關于x的方程【x，x+1】★(mx)=0有兩個不相等的實數根，

∴12-4m×1=1-4m>0，m≠0，解得：m<14且m≠0，【分析】根據新定義得關于x的方程mx2+x+1=0，再根據一元二次方程根的判別式得1-4m>0，m≠0，解不等式即可求出m的取值范圍.8．【答案】C【知識點】反比例函數與一次函數的交點問題；三角形的面積【解析】【解答】解：如圖，過點A作AD⊥x軸于點D，

設Aa，ka，直線OA的表達式為y=mx(m≠0)，

∴ka=ma，

解得：m=ka2，

∴直線OA的表達式為y=ka2x，

令ka2=k4x，

解得：x=±12a，

故答案為：C.【分析】過點A作AD⊥x軸于點D，設Aa，ka，然后利用待定系數法求出直線OA的表達式為y=9．【答案】x≥1【知識點】二次根式有意義的條件【解析】【解答】解：∵x-1有意義，

∴x-1≥0，

∴x≥1，故答案為：x≥1.【分析】根據二次根式有意義的條件：被開方數大于等于0，得關于x的不等式，解不等式求出x的取值范圍.10．【答案】x（x+4）【知識點】因式分解﹣提公因式法【解析】【解答】解：x2+4x=x(x+4)，故答案為：x(x+4).【分析】利用提公因式法進行因式分解即可.11．【答案】同位角相等，兩直線平行【知識點】逆命題【解析】【解答】解：∵原命題的條件為：兩直線平行，結論為：同位角相等．∴其逆命題為：同位角相等，兩直線平行．【分析】將原命題的條件與結論互換即得到其逆命題．12．【答案】四【知識點】點的坐標與象限的關系【解析】【解答】解：∵a2+1>0，-3<0，

∴點P在第四象限，故答案為：四.【分析】根據平面直角坐標系各象限點的坐標特征進行求解即可.第一象限（+，+），第二象限（-，+），第三象限（-，-），第四象限（+，-).13．【答案】12【知識點】平均數及其計算【解析】【解答】解：∵6，8，10，x的平均數是9，

∴6+8+10+x4=9，故答案為：12.【分析】根據平均數的定義得關于x的方程，解方程求出x的值即可.14．【答案】90【知識點】圓錐的計算【解析】【解答】解：設圓錐側面展開扇形的圓心角度數為n°，∵圓錐的底面半徑為3，母線長為12，

∴2×3π=nπ·12180【分析】設圓錐側面展開扇形的圓心角度數為n°，根據圓錐側面展開扇形的弧長等于圓錐的底面圓周長，得關于n的方程，解方程求出n的值即可.15．【答案】4π【知識點】弧長的計算；正多邊形的性質【解析】【解答】解：∵六邊形ABCDEF是正六邊形，

∴∠E=180°×6-26=120°，EF=DE=2，

∴故答案為：4π3【分析】根據正多邊形的性質得∠E=120°，EF=DE=2，再根據弧長計算公式：nπr16．【答案】10【知識點】三角形內角和定理；尺規(guī)作圖-作角的平分線【解析】【解答】解：∵∠B=50°，∠C=30°，

∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-50°-30°=100°，

根據題意，得AF平分∠BAC，

∴∠BAF=12∠BAC=12×100°=50°，

∵AD是△ABC的高，∴∠DAF=∠BAF-∠BAD=50°-40°=10°，

故答案為：10.【分析】根據三角形內角和定理得∠BAC=100°，根據題意得AF平分∠BAC，從而根據角平分的定義得∠BAF=50°，接下來再次利用三角形內角和定理得∠BAD=40°，最后有∠DAF=∠BAF-∠BAD.17．【答案】x=5【知識點】二元一次方程組的解；解二元一次方程組【解析】【解答】解：∵ax+2y=2a+bcx-2y=2c+d，

∴a∵ax+y=bcx-y=d的解為x=3y=-2，

∴x-2=32y=-2，

解得：x=5y=-1，【分析】先把所求方程組轉化為ax-2+2y=bc18．【答案】15【知識點】垂線段最短及其應用；一次函數圖象上點的坐標特征【解析】【解答】解：如圖，作△ABC的外接圓⊙D，D為圓心，連接CD，過點A作AE⊥x軸于點E，過點D作DF⊥x軸于點F，

∵∠ACB=90°，

∴AB是⊙D的直徑，設AB=2AD=2BD=2r，

∴線段AB最小時，⊙D的半徑r最小，

∵CD≥DF，

∴當CD⊥x軸時，CD最小，此時C、F重合，⊙D與x軸相切，

∵點A在直線y=34x上，且點A的橫坐標為4，

∴A(4，3)，

∴AE=3，OE=4，

根據勾股定理，得OA=5，

∴OD=5-r，

∵AE⊥x軸，DF⊥x軸，

∴∠DFO=∠AEO=90°，

∴DF∥AE，

∴△DFO~△AEO，

∴DFAE=ODOA，即r3=5-r5故答案為：154【分析】作△ABC的外接圓⊙D，連接CD，過點A作AE⊥x軸于點E，過點D作DF⊥x軸于點F，根據“90°的圓周角所對的弦是直徑”得AB是⊙D的直徑，設AB=2AD=2BD=2r，然后由“CD≥DF”可知當CD⊥x軸時，CD最小，此時C、F重合，⊙D與x軸相切，接下來求出點A的坐標，利用勾股定理得OA=5，從而有OD=5-r，易證△DFO~△AEO，根據相似三角形對應邊成比例得r319．【答案】解：原式=1-2×32+3

【知識點】特殊角的三角函數的混合運算【解析】【分析】利用零指數冪、特殊角的三角函數值、實數的絕對值進行化簡，最后進行計算即可.20．【答案】解：原式=x+1x+1+2x+1·x+1x+3x-3

=【知識點】分式的化簡求值-直接代入【解析】【分析】先將括號里的分式進行通分化簡，再進行分式的乘法計算，最后代入x的值進行計算即可.21．【答案】證明：甲：如圖，連接AE，∵E是BC的中點，

∴EC=12BC，

∴AD＝EC，∵AD∥BC，即AD∥EC，∴四邊形ADCE是平行四邊形，∵AD＝DC，∴四邊形ADCE是菱形；乙：如圖，連接AC，AE.

∵E是BC的中點，

∴CE=BE=12BC，

∵AD=DC=12BC，

∴CE=BE=AD=DC，

∵AD∥BC，即AD∥CE，

∴四邊形ADCE是平行四邊形，∴∠EAC＝∠ECA，∠EAB＝∠B，∵∠EAC+∠ECA+∠EAB+∠B＝180°，∴2∠EAC+2∠EAB＝180°，∴∠EAC+∠EAB＝90°，∴∠BAC＝90°，∴△ABC是直角三角形．【知識點】菱形的判定；直角三角形的判定【解析】【分析】甲：連接AE，根據中點的定義得EC=12BC，結合題意可得AD＝EC，根據一組對邊平行且相等證明四邊形ADCE是平行四邊形，進而根據一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形得證四邊形ADCE是菱形；

22．【答案】（1）200；36（2）解：B項目的人數為：200-54-20-50-46＝30，補全條形統(tǒng)計圖如下：（3）解：2000×46答：估計該校最喜歡“E乒乓球”的學生人數為460名．【知識點】總體、個體、樣本、樣本容量；用樣本估計總體；扇形統(tǒng)計圖；條形統(tǒng)計圖【解析】【解答】解：（1）50÷25%=200（人），20200×360°=36°，

故答案為：200，36.

【分析】（1）根據D類運動項目的人數和所占百分比求出樣本容量，再用C類運動項目所占百分比乘360°即可求解；

（2）先計算出B類運動項目的人數，再補全條形統(tǒng)計圖；23．【答案】（1）1（2）解：列表如下：ABCDA（A，A）（A，B）（A，C）（A，D）B（B，A）（B，B）（B，C）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，C）（C，D）D（D，A）（D，B）（D，C）（D，D）共有16種等可能的結果，其中小剛和小紅選擇同一線路的結果有4種，∴小剛和小紅選擇同一線路的概率為416【知識點】用列表法或樹狀圖法求概率；簡單事件概率的計算【解析】【解答】解：（1）小剛選擇線路A的概率為：14，

故答案為：14.

【分析】（1）根據題意可知有4種等可能的結果，其中小剛選擇路線A的結果有1種，然后根據概率公式進行求解即可；24．【答案】解：由題意得，DF＝CE＝24米，AG＝EF＝CD＝1.2米，∠BDG＝37°，∠BFG＝45°，在Rt△BDG中，tan∠BDG=∴GD=BG在Rt△BFG中，∠BFG＝45°，∴FG＝BG，∵DF＝24米，∴GD-FG=BG解得：BG＝72，∴AB＝BG+AG=72+1.2＝73.2（米），答：塔AB的高度為73.2米．【知識點】解直角三角形的實際應用﹣仰角俯角問題【解析】【分析】根據題意，得DF=CE=24，AG=EF=CD=1.2，∠BDG=37°，∠BFG=45°，然后在Rt△BDG中，解直角三角形得GD=BG0.75，在Rt△BFG中，根據等腰直角三角形的性質得FG=BG，從而有25．【答案】（1）證明：連接OC，∵OC＝OB，∴∠B＝∠BCO，∴∠AOC＝∠B+∠BCO＝2∠B，

∵∠FCD＝2∠B，

∴∠FCD＝∠AOC，∵AB⊥CD，∴∠CEO＝90°，∴∠AOC+∠OCE＝90°，∴∠FCD+∠OCE＝90°，∴∠OCF＝90°，∵OC是⊙O的半徑，∴CF是⊙O的切線；（2）解：∵AB是直徑，CD是弦，且AB⊥CD，CD=12，∴CE=1∵AB＝20，∴OC＝10，∴OE=O∵∠OCF＝∠OEC＝90°，∠COE＝∠FOC，∴△OCE∽△OFC，∴OCOF∴10OF∴OF=25∴EF=OF-OE=25【知識點】垂徑定理；切線的判定；圓與三角形的綜合【解析】【分析】（1）連接OC，根據等腰三角形的性質、三角形外角的性質得∠AOC＝∠B+∠BCO=2∠B，從而得∠FCD＝∠AOC，根據直角三角形的兩銳角互余得∠AOC+∠OCE＝90°，從而有∠OCF=∠FCD+∠OCE＝90°，最后根據切線的判定定理進行求證；

（2）根據垂徑定理得CE=12CD=626．【答案】（1）解：設紀念品B的單價為m元，則紀念品A的單價為（m+10）元，根據題意得：600m+10解得m＝20，經檢驗m＝20是原方程的根，∴m+10＝30，答：紀念品A的單價為30元，紀念品B的單價為20元；（2）解：設總費用為w元，計劃購買A紀念品t件，則B紀念品（400﹣t）件，根據題意，w＝30t+20（400﹣t）＝10t+8000，∴w與t的函數關系式為w＝10t+8000，∵紀念品A的數量不少于紀念品B數量的2倍，∴t≥2（400﹣t），解得：t≥2662∵t為整數，∴t最小值取267，在w＝10t+8000中，w隨t的增大而增大，∴當t＝267時，w取最小值，最小值為10×267+8000＝10670（元），∵10670＜11000，符合題意，此時400-t＝400-267＝133，∴購買A紀念品267件，B紀念品133件，才能使總費用最少，最少費用為10670元．【知識點】一次函數的實際應用-銷售問題；分式方程的實際應用-銷售問題【解析】【分析】（1）設紀念品B的單價為m元，則紀念品A的單價為（m+10）元，根據”用600元購進紀念品A的數量和用400元購進紀念品B的數量相“得關于m的分式方程，解分式方程求出m的值并檢驗，從而得m+10的值，即可求解；

（2）設總費用為w元，計劃購買A紀念品t件，則B紀念品（400﹣t）件，根據題意得w與t的函數關系式，再根據”紀念品A的數量不少于紀念品B數量的2倍“得關于t的不等式，解不等式求出t的取值范圍，從而確定t的值，再根據一次函數的性質進行求解即可.27．【答案】（1）解：∵拋物線y1=x2+bx+c與x軸交于O（0，0）、A（2，0），將拋物線y1向右平移兩個單位長度得拋物線y2，∴y2與x軸交于（2，0）、（4，0），∴拋物線y2的表達式為：y2＝（x-2）（x-4）＝x2-6x+8；（2）解：∵拋物線y1=x2+bx+c與x軸交于O（0，0）、A（2，0），

∴拋物線y1的表達式為：y1＝（x-0）（x-2）＝x2-2x，

設點P（xP，xP2﹣2xP），xP滿足0<xP<2.

∵A（2，0），∴設直線PA的表達式為：y＝k（x-2）（k≠0），將點P的坐標代入上式得：xP2-2xP＝k（xP-2），解得：k＝xP，∴直線AP的表達式為：y＝xP（x-2），聯(lián)立直線AP和拋物線y2的表達式得：x2-6x+8=xP（x-2），

解得x1=4+xP，x2=2（舍去），

∴點Q的橫坐標xQ＝4+xP，∴xQ-xP＝4+xP-xP＝4；（3）解：|m﹣n|是定值，|m﹣n|＝6.【知識點】二次函數與一次函數的綜合應用【解析】【解答】解：（3）聯(lián)立拋物線y1、y3的表達式，得x2-2x＝x2-8x+t，

解得：x=16t，

∴C16t，136t2-13t，

∵點M的橫坐標為m，y1＝x2-2x，

∴M（m，m2-2m），

∴直線CM的表達式為：y=6m+t-126x-mt6，

∵點N的橫坐標為n，y3=x2-8x+t，

∴N（n，n2-8n+t），

將點N的坐標代入直線CM的表達式，得：n2-8n+t=6m+t-126n-mt6，

整理得：t（m-n+6）=6n（m-n+6），

又∵M、N均不與C重合，

∴t≠6n，

∴m-n+6=0，

∴m-n=-6，

∴|m﹣n|是定值，|m﹣n|＝6.

【分析】根據題意，得y2與x軸交于（2，0）、（4，0），利用”交點式“求拋物線y2的表達式；

（2）利用”交點式“求出拋物線y1的表達式，得點P（xP，xP2﹣2xP），然后求出直線PA的表達式為y＝xP（x-2），聯(lián)立直線AP和拋物線y2的表達式得：x2-6x+8=x28．【答案】（1）45（2）解：△BFG為等腰直角三角形，證明如下：由題意可得∠EBF＝45°，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BCD=90°，AC平分∠BCD，∴∠BCA＝∠ACD＝45°，∵∠EBF＝45°，

∴∠EBF=∠ACD，

∵∠BHG=∠CHF，∴△BHG∽△CHF，∴BHCH∴BHHG∵∠GHF＝∠BHC，∴△BHC∽△GHF，∴∠BCH＝∠GFH＝45°，

又∵∠GBF=45°，

∴∠BGF=90°，BG=GF，∴△GBF為等腰直角三角形；（3）證明：∵翻折的性質，

∴∠AEB=∠BEF，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠D=∠BAD=90°，

∵PQ⊥CD，

∴∠GQF=90°，

∴∠D=∠GQF，

∴AD∥PQ，

∴∠AEB=∠EGM，

∴∠AEB=∠BEF=∠EGM，

∴EM=GM，

∵△GBF為等腰直角三角形，∴∠BGF＝90°=∠EGF，∴∠BEF+∠GFE=90°，∠EGM+∠MGF=90°，

∴∠GFE=∠MGF，∴GM=MF