專題02 有理數(shù)的運(yùn)算（易錯(cuò)題29題7個(gè)考點(diǎn)）（解析版）2024-2025學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期中期末考點(diǎn)歸納滿分攻略講練（人教版2024）

專題02有理數(shù)的運(yùn)算（易錯(cuò)題29題7個(gè)考點(diǎn)）

一．有理數(shù)的減法（共1小題）1．定義：對(duì)于確定位置的三個(gè)數(shù)：a，b，c，計(jì)算a﹣b，，，將這三個(gè)數(shù)的最小值稱為a，b，c的“分差”．例如對(duì)于1，﹣2，3，因?yàn)?﹣（﹣2）＝3，＝﹣1，＝﹣，所以1，﹣2，3的“分差”為﹣．（1）﹣1，﹣4，1的“分差”為﹣；（2）調(diào)整“﹣1，﹣4，1”這三個(gè)數(shù)的位置，得到不同的“分差”，求這些不同“分差”中的最大值．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】（1）按“新定義”代入三個(gè)代數(shù)式求值再比較大小．（2）三個(gè)數(shù)根據(jù)位置不同可得6種組合，除第（1）題的順序，計(jì)算其余五種情況的“分差”，再比較大?。窘獯稹拷猓海?）∵a＝﹣1，b＝﹣4，c＝1∴a﹣b＝﹣1﹣（﹣4）＝3，＝＝﹣1，＝＝﹣，∴﹣1，﹣4，1的“分差”為﹣，故答案為：﹣；（2）①若a＝﹣1，b＝1，c＝﹣4，∴a﹣b＝﹣1﹣1＝﹣2，＝，＝，∴﹣1，1，﹣4的“分差”為﹣2，②若a＝﹣4，b＝﹣1，c＝1，∴a﹣b＝﹣3，＝﹣，＝﹣，∴﹣4，﹣1，1的“分差”為﹣3，③若a＝﹣4，b＝1，c＝﹣1，∴a﹣b＝﹣5，＝﹣，＝，∴﹣4，1，﹣1的“分差”為﹣5，④若a＝1，b＝﹣4，c＝﹣1，∴a﹣b＝5，＝1，＝﹣1，∴1，﹣4，﹣1的“分差”為﹣1，⑤若a＝1，b＝﹣1，c＝﹣4，∴a﹣b＝2，＝，＝1，∴1，﹣1，﹣4的“分差”為1，綜上所述，這些不同“分差”中的最大值為1．二．有理數(shù)的加減混合運(yùn)算（共1小題）2．將6﹣（+3）﹣（﹣7）+（﹣2）中的減法改寫成省略加號(hào)的和的形式是（）A．﹣6﹣3+7﹣2 B．6﹣3﹣7﹣2 C．6﹣3+7﹣2 D．6+3﹣7﹣2【答案】C【分析】先把有理數(shù)的減法轉(zhuǎn)化為加法，然后再寫成省略加號(hào)的和的形式，即可解答．【解答】解：6﹣（+3）﹣（﹣7）+（﹣2）＝6+（﹣3）+7+（﹣2）＝6﹣3+7﹣2，故選：C．三．有理數(shù)的乘法（共3小題）3．已知有理數(shù)x、y滿足x+y＜0，xy＜0，x＜y，則有（）A．x＜0，y＞0，x絕對(duì)值較大 B．x＞0，y＜0，y絕對(duì)值較大 C．x＞0，y＜0，x絕對(duì)值較大 D．x＜0，y＞0，y絕對(duì)值較大【答案】A【分析】根據(jù)有理數(shù)的加法運(yùn)算法則和異號(hào)得負(fù)進(jìn)行判斷即可．【解答】解：∵xy＜0，∴x、y異號(hào)，∵x+y＜0，∴負(fù)數(shù)的絕對(duì)值大，∵x＜y，∴x＜0，y＞0，x絕對(duì)值較大．故選：A．4．下列說(shuō)法正確的是（）①一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值一定是正數(shù)；②若ab＜0，a+b＞0，則a，b異號(hào)且正數(shù)的絕對(duì)值大于負(fù)數(shù)的絕對(duì)值；③當(dāng)|a|＝﹣a時(shí)，a一定是負(fù)數(shù)；④倒數(shù)等于它本身的數(shù)是1；⑤任何有理數(shù)都有倒數(shù)．A．①②⑤ B．①③④ C．②④⑤ D．②【答案】D【分析】由絕對(duì)值，倒數(shù)的概念，即可判斷．【解答】解：一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值是非負(fù)數(shù)，故①不符合題意；若ab＜0，a+b＞0，則a，b異號(hào)且正數(shù)的絕對(duì)值大于負(fù)數(shù)的絕對(duì)值，正確，故②符合題意；當(dāng)|a|＝﹣a時(shí)，a可能是0，故③不符合題意；倒數(shù)等于它本身的數(shù)是±1，故④不符合題意；0沒(méi)有倒數(shù)，故⑤不符合題意．故選：D．5．在明代的《算法統(tǒng)宗》一書中將用格子的方法計(jì)算兩個(gè)數(shù)相乘稱作“鋪地錦”，如圖1，計(jì)算82×34，將乘數(shù)82記入上行，乘數(shù)34記入右行，然后用乘數(shù)82的每位數(shù)字乘以乘數(shù)34的每位數(shù)字，將結(jié)果記入相應(yīng)的格子中，最后按斜行加起來(lái)，既得2788．如圖2，用“鋪地錦”的方法表示兩個(gè)兩位數(shù)相乘，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．b的值為6 B．a(chǎn)為奇數(shù) C．乘積結(jié)果可以表示為101b+10（a+1）﹣1 D．a(chǎn)的值小于3【答案】D【分析】設(shè)5a的十位數(shù)字是m，個(gè)位數(shù)字是n，列出符合條件的方程組即可求解；【解答】解：如圖，設(shè)5a的十位數(shù)字是m，個(gè)位數(shù)字是n，∴，∴，a＝15÷5＝3，∴乘積結(jié)果可以表示為100b+10（a+1）+b﹣1＝101b+10（a+1）﹣1．∴A，B，C正確，D錯(cuò)誤．故選：D．四．有理數(shù)的乘方（共5小題）6．下列各組數(shù)中，相等的一組是（）A．﹣（﹣1）與﹣|﹣1| B．﹣32與（﹣3）2 C．﹣43與（﹣4）3 D．|﹣8|與﹣|+8|【答案】C【分析】分別根據(jù)相反數(shù)的定義，絕對(duì)值的定義以及有理數(shù)的乘方的定義解答即可．【解答】解：A．﹣（﹣1）＝1，﹣|﹣1|＝﹣1，故本選項(xiàng)不合題意；B．﹣32＝﹣9，（﹣3）2＝9，故本選項(xiàng)不合題意；C．﹣43＝（﹣4）3＝﹣64，故本選項(xiàng)符合題意；D．|﹣8|＝8，﹣|+8|＝﹣8，故本選項(xiàng)不合題意；故選：C．7．有一根1米長(zhǎng)的繩子，第一次剪去繩子的，第二次剪去剩下繩子的，如果以后每次都剪去剩下繩子的，第100次剪完后剩下繩子的長(zhǎng)度是（）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】C【分析】根據(jù)題意得每次剪繩子后的長(zhǎng)度都是上一次剩下的長(zhǎng)度的，根據(jù)乘方的定義可以得出第100次剪完后剩下繩子的長(zhǎng)度．【解答】解：∵第一次剪去繩子的米，∴剩余米，∵第二次剪去剩下繩子的，∴第二次剪去后剩下的繩子是：×（1﹣）＝（米），∵第三次剪去剩下繩子的，∴第三次剪去后剩下的繩子是：×（1﹣）＝（米），以此類推，第100次剪完后剩下繩子的長(zhǎng)度是：米．故選：C．8．若|a|＝5，b2＝4且a＞b，則a+b的值是（）A．3 B．7． C．﹣3或5 D．3或7【答案】D【分析】根據(jù)|a|＝5和b2＝4，求出a和b的可能值；再根據(jù)a＞b，確定a和b的值，最后計(jì)算a+b的值即可．【解答】解：∵|a|＝5，b2＝4，∴a＝±5，b＝±2，又∵a＞b，∴a＝5，b＝﹣2或a＝5，b＝2，∴a+b＝3或7．故選：D．9．計(jì)算：﹣13﹣（﹣1）2＝﹣2．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】先算乘方，再算減法即可．【解答】解：﹣13﹣（﹣1）2＝﹣1﹣1＝﹣2．故答案為：﹣2．10．《莊子?天下篇》中記載道：“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”．這句話的意思是：“一尺長(zhǎng)的木棍，每天截掉一半，永遠(yuǎn)也截不完”．根據(jù)這句話計(jì)算：1++++?++＝2﹣．【答案】2﹣．【分析】令原式為S，計(jì)算S，將兩式相減，得到S的值，求出S即可．【解答】解：設(shè)S＝1++++?++①，則S＝++++…++②，①﹣②，得S＝1﹣，∴S＝2﹣．故答案為：2﹣．五．非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方（共1小題）11．若（a+1）2+|a﹣b+4|＝0，則a＝﹣1，b＝3．【答案】﹣1，3．【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可求出a、b的值即可．【解答】解：由題意得：∴a+1＝0，a﹣b+4＝0，∴a＝﹣1，b＝3．故答案為：﹣1，3．六．有理數(shù)的混合運(yùn)算（共17小題）12．下列變形，運(yùn)用加法運(yùn)算律錯(cuò)誤的是（）A．（﹣8）+（﹣9）＝（﹣9）+（﹣8） B．4+（﹣6）+3＝（﹣6）+4+3 C．[5+（﹣2）]+4＝[5+（﹣4）]+2 D．+（﹣1）+（+）＝（+）+（﹣1）【答案】C【分析】根據(jù)加法交換律和結(jié)合律，即可解答．【解答】解：A、（﹣8）+（﹣9）＝（﹣9）+（﹣8），故A不符合題意；B、4+（﹣6）+3＝（﹣6）+4+3，故B不符合題意；C、[5+（﹣2）]+4＝（5+4）+（﹣2），故C符合題意；D、+（﹣1）+（+）＝（+）+（﹣1），故D不符合題意；故選：C．13．一件衣服，商店的進(jìn)價(jià)是100元，若先加價(jià)10%，再降價(jià)10%，則商店（）A．賺了1元 B．賠了1元 C．不賺不賠 D．賺了10元【答案】B【分析】根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以先計(jì)算出最后的售價(jià)，然后用售價(jià)減去進(jìn)價(jià)，即可得到該商店的盈利情況．【解答】解：由題意可得，100×（1+10%）×（1﹣10%），＝100×1.1×0.9，＝110×0.9，＝99（元），99﹣100＝1（元），即賠了1元，故選：B．14．下列式子計(jì)算結(jié)果和相等的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)乘法分配律，即可解答．【解答】解：＝（﹣3﹣）×，故選：D．15．已知m是最小的正整數(shù)，n是最大的負(fù)整數(shù)，a、b互為相反數(shù)，x、y互為倒數(shù)，則m2+n2+a+b﹣xy的值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【答案】D【分析】利用相反數(shù)、倒數(shù)的性質(zhì)，以及最小的正整數(shù)為1，最大負(fù)整數(shù)為﹣1求出各自的值，代入原式計(jì)算即可求出值．【解答】解：根據(jù)題意得：m＝1，n＝﹣1，a+b＝0，xy＝1，則原式＝1+1+0﹣1＝1．故選：D．16．定義新運(yùn)算：當(dāng)a＞b時(shí)，a?b＝a﹣2b；當(dāng)a＜b時(shí)，（其中a+b≠0），則﹣1?2＝﹣3．【答案】﹣3．【分析】按照定義的新運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：由題意得：﹣1?2＝＝＝﹣3，故答案為：﹣3．17．若a和b互為相反數(shù)，c和d互為倒數(shù)，|m|＝2，那么代數(shù)式的值為1或﹣7．【答案】1或﹣7．【分析】根據(jù)相反數(shù)，倒數(shù)，絕對(duì)值的意義可得a+b＝0，cd＝1，m＝±2，然后分兩種情況進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵a和b互為相反數(shù)，c和d互為倒數(shù)，|m|＝2，∴a+b＝0，cd＝1，m＝±2，當(dāng)m＝2時(shí)，＝﹣3×1+2×2＝0﹣3+4＝1；當(dāng)m＝﹣2時(shí)，＝﹣3×1+2×（﹣2）＝0﹣3+（﹣4）＝﹣7；∴的值為1或﹣7，故答案為：1或﹣7．18．定義新運(yùn)算：a*b＝a2（a﹣b），如：2*3＝22（2﹣3）＝﹣4．則2*（3*5）＝80．【答案】80．【分析】按照定義的新運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：由題意得：2*（3*5）＝2*[32×（3﹣5）]＝2*[9×（﹣2）]＝2*（﹣18）＝22×[2﹣（﹣18）]＝4×（2+18）＝4×20＝80，故答案為：80．19．定義一種新運(yùn)算：若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），則n叫做以a為底b的對(duì)數(shù)，記作logab＝n，例如log28＝3，log39＝2，log5125＝3．【答案】3．【分析】根據(jù)定義的新運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：∵53＝125，∴l(xiāng)og5125＝3，故答案為：3．20．分類討論是一種重要的數(shù)學(xué)方法，如在化簡(jiǎn)|a|時(shí)，可以這樣分類：當(dāng)a＞0時(shí)，|a|＝a；當(dāng)a＝0時(shí)，|a|＝0；當(dāng)a＜0時(shí)，|a|＝﹣a．用這種方法解決下列問(wèn)題：（1）當(dāng)a＝5時(shí)，求的值．（2）當(dāng)a＝﹣2時(shí)，求的值．（3）已知a，b是有理數(shù)，當(dāng)ab＞0時(shí)，試求+的值．（4）已知a，b是有理數(shù)，當(dāng)abc＜0時(shí)，試求+++的值．【答案】（1）1；（2）﹣1；（3）±2；（4）0，﹣4．【分析】（1）直接將a＝5代入求出答案；（2）直接將a＝﹣2代入求出答案；（3）分別利用a＞0，b＞0或a＜0，b＜0分析得出答案；（4）分別利用當(dāng)a，b，c三個(gè)字母中有一個(gè)字母小于0，其它兩個(gè)字母大于0，當(dāng)a，b，c都小于0，分析得出答案．【解答】解：（1）當(dāng)a＝5時(shí)，＝1；（2）當(dāng)a＝﹣2時(shí)，＝﹣1；（3）若a，b是有理數(shù)，當(dāng)ab＞0時(shí)，分兩種情況：當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，+＝1+1＝2，當(dāng)a＜0，b＜0時(shí)，+＝﹣1﹣1＝﹣2∴當(dāng)ab＞0時(shí)，+的值為±2；（4）若a，b是有理數(shù)，當(dāng)abc＜0時(shí)，分2種情況：①當(dāng)a，b，c三個(gè)字母中有一個(gè)字母小于0，其它兩個(gè)字母大于0時(shí)，+++＝﹣1+1+1﹣1＝0，②當(dāng)a＜0，b＜0，c＜0時(shí)，+++＝﹣1﹣1﹣1﹣1＝﹣4，綜上所述，+++的所有可能的值為0，﹣4．21．計(jì)算：（1）（﹣+）÷（﹣）；（2）（﹣2）3×（﹣）﹣|﹣1﹣5|．【答案】（1）﹣11；（2）﹣2．【分析】（1）先把有理數(shù)的除法轉(zhuǎn)化為乘法，然后再利用乘法分配律進(jìn)行計(jì)算，即可解答；（2）先算乘方，再算乘法，后算加減，即可解答．【解答】解：（1）（﹣+）÷（﹣）＝（﹣+）×（﹣12）＝﹣12×+12×﹣12×＝﹣10+3﹣4＝﹣11；（2）（﹣2）3×（﹣）﹣|﹣1﹣5|＝﹣8×（﹣）﹣6＝4﹣6＝﹣2．22．一根繩子長(zhǎng)15米，現(xiàn)要捆扎一種禮盒（如圖），如果接頭處要用掉30厘米，這根繩子最多可以捆扎多少個(gè)這樣的禮盒？【答案】這根繩子最多可以捆扎13個(gè)這樣的禮盒．【分析】根據(jù)題意可得：這根繩子可以捆扎這樣的禮盒的個(gè)數(shù)＝1500÷（8×4+10×2+15×2+30），然后進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵15米＝1500厘米，∴1500÷（8×4+10×2+15×2+30）＝1500÷（32+20+30+30）＝1500÷112＝13（個(gè)）……44（厘米），答：這根繩子最多可以捆扎13個(gè)這樣的禮盒．23．計(jì)算：（1）；（2）．【答案】（1）1；（2）﹣8．【分析】（1）先算乘法，后算加減，即可解答；（2）先算乘方，再算乘法，后算加減，有括號(hào)先算括號(hào)里，即可解答．【解答】解：（1）＝﹣10+1+10＝1；（2）＝4+（﹣9）×＝4+（﹣12）＝﹣8．24．小明和同學(xué)們玩撲克牌游戲．游戲規(guī)則是：從一副撲克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四張，根據(jù)牌面上的數(shù)字進(jìn)行混合運(yùn)算（每張牌上的數(shù)字只能用一次），使得運(yùn)算結(jié)果等于24．小明抽到的牌如圖所示，請(qǐng)幫小明列出兩個(gè)結(jié)果等于24的算式．【答案】①（3+5）÷2×6；②（5﹣3+2）×6（答案不唯一）．【分析】根據(jù)有理數(shù)的混合運(yùn)算的運(yùn)算順序進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：①（3+5）÷2×6＝8÷2×6＝4×6＝24；②（5﹣3+2）×6＝（2+2）×6＝4×6＝24；∴兩個(gè)結(jié)果等于24的算式為：①（3+5）÷2×6；②（5﹣3+2）×6（答案不唯一）．25．根據(jù)國(guó)家衛(wèi)健委發(fā)布的《兒童青少年近視防控適宜技術(shù)指南》，中學(xué)生使用電子產(chǎn)品的時(shí)間不應(yīng)超過(guò)2小時(shí)．某校想了解該校學(xué)生每天刷抖音的時(shí)間情況，特制作了調(diào)查表進(jìn)行調(diào)查，下表是該校某學(xué)生某周每天刷抖音的時(shí)間情況（標(biāo)準(zhǔn)使用時(shí)間為每天2小時(shí)，超過(guò)記為正、不超過(guò)記為負(fù)）：星期一二三四五六日增減+3﹣1﹣2﹣0.5﹣1.5+5+8（1）根據(jù)上表的數(shù)據(jù)可知該生星期三刷抖音的時(shí)間是0小時(shí)；（2）刷抖音時(shí)間最多的一天比時(shí)間最少的一天多10小時(shí)；（3）該生這一周刷抖音共用了多少小時(shí)？【答案】（1）0；（2）10；（3）該生這一周刷抖音共用了25小時(shí)．【分析】（1）根據(jù)題意可得：該生星期三刷抖音的時(shí)間＝2﹣2，然后進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）根據(jù)題意可得：刷抖音時(shí)間最多的一天比時(shí)間最少的一天多的時(shí)間＝8﹣（﹣2），然后進(jìn)行計(jì)算即可解答；（3）把表格中的這些正數(shù)和負(fù)數(shù)全部相加，然后進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：（1）由題意得：2﹣2＝0（小時(shí)），∴該生星期三刷抖音的時(shí)間是0小時(shí)，故答案為：0；（2）由題意得：8﹣（﹣2）＝8+2＝10（小時(shí)），∴刷抖音時(shí)間最多的一天比時(shí)間最少的一天多10小時(shí)，故答案為：10；（3）由題意得：+3+（﹣1）+（﹣2）+（﹣0.5）+（﹣1.5）+（+5）+（+8）＝11（小時(shí)），∴2×7+11＝14+11＝25（小時(shí)），∴該生這一周刷抖音共用了25小時(shí)．26．老師設(shè)計(jì)了接力游戲，用合作的方式完成有理數(shù)運(yùn)算，規(guī)則是：每人只能看到前一人給的式子，并進(jìn)行一步計(jì)算，再將結(jié)果傳遞給下一人，最后完成計(jì)算．過(guò)程如圖所示．（1）接力中，計(jì)算錯(cuò)誤的學(xué)生是小明和小強(qiáng)；（2）請(qǐng)正確計(jì)算老師出示的算式；（3）計(jì)算：．【答案】（1）小明和小強(qiáng)；（2）27；（3）﹣76．【分析】（1）先算乘方，再算乘除，后算加減，逐一判斷即可解答；（2）先算乘方，再算乘除，后算加減，即可解答；（3）先算乘方，再算乘除，后算加減，逐一判斷即可解答．【解答】解：（1）接力中，計(jì)算錯(cuò)誤的學(xué)生是小明和小強(qiáng)，故答案為：小明和小強(qiáng)；（2）﹣42+20÷（﹣4）﹣6×（﹣2）3＝﹣16+（﹣5）﹣6×（﹣8）＝﹣16﹣5+48＝﹣21+48＝27；（3）＝﹣1﹣10×2×4+5＝﹣1﹣80+5＝﹣81+5＝﹣76．27．2022年由于“新冠肺炎”的原因，使得醫(yī)用口罩銷量大幅增加，某口罩加工廠為滿足市場(chǎng)需求計(jì)劃每天生產(chǎn)5000個(gè)．由于各種原因?qū)嶋H每天生產(chǎn)量相比有出入，表格是二月份某一周的生產(chǎn)情況（超產(chǎn)為正，減產(chǎn)為負(fù)，單位：個(gè)）．星期一二三四五六日增減+100﹣200+400﹣100﹣100+350+150（1）產(chǎn)量最多的一天比產(chǎn)量最少的一天多生產(chǎn)多少個(gè)；（2）該口罩加工廠實(shí)行計(jì)件工資制，每生產(chǎn)一個(gè)口罩0.2元，本周口罩加工廠應(yīng)支付工人的工資總額是多少元？【答案】（1）600個(gè)；（2）7120元．【分析】（1）根據(jù)正負(fù)數(shù)的意義確定星期三產(chǎn)量最多，星期二產(chǎn)量最少，然后用記錄相減計(jì)算即可得解；（2）求出一周記錄的和，然后根據(jù)工資總額的計(jì)算方法列式計(jì)算即可得解．【解答】解：（1）由題意得：（+400）﹣（﹣200）＝400+200＝600（個(gè)），答：產(chǎn)量最多的一天比產(chǎn)量最少的一天多生產(chǎn)600個(gè)；（2）由題意得：[（+100）+（﹣200）+（+400）+（﹣100）+（﹣100）+（+350）+（+150）]+5000×7＝[150﹣200+300﹣100﹣50+250+150]+35000＝600