高中數(shù)學必修5全冊教案（23份） 人教課標版18

二元一次不等式（組）與平面區(qū)域

從容說課

本節(jié)課先由師生共同分析日常生活中的實際問題來引出二元一次不等式（組）的一些基本概

念，由一元一次不等式組的解集可以表示為數(shù)軸上的區(qū)間，引出問題：在直角坐標系內(nèi)，二元

一次不等式（組）的解集表示什么圖形？再從一個具體的一元二次不等式入手，分析得出一般的

一元二次不等式表示的區(qū)域及確定的方法，以此激發(fā)學生對科學的探究精神和嚴肅認真的科學

態(tài)度.通過具體例題的分析和求解，在這些例題中設(shè)置思考項，讓學生探究，層層鋪設(shè)，以便讓

學生深刻理解一元二次不等式表示的區(qū)域的概念，有利于二元一次不等式（組）與平面區(qū)域的教

學.講述完一元二次不等式表示的區(qū)域和二元一次不等式（組）與平面區(qū)域后，再回歸到先前的

具體實例，總結(jié)一元二次不等式表示的區(qū)域的概念和二元一次不等式（組）與平面區(qū)域，得出二

元一次不等式（組）與平面區(qū)域兩者之間的聯(lián)系，再輔以新的例題鞏固.整個教學過程，探究二

元一次不等式（組）的概念，一元二次不等式表示的區(qū)域和二元一次不等式（組）與平面區(qū)域的

聯(lián)系.得出一元二次不等式表示的區(qū)域和二元一次不等式（組）與平面區(qū)域的步驟和過程，并及

時加以鞏固，同時讓學生體驗數(shù)學的奧秘與數(shù)學美，激發(fā)學生的學習興趣.

教學重點會求二元一次不等式（組）表示平面的區(qū)域

教學難點如何把實際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，并給出解答

課時安排課時

三維目標

一、知識與技能

.使學生了解并會用二元一次不等式表示平面區(qū)域以及用二元一次不等式組表示平面區(qū)域；

.能畫出二元一次不等式（組）所表示的平面區(qū)域

二、過程與方法

.培養(yǎng)學生觀察、聯(lián)想以及作圖的能力，滲透集合、化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想；

.提高學生“建?！焙徒鉀Q實際問題的能力；

.本節(jié)新課講授分為五步（思考、嘗試、猜想、證明、歸納）來進行，目的是為了分散難點，

層層遞進，突出重點，只要學生對舊知識掌握較好，完全有可能由學生主動去探求新知，得出

結(jié)論

三、情感態(tài)度與價值觀

.通過本節(jié)教學著重培養(yǎng)學生掌握“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學思想，盡管側(cè)重于用“數(shù)”研究

“形”，但同時也用“形”去研究“數(shù)”，培養(yǎng)學生觀察、聯(lián)想、猜測、歸納等數(shù)學能力;

.結(jié)合教學內(nèi)容，培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣和“用數(shù)學”的意識，激勵學生勇于創(chuàng)新.

教學過程

第課時

導入新課

師在現(xiàn)實和數(shù)學中，我們會遇到各種不同的不等關(guān)系，需要用不同的數(shù)學模型來刻畫和研究它

們.前面我們學習了一元二次不等式及其解法，這里我們將學習另一種不等關(guān)系的模型.先看一

個實際例子

一家銀行的信貸部計劃年初投入元用于企業(yè)和個人貸款，希望這筆貸款資金至少可帶來元的

效益，其中從企業(yè)貸款中獲益，從個人貸款中獲益，那么，信貸部應該如何分配資金呢？

師這個問題中存在一些不等關(guān)系，我們應該用什么不等式模型來刻畫它們呢？

生設(shè)用于企業(yè)貸款的資金為元，用于個人貸款的資金為元，由資金總數(shù)為元，得到

師由于預計企業(yè)貸款創(chuàng)收，個人貸款創(chuàng)收.共創(chuàng)收元以上，所以

（）（）》,即

師最后考慮到用于企業(yè)貸款和個人貸款的資金數(shù)額都不能是負數(shù)，于是

生

師將①②③合在一起，得到分配資金應該滿足的條件：

x+y<25000000

12r+lOy>3000000

x>0,

”0.

師我們把含有兩個未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)是的不等式（組）稱為二元一次不等式（組）

滿足二元一次不等式（組）的和的取值構(gòu)成有序數(shù)對（），所有這樣的有序數(shù)對（）構(gòu)成的集合稱為

二元一次不等式（組）的解集.有序數(shù)對可以看成直角坐標平面內(nèi)點的坐標.于是，二元一次不等

式（組）的解集就可以看成直角坐標系內(nèi)的點構(gòu)成的集合

師我們知道，在平面直角坐標系中，以二元一次方程的解為坐標的點的集合｛（）｝是經(jīng)過點（，）

和（，）的一條直線，那么，以二元一次不等式（即含有兩個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)都是

的不等式）>的解為坐標的點的集合｛（）>｝是什么圖形呢？

推進新課

［合作探究］

師二元一次方程+一=有無數(shù)組解，每一組解是一對實數(shù)，它們在坐標平面上表示一個點，這

些點的集合組成點集｛（,）+-=｝,它在坐標平面上表示一條直線

以二元一次不等式+—>的解為坐標的點，也拼成一個點集.如=,=時，+->,點（，）的坐

標滿足不等式+—>.（,）是二元一次不等式+—>的解集中的一個元素.我們把二元一次不等

式+—>的解為坐標的點拼成的點集記為｛（,）+->

請同學們猜想一下，這個點集在坐標平面上表示什么呢？

生+—>表示直線：+—=右上方的所有點拼成的平面區(qū)域

師事實上，在平面直角坐標系中，所有的點被直線+—=分為三類：在直線+—=上；在直線

+一=右上方的平面區(qū)域內(nèi)；在直線+一=左下方的平面區(qū)域內(nèi).如（，）點的坐標代入+一中，

+->,（,）點在直線+—=的右上方.（一,）點的坐標代入+-中，+-=,（-,）點在直線

+—=上.（，一）點的坐標代入+—中，+—<,（,）點在直線+—=的左下方

因此，我們猜想，對直線+—=右上方的點（，）.+—>成立；對直線+—=左下方的點

（,）,H—<成立

師卜面對這一猜想進行一下推證

在直線：+—=上任取一點（，），過點作平行于軸的直線=,這時這條平行線上在點右側(cè)的

任意一點都有>,=兩式相加

+>+,則+—>+一點在直線+—=上，+-=

所以+—>

因為點（，）是直線+—=上的任意一點，所以對于直線+—=的右上方的任意點（，）+—>都

成立

同理，對于直線+一=左下方的任意點（，），+一〈都成立

所以點集｛（，）+—>｝是直線+一=右上方的平面區(qū)域，點集，）+一<是直線+—=

左下方的平面區(qū)域

師一般來講，二元一次不等式++>在平面直角坐標系中表示直線++=的某一側(cè)所有點組成

的平面區(qū)域

由于對在直線++=同一側(cè)的所有點（，）,實數(shù)++的符號相同，所以只需在此直線的某一側(cè)

取一個特殊點(，)，由++的正、負就可判斷++>表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域.當W時，我

們常把原點作為這個特殊點去進行判斷.如把(，)代入+—中，+-<

說明：+一〈表示直線+-=左下方原點所在的區(qū)域，就是說不等式所表示的區(qū)域與原點在直

線+—=的同一側(cè)

如果=.,直線過原點，原點坐標代入無法進行判斷，則可另選一個易計算的點去進行判斷.

師提醒同學們注意，不等式++N所表示的區(qū)域，應當理解為{(,)++>}U{(,)++=}.這

個區(qū)域包括邊界直線，應把邊界直線畫為實線

師另外同學們還應當明確有關(guān)區(qū)域的一些稱呼

()為直線右上方的平面區(qū)域

()為直線左下方的平面區(qū)域

()為直線左上方的平面區(qū)域

()為直線右下方的平面區(qū)域

［教師精講］

師二元一次不等式〉和〈表示的平面區(qū)域

()結(jié)論：二元一次不等式,在平面直角坐標系中表示直線某一側(cè)所有點組成的平面區(qū)域

把直線畫成虛線以表示區(qū)域不包括邊界直線，若畫不等式》表示的平面區(qū)域時，此區(qū)域包括邊

界直線，則把邊界直線畫成實線

()判斷方法：由于對在直線同一側(cè)的所有點()，把它的坐標()代入，所得的實數(shù)的符號都相

同，故只需在這條直線的某一側(cè)取一個特殊點()，以的正負情況便可判斷》表示這一直線哪一

側(cè)的平面區(qū)域，特殊地，當K時，常把原點作為此特殊點

［知識拓展］

【例】畫出不等式+—＞表示的平面區(qū)域

解:先畫直線+-=(虛線)，把原點(，)代入+一，得一〈.因+一〈,說明原點不在要求的區(qū)

域內(nèi)，不等式+—＞表示的平面區(qū)域與原點在直線+-=的異側(cè)，即直線+一=的右上部分的

平面區(qū)域

生學生課堂練習

()-+＜

0+—>

0—

x+3y+6>0,

【例】畫出不等式組《■表示的平面區(qū)域

x—y+2Vo

,\-y+2=0

++Z表示直線上及其右上方的點的集合

一+〈表示直線左上方一側(cè)不包括邊界的點的集合

在確定這兩個點集的交集時，要特別注意其邊界線是實線還是虛線，還有兩直線的交點處是實

點還是空點

x-y+520,

【例】畫出不等式組■x+yNO,表示的平面區(qū)域

x<3

師不等式組表示的平面區(qū)域是各個不等式所表示的平面點集的交集，因而是各個不等式所表示

的平面區(qū)域的公共部分

生解：不等式》表示直線右上方的平面區(qū)域，》表示直線右上方的平面區(qū)域，W左上方的平面

區(qū)域，所以原不等式表示的平面區(qū)域如右圖中的陰影部分

課堂練習

作出下列二元一次不等式或不等式組表示的平面區(qū)域

()<;

()>;

()>:

()<;

x+y-1>0,

)[x-y>0.

如下圖：

［合作探究］

師由上述討論及例題，可歸納出如何由二元一次不等式(組)表示平面區(qū)域的嗎？

生歸納如.下：

.在平面直角坐標系中，平面內(nèi)的所有點被直線分成三類：

()直線上：｛()｝；

()直線的上方：｛()>｝；

()直線的下方：｛()<

對于平面.內(nèi)的任意一點()的坐標，代入中，得到一個實數(shù)，此實數(shù)或等于，或大于，或小于.觀

察到所有大

于的點都在直線的右上方，所有小于的點都在直線的左下方，所有等于的點在直線上

.一般地，

二元一次不等式>在平面直角坐標系中表示直線的某一側(cè)的所有的點組成的平面區(qū)域.直線畫成

虛線表示不包括邊界.

二元一次不等式》表示的平面區(qū)域是直線的某一側(cè)的所有的點組成的平面區(qū)域.直線應畫成實

線

此時常常用“直線定界，特殊點定位”的方法.（當直線不過原點時，常常取原點；過原點時取

坐標軸上的點）

［方法引導］

上述過程分為五步（思考、嘗試、猜想、證明、歸納）來進行，目的是分散難點，層層遞進，突

出重點，只要學生對舊知識掌握較好，完全可以由學生主動去探求新知，得出結(jié)論

課堂小結(jié)

.在平面直角坐標系中，平面內(nèi)的所有點被直線分成三類：

（）直線上;

（）直線的上方;

（）直線的下方

.二元一次不等式〉和〈表示的平面區(qū)域.

布置作業(yè)

.不等式〉表示的區(qū)域在的（）

.右上方.右下方左上方左下方

.不等式組《表示的平面區(qū)域是（）

x-y+2<0

.直線右上方的平面區(qū)域可用不等式表示

x<0,

.不等式組，yVO,表示的平面區(qū)域內(nèi)的整點坐標是.

4x+3y+8>0

.畫出（）（）。表示的區(qū)域

答案:

>-)

第課時

導入新課

師前一節(jié)課我們共同學習了二元一次不等式（組）的一些基本概念，并且從一個具體的一元二次

不等式入手，分析得出一般的一元二次不等式表示的區(qū)域及確定的方法，總結(jié)一元二次不等式

表示的區(qū)域的概念和二元一次不等式（組）與平面區(qū)域，得出二元一次不等式（組）與平面區(qū)域

兩者之間的聯(lián)系，下面請同學回憶上述內(nèi)容

生一般來講，二元一次不等式++＞在平面直角坐標系中表示直線++=的某一側(cè)所有點組成

的平面區(qū)域

由于對在直線++=同一側(cè)的所有點（，），實數(shù)++的符號相同，所以只需在此直線的某一側(cè)

取一個特.殊點（，），由++的正、負就可判斷++＞表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域.當#時，

我們常把原點作為這個特殊點去進行判斷

如果=，直線過原點，原點坐標代入無法進行判斷，則可另選一個易計算的點去進行判斷

推進新課

［例題剖析］

師【例】畫出不等式〈表示的平面區(qū)域

y

2

師解：先畫直線=（虛線），把原點（，）代入=一＜,因為＜,說明原點在要求的區(qū)域內(nèi)，不等

式〈表示的平面區(qū)域與原點在直線的一側(cè)，即直線的左下部分的平面區(qū)域

師在確定這兩個點集的交集時，要特別注意其邊界線是實線還是虛線，還有兩直線的交點處是

實點還是空點.

師【例】用平面區(qū)域表示不等式組1的解集

x＜2y

師分析：由于所求平面區(qū)域的點的坐標要同時滿足兩個不等式，因此二元一次不等式組表示的

平面區(qū)域是各個不等式表示的平面區(qū)域的交集，即各個不等式表示的平面區(qū)域的公共部分

X

生解：不等式（表示直線下方的區(qū)域；不等式（表示直線y=］上方的區(qū)域.取兩個區(qū)域重疊

的部分，下圖中的陰影部分就表示原不等式組的解集

4\

‘鍬蘇-12=0

師【例】某人準備投資萬元興辦一所完全中學.對教育市場進行調(diào)查后，他得到了下面的數(shù)據(jù)表

格：（以班級為單位）

學段班級學生數(shù)配備教師數(shù)硬件建設(shè)萬元教師年薪萬元

初中班人

高中班人

分別用數(shù)學關(guān)系式和圖形表示上述限制條件

師若設(shè)開設(shè)初中班個,高中班個,根據(jù)題意，總共招生班數(shù)應限制在之間，所以應該有什么樣的限

制

生W

師考慮到所投資金的限制,又應該得到什么

生XXW,即另外,開設(shè)的班數(shù)不能為負，則把上面四個不等式合在一起,得到

20<x+y<30,

x+2j<40,

x>0,

y>0.

師用圖形表示這個限制條件,請同學完成

生得到圖中的平面區(qū)域（陰影部分

師例一個化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料，生產(chǎn)車皮甲種肥料的主要原料是磷酸鹽噸，硝酸

鹽噸；生產(chǎn)車皮乙種肥料的主要原料是磷酸鹽噸，硝酸鹽噸.現(xiàn)庫存磷酸鹽噸，硝酸鹽噸，在此

基礎(chǔ)上生產(chǎn)這兩種混合肥料.列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學關(guān)系式,并畫出相應的平面區(qū)域

師若設(shè)、分別為計劃生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料的車皮數(shù)，則應滿足什么樣的條件

4x+y<10,

生—滿足以下條件《18x+15‘y<66,(*)

x>0,

y>0.

師在直角坐標系中完成不等式組(*)所表示的平面區(qū)域

生

生課堂練習

y<x,

(),x+2y<4,

y>-2.

x<3,

1y>x,

3x+2y>6,

3y<x+9.

［方法引導］

上述過程分為思考、嘗試、猜想、證明、歸納來進行，目的是分散難點，層層遞進，突出

重點，只要學生對舊知識掌握較好，完全有可能由學生主動去探求新知，得出正確解答

課堂小結(jié)

.處理實際問題，關(guān)鍵之處在于從題意中建立約束條件，實際上就是建立數(shù)學模型.這樣解

題時，將所有的約束條件羅列出來，弄清約束條件，以理論指導實際生產(chǎn)需要

.在實際應用中，由二元一次不等式組構(gòu)成了約束條件，確定線性約束條件的可行域的方

法，與由二元一次不等式表示平面區(qū)域方法相同，即由不等式組表示這些平面區(qū)域的公共區(qū)

域

布置作業(yè)

課本第頁練習.

板書設(shè)計

第課時

二元一次不等式（組）與平面區(qū)域

例

課堂小結(jié)例

例

第課時

二元一次不等式（組）與平面區(qū)域

例

例例

例

習題詳解

（課本笫頁練習

.分析:把已知條件用下表表示:

工作所需時間（單位分鐘）收益（單位:元）

打磨著色上漆

桌子

桌子

工作最長時間

解:設(shè)家具廠每天生產(chǎn)類桌子張類桌子張

對于類桌子，張桌子需要打磨個小時，著色個小時,上漆個小時;對于類桌子，張桌子需要打磨.

個小時，著色個小時，上漆個小時,而打磨工人每天工作最長時間是分鐘，所以有W.類似地W,

10x+5y<45Q

6x+12y<48Q

在實際問題中所以題目中包含的限制條件為《6x+9y445Q

x>0,

y>0.

備課資料

一、備用例題

l<x+y<4,

【例】設(shè)實數(shù)、滿足不等式組°.t求點()所在的平面區(qū)域

y+2>|2x-3|,

分析：必須使學生明確，求點()所在的平面區(qū)域，關(guān)鍵是確定區(qū)域的邊界線.可以從去掉絕對值

符號入手

l<x+y<4,fl<x+y<4,

解：已知的不等式組等價于，y+2N3—2乂或<y+2>2x-3,

2x-3<0[2x-3>0.

解得點()所在平面區(qū)域為下圖所示的陰影部分(含邊界).其中:

【例】某工廠要安排一種產(chǎn)品生產(chǎn)，該產(chǎn)品有I、n、in三種型號，生產(chǎn)這種產(chǎn)品需要兩種主

要資源：原材料和勞動力，每件產(chǎn)品所需資源數(shù)量以及每件產(chǎn)品出售價格如下表所示:

IIIIII

貨源

原材料(千克件)

勞動力(小時件)

每天可利用的原材料為千克，勞動力為小時，假定該產(chǎn)品只要生產(chǎn)出來即可銷售出去，試確定

三種型號產(chǎn)品的日產(chǎn)量，使總產(chǎn)值最大

分析:建立數(shù)學模型：

（）用、、分別表示I、II、in三種型號的日產(chǎn)量

4X]+3X2+6七V12Q

（）明確約束條件：<2七+4々+5與〈10（1

,>0,x2>0,x3>0.

4XI+3X2+6七<12Q

這樣，這個資源利用問題的數(shù)學模型為滿足約束條件■2為+4X2+5當KI0Q的可行域.

X]>0,x2>0,x3>0

【例】某機械廠的車工分i、n兩個等級，各級車工每人每天加工能力，成品合格率如下表所

不：

級別加工能力（個人天）成品合格率（）

I

II

工廠要求每天至少加工配件個，車工每出一個廢品，工廠要損失元，現(xiàn)有I級車工人，n級車

工人，且工廠要求至少安排名II級車工，問如何安排工作？

解：首先據(jù)題意列出線性約束條件和目標函數(shù).設(shè)需I、II級車工分別為人

線性約束條件：

97%*24Qr+95.5%*160y>240Q

<04x48,

6<y<12.

畫出線性約束條件的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示

據(jù)圖知點（，）應為既滿足題意，又使目標函數(shù)最小.然而點非整數(shù)點.故在點上側(cè)作平行直線經(jīng)

過可行域內(nèi)的整點，且與原點最近距離，可知（，）為滿足題意的整數(shù)解

二、閱讀材料

二元一次方程組的圖象解法

看一個二元一次方程=+.我們可以列表把這個方程的解表示出來:

??????

??????

由表中給出的有序?qū)崝?shù)對…