2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解答題提優(yōu)思路(新高考專用)專題04構(gòu)造函數(shù)法解決不等式問題練習(xí)(學(xué)生版+解析)

專題04構(gòu)造函數(shù)法解決不等式問題(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 2題型一：構(gòu)造或(，且)型 2題型二：構(gòu)造或(，且)型 3題型三：構(gòu)造或型 4題型四：構(gòu)造或型 5三、專項訓(xùn)練 6一、必備秘籍1、兩個基本還原①②2、類型一：構(gòu)造可導(dǎo)積函數(shù)①高頻考點1：②高頻考點1：高頻考點2③高頻考點1：④高頻考點1：高頻考點2⑤⑥序號條件構(gòu)造函數(shù)123456783、類型二：構(gòu)造可商函數(shù)①高頻考點1：②高頻考點1：高頻考點2：③⑥二、典型題型題型一：構(gòu)造或(，且)型1．（23-24高二下·湖南長沙·階段練習(xí)）已知函數(shù)為定義在上的偶函數(shù)，當時，，則下列四個判斷正確的為（

）A． B．C． D．2．（2024·湖南益陽·模擬預(yù)測）已知的定義域為是的導(dǎo)函數(shù)，且，，則的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．3．（多選）（23-24高二下·山西太原·期中）已知是定義在上的奇函數(shù)，當時，，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．當時， D．當時，4．（多選）（23-24高三上·安徽六安·期末）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，對任意的正數(shù)x，都滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．D．題型二：構(gòu)造或(，且)型1．（23-24高二上·江蘇宿遷·期末）函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，對任意實數(shù)恒有，則（

）A． B．C． D．2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知定義在R上的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)滿足恒成立，且時，則下列式子不一定成立的是（

）A． B．C． D．

3．（2020·廣東梅州·模擬預(yù)測）設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，定義在上的函數(shù)滿足（1）；（2），則的范圍為（

）A． B． C． D．4．（多選）（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知函數(shù)的定義域為，其導(dǎo)函數(shù)為，且對任意的，都有，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．5．（多選）（2023·全國·模擬預(yù)測）已知定義在上的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，，的導(dǎo)函數(shù)為，若，是指數(shù)函數(shù)，，，則下列說法正確的是（

）A． B．在上單調(diào)遞增C．， D．題型三：構(gòu)造或型1．（23-24高二下·重慶·階段練習(xí)）函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且，當時，，則關(guān)于的不等式的解集為（

）A． B．C． D．三、專項訓(xùn)練1．（23-24高二下·廣東東莞·階段練習(xí)）已知為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，當時，有恒成立，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．2．（23-24高二下·四川宜賓·階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為，對任意，有，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．3．（23-24高二下·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）已知函數(shù)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為．若，且，則使不等式成立的x的取值范圍為（

）A． B． C． D．4．（21-22高三下·西藏拉薩·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，當時，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．5．（23-24高三上·陜西·階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域是，其導(dǎo)函數(shù)為，且，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．6．（22-23高二下·四川綿陽·期中）已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．7．（22-23高二下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．8．（22-23高二下·江西吉安·期末）若定義在上的可導(dǎo)函數(shù)滿足，，則下列說法正確的是（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2024·浙江溫州·一模）定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，對于任意實數(shù)，都有，且滿足，則（

）A．函數(shù)為奇函數(shù)B．不等式的解集為C．若方程有兩個根，，則D．在處的切線方程為10．（2023·海南?？凇つM預(yù)測）已知函數(shù)的定義域為，其導(dǎo)函數(shù)為，且，，則（

）A． B．C．在上是減函數(shù) D．在上是增函數(shù)三、填空題11．（23-24高二下·上?！て谥校┰O(shè)是定義在上的偶函數(shù)，為其導(dǎo)函數(shù)，，當時，有恒成立，則不等式的解集為.12．（23-24高二下·江西南昌·階段練習(xí)）定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則不等式的解集為．13．（22-23高二下·吉林長春·期中）已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，若，，則不等式的解集為.14．（22-23高三上·山東·階段練習(xí)）已知為定義域上函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且，，且，則不等式的解集為．專題04構(gòu)造函數(shù)法解決不等式問題(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 2題型一：構(gòu)造或(，且)型 2題型二：構(gòu)造或(，且)型 5題型三：構(gòu)造或型 9題型四：構(gòu)造或型 11三、專項訓(xùn)練 14一、必備秘籍1、兩個基本還原①②2、類型一：構(gòu)造可導(dǎo)積函數(shù)①高頻考點1：②高頻考點1：高頻考點2③高頻考點1：④高頻考點1：高頻考點2⑤⑥序號條件構(gòu)造函數(shù)123456783、類型二：構(gòu)造可商函數(shù)①高頻考點1：②高頻考點1：高頻考點2：③⑥二、典型題型題型一：構(gòu)造或(，且)型1．（23-24高二下·湖南長沙·階段練習(xí)）已知函數(shù)為定義在上的偶函數(shù)，當時，，則下列四個判斷正確的為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由結(jié)構(gòu)特征可知是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)簡單變形得到的，故構(gòu)造函數(shù)并得到函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合函數(shù)奇偶性即可判斷選項中各函數(shù)值大小.【詳解】令，則在恒成立，所以在單調(diào)遞增，所以，即，又因為函數(shù)為定義在上的偶函數(shù)，所以，即，故選：D.2．（2024·湖南益陽·模擬預(yù)測）已知的定義域為是的導(dǎo)函數(shù)，且，，則的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)構(gòu)造函數(shù)，代入原式化簡后得到，再構(gòu)造函數(shù)，討論的單調(diào)性即可得到，最后根據(jù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】因為，即，構(gòu)造函數(shù)，則，.將代入，得.再構(gòu)造函數(shù)，則，易知，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，由于，所以，所以，所以當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以在單調(diào)遞減.又根據(jù)單位圓可得三角不等式，又，，所以，故.故選：C.【點睛】方法點睛：本題考查構(gòu)造函數(shù)，并利用導(dǎo)數(shù)比大小的問題.題中條件可以構(gòu)造函數(shù)，進一步構(gòu)造函數(shù)，然后討論的單調(diào)性，由得到，再由三角不等式得到自變量的大小關(guān)系，最后根據(jù)的單調(diào)性求解.3．（多選）（23-24高二下·山西太原·期中）已知是定義在上的奇函數(shù)，當時，，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．當時， D．當時，【答案】BC【分析】構(gòu)造函數(shù)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性求解即可.【詳解】設(shè)，由是定義在上的奇函數(shù)知，則時，為偶函數(shù)，且時，，故在單調(diào)遞減，由偶函數(shù)的對稱性知，在單調(diào)遞增，故，即，故，B選項正確；當時，，故，C選項正確；當時，，故，D選項錯誤；由B，D選項知，，故，A選項錯誤.故選：BC4．（多選）（23-24高三上·安徽六安·期末）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，對任意的正數(shù)x，都滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．D．【答案】BC【分析】設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)性，據(jù)此即可判斷A和B選項，設(shè)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)性，據(jù)此即可求解C和D選項.【詳解】設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，由得，故A項錯誤；由得，故B項正確；設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，由得，故C項正確：由得，故D項錯誤.故選：BC.題型二：構(gòu)造或(，且)型1．（23-24高二上·江蘇宿遷·期末）函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，對任意實數(shù)恒有，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】首先構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合選項，依次判斷.【詳解】設(shè)，則，由條件可知，，所以，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則，即，故A錯誤；由函數(shù)的單調(diào)性可知，，得，故B正確；由，得，故C錯誤；由，得，故D錯誤.故選：B【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，從而可以根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，判斷選項.2．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知定義在R上的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)滿足恒成立，且時，則下列式子不一定成立的是（

）A． B．C． D．

【答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用的單調(diào)性可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，因為，又，所以，即在R上為增函數(shù)，選項A：因為，即，化簡得，故A成立；選項B：因為，即，化簡得，故B成立；選項C：因為，即，化簡得，故C成立；選項D：因為，即，化簡得，而故D不一定成立；故選：D.【點睛】本題關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性判斷結(jié)果.3．（2020·廣東梅州·模擬預(yù)測）設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，定義在上的函數(shù)滿足（1）；（2），則的范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造，求導(dǎo)得到單調(diào)性，根據(jù)得到，構(gòu)造，求導(dǎo)得到單調(diào)性，根據(jù)得到，得到答案.【詳解】設(shè)，則，在上單調(diào)遞增，則，即，；設(shè)，則，在上單調(diào)遞減，則，即，；綜上所述：.故選：B【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性確定不等關(guān)系，意在考查學(xué)生的計算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中，構(gòu)造和，求導(dǎo)確定單調(diào)區(qū)間是解題的關(guān)鍵，構(gòu)造法是?？嫉臄?shù)學(xué)方法，需要熟練掌握.4．（多選）（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知函數(shù)的定義域為，其導(dǎo)函數(shù)為，且對任意的，都有，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】令，可得在上單調(diào)遞增，取自變量的值可得結(jié)果.【詳解】令，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，故A錯誤，B正確；又，所以，即，故C正確，D錯誤.故選：BC.【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本步驟(1)作差或變形．(2)構(gòu)造新的函數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性或最值．(4)根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式．5．（多選）（2023·全國·模擬預(yù)測）已知定義在上的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，，的導(dǎo)函數(shù)為，若，是指數(shù)函數(shù)，，，則下列說法正確的是（

）A． B．在上單調(diào)遞增C．， D．【答案】AC【分析】由及可得函數(shù)的解析式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)即可判斷B；由是指數(shù)函數(shù)及可得的解析式，可判斷A；由解析式計算可判斷C；D選項代入后為比較與的大小關(guān)系，可轉(zhuǎn)化為比較與的大小關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究即可得.【詳解】由，即，即有，可得（為常數(shù)），又，故，所以，對于選項A，（且），由，得，故，故A正確；對于選項B，，當時，，故在上單調(diào)遞減，故B錯誤；對于選項C，，而，故，故，故C正確；對于選項D，，，設(shè)，則，令，則；令，則，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，故，故D錯誤，故選：AC．題型三：構(gòu)造或型1．（23-24高二下·重慶·階段練習(xí)）函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且，當時，，則關(guān)于的不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題意可構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，結(jié)合其奇偶性，即可判斷的正負情況，結(jié)合，即可求得答案.【詳解】令，則，由于當時，，故此時，則在上單調(diào)遞減，由于函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則，即為上的偶函數(shù)，則在上單調(diào)遞增，而，故，故當或時，，當或時，，由可得或，解得或，故不等式的解集為，故選：B【點睛】關(guān)鍵點點睛：關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，并得出其單調(diào)性、奇偶性，由此即可順利得解.2．（23-24高二下·重慶）設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，當時，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用三角函數(shù)公式化簡已知，再構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性依次判斷選項.【詳解】，設(shè)在單調(diào)遞增，，所以A錯誤；，所以，所以B正確；，所以C錯誤；，，所以D錯誤.故選：B3．（23-24高二下·江蘇·階段練習(xí)）函數(shù)的定義域是，其導(dǎo)函數(shù)是，若，則關(guān)于的不等式的解集為．【答案】【分析】根據(jù)已知條件和要求解得不等式，構(gòu)造函數(shù)g(x)＝f(x)sinx，，根據(jù)已知條件判斷其單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性即可求解要求解的不等式.【詳解】變形為，變形為，故可令g(x)＝f(x)sinx，，則，∴g(x)在單調(diào)遞減，不等式即為g(x)＜g()，則，故答案為：.題型四：構(gòu)造或型1．（23-24高二上·寧夏石嘴山·）定義在上的函數(shù)，是它的導(dǎo)函數(shù)，且恒有成立．則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，一一判斷各選項，即得到結(jié)論．【詳解】當，則不等式等價為，即，設(shè)，，則，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，，，，即，，，，則，故A正確；，得不出，故B錯誤．，故C錯誤．，故D錯誤．故選：A．2．（多選）（23-24高二下·安徽滁州·階段練習(xí)）定義在上的函數(shù)，已知是它的導(dǎo)函數(shù)，且恒有成立，則有（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合題目所給性質(zhì)可得在上單調(diào)遞減，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性計算即可得.【詳解】令，則，由已知可得，即在上單調(diào)遞減，所以，故，即C?D選項正確.故選：CD.3．（23-24高二下·江蘇蘇州·期中）已知函數(shù)，，是其導(dǎo)函數(shù)，恒有，則（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】由題設(shè)得，構(gòu)造并應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，【詳解】因為，所以，又，所以，構(gòu)造函數(shù)，，則，所以在上為增函數(shù)，因為，所以，即，即，故A正確；因為，所以，即，故，故B錯誤；因為，所以，即，故，故C錯誤；因為，所以，即，故，故D正確.故選：AD【點睛】關(guān)鍵點點睛：將已知條件轉(zhuǎn)化為，進而構(gòu)造研究單調(diào)性為關(guān)鍵.三、專項訓(xùn)練1．（23-24高二下·廣東東莞·階段練習(xí)）已知為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，當時，有恒成立，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)確定其單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性確定建立的不等關(guān)系，以及的不等關(guān)系，整理化簡得答案.【詳解】令，則，因為當時，有恒成立，所以當時，，即在上單調(diào)遞減，所以，即，即，A錯誤，B正確，，即，即，CD錯誤.故選：B.2．（23-24高二下·四川宜賓·階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為，對任意，有，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】依題意令，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，則不等式可化為，即，根據(jù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，解得即可.【詳解】令，則，所以在上單調(diào)遞增，不等式，即，即，所以，解得，所以不等式的解集是.故選：C3．（23-24高二下·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）已知函數(shù)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為．若，且，則使不等式成立的x的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知條件構(gòu)造函數(shù)，要求解的不等式可化為，判斷單調(diào)性即可求解．【詳解】設(shè)，則，∵，∴，∴，即在定義域R上單調(diào)遞減．∵，∴，∴不等式等價于，即，解得，故選：D．4．（21-22高三下·西藏拉薩·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，當時，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】觀察，可考慮構(gòu)造函數(shù)，求得的奇偶性，再由時，的單調(diào)性確定整個增減性，由與的正負反推正負即可求解.【詳解】設(shè)，則，∵當時，，∴當時，，即在上單調(diào)遞減.由于是奇函數(shù)，所以，是偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增.又，當或時，；當或時，，所以當或時，.即不等式的解集為.故選：B.5．（23-24高三上·陜西·階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域是，其導(dǎo)函數(shù)為，且，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】構(gòu)造函數(shù)，通過求導(dǎo)及已知條件得出單調(diào)性并化簡不等式，即可求出不等式的解集.【詳解】由題意，在函數(shù)中，，導(dǎo)函數(shù)為，，設(shè)，則.∵，∴，則是上的增函數(shù).不等式等價于，即，則解得：，故選：D.6．（22-23高二下·四川綿陽·期中）已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為，利用單調(diào)性解出即可．【詳解】令，則，∵，∴在上遞減，∵，∴，∵不等式，∴，∴，解得，故不等式的解集是．故選：B．7．（22-23高二下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，求導(dǎo)分析，可得在上單調(diào)遞減，不等式可等價轉(zhuǎn)化為，根據(jù)單調(diào)性可得答案．【詳解】令，，，在上單調(diào)遞減，又，，不等式可化為，，故選：B.8．（22-23高二下·江西吉安·期末）若定義在上的可導(dǎo)函數(shù)滿足，，則下列說法正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)不等式構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，利用單調(diào)性比較大小可得答案.【詳解】因為，所以構(gòu)造函數(shù)，所以，則在上單調(diào)遞減，又，所以，即，故A錯誤；，即，故B正確；，即，故C錯誤；，即，故D錯誤.故選：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)不等式構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小是解題關(guān)鍵.二、多選題9．（2024·浙江溫州·一模）定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，對于任意實數(shù)，都有，且滿足，則（

）A．函數(shù)為奇函數(shù)B．不等式的解集為C．若方程有兩個根，，則D．在處的切線方程為【答案】AC【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義即可判定A，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運算可得進而可求解，即可求解BD，根據(jù)二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，即可求解C.【詳解】對于A，，由可得，所以，且定義域為，故為奇函數(shù)，A正確，由于，所以為常數(shù)，則又在中，令，則，故，故，所以，對于B,可得，又，故，則，故B錯誤，對于C，為單調(diào)遞增函數(shù)，而為開口向上，且對稱軸為的二次函數(shù)，且是的兩個交點，的兩個交點設(shè)為，則，且，又為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，所以，C正確，由得，所以在處的切線