2024-2025學年北京市海淀區(qū)首都師大附中高二（上）第一次月考數(shù)學試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年北京市海淀區(qū)首都師大附中高二（上）第一次月考數(shù)學試卷一、單選題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知zi=i?1，則|z|=(

)A.0 B.1 C.2 D.2.如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1A.AC1?

B.A1C

3.已知A(2,?3,?1)，B(?6,5,3)，則AB的坐標為(

)A.(?8,8,?4) B.(?8,8,4) C.(8,?8,4) D.(8,?8,?4)4.如圖，已知正方體ABCD?A′B′C′D′的棱長為1，AA′?DB′=(

)

A.1 B.2 C.3 5.設n1，n2分別是平面α，β的法向量，其中n1=(1,y,?2)，n2=(x,?2,1)，若A.?92 B.?72 C.6.已知直線l1的方向向量為u=(0,0,1)，直線l2的方向向量為v=(0,3,?1)，則直線A.30° B.60° C.120° D.150°7.已知n為平面α的一個法向量，a為直線l的方向向量，則“a⊥n”是“l(fā)//α”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8.已知點O、A、B、C為空間不共面的四點，且向量a=OA+OB+OC，向量b=OAA.OA B.OB C.OC D.OA或OB9.在空間直角坐標系Oxyz中，點A(2,1,1)在坐標平面Oxz內(nèi)的射影為點B，且關于y軸的對稱點為點C，則B，C兩點間的距離為(

)A.17 B.32 C.210.如圖，在棱長為1的正四面體(四個面都是正三角形)ABCD中，M，N分別為BC，AD的中點，則直線AM和CN夾角的余弦值為(

)A.23

B.34

C.12二、填空題：本題共5小題，每小題4分，共20分。11.已知向量a=(2,?3,1)，則與a共線的單位向量為______．12.已知向量a=(2,0,?1)，b=(m,?2,1)且a⊥b，則m=______，|13.已知直線l經(jīng)過A(1,0,1)，B(2,0,0)兩點，則點P(2,1,4)到直線l的距離為______．14.在空間直角坐標系Oxyz中，已知AB=(2,0,0)，AC=(0,2,0)，AD=(0,0,2).則CD與CB的夾角的余弦值為______；CD在CB的投影向量a=15.以下關于空間向量的說法：

①若非零向量a，b，c滿足a//b，b//c，則a//c

②任意向量a，b，c滿足(a?b)?c=a?(b?c)

③若{OA,OB,OC}為空間向量的一組基底，且OD三、解答題：本題共4小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題15分)

如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=2，E為線段B1C1的中點．

(1)求證：AA1⊥D17.(本小題15分)

如圖，正三棱柱ABC?A1B1C1的底面邊長為2，高為4，D為CC1的中點，E為A1B1的中點．

(1)求證：C18.(本小題15分)

如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AB=4，AD=2，AA1=22，∠BAD=60°，∠BAA1=∠DAA1=45°，AC與BD相交于點O，設AB=a，AD=b，19.(本小題15分)

如圖，四棱錐S?ABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長都是底面邊長的2倍，P為側(cè)棱SD上的點．

(1)求證：AC⊥SD；

(2)若SD⊥平面PAC，求平面PAC與平面ACD的夾角大??；

(3)在(2)的條件下，側(cè)棱SC上是否存在一點E，使得BE//平面PAC？若存在，求SE：EC的值；若不存在，試說明理由．

參考答案1.C

2.C

3.B

4.A

5.D

6.B

7.B

8.C

9.D

10.A

11.(14712.12

13.3

14.12

(1,?1,0)15.①③

16.(1)證明：因為ABCD?A1B1C1D1是正方體，

故可得AA1⊥面A1B1C1D1，

又D1E?面A1B1C1D1，

故AA?1⊥D1E；

(2)解：以D為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系，

如圖所示：

則可得：D1(0,0,2)，B(2,2,0)，E(1,2,2)，A1(2,0,2)，

D1E=(1,2,0),BE=(?1,0,2),A1D1=(?2,0,0)，

17.(1)證明：以A為坐標原點，以AC，AA1所在直線為y軸，z軸，

在平面ABC內(nèi)作與AC垂直的直線為x軸，建立空間直角坐標系，

如圖所示，

C1(0,2,4)，B(3,1,0)，D(0,2,2)，E(32,12,4)，A1(0,0,4)，C(0,2,0)，

所以C1E=(32,?32,0)，A1B=(3,1,?4)，BD=(?3,1,2)，

設平面A1BD的法向量為n=(x,y,z)，

所以n?A1B=0n?BD=0，即3x+y?4z=0?3x+y+2z=0，

令x=3，所以z=1，y=1，

即n=(3,1,1)為平面A1BD的一個法向量，18.解：(1)OA1=OA+AA1=?12(AB+AD)+AA1=?12AB?12AD+AA1=?12a?12b+c；

(2)AB=4，AD=2，AA1=22，∠BAD=60°，∠BAA1=∠DAA19.(1)求證：連接BD，交AC于O，連接OP、OS，

因為四邊形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，AO=OC，

又因為SA=SC，所以AC⊥OS，

因為BD∩OS=O，所以AC⊥平面SBD，

因為SD?平面ABD

所以AC⊥SD．

(2)解：由(1)知AC⊥平面ABD，

所以AC⊥OP，AC⊥OD，

所以∠POD是平面PAC與平面ACD所成二面角的平面角，

因數(shù)SD⊥平面PAC，OP?平面PAC，

所以SD⊥OP，設AB=a，

所以sin∠POD=sin∠OSD=ODSD=22a2a=12，

因為∠POD為銳角，所以∠POD