山東省煙臺市高三下學(xué)期高考診斷性測試數(shù)學(xué)（理）試題

山東省煙臺市2018屆高三下學(xué)期高考診斷性測試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求。1.已知集合,則集合A∩B=A.B.C.D.【答案】D【解析】由，集合，所以，故選D.2.已知復(fù)數(shù)(i是虛數(shù)單位),則的虛部為A.B.C.D.【答案】C【解析】由題意，所以復(fù)數(shù)的虛部為，故選C.3.某產(chǎn)品廣告宣傳費(fèi)與銷售額的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如右表，根據(jù)數(shù)據(jù)表可得回歸直線方程,其中,據(jù)此模型預(yù)測廣告費(fèi)用為9千元時(shí),銷售額為A.17萬元B.18萬元C.19萬元D.20萬元【答案】A【解析】由題意，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可知，且，代入，則，解得，即，當(dāng)時(shí)，，故選A.4.已知等差數(shù)數(shù)列的前項(xiàng)和為Sn,若a3+a7=6,則S9等于A.15B.18C.27D.39【答案】C【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，又，故選C.5.定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x),當(dāng)時(shí),,則A.B.C.D.【答案】B【解析】由題意函數(shù)滿足，所以函數(shù)為以為周期的周期函數(shù)，則，由函數(shù)為奇函數(shù)且當(dāng)時(shí)，，所以，即，故選B.6.已知的展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為243,則展開式中x2的系數(shù)為A.5B.40C.20D.10【答案】B【解析】由題意，二項(xiàng)式的展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和為，令，則，解得，所以二項(xiàng)式的展開式為，令，則，即的系數(shù)為，故選B.7.設(shè)變量x、y滿足約束條件,則的最最大值為A.6B.C.D.3【答案】C【解析】作出約束條件所表示的平面區(qū)域，如圖所示，目標(biāo)函數(shù)化簡為，由圖象可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)是取得最大值，由，解得，即，所以目標(biāo)函數(shù)的最大值為，故選C.8.《孫子算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作,書中有一問題:“今有方物一束,外周一匝有三十二枚,問積幾何?“該著作中提出了一種解決此問題的方法:“重置二位,左位減八,余加右位,至盡虛減一,即得.”通過對該題的研究發(fā)現(xiàn),若一束方物外周一匝的枚數(shù)n是8的整數(shù)倍時(shí),均可采用此方法求解,右圖是解決這類問題的程序框圖,若輸入n=24,則輸出的結(jié)果為A.23B.47C.24D.48【答案】B【解析】模擬程序的運(yùn)行，可得，執(zhí)行循環(huán)體，，不滿足條件；執(zhí)行循環(huán)體，，不滿足條件；執(zhí)行循環(huán)體，，滿足條件，輸出，故選B.9.若函數(shù)在上是增函數(shù),則的取值范圍是A.B.C.D.【答案】D【解析】由題意，因?yàn)樗允竞瘮?shù)含原點(diǎn)的遞增區(qū)間，又因?yàn)楹瘮?shù)在上是增函數(shù)，所以，即，又，所以，故選D.10.雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為為F1、F2,過F2作傾斜角為的直線與y軸和雙曲線的左支分別交于點(diǎn)A、B,若,則該雙曲線的離心率為A.B.2C.D.【答案】C【解析】由，根據(jù)向量的運(yùn)算可知，點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，則，在直角中，因?yàn)榍?，所以，即，又因?yàn)?，所以，即，又，解?11.已知函數(shù)y=f(x)對任意的滿足(其中為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)),則下列不等式成立的是A.B.C.D.【答案】B【解析】令，則，因?yàn)?，則，所以，所以，即，即，故選B.點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，以及利用函數(shù)的單調(diào)比較大小關(guān)系，其中熟記函數(shù)四則運(yùn)算中商的導(dǎo)數(shù)公式，以及構(gòu)造出相應(yīng)的函數(shù)模型是解答的關(guān)鍵，屬于中檔試題.12.已知函數(shù)在R上是單調(diào)遞增函數(shù),則的最小值是A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】由題意的，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以滿足，可得，且所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以，故選A.點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，以及基本不等式求最值問題，解答中根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，列出不等式組，求解，代入，利用基本不等式求最值是解得關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，試題有一定的綜合性，屬于中檔試題.二、填空題:本大題共有4個(gè)小題,每小題5分,共20分13.若非零向量、滿足,則與的夾角為_______?！敬鸢浮俊窘馕觥坑深}意，，所以向量與所成的角為，且，所以.14.在△ABC中,角A、B、C的對邊分別為a、b、c,若∠B=60°,a=3,b=,則c的值為____________。【答案】4【解析】在中，由余弦定理，得，即，解得.15.已知F(2,0)為橢圓的右焦點(diǎn),過F且垂直于x軸的弦的長度為6,若A,點(diǎn)M為橢圓上任一點(diǎn),則的最大值為_____。【答案】【解析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，由橢圓的焦點(diǎn)為，則，又過且垂直于軸的弦的長度為，即，則，解得，所以，又由，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最大值，此時(shí)，所以的最大值為.點(diǎn)睛：本題主要考查了橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)題意求得的值，再利用橢圓的定義轉(zhuǎn)化為當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最大值是解答的關(guān)鍵.著重考查了分析問題和解答問題的能力.16.如圖,一張矩形白紙ABCD,AB=10,AD=,E,F分別為AD,BC的中點(diǎn),現(xiàn)分別將△ABE,△CDF沿BE,DF折起,且A、C在平面BFDE同側(cè),下列命題正確的是____________(寫出所有正確命題的序號)①當(dāng)平面ABE∥平面CDF時(shí),AC∥平面BFDE②當(dāng)平面ABE∥平面CDF時(shí),AE∥CD③當(dāng)A、C重合于點(diǎn)P時(shí),PG⊥PD④當(dāng)A、C重合于點(diǎn)P時(shí),三棱錐PDEF的外接球的表面積為150【答案】①④【解析】在中，，在中，，所以，由題意，將沿折起,且在平面同側(cè)，此時(shí)四點(diǎn)在同一平面內(nèi)，平面平面，平面平面，當(dāng)平面平面時(shí)，得到,顯然，所以四邊形是平行四邊形，所以,進(jìn)而得到平面，所以①正確的；由于折疊后，直線與直線為異面直線，所以與不平行，所以②錯(cuò)誤的；折疊后，可得,，其中,ZE，所以和不垂直，所以③不正確；當(dāng)重合于點(diǎn)時(shí),在三棱錐中，和均為直角三角形，所以為外接球的直徑，即,則三棱錐的外接球的表面積為，所以④是正確，綜上正確命題的序號為①④.點(diǎn)睛：本題考查了命題的真假判定，空間直線與平面平行、垂直的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，以及球的組合體問題，對于求解球的組合體問題常用方法有（1）三條棱兩兩互相垂直時(shí)，可恢復(fù)為長方體，利用長方體的體對角線為外接球的直徑，求出球的半徑；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的對稱性，球心為上下底面外接圓的圓心連線的中點(diǎn)，再根據(jù)勾股定理求球的半徑.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題,每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答。17.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,滿足,且(1)求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若數(shù)列滿足,求數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn【答案】（1）；（2）【解析】試題分析：（1）由已知，求得，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）得，進(jìn)而得，利用乘公比錯(cuò)位相減法，即可求解數(shù)列的和.試題解析：（1）由已知得：，或（舍去）.（2），,兩式相減得：.18.如圖,在三棱柱ABCDEF中,AE與BD相交于點(diǎn)O,C在平面ABED內(nèi)的射影為O,G為CF的中點(diǎn)(1)求證平由ABED⊥平面GED(2)若AB=BD=BE=EF=2,求二面角ACEB的余弦值【答案】（1）見解析；（2）【解析】試題分析：（1）取中點(diǎn)，證得，又因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)的射影為，所以⊥平面.利用面面垂直的判定定理，即可證明平面平面；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面和平面的一個(gè)法向量利用向量的夾角公式，即可求解二面角的余弦值.試題解析：（1）取中點(diǎn)，在三角形中，，.又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，..四邊形為平行四邊形..因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)的射影為，所以⊥平面.所以⊥平面.又因?yàn)椋云矫嫫矫?（2）∵⊥面，∴⊥，⊥又∵四邊形為菱形，⊥，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸、軸、軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，于是，，，，向量，向量，設(shè)面的一個(gè)法向量為，，即，不妨令時(shí)，則，，取.又為面的一個(gè)法向量.設(shè)二面角大小為，顯然為銳角，于是，故二面角的余弦值為．19.某高中學(xué)校對全體學(xué)生進(jìn)行體育達(dá)標(biāo)測試,每人測試A、B兩個(gè)項(xiàng)目,每個(gè)項(xiàng)目滿分均為60分.從全體學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人,分別統(tǒng)計(jì)他們A、B兩個(gè)項(xiàng)目的測試成績,得到A項(xiàng)目測試成績的頻率分布直方圖和B項(xiàng)目測試成績的頻數(shù)分布表如下:將學(xué)生的成績劃分為三個(gè)等級如右表:(1)在抽取的100人中,求A項(xiàng)目等級為優(yōu)秀的人數(shù)(2)已知A項(xiàng)目等級為優(yōu)秀的學(xué)生中女生有14人,A項(xiàng)目等級為一般或良好的學(xué)生中女生有34人,試完成下列2×2列聯(lián)表,并分析是否有95%以上的把握認(rèn)為“A項(xiàng)目等級為優(yōu)秀”與性別有關(guān)?參考數(shù)據(jù):0.100.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828參考公式其中(3)將樣本的率作為總體的概率,并假設(shè)A項(xiàng)目和B項(xiàng)目測試成績互不影響,現(xiàn)從該校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人進(jìn)行調(diào)查,試估計(jì)其A項(xiàng)目等級比B項(xiàng)目等級高的概率,【答案】（1）40；（2）有95%以上的把握認(rèn)為“項(xiàng)目等級為優(yōu)秀”與性別有關(guān)；（3）0.3【解析】試題分析：（1）由項(xiàng)目測試成績的頻率分布直方圖，即可求解項(xiàng)目等級為優(yōu)秀的頻率及優(yōu)秀的人數(shù)；（2）由（1）知：作出列聯(lián)表，利用公式求解的值，即可得到結(jié)論；（3）設(shè)“項(xiàng)目等級比項(xiàng)目等級高”為事件，記“項(xiàng)目等級為良好”為事件；“項(xiàng)目等級為優(yōu)秀”為事件；“項(xiàng)目等級為一般”為事件；“項(xiàng)目等級為良好”為事件，利用概率的加法公式，即可求解概率.試題解析：（1）由項(xiàng)目測試成績的頻率分布直方圖，得項(xiàng)目等級為優(yōu)秀的頻率為，所以，項(xiàng)目等級為優(yōu)秀的人數(shù)為．（2）由（1）知：項(xiàng)目等級為優(yōu)秀的學(xué)生中，女生數(shù)為人，男生數(shù)為人.項(xiàng)目等級為一般或良好的學(xué)生中，女生數(shù)為人，男生數(shù)為人.作出列聯(lián)表：優(yōu)秀一般或良好合計(jì)男生數(shù)女生數(shù)合計(jì)計(jì)算，由于，所以有95%以上的把握認(rèn)為“項(xiàng)目等級為優(yōu)秀”與性別有關(guān)．（3）設(shè)“項(xiàng)目等級比項(xiàng)目等級高”為事件．記“項(xiàng)目等級為良好”為事件；“項(xiàng)目等級為優(yōu)秀”為事件；“項(xiàng)目等級為一般”為事件；“項(xiàng)目等級為良好”為事件．于是，，由頻率估計(jì)概率得：，.因?yàn)槭录c相互獨(dú)立，其中．所以．所以隨機(jī)抽取一名學(xué)生其項(xiàng)目等級比項(xiàng)目等級高的概率為．20.已知拋物線x2=2Py(p>0)和圓x2+y2=r2(r>0)的公共弦過拋物線的焦點(diǎn)F,且弦長為4(1)求拋物線和圓的方程:(2)過點(diǎn)F的直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn),拋物線在點(diǎn)A處的切線與x軸的交點(diǎn)為M,求△ABM面積的最小值【答案】（1），；（2）【解析】試題分析：（1）由題意可知，求得的值，得到拋物線的方程，進(jìn)而求得圓的方程.（2）設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立方程組，求的及，利用導(dǎo)數(shù)求得切線方程，得到，利用點(diǎn)到直線的距離公式，求的距離，表示出面積的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可得到結(jié)論.試題解析：（1）由題意可知，，所以，故拋物線的方程為.又，所以，所以圓的方程為.（2）設(shè)直線的方程為：，并設(shè)，聯(lián)立，消可得，.所以；.，所以過點(diǎn)的切線的斜率為，切線為，令，可得，，所以點(diǎn)到直線的距離，故，分又，代入上式并整理可得：，令，可得為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，令，可得，當(dāng)，，當(dāng)，，所以時(shí)，取得最小值，故的最小值為.點(diǎn)睛：本題主要考查拋物線的方程與性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,解答此類題目，利用題設(shè)條件確定圓錐曲線方程是基礎(chǔ)，通過聯(lián)立直線方程與橢圓（圓錐曲線）方程的方程組，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得到“目標(biāo)函數(shù)”的解析式，利用函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解，此類問題易錯(cuò)點(diǎn)是復(fù)雜式子的變形能力不足，導(dǎo)致錯(cuò)漏百出，本題能較好的考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、分析問題解決問題的能力等.21.已知有兩個(gè)零點(diǎn)(1)求a的取值范圍(2)設(shè)x1、x2是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn),求證證:x1+x2>【答案】（1）；（2）見解析【解析】試題分析：（1）求的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，分類討論，即可求解實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）不妨設(shè)，由（1）知，構(gòu)造函數(shù)，得到，得到，得到函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可得到證明.試題解析：（1），當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在單調(diào)遞增，至多有一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)，，單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)函數(shù)取最小值當(dāng)時(shí)，，即，所以至多有一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，，即因?yàn)?，所以在有一個(gè)零點(diǎn)；因?yàn)?，所以，，由于，所以在有一個(gè)零點(diǎn).綜上，的取值范圍是.（2）不妨設(shè)，由（1）知，，.構(gòu)造函數(shù)，則因?yàn)椋?，在單調(diào)遞減.所以當(dāng)時(shí)，恒有，即因?yàn)椋杂谑怯?，且在單調(diào)遞增，所以，即點(diǎn)睛：本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，不等式的證明和不等式的恒成立問題，考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理能力與計(jì)算能力，導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、圓等知識聯(lián)系；(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)；(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決函數(shù)的恒成立與有解問題；(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.22.已知直線l的參數(shù)方程為為參數(shù)），橢圓C的參數(shù)