專題01 有理數(shù)（知識(shí)串講+熱考題型+真題訓(xùn)練）（原卷版）2024-2025學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期中期末考點(diǎn)歸納滿分攻略講練（人教版2024）

專題01有理數(shù)【考點(diǎn)01】正負(fù)數(shù)

【考點(diǎn)02】相反意義的量表示

【考點(diǎn)03】有理數(shù)的概念辨析【考點(diǎn)04】有理數(shù)的分類【考點(diǎn)05】有理數(shù)的大小比較

【考點(diǎn)06】數(shù)軸的三要素及其畫法【考點(diǎn)07】利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小

【考點(diǎn)08】數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離【考點(diǎn)題型九】數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題

【考點(diǎn)09】相反數(shù)的概念【考點(diǎn)10】相反數(shù)的性質(zhì)運(yùn)用

【考點(diǎn)11】絕對(duì)值定義、絕對(duì)值的性質(zhì)【考點(diǎn)12】化簡(jiǎn)絕對(duì)值

【考點(diǎn)13】非負(fù)性的性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)1：正數(shù)和負(fù)數(shù)（1）概念正數(shù)：大于0的數(shù)叫做正數(shù)。負(fù)數(shù)：在正數(shù)前面加上負(fù)號(hào)“—”的數(shù)叫做負(fù)數(shù)。注：0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界線，是整數(shù)，自然數(shù)，有理數(shù)。（不是帶“—”號(hào)的數(shù)都是負(fù)數(shù)，而是在正數(shù)前加“—”的數(shù)。）（2）意義：在同一個(gè)問題上，用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量。知識(shí)點(diǎn)1：有理數(shù)（1）概念整數(shù)：正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)。分?jǐn)?shù)：正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱分?jǐn)?shù)。（有限小數(shù)與無(wú)限循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù)。）注：正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)和零統(tǒng)稱為非正數(shù)，正整數(shù)和零統(tǒng)稱為非負(fù)整數(shù)，負(fù)整數(shù)和零統(tǒng)稱為非正整數(shù)。（2）分類：兩種

知識(shí)點(diǎn)1：數(shù)軸（1）概念：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸。三要素：原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度（2）對(duì)應(yīng)關(guān)系：數(shù)軸上的點(diǎn)和有理數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的。知識(shí)點(diǎn)1：相反數(shù)（1）概念代數(shù)：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做相反數(shù)。（0的相反數(shù)是0）幾何：在數(shù)軸上，離原點(diǎn)的距離相等的兩個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù)叫做相反數(shù)。（2）性質(zhì)：若a與b互為相反數(shù)，則a＋b=0，即a=-b；反之，若a＋b=0，則a與b互為相反數(shù)。（注意：當(dāng)“—”號(hào)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)個(gè)時(shí)，結(jié)果取正號(hào)當(dāng)“—”號(hào)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)個(gè)時(shí)，結(jié)果取負(fù)號(hào)）知識(shí)點(diǎn)1：絕對(duì)值（1）幾何意義：一個(gè)數(shù)的數(shù)量大小叫作這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值。

（3）代數(shù)符號(hào)意義：注：非負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它本身，非正數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)。（4）性質(zhì)：絕對(duì)值是a(a＞0)的數(shù)有2個(gè)，他們互為相反數(shù)。即±a。（5）非負(fù)性：任意一個(gè)有理數(shù)的絕對(duì)值都大于等于零，即|a|≥0。幾個(gè)非負(fù)數(shù)之和等于0，則每個(gè)非負(fù)數(shù)都等于0。故若|a|＋|b|＝0，則a＝0，b＝0兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小時(shí)，絕對(duì)值大的反而小。【考點(diǎn)01】正負(fù)數(shù)

【典例1】中國(guó)人很早開始使用負(fù)數(shù)，中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》的“方程”一章，在世界數(shù)學(xué)史上首次正式引入負(fù)數(shù)．如果支出1000元記作?1000元，那么+1080元表示（

）A．支出80元 B．收入80元 C．支出1080元 D．收入1080元【變式1-1】受全球新冠肺炎疫情的影響，全球經(jīng)濟(jì)大幅下滑，經(jīng)合組織預(yù)計(jì)，2020年全球經(jīng)濟(jì)下降為4.5%，記作?4.5%，與此同時(shí)，經(jīng)合組織預(yù)計(jì)2020年美國(guó)經(jīng)濟(jì)增速預(yù)期為?3.8%，2020年歐元區(qū)經(jīng)濟(jì)增速為?7.9%．按照經(jīng)合組織的預(yù)期，2020年中國(guó)經(jīng)濟(jì)將實(shí)現(xiàn)A．+1.8% B．?1.8% C．+1.8 【變式1-2】在?2，+3.5，0，?12,?0.7A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式1-3】在?2，+3.5，0，?12,?0.7A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式1-4】有一組數(shù)為：?1，12A．?17 B．17 C．【考點(diǎn)02】相反意義的量表示

【典例2】如果收入100元記作+100元，那么支出300元記作（）A．?300元 B．+300元 C．1300元 D．+1300元【變式2-1】張老師對(duì)全班同學(xué)以90分為標(biāo)準(zhǔn)計(jì)分，小明得95分，記作+5分；小麗被記作?3分，則小麗的實(shí)際分?jǐn)?shù)為（

）A．93 B．92 C．87 D．88【變式2-2】規(guī)定：→2表示向右移動(dòng)2，記作+2，則←3表示向左移動(dòng)3，記作（）A．+3 B．?3 C．?13 【變式2-3】根據(jù)文獻(xiàn)記載，魏晉學(xué)者劉徽是引入負(fù)數(shù)概念的第一人，他在注解《九章算術(shù)》時(shí)寫道：“正算赤，負(fù)算黑；否則以斜正為異．今兩算得失相反，要令正負(fù)以名之．”簡(jiǎn)而言之，劉徽不僅給了正負(fù)數(shù)定義，而且還指出用赤黑區(qū)分正負(fù)數(shù)，即“正算赤，負(fù)算黑”．如果向東走30米記作“+30米”，那么向西走70米記作．

【考點(diǎn)03】有理數(shù)的概念辨析

【典例3】在數(shù)227，?15，?π3.14，0.4，0.333?A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【變式3-1】下列判斷語(yǔ)句中，錯(cuò)誤的是（

）A．最小的正整數(shù)是1 B．最大的負(fù)整數(shù)是?1C．沒有最大的有理數(shù) D．最小的有理數(shù)是0【變式3-2】在3.14，227，0，π3，0.1010010001中，有理數(shù)有（A．5個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式3-3】零是（）A．最小的整數(shù) B．最小的正數(shù) C．最小的有理數(shù) D．最小的非負(fù)整數(shù)【考點(diǎn)04】有理數(shù)的分類

【典例4】把下列各數(shù)分別填在相應(yīng)的集合內(nèi)：?11、4.8、73、?2.7、16、3.1415926、?正數(shù)集合｛

｝負(fù)分?jǐn)?shù)集合｛

｝非負(fù)整數(shù)集合｛

｝【變式4-1】將有理數(shù)?2.5，0，212，2024，整數(shù)：{

…}；負(fù)數(shù)：{

…}；非負(fù)數(shù)：{

…}．【變式4-2】將下列各有理數(shù)按照分類填入下面對(duì)應(yīng)的大括號(hào)內(nèi)：?2.25，+16，?14，?4，3.14，0，227，π有理數(shù)數(shù)集合：{

}整數(shù)集合：{

}；負(fù)數(shù)集合：{

}；分?jǐn)?shù)集合：{

}；【考點(diǎn)05】有理數(shù)的大小比較

【典例5】比較大小：?+34??56（填“【變式5-1】比較大?。?53【變式5-2】比較大?。?23?34（填“>”“

【考點(diǎn)06】數(shù)軸的三要素及其畫法

【典例6】下列數(shù)軸的畫法正確的是（

）A．B．C．D．【變式6-1】下面是四名同學(xué)畫的數(shù)軸，其中正確的是（

）A． B．C． D．【考點(diǎn)07】利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小

【典例7】已知一組數(shù)：?3，?52，0，??1.5(1)把下列這條直線補(bǔ)充成一條數(shù)軸，并把這些數(shù)用數(shù)軸上的點(diǎn)表示出來(lái)；(2)把這些數(shù)按照從小到大的順序排列，并用“<”號(hào)連接起來(lái)．

【變式7-1】有理數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．a(chǎn)+b>0 B．b?a<0 C．a(chǎn)b>0 D．a(chǎn)【變式7-2】如圖，若點(diǎn)A，B，C所對(duì)應(yīng)的數(shù)為a，b，c，則下列大小關(guān)系正確的是（

）

A．a(chǎn)<b<?c B．b<?c<a C．?a<c<b D．a(chǎn)<?c<?b【變式7-3】在數(shù)軸上與原點(diǎn)的距離不大于4的整數(shù)點(diǎn)有（）A．5個(gè) B．6個(gè) C．9個(gè) D．8個(gè)【變式7-4】（1）把數(shù)軸補(bǔ)充完整；（2）在數(shù)軸上表示下列各數(shù)：0，??2，?4，312（3）用“>”將這些數(shù)連接起來(lái)，

【考點(diǎn)08】數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離

【典例8】同學(xué)們都知道，7??3表示7與?3之差的絕對(duì)值，實(shí)際上也可理解為數(shù)軸上分別表示7與?3(1)7??3(2)找出所有符合條件的整數(shù)x，使得x+4+(3)對(duì)于任何有理數(shù)x，x?3+(4)若x+1+x?6=9【變式8-1】點(diǎn)A，B是數(shù)軸上的兩點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)之間的距離是5，若點(diǎn)A表示?3，則點(diǎn)B表示的數(shù)是

【變式8-2】數(shù)軸上的點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離是10，則點(diǎn)A表示的數(shù)為（

）A．10或?10 B．0 C．?10 D．10【變式8-3】數(shù)軸上點(diǎn)A表示?4，點(diǎn)B表示3，則A、B兩點(diǎn)間的距離是（）A．?1 B．?5 C．7 D．1

【考點(diǎn)09】數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題

【典例9】已知一個(gè)點(diǎn)從數(shù)軸上的原點(diǎn)開始，先向左移動(dòng)7個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)A點(diǎn)，再?gòu)腁點(diǎn)向右移動(dòng)12個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)B點(diǎn)．點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)．(1)點(diǎn)C表示的數(shù)是_____；(2)若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q,M分別從點(diǎn)C、B出發(fā)，分別以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度、4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．①當(dāng)t=2時(shí)，求QM?PQ的值；②試探索：QM?PQ的值是否隨著時(shí)間t的變化而改變？請(qǐng)說明理由．【變式9-1】如圖一根木棒放在數(shù)軸上，數(shù)軸的1個(gè)單位長(zhǎng)度為1cm，木棒的左端與數(shù)軸上的點(diǎn)A重合，右端與點(diǎn)B(1)若將木棒沿?cái)?shù)軸向右水平移動(dòng)，則當(dāng)它的左端移動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，它的右端在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的數(shù)為20；若將木棒沿?cái)?shù)軸向左水平移動(dòng)，則當(dāng)它的右端移動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)，則它的左端在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的數(shù)為5，由此可得到木棒長(zhǎng)為cm．(2)圖中點(diǎn)A所表示的數(shù)是，點(diǎn)B所表示的數(shù)是．(3)由題（1）（2）的啟發(fā)，請(qǐng)你能借助“數(shù)軸”這個(gè)工具幫助小明解決下列問題：一天，小明去問曾當(dāng)過數(shù)學(xué)老師現(xiàn)在退休在家的爺爺?shù)哪挲g，爺爺說：“我若是你現(xiàn)在這么大，你還要45年才出生；你若是我現(xiàn)在這么大，我已經(jīng)120歲，是老壽星了，哈哈！”，請(qǐng)求出爺爺現(xiàn)在多少歲了？【變式9-2】如圖，已知點(diǎn)A、B、C是數(shù)軸上三點(diǎn)，O為原點(diǎn)．點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的數(shù)為3，BC=2，AB=6．

(1)則點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)是，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)是；(2)動(dòng)點(diǎn)P、Q分別同時(shí)從A、C出發(fā)，分別以每秒8個(gè)單位和4個(gè)單位的速度沿?cái)?shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)．M在線段AP上，且AM=MP，N在線段CQ上，且CN=14CQ①求點(diǎn)M、N對(duì)應(yīng)的數(shù)（用含t的式子表示）②猜想MQ的長(zhǎng)度是否與t的大小有關(guān)？如果有關(guān)請(qǐng)你寫出用t表示的代數(shù)式；如果無(wú)關(guān)請(qǐng)你求出MQ的長(zhǎng)度．【變式9-3】綜合與實(shí)踐：【問題情境】數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，王老師出示了一個(gè)問題：點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，A、B兩點(diǎn)之間的距離表示為AB，在數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離AB=|a?b|．利用數(shù)形結(jié)合思想回答下列問題：（1）數(shù)軸上表示2和6兩點(diǎn)之間的距離是________；數(shù)軸上表示3和?1的兩點(diǎn)之間的距離是________；【獨(dú)立思考】：（2）數(shù)軸上表示x和?2的兩點(diǎn)之間的距離表示為________；（3）試用數(shù)軸探究：當(dāng)|m?1|=3時(shí)m的值為________．【實(shí)踐探究】：利用絕對(duì)值的幾何意義，結(jié)合數(shù)軸，探究：（4）利用數(shù)軸求出|x?2|＋|x?5|的最小值，并寫出此時(shí)x可取哪些整數(shù)值？

【考點(diǎn)10】相反數(shù)的概念

【典例10】2024的相反數(shù)是（

）A．2024 B．?2024 C．1012 D．?1012【變式10-1】與?2025互為相反數(shù)的是（

）A．?2025 B．2025 C．12025 D．【變式10-2】下列四組數(shù)中，互為相反數(shù)的一組是（）A．+2與?3 B．?8與+8C．??2與2 D．+?1【變式10-3】如圖，點(diǎn)A，B，C，D在數(shù)軸上的位置如圖所示，其中表示?3的相反數(shù)的點(diǎn)是（）A．A B．B C．C D．D【考點(diǎn)11】相反數(shù)的性質(zhì)運(yùn)用

【典例11】若代數(shù)式3x+2和?2x+1互為相反數(shù)，則x=（

）A．3 B．?3 C．5 D．?5【變式11-1】??A．25 B．?25 C．125 D．【變式11-2】數(shù)軸上表示數(shù)a和a+4的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離相等，則a為（

）A．?4 B．4 C．2 D．?2【變式11-3】代數(shù)式3a+1與2?2a互為相反數(shù)，則a=．【變式11-4】如果a,b互為倒數(shù)，c,d互為相反數(shù)，那么6d?5ab?(?6c)=．

【考點(diǎn)12】絕對(duì)值定義、絕對(duì)值的性質(zhì)

【典例12】若一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是2019，則這個(gè)數(shù)是（

）A．2019 B．?2019 C．±2019 D．以上都不對(duì)【變式12-1】如圖，某草莓采摘園采摘了A、B、C、D四筐草莓，每筐草莓以5千克為標(biāo)準(zhǔn)，超過的干克敖記為正數(shù)，不足的千克數(shù)記為負(fù)數(shù)，其中最接近標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的是（

）A． B． C． D．【變式12-2】絕對(duì)值大于4.5小于8的所有整數(shù)的有．【考點(diǎn)13】化簡(jiǎn)絕對(duì)值

【典例13-1】如圖，數(shù)軸上的三點(diǎn)A、B、C分別表示有理數(shù)a，b，c．(1)填空：a?b______0，a+c______0，b?c______0．（用<或>或＝號(hào)填空）(2)化簡(jiǎn)：a?b?

【典例13-2】若xy>0，則xx+y【變式13-1】若ab≠0，則aa+【變式13-2】若xy>0，則xx+y【變式13-3】有理數(shù)a，b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的位置如圖所示，那么代數(shù)式aa+b?1【變式13-4】有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖：(1)判斷正負(fù)，用“>”或“<”填空：b?c0，a+b0，c?a0．(2)化簡(jiǎn)：|b?c+【考點(diǎn)14】非負(fù)性的性質(zhì)【典例14】若ab≠0，則aa+【變式14-1】若xy>0，則xx+y【變式14-2】有理數(shù)a，b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的位置如圖所示，那么代數(shù)式aa+b?11．下列四個(gè)數(shù)中，是負(fù)數(shù)的是（

）A．?5 B．??3 C．0 D．2．下列圖形中是數(shù)軸的是（

）A． B．C． D．3．下列化簡(jiǎn)，正確的是（

）A．?[?(?10)]=?10B．?(?3)=?3 C．+(?5)=5 D．?4．已知表示有理數(shù)a，b的點(diǎn)在數(shù)軸上的位置如圖所示，則aa+bA．?2 B．?1 C．0 D．25．已知m=?6，則m的值可能是（A．?6 B．6 C．6或?6 D．無(wú)法確定6．?dāng)?shù)軸上表示整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)，某數(shù)軸的單位長(zhǎng)度是1厘米，若在這個(gè)數(shù)軸上隨意畫出一條長(zhǎng)為21厘米的線段AB，則線段AB蓋住的整點(diǎn)數(shù)是（

）A．20個(gè)或21個(gè) B．20個(gè)或22個(gè) C．21個(gè)或22個(gè) D．21個(gè)或23個(gè)7．有理數(shù)a，b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的位置如圖所示，則下列各式①a+b<0；②a?b>0；③a>b；④1?b>0A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)8．正方形ABCD在數(shù)軸上的位置如圖所示，點(diǎn)D、A對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為?1和0，若正方形ABCD繞著頂點(diǎn)順時(shí)針方向在數(shù)軸上連續(xù)翻轉(zhuǎn)，翻轉(zhuǎn)1次后，點(diǎn)B所對(duì)應(yīng)的數(shù)為1；則翻轉(zhuǎn)2019次后，數(shù)軸上數(shù)2019所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是（

）A．點(diǎn)A B．點(diǎn)B C．點(diǎn)C D．點(diǎn)D9．如圖，圓的周長(zhǎng)為4個(gè)單位長(zhǎng)度，在該圓的4等分點(diǎn)處分別標(biāo)上0，1，2，3．先讓圓周上表示數(shù)字0的點(diǎn)與數(shù)軸上表示?1的點(diǎn)重合，再將圓沿著數(shù)軸向左滾動(dòng)，則數(shù)軸上表示?2023的點(diǎn)與圓周上表示哪個(gè)數(shù)字的點(diǎn)重合？（

）A．0 B．1 C．2 D．310．如果某車間運(yùn)進(jìn)1.8噸貨物記作+1.8噸，那么運(yùn)出0.7噸貨物記作噸．11．??12

12．一個(gè)水文站測(cè)量河水的水位以警戒線為標(biāo)準(zhǔn)，把超過警戒線的高度記為正數(shù)，把低于警戒線的高度記為負(fù)數(shù)，一天五次測(cè)量數(shù)據(jù)如下：次數(shù)一二三四五水位（厘米）135?0.5?3?15則第次測(cè)量時(shí)水位離警戒線最近．13．在數(shù)軸上，點(diǎn)A表示的數(shù)為2，點(diǎn)B與點(diǎn)A相距8個(gè)單位長(zhǎng)度，