2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解答題提優(yōu)思路(新高考專用)專題03數(shù)列求通項(xiàng)(構(gòu)造法、倒數(shù)法)練習(xí)(學(xué)生版+解析)

專題03數(shù)列求通項(xiàng)（構(gòu)造法、倒數(shù)法）(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 2題型一：構(gòu)造法 2題型二：倒數(shù)法 4三、數(shù)列求通項(xiàng)（構(gòu)造法、倒數(shù)法）專項(xiàng)訓(xùn)練 5一、必備秘籍1.構(gòu)造法類型1：用“待定系數(shù)法”構(gòu)造等比數(shù)列形如（為常數(shù)，）的數(shù)列，可用“待定系數(shù)法”將原等式變形為（其中：），由此構(gòu)造出新的等比數(shù)列，先求出的通項(xiàng)，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.標(biāo)準(zhǔn)模型：（為常數(shù)，）或（為常數(shù)，）類型2：用“同除法”構(gòu)造等差數(shù)列（1）形如，可通過兩邊同除，將它轉(zhuǎn)化為，從而構(gòu)造數(shù)列為等差數(shù)列，先求出的通項(xiàng)，便可求得的通項(xiàng)公式.（2）形如，可通過兩邊同除，將它轉(zhuǎn)化為，換元令：，則原式化為：，先利用構(gòu)造法類型1求出，再求出的通項(xiàng)公式.（3）形如的數(shù)列，可通過兩邊同除以，變形為的形式，從而構(gòu)造出新的等差數(shù)列，先求出的通項(xiàng)，便可求得的通項(xiàng)公式.2.倒數(shù)法用“倒數(shù)變換法”構(gòu)造等差數(shù)列類型1：形如（為常數(shù)，）的數(shù)列，通過兩邊取“倒”，變形為，即：，從而構(gòu)造出新的等差數(shù)列，先求出的通項(xiàng)，即可求得.類型2：形如（為常數(shù)，，，）的數(shù)列，通過兩邊取“倒”，變形為，可通過換元：，化簡為：（此類型符構(gòu)造法類型1：用“待定系數(shù)法”構(gòu)造等比數(shù)列：形如（為常數(shù)，）的數(shù)列，可用“待定系數(shù)法”將原等式變形為（其中：），由此構(gòu)造出新的等比數(shù)列，先求出的通項(xiàng)，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.）二、典型題型題型一：構(gòu)造法1．（23-24高二下·河南·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足.(1)求的通項(xiàng)公式；2．（23-24高二下·江西·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；3．（23-24高三下·河北張家口·開學(xué)考試）已知數(shù)列滿足，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；4．（23-24高三上·山東青島·期末）已知是公差不為0的等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列，數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和.(1)求5．（23-24高二上·浙江紹興·期末）已知數(shù)列滿足，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；題型二：倒數(shù)法1．（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足：求通項(xiàng).2．（2023高二·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，.若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.3．（23-24高二上·上海浦東新·期中）已知數(shù)列有遞推關(guān)系(1)記若數(shù)列的遞推式形如且，也即分子中不再含有常數(shù)項(xiàng)，求實(shí)數(shù)的值；(2)求的通項(xiàng)公式.4．（23-24高三上·山西·階段練習(xí)）已知數(shù)列中，，（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列6．（23-24高二上·湖北黃石·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則的通項(xiàng)公式為.7．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.8．（23-24高二上·河北張家口·期末）已知滿足.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；9．（23-24高三上·新疆烏魯木齊·階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列滿足，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；10．（23-24高二上·黑龍江哈爾濱·期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；11．（2023·陜西安康·模擬預(yù)測）在數(shù)列中，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；12．（23-24高二上·福建莆田·期末）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;專題03數(shù)列求通項(xiàng)（構(gòu)造法、倒數(shù)法）(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 2題型一：構(gòu)造法 2題型二：倒數(shù)法 4三、數(shù)列求通項(xiàng)（構(gòu)造法、倒數(shù)法）專項(xiàng)訓(xùn)練 7一、必備秘籍1.構(gòu)造法類型1：用“待定系數(shù)法”構(gòu)造等比數(shù)列形如（為常數(shù)，）的數(shù)列，可用“待定系數(shù)法”將原等式變形為（其中：），由此構(gòu)造出新的等比數(shù)列，先求出的通項(xiàng)，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.標(biāo)準(zhǔn)模型：（為常數(shù)，）或（為常數(shù)，）類型2：用“同除法”構(gòu)造等差數(shù)列（1）形如，可通過兩邊同除，將它轉(zhuǎn)化為，從而構(gòu)造數(shù)列為等差數(shù)列，先求出的通項(xiàng)，便可求得的通項(xiàng)公式.（2）形如，可通過兩邊同除，將它轉(zhuǎn)化為，換元令：，則原式化為：，先利用構(gòu)造法類型1求出，再求出的通項(xiàng)公式.（3）形如的數(shù)列，可通過兩邊同除以，變形為的形式，從而構(gòu)造出新的等差數(shù)列，先求出的通項(xiàng)，便可求得的通項(xiàng)公式.2.倒數(shù)法用“倒數(shù)變換法”構(gòu)造等差數(shù)列類型1：形如（為常數(shù)，）的數(shù)列，通過兩邊取“倒”，變形為，即：，從而構(gòu)造出新的等差數(shù)列，先求出的通項(xiàng)，即可求得.類型2：形如（為常數(shù)，，，）的數(shù)列，通過兩邊取“倒”，變形為，可通過換元：，化簡為：（此類型符構(gòu)造法類型1：用“待定系數(shù)法”構(gòu)造等比數(shù)列：形如（為常數(shù)，）的數(shù)列，可用“待定系數(shù)法”將原等式變形為（其中：），由此構(gòu)造出新的等比數(shù)列，先求出的通項(xiàng)，從而求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.）二、典型題型題型一：構(gòu)造法1．（23-24高二下·河南·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足.(1)求的通項(xiàng)公式；【答案】(1)；【分析】（1）構(gòu)造等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求得結(jié)果；【詳解】（1）因?yàn)?，所以又，所以，所以是?為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以，所以.2．（23-24高二下·江西·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】(1)【分析】（1）變形得到是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，得到通項(xiàng)公式；【詳解】（1）由兩邊同時(shí)除以，可得，所以，故數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，即.3．（23-24高三下·河北張家口·開學(xué)考試）已知數(shù)列滿足，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】(1)；【分析】（1）由已知條件構(gòu)造等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求得結(jié)果；【詳解】（1）由已知，所以，又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比的等比數(shù)列，所以，即.4．（23-24高三上·山東青島·期末）已知是公差不為0的等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列，數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和.(1)求【答案】(1)【分析】（1）由題意列方程，求出數(shù)列的首項(xiàng)和公差，求出，可得，變形后構(gòu)造等比數(shù)列，即可求得答案；【詳解】（1）因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，設(shè)等差數(shù)列的公差為，，所以，解得，，，對上式兩邊同時(shí)除以得:，即，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，故，即；5．（23-24高二上·浙江紹興·期末）已知數(shù)列滿足，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】(1)【分析】（1）根據(jù)題意等比數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式運(yùn)算求解；【詳解】（1）由，即，可得，且，故，可知是首項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列，則，即，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.題型二：倒數(shù)法1．（2023高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足：求通項(xiàng).【答案】【分析】取倒數(shù)后得到是等差數(shù)列，求出，得到通項(xiàng)公式.【詳解】取倒數(shù)：，故是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為2，，∴.2．（2023高二·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，.若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】【分析】將代入已知可得，進(jìn)而推得，即可得出數(shù)列是等差數(shù)列，寫出通項(xiàng)即可得出答案.【詳解】將代入已知可得.因?yàn)?，所以，所以有，所?又，所以，數(shù)列是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以，，所以，.3．（23-24高二上·上海浦東新·期中）已知數(shù)列有遞推關(guān)系(1)記若數(shù)列的遞推式形如且，也即分子中不再含有常數(shù)項(xiàng)，求實(shí)數(shù)的值；(2)求的通項(xiàng)公式.【答案】(1)或(2)【分析】（1）根據(jù)題意整理可得，即，運(yùn)算求解即可；（2）取，可得，利用構(gòu)造法結(jié)合等比數(shù)列求通項(xiàng)公式.【詳解】（1）因?yàn)?，且，所以，則，解得或；（2）由（1）可得：當(dāng)時(shí)，則，且，可得，則，且，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，∴，則，故.4．（23-24高三上·山西·階段練習(xí)）已知數(shù)列中，，（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列【答案】（1）證明見解析；【解析】（1）由可得，然后可得答案；【詳解】（1）證明：由，知又，∴是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列5．（2024高三·全國·專題練習(xí)）在數(shù)列中，．求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；【答案】證明見解析；【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義證明，然后利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解．【詳解】，且所以，數(shù)列是等差數(shù)列，且首項(xiàng)為1，公差為1，．三、數(shù)列求通項(xiàng)（構(gòu)造法、倒數(shù)法）專項(xiàng)訓(xùn)練1．（23-24高二上·重慶·期末）已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的前8項(xiàng)和．【答案】502【分析】根據(jù)取倒數(shù)構(gòu)造等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列求和公式即可得到答案.【詳解】由，取倒數(shù)得，所以，因?yàn)椋?，所以，所以是首?xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以，則，所以數(shù)列的前8項(xiàng)和.故答案為：5022．（23-24高二下·全國·單元測試）已知數(shù)列滿足，，，則.【答案】【分析】將變形可得數(shù)列為等差數(shù)列，再借助等差數(shù)列求解即得.【詳解】數(shù)列中，，，顯然，取倒數(shù)得，即，則數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，因此，所以.故答案為：.3．（23-24高二上·全國·單元測試）已知數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為．【答案】【詳解】在等式兩邊取到數(shù)，推導(dǎo)出數(shù)列為等差數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公差，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.【分析】因?yàn)閿?shù)列滿足，且，則，，，以此類推可知，對任意的，，在等式兩邊取倒數(shù)可得，則，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.所以，，所以，.故答案為：.4．（23-24高二下·河南·期中）數(shù)列中，若，，則．【答案】19【分析】取倒數(shù)可得，即可得數(shù)列的通項(xiàng)公式，計(jì)算即可得.【詳解】∵，則，∴，∴故數(shù)列為等差數(shù)列，公差等于2，又，故，∴.故答案為：19．5．（2024·江蘇南京·模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為．【答案】【分析】根據(jù)給定的遞推公式，利用構(gòu)造法求出通項(xiàng)即得.【詳解】數(shù)列中，，，顯然，則有，即，而，因此數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，即．故答案為：6．（23-24高二上·湖北黃石·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則的通項(xiàng)公式為.【答案】【分析】對取倒數(shù)，然后結(jié)合等比數(shù)列求和公式利用累加法求解即可.【詳解】對兩邊取倒數(shù)得，即，當(dāng)時(shí)，，，，，，將以上各式累加得，又，所以，所以，當(dāng)時(shí)，也滿足，所以.故答案為：7．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】【分析】根據(jù)題意先證數(shù)列為等比數(shù)列，再結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式分析求解.【詳解】因?yàn)?，且，可知，則，可得，且，可知數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為4的等比數(shù)列，可得，所以.8．（23-24高二上·河北張家口·期末）已知滿足.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；【分析】（1）推導(dǎo)出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的公比和第二項(xiàng)的值，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；【詳解】（1）解：因?yàn)閿?shù)列滿足，，則，且，所以，數(shù)列是等比數(shù)列，且該數(shù)列的第二項(xiàng)為，公比為，所以，，則.10．（23-24高二上·黑龍江哈爾濱·期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】(1)【分析】（1）由得，得數(shù)列以為首項(xiàng)以3為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列求通項(xiàng)即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，得，當(dāng)時(shí)，

，所以，變形得，即，數(shù)列以為首項(xiàng)以3為公比的等比數(shù)列，所以，即11．（2023·陜西安康·模擬預(yù)測）在數(shù)列中，已知．(1)求的通項(xiàng)公式