高考數(shù)學導數(shù)專題 導數(shù)解答題之導數(shù)基礎練習題

高考數(shù)學導數(shù)專題導數(shù)解答題之導數(shù)基礎練習題

1.已知函數(shù)/(X)=x-/〃x,g(x)=-ax.

(1)求函數(shù)/(x)在區(qū)間[/,f+l](f>0)上的最小值加⑴;

(2)令〃(x)=g(x)-/(x),A(x,,/i(x,)),B(X2,〃(々))(項是函數(shù)“(X)圖象上任意兩

點，且滿足幺止蛆」>1,求實數(shù)。的取值范圍；

Xif

(3)若*e(0,1],使〃x)…佇幽成立，求實數(shù)。的最大值.

X

【解析】(Df(x)=l--,令/'(x)=o,則x=l,

X

當時,/(x)在口，/+)上單調遞增,“X)的最小值為/⑴=f

當0<￡<1時,/(x)在區(qū)間0,1)上為減函數(shù)，在區(qū)間(匕+1)上為增函數(shù)，“X)的最小值為

f(1)=1.

綜上,當0</<1時，m(t)=1；當￡,1時,m(t)=t-lnt

2

(2)h(x)-x-(a+l)x+Inx,對于任意的王，x2e(0,+oo),不妨取再<》2，則

則由處G~>1,可得〃(須)-A(X2)<%)-x2,

X\~X2

變形得h{x})-Xj<〃(工2)-工2恒成立

F[x)=/?(%)-x=x2-(a+2)x+Inx,

則F(x)=x2-(a+2)x+Inx在(0,+oo)上單調遞增,

故F(x)=2x-(a+2)+L0在(0,”)恒成立

X

：.2工+1...(。+2)在(0,+8)恒成立.

X

2x+-..2y/2,當且僅當才=今時取J"，.?.42&-2

x2

(3)va(x+1),2x2-xlnx.

x

,/xG(0,1],/.x4-1e(1,2],

/八5-2x2-xlnx...

???3xe(0,1］使得--------成立.

x+l

人,、2x2-xlnx，/、2x2+3x-/wx-l

令=-----:—，則Mitl\x)=——-~~-r——

x+1(x+l)

^y^2x2+3x-Inx-\,則由==(七出)("二：=0,可得x=2或x=-l(舍).

x4

當xc(O,；)時，/<0,則y=2,d+3%一/〃工一1在(0,；)上單調遞減；

當X￡(L+OO)時，/>0r則y=2/+3%一加一1在(L+oo)上單調遞增.

44

y>ln4-->0,.,，(%)>0在%￡(0,1］上恒成立.

8

.?"(X)在(0,1］上單調遞增.則4,f(I).即41

實數(shù)。的最大值為1

2.已知函數(shù)/(x)=x/〃x,g(x)=-x2+ax-3.

(I)求〃x)在［f,f+2］(f>0)上的最小值;

(H)若存在X€［1,e］(e是常數(shù)，e=2.71828...)使不等式2/(x)..g(x)成立，求實數(shù)a的

e

取值范圍；

1?

(III)證明對一切X￡(0,”)都有布>------成立.

exex

【解析】(I)/'(x)="x+l,當X€(O」)，r(x)<0,〃x)單調遞減，

e

當xed，內)，/'(x)>0,/(x)單調遞增.

e

(ly0</</+2<—,t無解：

e

?0<r<-</+2<-,即0<r<1時，/(xLn=/(-)=--；

eeeee

③L,，<E+2,即時，/(x)在上，，+2］上單調遞增，f(x)min=f(t)=tlnt：

ee

11

——,0A</<-

???/(U〃=°［第

e

(11)由題意知2x歷r...-/+ar-3,則a,2/〃x+x+°,

x

設A(x)=2lnx+x+3(x>0),則h'(x)=d)D,

XX

XG[1,1],l(x)<0,〃(外單調遞減，XG[1,e],/7z(x)>0,〃(x)單調遞增，

所以h(x)=max{h(~),h(e)}

maxe

因為存在xc[1,e],2/(x)..g(x)恒成立，所以體〃(x)…；

e

因為幽3=-2+1+3e,h(e)=2+e+-,

eee

所以幽(e),

e

所以%-2+-+3e；

e

x2

(III)問題等價于證明人阮r>土――(XG(0,+OD)),

exe

由(I)知/(X)=X/〃X(X€(O,+8))的最小值是-1,當且僅當工=，時取到

ee

X21_Y1

設加(x)=：--(xw(0,+8)),則加(X)=——,m(x)=m(1)=一一,

eeemaxe

Y2

當且僅當X=1時取到，從而對一切X€(0,+8),都有/成立.

ee

3.已知函數(shù)/(x)=x/〃x,g(x)=-f+"-2

(I)求函數(shù)求函在U,f+2](t>0)上的最小值;

(H)若函數(shù)J，=/(x)+g(x)有兩個不同的極值點%，9但<》2)且％-演〉加2,求實數(shù)。

的取值范圍.

【解析】(I)由/'(x)=/〃x+l=0,可得x=1,

e

時，函數(shù)〃X)在(才」)上單調遞減，在d，t+2)上單調遞增，

eee

函數(shù)〃x)在[f,f+2](r>0)上的最小值為/(I)=

ee

②當J」時，/(X)在U，f+2]上單調遞增，

e

=f(t)=tint,

,0</<-

(II)y-/(x)+g(x)=xlnx-x2+tzx-2,則y'=_2x+]+a

題意即為了=/〃/-2X+1+Q=0有兩個不同的實根西，x2(x]<x2)t

即。=-歷x+2x-l有兩個不同的實根項，x2(x]<x2),

等價于直線y=Q與函數(shù)G(x)=-"x+2x-1的圖象有兩個不同的交點

?.?G，(x)=-1+2,，G(x)在(0，)上單調遞減，在(L+8)上單調遞增，

x22

畫出函數(shù)圖象的大致形狀(如右圖)，

由圖象知，當a>G(x)","=G(；))=/〃2時，x,,馬存在，且々-玉的值隨著a的增大而增大

q-2石+1+〃=0

而當W-X]=>2時，由題意

r2-2X2+1+a=0

兩式相減可得/?—=2(X,-X2)=-2ln2

4

x2=4x,代入上述方程可得&=4演=§歷2,

此時""2-/〃(嗎-1,

33

所以，實數(shù)a的取值范圍為加-加?！?/p>

4.已知函數(shù)f(X)=/"X,g(x)=；x2-bx+l(b為常數(shù)).

(1)函數(shù)/(X)的圖象在點(1,f(1))處的切線與函數(shù)g(x)的圖象相切，求實數(shù)6的值;

(2)若6=0,h(x)=f(x)-g(x),%、x2[1,2]使得〃6)-%(工2)..”成立,求滿足上述

條件的最大整數(shù)歷；

(3)當由2時，若對于區(qū)間［1,2］內的任意兩個不相等的實數(shù)芭，X2,都有

l/(Xi)-/a)|>|g(xJ-g(X2)|成立，求b的取值范圍.

【解析】(1)-：f^=lnx,=f(1)=1,

X

???函數(shù)/(x)的圖象在點(I,f(1))處的切線方程為y=x-i

\y=x-\

???直線V=x-1與函數(shù)g(x)的圖象相切，由12,消去y得*-23+1口+4=0,

Iy=—x-bx+l

則△=4(6+1)2-16=0,解得6=1或-3

(2)當6=0時，???h(x)=/(x)-g(x)=Inx--x2-1(xe［1,2］),hf(x)=--x=--+'),

2xx

當xw(l,2］時，川(x)vo,.,.在［1,2］上單調遞減,

3

〃(x)2=h(1)=---A(X)??.?=h(2)=ln2-3,

3

則m(苞)=,

3

:.M?--ln2<\,故滿足條件的最大整數(shù)是M=0.

2

(3)不妨設士>》2，???函數(shù)"x)=/〃x在區(qū)間口，2］上是增函數(shù)，.?./區(qū))>/小)，

???函數(shù)g(x)圖象的對稱軸為x=b,且6.2,???函數(shù)g(x)在區(qū)間［1，2］上是減函數(shù)，

g(X|)<g(X2),

■,-I/Ui)-f(x2)|>|g(xl)-g(x2)|等價于/(x,)-f(x2)>g?)-g6),

即/(xJ+g(XI)>f(x2)+g(x2),

等價于夕(X)=/(x)+g(x)=Inx+-bx+1在區(qū)間［1,2］上是增函數(shù)，

等價丁夕'(X)=—+x+4.0在區(qū)間［1,2］上恒成立,

等價于",x+-在區(qū)間［1,2］上恒成立,

：h2,Xfe.2,：.b=2.

5.設函數(shù)=-加，g(x)=--4)其中aeR,e=2.718為自然對數(shù)的底數(shù).

(1)討論“X)的單調性；

(2)證明：當x>l時，g(x)>0；

(3)確定。的所有可能取值，使得/(x)>g(x)在區(qū)間(1,+8)內恒成立.

12/7Y2—1

【解析】(I)解：由〃x)="2-a-加x,得:(x)=2ax--=—:---(x>0),

XX

當a.0時，/'(x)<0在(0,+8)成立，則f(x)為(0,+8)上的減函數(shù);

當a>0時，由/'(x)=0,得x=±、3=土叵，

/Z-JZ-

則/(X)在(0,一-)上為減函數(shù)，在(一m)上為增函數(shù);

2a2a

綜上，當4。時，f(x)為(0,+?>)上的減函數(shù)，當。>0時，f(x)在(0,*)上為減函數(shù),

在C，內)上為增函數(shù);

(H)證明：要證g(x)>0(x>l),即即證,>且，也就是證J>e,

xexxexx

令h(x)=—,則〃(x)=巳,

???Mx)在(l,+oo)上單調遞增，則h(x)n,?=h(1)=e,

即當x>l時，h(x)>e,.?.當x>l時，g(x)>0；

(III)由(II)知,當x>l時，g(x)>0,

當a,0,x>1時，/(x)=a(x2-1)-/?x<0,

故當f(x)>g(x)在區(qū)間(l,+8)內恒成立時,必有a>0,

當時'專>1'

由(1)有"，=)<〃1)=0,ffij(J=)>0,

y/2ayjla

???此時/a)>ga)在區(qū)間a+8)內不恒成立;

當Q..」時'令〃(x)=/(x)—g(x)(x..l),

2

當1時,hf(x)=2ax--+-^--e]~x

XX

111x}-2x+\x2-2x+i人

>x——+=——=-----——>---；——>0,

XXXXX

因此〃(x)在區(qū)間(1,+8)上單調遞增,

又?：h(1)=0,.,.當x>l時，h(x)=/(x)-g(x)>0,

即f(x)>g(x)恒成立,

綜上,ae[；,+8).

6.已知函數(shù)/(x)=x+a/〃x在x=l處的切線與直線x+2y=0垂直.

(I)求實數(shù)。的值；

(II)函數(shù)8(》)=/(幻+；/一區(qū)，若函數(shù)g(x)存在單調遞減區(qū)間，求實數(shù)b的取值范圍;

(川)設王，工2(王<血)是函數(shù)g(X)的兩個極值點，若b…；,求g(xj-g?)的最小值.

【解析】(I)根據(jù)題意,f(x)=x+alnx,則八x)=l+—

X

又由切線與直線x+2y=0垂直，則有人=/'(])=1+?=2,即”1,

(II)根據(jù)題意，g(x)=f(x)+^x2-hx,則g(x)=/〃x+gx2-(b-l)x,

-1)Z,由題知g8)<0在(0,+8)上有解,

g,(x)=-+x-(6-l)=

XX

vx>0/.設^(x)=x2-(6-l)x+1,

j。

而解0)=1>0,所以要使g'(x)<o在(0,+<?)上有解，則只需《2

2

A=(/>-1)-4>0

h>\

即6>3或p'所以°的取值范圍為…

U)X+],令g<x)=o,得f-(6-Dx+i=o,

(111)VgF(x)=-+x-(6-l)=

XX

:演，w(X1<Z)是函數(shù)g(x)的兩個極值點，則玉，%(占<%)是X?-(b-l)x+l=O的兩個

根,

+x2=b—\,XjX2=1,

g(X1)-g(x2)=[/MX,+2-(b-1)X|]-+gw2-3-l)x2]

.)=/〃±—L(土_%)，

x}x2工22x2x1

令”土，則g(Xj-g(X2)=〃(/)=1),

0<Xj<x2t=—e(0,1),

“2，IX2

75,)

又b.」,所以6-L」，所以(6-1)2=(玉+Z)2人上=星+2..”,

22x,x24

11

整理有4產-17,+4..0,解得te

44

而小)=沼。+#(1)2<。，所以購在畤單調遞減,則有財..心=畀加2；

2/2

故g(Xl)-g(X2)的最小值是

8

7.已知函數(shù)/(x)=。扇+等/+1

當時，求/(x)在區(qū)間［Le］上的最值

(1)

2e

(2)討論函數(shù)/(X)的單調性

2

(3)當-1<〃<0時，有/(1)>1+—/〃(-4)恒成立，求。的取值范圍.

a

11X

【解析】(1)當〃=-；時，/(x)=--/nx+—+1,

—1XX'—1

/(x)=——+-=-------.

2x22x

???/(x)的定義域為(0,+8),

，由/'(x)=0得》=1.

??J(x)在區(qū)間［Le］上的最值只可能在/(l)jd)j(e)取到,

ee

而/(I)=p/(-)=1+白J")=：+。=/(e)=:+'=,/d)=

4c24。24244

/c、、(a+\)x2+a..、

(2)/(x)=---------------,xe(0,+8).

x

①當a+L,0,即a,-1時，/'(x)<0,在(0,+oo)單調遞減；

②當a.0時,/'(x)>。:/⑴在(0,+oo)單調遞增;

③當一…<°時,由八"得相言，"恁或一信（舍去）

“3在（恬'+8）單調遞增,在（。，恁）上單調遞減;

綜上，當a.0時，/（x）在（0,+W單調遞增;

當-卜"。時’/㈤在（，言'田）單調遞增，在（。4言）上單調遞減.

a+\

當W,-1時，/（%）在（0,+8）單調遞減;

⑶由⑵知，“<”0時，九劍小居p

即原不等式等價于,

Va+12

1>\+^ln(-a)整理得ln(a+1)>-1

a>--1,

e

Xv-l<a<0,

..a的取值范圍為d-1,0).

e

8.已知函數(shù)/(x)=ax+x/nx的圖象在點x=e(e為自然對數(shù)的底數(shù))處的切線的斜率為3.

(I)求實數(shù)a的值；

(II)若/(x),履2對任意》>0成立，求實數(shù)”的取值范圍；

(III)當">機時，證明：.

五n

【解析】(I)解：求導數(shù)，得八x)=a+M+l.

由己知，得/'(e)=3,即a+/〃e+l=3,a=1.

(II)解：由(I),知/㈤=x+x]—,

.?./(謂履2對任意x>0成立=把對任意x>0成立，

X

令8(》)=匕媽，則問題轉化為求g(x)的最大值.

X

求導數(shù),得g'(x)=-螭，令g'(x)=0,解得x=l.

x2

當0<x<l時，g'(x)>0,，g(x)在(0,1)上是增函數(shù)；

當x>l時,g'(x)<o,；.g(x)在(l,+oo)上是減函數(shù).

故g(x)在X=1處取得最大值g(1)=1.

即為所求.

Y/HYY—1—Inx

(in)證明：令檢)=些,則〃a)=乙——.

x-l(X-1)2

由(II),知工.工+加工(1>0),…0,

〃⑴是(1,+8)上的增函數(shù).

,7/、1/\Mtmmlntn

n>m>\,n(n)>"(〃?)，即nn---->-----,

n-\tn-\

mnlnn—nlnn>mnlnm—mlnm，

BfJmnlnn+mlnm>mnlnm+nlnn,

即"心"+/〃加”>""用〃+歷/,

即ln(mnn)m>ln(nrnm)n,

.?.。加)加>(3)〃，

y[inm

-/=■>—.

\fnn

9.已知函數(shù)/(x)=x-/〃(x+a)的最小值為0,其中a>0.設g(x)=/〃x+竺，

X

(1)求。的值；

(2)對任意±>》2>0,黑再)[聚々)<1恒成立,求實數(shù)"?的取值范圍；

X\~X2

(3)討論方程ga)=/a)+/〃a+i)在口,”)上根的個數(shù).

【解析】(1)/(X)的定義域為(-a,y).r(x)=lL_=l1￡zl.

x+ax+a

由廣(x)=0,解得x=l-a>-a.

當x變化時，/'(x),的變化情況如下表：

X(-a,l-a)\-a(1-a,+00)

f'(x)-0+

/