概率與統(tǒng)計 拔高教師版

目錄

概率與統(tǒng)計......................................................................2

模塊一：統(tǒng)計..................................................................2

考點1：抽樣方法...................................................2

考點2：樣本數(shù)字特征...............................................4

模塊二：線性回歸分析.........................................................9

考點3:線性回歸..................................................10

模塊三：概率.................................................................12

考點4:古典概型..................................................12

考點5：幾何概型..................................................13

課后作業(yè)：...................................................................14

概率與統(tǒng)計

模塊一：統(tǒng)計

簡單隨機抽樣〔而心法

-隨機抽樣系統(tǒng)抽樣（等距抽樣）

、分層抽樣

頻率分布直方圖與莖葉圖

-用樣本估計總正一數(shù)字特征平均數(shù)

:方差與標準差

考點1:抽樣方法

例1.（1）（2019春?龍?zhí)秴^(qū)校級月考）完成下列兩項調(diào)查：①從某社區(qū)70戶高收入家庭、

335戶中等收入家庭、95戶低收入家庭中選出100戶，調(diào)查社會購買能力的某項指標；②從

某中學的15名藝術特長生中選出3名調(diào)查學習負擔情況.這兩項調(diào)查宜采用的抽樣方法依

次是（）

A.①簡單隨機抽樣，②系統(tǒng)抽樣B.①分層抽樣，②簡單隨機抽樣

C.①系統(tǒng)抽樣，②分層抽樣D.①②都用分層抽樣

【解答】解：在①中，從某社區(qū)70戶高收入家庭、335戶中等收入家庭、95戶低收入家庭

中選出100戶，調(diào)查社會購買能力的某項指標，

應該采用分層抽樣；

在②中，從某中學的15名藝術特長生中選出3名調(diào)查學習負擔情況.

應該采用的同學虛報的機抽樣.

故選：B.

（2）（2019春?浙河區(qū)校級月考）為了了解學生學習的情況，某校采用分層抽樣的方法從高

一1200人、高二1000人、高三〃人中，抽取90人進行問卷調(diào)查.已知高一被抽取的人數(shù)

為36,那么高三被抽取的人數(shù)為（）

A.20B.24C.30D.32

【解答】解：根據(jù)題意抽取比例為：＜8=二，故總?cè)藬?shù)為：90x—=3000,

12001003

3

IWJ三被抽取的人數(shù)為：——x(3000-1200-1000)=24.

100

故選：B.

(3)(2019春?信州區(qū)校級月考)某班有40位同學，座位號記為01,02,40,用下面

的隨機數(shù)表選取5組數(shù)作為參加青年志愿者活動的5位同學的座位號

4954445482173793237887352096

4384263491645724550688770474

4767217633502583921207675086

選取方法是從隨機數(shù)表第一行的第11列和第12列數(shù)字開始，由左到右依次選取兩個數(shù)字,

則選出來的第5個志愿者的座位號是()

A.09B.20C.37D.38

【解答】解：根據(jù)題意，從隨機數(shù)表第一行的第11列和第12列數(shù)字17開始，由左到右依

次選取兩個數(shù)字，

即為：17,37,23,35,20,...；

則選出來的第5個志愿者的座位號20.

故選：B.

(4)(2019春?香洲區(qū)校級月考)一個總體中有600個個體，隨機編號為001,002,

600,利用系統(tǒng)抽樣方法抽取容量為25的一個樣本，總體分組后在第一組隨機抽得的編號為

006,則在編號為049與120之間抽得的編號為()

A.056,080,104B.054,078,102C.054,079,104D.056,081,106

【解答】解：樣本間隔為600+25=24,

若在第一組隨機抽得的編號為006,

則所有號碼為6+24(〃-1)=24"-18

則當〃=2時，號碼為30,

當“=3時，號碼為54,

當〃=4時，號碼為78,

當〃=5時，號碼為102,

當〃=6時，號碼為126,

故在編號為049與120之間抽得的編號為054,078,102,

故選：B.

（5）（2018秋?岳麓區(qū)校級月考）將參加夏令營的400名學生編號為：001,002,400,

采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為40的樣本，且隨機抽得的號碼為003,這400名學生

分住在三個營區(qū)，從001至I]180在第一營區(qū)，從181至1J295在第二營區(qū)，從296到400在第

三營區(qū)，三個營區(qū)被抽中的人數(shù)分別為（）

A.18,12,10B.20,12,8C.17,13,10D.18,11,11

【解答】解：根據(jù)系統(tǒng)抽樣特點，抽樣間隔為幽=10,被抽到號碼/=10左+3,keN.

40

由題意可知，第一營區(qū)可分為18個小組，每組抽取1人，共抽取18人，

由第二營區(qū)的編號為181到295,可知18掇10左+3295,keN,可得18領上29,

因此第二營區(qū)應有12人，第三營區(qū)有10人，所以三個營區(qū)被抽中的人數(shù)分別為18,12,

10.

故選：A.

考點2：樣本數(shù)字特征

例2.（1）（2019春?博望區(qū)校級月考）踢建子是中國民間傳統(tǒng)的運動項目之一，起源于漢朝,

至今已有兩千多年的歷史，是一項簡便易行的健身活動.某單位組織踢毯子比騫，把20人

平均分成甲、乙兩組，并把每人在1分鐘內(nèi)踢建子的數(shù)目用莖葉圖記錄如下（其中中間的數(shù)

字表示十位數(shù)，兩側(cè)的數(shù)字表示個位數(shù)）.則下列判斷正確的是（）

甲組乙組

8722

01318

31545774

20530

265

A.甲組中位數(shù)大，乙組方差大B.甲組方差大，乙組極差大

C.甲組平均數(shù)大，乙組方差大D.甲組極差大，乙組中位數(shù)大

【解答】解：依題意，甲的中位數(shù)為空士生=44,乙的中位數(shù)為竺±土=46

22

——1

甲的平均數(shù)為峰=而(27+28+31+30+45+41+43+50+52+62)=40.9,

一I

乙的平均數(shù)為：殳=—(22+30+38+44+45+47+47+50+53+65)=44.2,

甲的極差為：62-27=35,

乙的極差為：65-22=43.

從莖葉圖看，乙更集中，甲更分散，故甲的方差更大，

故選：B.

(2)(2019春?南陵縣校級月考)從某地區(qū)年齡在25~55歲的人員中，隨機抽出100人，

了解他們對今年兩會的熱點問題的看法，繪制出頻率分布直方圖如圖所示，則下列說法正確

的是()

00o

0.05

o.oifJHJILLL^

30354C45so554^rr

A.抽出的100人中，年齡在40~45歲的人數(shù)大約為20

B.抽出的100人中，年齡在35~45歲的人數(shù)大約為30

C.抽出的100人中，年齡在40~50歲的人數(shù)大約為40

D.抽出的100人中，年齡在35~50歲的人數(shù)大約為50

【解答】解：年齡在40~45歲的頻率為：

1-<0.01+0.05+0.06+0.02+0.02)*5=0.2,

二.抽出的100人中，年齡在40~45歲的人數(shù)大約為：100x0.2=20人，

年齡在35~45歲頻率為：

1-(0.01+0.05+0.02+0.02)x5=0.5,

，抽出的100人中，年齡在35~45歲的人數(shù)大約為100*0.5=50人，

故A正確，B,C,。均錯誤.

故選：A.

(3)(2019春?天元區(qū)校級月考)在一次200千米的汽車拉力賽中，50名參賽選手的成績?nèi)?/p>

部介于13分鐘到18分鐘之間，將比賽成績分為五組：第一組［13,14),第二組［14,15),

…，第五組［17,18］,其頻率分布直方圖如圖所示，若成績在口3,15)之間的選手可獲獎，

則這50名選手中獲獎的人數(shù)為()

【解答】解：由頻率分布直方圖得成績在［13,15）之間的頻率為：

1-（0.38+0.32+0.08）=0.22,

.?.這50名選手中獲獎的人數(shù)為：50x0.22=11.

故選：D.

（4）（2019春?洪北區(qū)校級月考）從某地區(qū)隨機抽取100名高中男生，將他們的體重（單位：

儂）數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖）.若要從體重在［60,70）,［70,80）,［80,90］三

組內(nèi)的男生中，用分層抽樣的方法選取12人參加一項活動，再從這12人中選兩人當正、副

隊長，則這兩人體重不在同一組內(nèi)的概率為（）

【解答】在［60,70）,［70,80）,［80,90］三組內(nèi)的男生中抽取的人數(shù)之比為

0.3:0.2:0.1=3:2:1,

故這三組內(nèi)的男生中抽取的人數(shù)分別為12x—--=6,12x---=4,12x—1—=2

3+2+13+2+13+2+1

所有的選法有a=66種，

這兩人身高不在同一組內(nèi)的選法有6x4+6x2+4x2=44種，

故這兩人身高不在同一組內(nèi)的概率為2=2

663

故選：D.

（5）（2019春?和平區(qū)校級月考）在某次數(shù)學測驗后，將參加考試的500名學生的數(shù)學成績

制成頻率分布直方圖（如圖），則在該次測驗中成績不低于100分的學生數(shù)是（）

【解答】解：由頻率分布直方圖得：

在該次測驗中成績不低于100分的學生的頻率為:

1-（0.012+0.018+0.030）x10=0.4,

???在該次測驗中成績不低于100分的學生數(shù)為：

500x0.4=200.

故選：C.

（6）（2019春?葉集區(qū)校級月考）已知數(shù)據(jù)玉，％oi9的平均數(shù)是100,則2占+1,2X2+1,

...2尤2019+I的平均數(shù)是（）

A.100B.2019C.200D.201

【解答】解：數(shù)據(jù)為，9…Woi9的平均數(shù)是1。。，

貝1]2玉+1,2x,2+1，…2W019+I的平均數(shù)是2x100+1=201.

故選：D.

（7）（2019春?袁州區(qū)校級月考）甲乙兩名同學6次考試的成績統(tǒng)計如圖，甲乙兩組數(shù)據(jù)的

平均數(shù)分別為焉，與，方差分別為端，磚則（）

23456曲）

A.無甲〉生，焉<cr：B.海>尤乙，端〉七

C.x甲<尤乙，b<b乙D■尤甲<尤乙，b甲>b7、

【解答】解：甲乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為焉，與，方差分別為端，(T￡,

由甲乙兩名同學6次考試的成績統(tǒng)計如圖，知：

甲組數(shù)據(jù)靠上，乙組數(shù)據(jù)靠下，

甲組數(shù)據(jù)相對集中，乙組數(shù)據(jù)相對分散分散布，

由甲乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為蒲，看，方差分別為

端，cr|,

1f寸x用>無乙，b甲<b乙.

(8)(2019春?江城區(qū)校級月考)某高校調(diào)查了200名學生每周的自習時間(單位：小時)，

制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習時間的范圍是[17.5,30],樣本數(shù)據(jù)分組為

[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根據(jù)直方圖，這200

名學生中每周的自習時間不少于22.5小時的人數(shù)是—.

【解答】解：由頻率分布直方圖得：

這200名學生中每周的自習時間不少于22.5小時的頻率為:

1-(0.02+0.10)x2.5=0.7,

這200名學生中每周的自習時間不少于22.5小時的人數(shù)為：

200x0.7=140.

故答案為：140.

模塊二：線性回歸分析

1.兩個變量之間的關系：函數(shù)關系與相關關系.

相關關系：變量間存在關系，但又不具備函數(shù)關系所要求的確定性，它們的關系是帶有一定

隨機性的.當一個變量取值一定時，另一個變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關

系叫做相關關系.

2.如果當一個變量的值變大時，另一個變量的值也在變大，則這種相關稱為正相關；

反之，一個變量的值變大時，另一個變量的值由大變小，這種相關稱為負相關.

3.散點圖：將樣本中的〃個數(shù)據(jù)點(%'=2,…，力描在平面直角坐標系中.

散點圖形象地反映了各個數(shù)據(jù)的密切程度，根據(jù)散點圖的分布趨勢可以直觀地判斷分析兩個

變量的關系.

散點圖可以判斷兩個變量之間有沒有相關關系.

4.回歸分析：對于具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的方法叫做回歸分析，即回歸分

析就是尋找相關關系中這種非確定關系的某種確定性.

回歸直線：如果散點圖中的各點都大致分布在一條直線附近，就稱這兩個變量之間具有線性

相關關系，這條直線叫做回歸直線.

5.最小二乘法：

記回歸直線方程為：y=a+bx,稱為變量y對變量X的回歸直線方程，其中6叫做回歸系

數(shù).

亍是為了區(qū)分y的實際值y,當X取值無，時，變量y的相應觀察值為％,而直線上對應于尤，

的縱坐標是%=。+bxt.

設x,y的一組觀察值為(%,%),i=l，2,…，n,且回歸直線方程為9=a+bx,

當x取值七時，丫的相應觀察值為％,差%-白刻畫了實際觀察值外與回歸直線上相應點的

縱坐標之間的偏離程度，稱這些值為離差.

我們希望這〃個離差構(gòu)成的總離差越小越好，這樣才能使所找的直線很貼近已知點.

記,回歸直線就是所有直線中。取最小值的那條.這種使“離差平方和

Z=1

為最小”的方法，叫做最小二乘法.

2（%一尤）（％-y）X%%-nxy

可以得到的計算公式為B--------z——=十-------a=y-bx,其中

￡（%-尤了0；_心）2

z=l1=1

_1?_1?

x=-X%,一由此得到的直線9=4+意就稱為回歸直線，其中方，B分別為

n,=in,=i

。的估計值.

由&=歹-加知，回歸直線一定過平均值點，即一定過（土，?。?

考點3：線性回歸

例3.（1）（2009海南3）對變量x,y有觀測數(shù)據(jù)（%,%）（，=1,2,???,10）,得散點圖1；

對變量M,v有觀測數(shù)據(jù)他，匕）（力=1,2,…，10）,得散點圖2.由這兩個散點圖可以判斷

yV

30

60

2550

2040

1530

1O20

510

01234567X0123456711

圖1圖2

A.變量x與y正相關,〃與v正相關B.變量x與y正相關，M與v負相關

C.變量x與y負相關,a與v正相關D.變量x與y負相關，〃與v負相關

【解答】C

（2）（2019春?渝水區(qū)校級月考）某產(chǎn)品的廣告費用x與銷售額y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表:

廣告費用X（萬元）1245

銷售額y（萬元）6142832

根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)可以求得線性回歸方程￡=〃+&中的g為6,據(jù)此模型，當銷售額為80

萬元時預報廣告費用為（）

A.13萬元B.14萬元C.15萬元D.16萬元

【解答】解：釬蟲產(chǎn)=3,尹心!%=2。'

則樣本中心點為（3,20）,

又成=6,<2=y-fox=20-6x3=2,

則線性回歸方程為$=6x+2,取y=80,可得x=13(萬元).

故選：A.

(3)(2019春?紅塔區(qū)校級月考)某車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時

間，為此進行了5次試驗，根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)(如表),

零件數(shù)X個1020304050

加工時間y(miri)62附酬758189

由最小二乘法求得回歸直線方程j=0.68.x+54.4.

由于后期沒有保存好，導致表中有一個數(shù)據(jù)模糊不清，請你推斷出該數(shù)據(jù)的值為()

A.67B.68.2C.68D.67.2

【解答】解：設表中模糊看不清的數(shù)據(jù)為沉，

由表中數(shù)據(jù)得：于=g*(10+20+30+40+50)=30,

1777+2

y=-x(62+m+75+81+89)=61+^—,

由于由最小二乘法求得回歸方程(=0.68%+54.4,

將元=30,y=61+3代入回歸直線方程，解得機=67.

5

故選：A.

(4)(2019春?龍?zhí)秴^(qū)校級月考)已知x與y之間的幾組數(shù)據(jù)如表：則y與x的線性回歸方

程9=取+&必過點()

X0123

y0257

37

A.(1,2)B.(2,6)C.(|,；)D.(3,7)

1317

【解答】解：元=7(°+1+2+3)=5，9=[(0+2+5+7)=/,

即y與x的線性回歸方程y=bx+a必過點(|,1),

故選：C.

(5)(2019春?葫蘆島月考)兩個線件相關變量x,y,滿足如下關系

24568

y2.24.34.86.57.2

則y與x的線性問歸直線-定過其樣本點的中心，其坐標為()

A.(5,5)B.(4,5)C.(4,4)D.(5,4)

【解答】解：線性回歸直線的樣本點的中心為(無，歹)，

_2+4+5+6+8「_2.2+4.3+4.8+6.5+7.2「

'：x=--------------------=5,y=--------------------------------=5,

55

，線性回歸直線的樣本點的中心為(5,5).

故選：A.

模塊三：概率

隨機事優(yōu)

［基本事件

［事件)一:互斥事件與對立事件

、事件的交與事件的并

概率的統(tǒng)計定義

互斥事件的概率加法公式

概率on：

特征：有限性與等可能性

1古典概型,一概率的古典定義

I兒何概型］

考點4：古典概型

例4.(1)(2019春?博望區(qū)校級月考)某工廠生產(chǎn)的A,B,C三種不同型號的產(chǎn)品數(shù)量

之比為2:3:5,為研究這三種產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法從該工廠生產(chǎn)的A,B,C

三種產(chǎn)品中抽出樣本容量為〃的樣本，若樣本中A型產(chǎn)品有10件，則〃的值為()

A.15B.25C.50D.60

【解答】解：某工廠生產(chǎn)的A,B,C三種不同型號的產(chǎn)品數(shù)量之比為2:3:5,

用分層抽樣的方法從該工廠生產(chǎn)的A,B,C三種產(chǎn)品中抽出樣本容量為"的樣本,

...樣本中A型產(chǎn)品有10件,

(2)(2018秋?靜寧縣校級月考)從一箱產(chǎn)品中隨機地抽取一件，設事件4=｛抽到一等品｝,

事件B=｛抽到二等品｝,事件C=｛抽到三等品｝,且已知尸(A)=0.65,P(B)=0.21

P(C)=0.1.則事件“抽到的是二等品或三等品”的概率為()

A.0.7B.0.65C.0.35D.0.3

【解答】解：從一箱產(chǎn)品中隨機地抽取一件，設事件A=｛抽到一等品｝,事件3=｛抽到二

等品｝,事件C=｛抽到三等品｝,

P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1.

則事件“抽到的是二等品或三等品”的概率為：

P(B]JC)=P(B)+P(C)=0.2+0.1=0.3.

故選：D.

(3)(2017秋?翠屏區(qū)校級月考)甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是工，甲獲勝的概

6

率是g,則甲不輸?shù)母怕蕿?)

A.-B.-C.-D.-

5263

【解答】解：?.■甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是工，甲獲勝的概率是1，

63

，甲不輸?shù)母怕蕿橄?工+工=

632

故選：B.

考點5：幾何概型

例5.(1)據(jù)報告，俄羅斯人造衛(wèi)星Kosmos-1220或已于2014年2月16日墜落地球，由于

墜落地點無法確定,可能會掉在任何地方,專家警告可能會非常危險.在地球上海洋占70.9%

的面積，陸地占29.1%的面積，你認為衛(wèi)星落在陸地的概率約為,落在我國國土內(nèi)

的概率為.(地球的面積約為5.1億平方千米)(結(jié)果保留兩位有效數(shù)字)

【解答】29.1%,0.019.

(2)已知x是卜5,5]上的一個隨機數(shù)，則使x滿足/一工一2力0的概率為.

【解答】-

10

（3）一個正三角形的外接圓的半徑為1,向該圓內(nèi)隨機投一點尸，點P恰好落在正三角形

外的概率是

【解答】I一空

4兀

課后作業(yè)：

1.（2017春?灘溪縣期末）現(xiàn)有以下兩項調(diào)查:①某裝訂廠平均每小時大約裝訂圖書362冊，

要求檢驗員每小時抽取40冊圖書，檢查其裝訂質(zhì)量狀況；②某市有大型、中型與小型的

商店共1500家，三者數(shù)量之比為1:5:9.為了調(diào)查全市商店每日零售額情況，抽取其中

15家進行調(diào)查.完成①、②這兩項調(diào)查宜采用的抽樣方法依次是（）

A.簡單隨機抽樣法，分層抽樣

B.分層抽樣法，簡單隨機抽樣法

C.分層抽樣法，系統(tǒng)抽樣法

D.系統(tǒng)抽樣法，分層抽樣法

【解答】解：在①中，某裝訂廠平均每小時大約裝訂圖書362冊，

要求檢驗員每小時抽取40冊圖書，檢查其裝訂質(zhì)量狀況，

因為時間間隔相等，都是1小時，故應該利用系統(tǒng)抽樣；

在②中，某市有大型、中型與小型的商店共1500家，三者數(shù)量之比為1:5:9.

為了調(diào)查全市商店每日零售額情況，抽取其中15家進行調(diào)查.

因為大型、中型與小型的商店層次分明，故應該采用分層抽樣.

故選：D.

2.（2019?唐山三模）為了調(diào)查某工廠生產(chǎn)的一種產(chǎn)品的尺寸是否合格，現(xiàn)從500件產(chǎn)品中

抽出10件進行檢驗先將500件產(chǎn)品編號為000,001,002,499,在隨機數(shù)表中任選一

個數(shù)開始，例如選出第6行第8列的數(shù)4開始向右讀（為了便于說明，下面摘取了隨機數(shù)表，

附表1的第6行至第8行），即第一個號碼為439,則選出的第4個號碼是（）

162277943949544354821737932378

844217533157245506887704744767

630163785916955567199810507175

A.548B.443C.379D.217

【解答】解：選出第6行第8列的數(shù)4開始向右讀(為了便于說明，下面摘取了隨機數(shù)表,

附表1的第6行至第8行)，

即第一個號碼為439,則選出的前4個號碼是：439,495,443,217,

.?.選出的第4個號碼