九年級(jí)數(shù)學(xué)教案2 代數(shù)式

第二講代數(shù)式

［教學(xué)內(nèi)容］

《佳一動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)思維》春季版，九年級(jí)第二講“代數(shù)式”.

［教學(xué)目標(biāo)］

知識(shí)技能

1.理解整式的概念，掌握合并同類項(xiàng)和去括號(hào)法則，能進(jìn)行整式的加法、減法、乘法運(yùn)算，并熟

練掌握乘法公式.

2.能利用提公因式法、公式法等方法進(jìn)行因式分解.

3.理解分式和最簡分式的概念，能利用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行約分和通分；能進(jìn)行簡單的分式加、

減、乘、除運(yùn)算.

4.了解二次根式、最簡二次根式的概念，能夠進(jìn)行二次根式的加、減、乘、除運(yùn)算，掌握二次根

式的性質(zhì)，并能夠利用二次根式的性質(zhì)解決一些簡單的實(shí)際問題.

數(shù)學(xué)思考

通過用代數(shù)式表述數(shù)量關(guān)系得過程，體會(huì)模型的思想，建立符號(hào)意識(shí)，獨(dú)立思考，體會(huì)整體思想、

轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想方法在代數(shù)式求值中的應(yīng)用.

問題解決

通過對(duì)整式、分式、二次根式的概念的了解，掌握代數(shù)式的基本運(yùn)算法則，在與他人合作和交流

過程中，能較好地理解他人的思考方法和結(jié)論.

情感態(tài)度

L獨(dú)立思考解決問題，感受成功的快樂，體驗(yàn)獨(dú)自克服困難、解決數(shù)學(xué)問題的過程，有克服困難

的勇氣，具備學(xué)好數(shù)學(xué)的信心.

2.敢于發(fā)表自己的想法、勇于質(zhì)疑、敢于創(chuàng)新，養(yǎng)成認(rèn)真勤奮、獨(dú)立思考、合作交流等學(xué)習(xí)習(xí)慣,

形成嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)態(tài)度.

［教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)］

重點(diǎn)：整式、分式、二次根式的概念及基本運(yùn)算.

難點(diǎn)：分式、二次根式性質(zhì)的綜合運(yùn)用.

［教學(xué)準(zhǔn)備］

動(dòng)畫多媒體語言課件

第一課時(shí)

教學(xué)路徑

導(dǎo)入

師：這節(jié)課那老師就帶領(lǐng)大家一起來復(fù)習(xí)一下代數(shù)式這部分的內(nèi)容.同學(xué)們先想一

想，我們初中階段學(xué)習(xí)過的代數(shù)式都有哪些？

生：整式、分式還有二次根式.

師：同學(xué)們會(huì)展開（。+匕）"嗎？展開后各個(gè)項(xiàng)的系數(shù)又有什么關(guān)系呢？

生：（自由回答）

師：我國古代很多數(shù)學(xué)家對(duì)這個(gè)問題都有研究，其中最著名的便是楊輝三角，下面

我們就一起來看一下：

啟動(dòng)性問題

我國古代數(shù)學(xué)的許多發(fā)現(xiàn)都曾位居世界前列，其中“楊輝三角”就是一例.例如，

在三角形（如圖所示）中第三行的三個(gè)數(shù)1,2,1,恰好對(duì)應(yīng)3+份2=/+2"+〃展開

式中的系數(shù)；第四行的四個(gè)數(shù)1,3,3,1,恰好對(duì)應(yīng)著（a+/?）3=a3+3a28+3ab2+/j3展

開式中的系數(shù)等.

1

11...................（a+b）1

一

12I....................（a+b）

331....................(。+6)3

(1)根據(jù)上面的規(guī)律，寫出m+與§的展開式；

(2)利用上面的規(guī)律計(jì)算：25-5X24+10X23-10X22+5X2-l.

小萍：(1)(4+8)5=/+5&%+10//+10層〃+5。/+/75.

小亮：(2)原式=25+5X2,X(-1)+10X23義(-l)2+10X22X(-1)3+5X2X

(-l)4+(-l)5=(2-l)5=l.

師：下面我們就一起來看一下代數(shù)式這部分內(nèi)容在中考中主要考查哪幾個(gè)方面.

考點(diǎn)5整式

師：今天我們要復(fù)習(xí)代數(shù)式有關(guān)的知識(shí)內(nèi)容.

回顧：

類比實(shí)數(shù)的分

'單項(xiàng)式（點(diǎn)擊后出現(xiàn)單項(xiàng)式的概念）

類.

「整式（點(diǎn)擊后出現(xiàn)整式的概念）

有理式多項(xiàng)式（點(diǎn)擊后出現(xiàn)多項(xiàng)式的概念）

分式

Y

代數(shù)式

I無理式------二次根式

師：首先我們來復(fù)習(xí)整式的概念及整式的運(yùn)算.

1.整式的概念（這幾個(gè)字與最后一行整式的概念同時(shí)出現(xiàn)）

單項(xiàng)式：都是數(shù)與字母的積的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式，單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是單

項(xiàng)式.（下一步出現(xiàn)下列兩個(gè)概念）（點(diǎn)擊冒號(hào)前面內(nèi)容出示后面相應(yīng)的內(nèi)容）

單項(xiàng)式的次數(shù)：一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù).

單項(xiàng)式的系數(shù)：單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù).

多項(xiàng)式：幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式.（下一步出現(xiàn)下面一個(gè)概念）（點(diǎn)擊冒號(hào)前面

內(nèi)容出示后面相應(yīng)的內(nèi)容）

多項(xiàng)式的次數(shù)：一個(gè)多項(xiàng)式中，次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)叫做這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù).

（下一步）

整式：單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱整式.（卜一頁）

（點(diǎn)擊整式的運(yùn)算后出現(xiàn)同色字體）

加減乘除

乘方

2.整式的加減（下一步出現(xiàn)綠色字體，點(diǎn)擊冒號(hào)前面內(nèi)容出示后面相應(yīng)的內(nèi)容）

同類項(xiàng)：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)，幾個(gè)常

數(shù)項(xiàng)是同類項(xiàng).

合并同類項(xiàng)的法則：把多項(xiàng)式中同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)叫做合并同類項(xiàng)，合并同類項(xiàng)時(shí)，

把同類項(xiàng)系數(shù)相加，所得的結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)保持不變.

去（添）括號(hào)法則：如果括號(hào)外的因數(shù)是正數(shù)，去括號(hào)后原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)與原

來的符號(hào)相同；如果括號(hào)外的因數(shù)是負(fù)數(shù)，去括號(hào)后原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)與原來的

符號(hào)相反.

整式的加減：一般地，幾個(gè)整式相加減，如果有括號(hào)就先去括號(hào)，然后再合并同類

項(xiàng).（下一頁）

3.累的運(yùn)算（下一步填上答案）

當(dāng)加，〃都是整數(shù)，為實(shí)數(shù)時(shí)，有：乘方的結(jié)果叫

1

（1）同底數(shù)幕的乘法：a"-a"=____■做幕.

累的運(yùn)算里涉

及了乘方、乘

除法運(yùn)算.

4.整式的乘除法(下一步出現(xiàn)綠色字體，點(diǎn)擊冒號(hào)前面內(nèi)容出示后面相應(yīng)的內(nèi)容)

單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘：單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，只要將它們的系數(shù)、相同字母的事相

乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式中出現(xiàn)的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式.

單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：m(a+b+c)=ma+mb+mc.

多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：(m+n)(a+b)=ma+nib+〃a+nb.

單項(xiàng)式除法：單項(xiàng)式相除，把系數(shù)、同底數(shù)幕相除作為商的因式，對(duì)于只在被除式

中出現(xiàn)的字母，則連同它的指數(shù)一起作為商的一個(gè)因式.

多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別除以這個(gè)單

項(xiàng)式，然后把所得的商相加.(下一步)

5.乘法公式(下一步出現(xiàn)綠色字體，點(diǎn)擊冒號(hào)前面內(nèi)容出示后面相應(yīng)的內(nèi)容)

平方差公式：(.a+h)(a~b)=cr-b2.

完全平方公式：(?±&)2=a2±2tz/?+/?2.

恒等變換：a1+b1=(a+b)2~2ab=(a-b)2+2ab,(a-/?)2=(o+Z?)2~4ab.

師：通過一下例題我們來鞏固整式的概念等相關(guān)知識(shí).

初步性問題

探究類型之一同類項(xiàng)

例1若次"+5,2與今”的和是單項(xiàng)式，則/=.

解析：

“3爐什5y2與ry,的和是單項(xiàng)式”說明3V+5丁與W是同類項(xiàng)，(下一步)

所以1+5=3,即卜=—2；(下一步)

2=n[n=2

nm=2-2=Lt(下一步)

4

同類項(xiàng)必須符合兩個(gè)條件：第一，所含字母相同；第二，相同字母的指數(shù)相同，

兩者缺一不可.

答案：L

4

師：3尤"+5步與％3歹的和是單項(xiàng)式，說明什么？

生：（預(yù)設(shè)）3丁+5尸與是同類項(xiàng).

師：同類項(xiàng)需要滿足哪幾個(gè)條件？

生：（預(yù)設(shè)）第一，所含字母相同；第二，相同字母的指數(shù)相同.

師：非常好，根據(jù)同類項(xiàng)的定義，我們就可以列出方程組求解了.請(qǐng)同學(xué)們動(dòng)手算一

算.

學(xué)生求解回答.

師：最后我們來總結(jié)一下這道題目的收獲.

生：（預(yù)設(shè)）同類項(xiàng)必須符合兩個(gè)條件：第一，所含字母相同；第二，相同字母的指

數(shù)相同，兩者缺一不可.

生：（預(yù)設(shè)）根據(jù)同類項(xiàng)概念，相同字母的指數(shù)相同列方程（組）是解此類題的一般

方法.

類似性問題

i.如果與是同類項(xiàng)，則加和〃的取值是（）

A.3和-2B.-3和2C.3和2D.-3和-2

解析:根據(jù)題意得仁；=見解得仁:

初步性問題

探究類型之二整式的運(yùn)算

例2下列計(jì)算正確的是（）

22

A.x+x=xB.x?x=2xC.（x）D.X'-TX-JC

解析：

A：整式的加法：合并同類項(xiàng)，x+x=2x；（下一步）

B：同底數(shù)基相乘：底數(shù)不變，指數(shù)相加，（下一步）

C：事的乘方：（X2）3=3;（下一步）

D：同底數(shù)幕的除法：底數(shù)不變，指數(shù)相減.（下一步）

進(jìn)行整式的運(yùn)算時(shí)要合理選擇整式的運(yùn)算法則.

答案：D

師：每個(gè)選項(xiàng)分別考查的是整式的哪個(gè)運(yùn)算法則呢？

生：（預(yù)設(shè)）A：整式的加法法則.

生：（預(yù)設(shè)）B：同底數(shù)曙的乘法.

生：（預(yù)設(shè)）C：基的乘方.

生：（預(yù)設(shè)）D：同底數(shù)累的除法.

師：大家在計(jì)算的時(shí)候要清楚整式的加減法，暴的運(yùn)算，整式的乘除法法則.

小結(jié)：

師：（1）進(jìn)行整式的運(yùn)算時(shí)，一要注意合理選擇塞的運(yùn)算法則，二要注意結(jié)果的符

號(hào).

（2）不要把同底數(shù)幕的乘法和整式的加減法混淆.

（3）要注意累的乘方與同底數(shù)幕的乘法之間的區(qū)別.

（4）單項(xiàng)式的除法關(guān)鍵：注意區(qū)別“系數(shù)相除”與“同底數(shù)塞相除”的含義.

類似性問題

2.下列計(jì)算正確的是（）

A.A2,x=^B.x+x=x2C.（x2）3^D.》6力=（

解析：

A：同底數(shù)事相乘：底數(shù)不變，指數(shù)相加；

B：整式的加法：合并同類項(xiàng)，x+x=2x；

C：累的乘方：父尸;不；

D：同底數(shù)基的除法：底數(shù)不變，指數(shù)相減，3力=/.

初步性問題

探究類型之三整式的化簡求值

例3先化簡，再求值：（x+1）之一（x+2）（九一2）,其中尤且x是整數(shù).

解析：

先化簡：利用完全平方公式和平方差公式簡化整式的乘法運(yùn)算，（下一步）

再求整數(shù)解：因?yàn)?="V石〈尤VMvJi石=4,故2VxV4,又x是整數(shù)，

所以x=3,（下一步）

最后代入求值.

答案：

解：（x+1）--（x+2）（%—2）

=f+2x+l-（f-4）

=2x+5.

因?yàn)?=4〈石VxV而<7^=4,故2VXV4,

又x是整數(shù)，所以x=3.

所以原式=2X3+5=11.

師：如何化簡這個(gè)整式？

生：（預(yù)設(shè)）利用完全平方公式和平方差公式簡化整式的乘法運(yùn)算.

師：如何求整數(shù)解？

生：（預(yù)設(shè)）找完全平方數(shù)，x介于"和J語之間.

師：非常好，最后代入求值即可，大家來總結(jié)一下這道題的收獲吧.

生：（預(yù)設(shè)）要注意整式的運(yùn)算順序，根據(jù)法則來運(yùn)算.

師：對(duì)于整式的加、減、乘、除、乘方運(yùn)算，要充分理解其運(yùn)算法則，注意運(yùn)算順

序，正確應(yīng)用乘法公式以及整體和分類等數(shù)學(xué)思想.在應(yīng)用乘法公式時(shí)，要充分理注意這里提醒

解乘法公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，分析是否符合乘法公式的條件.學(xué)生注意

4a2-b2不要再

類似性問題因式分解.

3.先化簡，再求值：a（a-2。）+2（。+/?）（。-。）+（。+8）2,其中。

2

解析：

先利用乘法的平方差公式和完全平方公式化簡代數(shù)式，再代入求值.

a（a-2b）+2（a+。）（a-。）+（a+b）2

=a2-2ab+2a1-2b2+a2+2ab+b2

=4次-比

因式分解是分

式約分的基

礎(chǔ).

師：前面我們復(fù)習(xí)了整式的乘法運(yùn)算，而因式分解與整式的乘法運(yùn)算互為逆變形.

考點(diǎn)6因式分解

回顧：

整式的乘法《；＞因式分解(點(diǎn)擊因式分解出現(xiàn)同

色字體)7.

1.因式分解：把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式叫做多項(xiàng)式的因式分解，因式

分解與整式乘法互為逆變形.

(下一步)

2.因式分解的某本方法(注:黃色標(biāo)記內(nèi)容點(diǎn)擊冒號(hào)前面對(duì)應(yīng)出示)

(1)提公因式法：一般地，如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提到括

號(hào)外面，將多項(xiàng)式寫成因式乘積形氟即ma+mb+mc=m(a+b+).

公因式：一個(gè)多項(xiàng)式每一項(xiàng)都含有的相同的因式叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式.

(2)運(yùn)用公式法

平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)；

完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b\2,a2~2ab+b2=(a-b)2.

(下一步)

3.因式分解的一般步驟：若有公因式，先提公因式；若無公因式，則考慮平方差公

式或完全平方公式分解，直到不能再分解為止.

師：回顧完分解因式的相關(guān)知識(shí)，接下來我們來看幾道相關(guān)例題.

初步性問題

探究類型之一因式分解

例1(1)因式分解：.

(2)把代數(shù)式〃/-63+9加分解因式，下列結(jié)果中正確的是()

A.m(x+3)2B.mU+3)(x-3)C.m(x-4)2D.m(x-3)2

解析：

因式分解的一般步驟：若有公因式，先提公因式；若無公因式，則考慮平方差

公式或完全平方公式分解，直到不能再分解為止.

(1))rl-^xy1=x(fYy2)=x(x+2y)(x-2y)；(下一步)

(2)=m(f-6x+9)=m(x-3)2.(下一步)

答案：

(1)x(x+2y)(廠2y)；

(2)D.

師：因式分解的一般步驟是什么？

生：(預(yù)設(shè))若有公因式，先提公因式；若無公因式，則考慮平方差公式或完全平方

公式分解，直到不能再分解為止.

師：第一題哪位同學(xué)來講一講？

學(xué)生回答.

師：第二題？

學(xué)生回答.

師：通過這道題我們要總結(jié)一下.

(1)因式分解的意義是把多項(xiàng)式分解成幾個(gè)整式的積的形式.

(2)提取公因式后，若括號(hào)內(nèi)合并的項(xiàng)有公因式應(yīng)再次提取.

(3)注意符號(hào)的變換：y~x=-(x-y),(y-x)2=(x-y)2.

(4)分解因式要分解到不能再分解為止.

探究類型之二因式分解的創(chuàng)新應(yīng)用

例2如下數(shù)表是由從1開始的連續(xù)自然數(shù)組成，觀察規(guī)律并完成各題的解答.

1

234

56789

10111213141516

171819202122232425

2627282930313233343536

(1)表中第8行的最后一個(gè)數(shù)是,它是自然數(shù)______的平方，第8行共有

_________個(gè)數(shù)；

(2)用含〃的代數(shù)式表示：第〃行的第一個(gè)數(shù)是,最后一個(gè)數(shù)是,

第〃行共有個(gè)數(shù)；

(3)求第〃行各數(shù)之和.

解析：

第1行有_1=2X『1一個(gè)數(shù)，最后一個(gè)數(shù)是1=F，第一個(gè)數(shù)是［；

第2行有_|=2義■一個(gè)數(shù)，最后-個(gè)數(shù)是—■_，第一個(gè)數(shù)是_

第3行行&=2灰”個(gè)數(shù)，最后一個(gè)數(shù)是，第一個(gè)數(shù)是

第4行有_7=2X4-1—個(gè)數(shù)，最后一個(gè)數(shù)是_16=41,第一個(gè)數(shù)是」0=32+1__；

第〃行有—■一個(gè)數(shù)，最后一個(gè)數(shù)是_一第一個(gè)數(shù)是

n*12-2n+2=(n-l)2+1___.(下一步)

解決找規(guī)律性問題：經(jīng)歷觀察，猜想，驗(yàn)證，歸納，總結(jié)的過程，分析數(shù)或式

的規(guī)律，從簡單到復(fù)雜，獲得隱含的數(shù)學(xué)規(guī)律，并用代數(shù)式進(jìn)行描述.

答案：

(1)64；8；15

(2)“2-2”+2；n2；2n-l

(3)解：(n2-2n+2)+(tr-2n+3)+…+(n2-l)+n2

_(2n-l)(?2-2n+2+n2)

2

=(2n-1)

=2〃3-3/+3〃-I.

師：解決找規(guī)律性問題：經(jīng)歷觀察，猜想，驗(yàn)證，歸納，總結(jié)的過程，分析數(shù)或式

的規(guī)律，從簡單到復(fù)雜，獲得隱含的數(shù)學(xué)規(guī)律，并用代數(shù)式進(jìn)行描述.根據(jù)問題的描

述，我們要找到每一行第一個(gè)數(shù)是多少，最后一個(gè)數(shù)是多少，共有幾個(gè)數(shù)？先從簡

單的開始.第一行一目了然，第二行呢？

生：(預(yù)設(shè))第2行第1個(gè)數(shù)是2,最后一個(gè)數(shù)是4,共有3個(gè)數(shù).

生：(預(yù)設(shè))第3行第1個(gè)數(shù)是5,最后一個(gè)數(shù)是9,共有5個(gè)數(shù).

師：我們能夠猜想得到第八行的規(guī)律呢？

生：(預(yù)設(shè))第〃行第1個(gè)數(shù)是(〃-1/+1,最后一個(gè)數(shù)是層，共有2〃-1個(gè)數(shù).

師：第〃行各數(shù)之和能求嗎？

生：(預(yù)設(shè))首項(xiàng)加末項(xiàng)乘以項(xiàng)數(shù)除以2.

師：非常好，解決整式的規(guī)律性問題應(yīng)充分發(fā)揮數(shù)形結(jié)合的作用，從分析圖形的結(jié)

構(gòu)入手，分析圖形結(jié)構(gòu)的形成過程，從簡單到復(fù)雜，進(jìn)行歸納猜想，從而獲得隱含

的數(shù)學(xué)規(guī)律，并用代數(shù)式進(jìn)行描述.

類似性問題

1.分解因式：-a3+a2b-—ab2=.

4

解析：

先提公因式，再用完全平方公式.

-cr>-ira1b--ab1

4

=--a(4/-41力+〃2)

4

1

一4

一-

4-(2a~b)~

2.(1)已知〃。=一1,〃+。=2,貝!］式子一+3=__.

ab

(2)已知X+L=3,則代數(shù)式x2+二的值為

XX

解析:

bab-+a1

--j—

abab

_(a+h)2-2ah

ah

_22-2x(-1)

-1

=-6；(下-,步)

⑵f+L

X

（iY.

=x+--2

kxj類比分?jǐn)?shù)和分

=32-2數(shù)的性質(zhì).

=7.

（1,2兩間可以分成左右兩欄）

3.給出三個(gè)單項(xiàng)式：a2,b2,2ah.

（1）在上面三個(gè)單項(xiàng)式中任選兩個(gè)相減，并進(jìn)行因式分解；

（2）當(dāng)a=2012,6=2011時(shí),求代數(shù)式。2+從-2油的值.

解析：

（1）任意選擇兩個(gè)單項(xiàng)式相減，然后運(yùn)用提取公因式法、公式法分解因式即可,

答案不唯一；（下一步）

（2）先運(yùn)用公式法將/+/；2-2時(shí)分解因式，然后代入a,方的值計(jì)算.

考點(diǎn)7分式的概念、分式的通分與約分

師：下面同學(xué)們先回憶一下分式的基本概念和基本性質(zhì).

回顧：

因式分解是分

式約分的基

’單項(xiàng)式

礎(chǔ).

「整式，

有理式J1多項(xiàng)式

I分式（點(diǎn)擊后出現(xiàn)分式的概念）

代數(shù)式Y(jié)

I無理式-----二次根式

1.分式的概念

分式：形如△A（48是整式，且3中含有字母，且8/））的式子叫做分式.

B

分式有意義的條件：分母不為0.

分式的值為0的條件：分子為0,分母不為0.（下一步）

2.分式的基本性質(zhì)

基本性質(zhì)：分式的分子與分母同乘（或除以）一個(gè)不等于0的整式，分式的值不變.

式子表示：—=,，=A,加（8加，4#0,A、B、M為整式）.（下一

BBxMBB+M

步）

約分：利用分式的基本性質(zhì)，把分式的分子與分母中的公因式約去，叫做分式的約

分.

通分：利用分式的基本性質(zhì)，使分子和分母同乘適當(dāng)?shù)恼?，不改變分式的值，?/p>

異分母的分式化成同分母的分式，這樣的分式變形叫做分式的通分.

（注：黃色標(biāo)記內(nèi)容點(diǎn)擊冒號(hào)前面對(duì)應(yīng)出示，后面不在說明）

師：回顧完基本概念，接下來我們來看幾道相關(guān)例題.

初步性問題

探究類型之-分式的概念

例1（1）若分式」一有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是__________.

x—5

3r2-97

（2）如果分式門”的值為0,則x的值應(yīng)為__________.

x-3

解析：

（1）分式」一有意義，分母不為0,所以廠5卻，即#5；（下一步）

x—5

（2）分式二~二的值為0,分子為0,分母不為0,所以3/-27=0且匯3加，

x—3

解得尤=-3.；（下一步）

考慮分式問題的前提是：分式有意義，即分母不為零.

（1）分式的值為零的條件：分式的分子為零，分母不為零.（下一步）

（2）分式的值為正的條件：分子與分母同號(hào)（同時(shí)大于零或同時(shí)小于零，隱含

了分母不為零）；分式的值為負(fù)的條件：分子與分母異號(hào).分式的值為正（負(fù)）經(jīng)常

與不等式組結(jié)合考查.

答案：

（1）對(duì)5,

（2）-3.

師：分式有意義的條件是什么？

生：（預(yù)設(shè)）分母不為零.

師：分式值為零的條件是什么？

生：（預(yù)設(shè)）分子為零，分母不為零.

師：非常好，那這兩道題目的聯(lián)系和區(qū)別是什么呢？

生：（預(yù)設(shè)）考慮分式問題，分母不為零是前提條件，在分母不為零的基礎(chǔ)上再考

慮其它條件.

師：分式值為正的條件是什么？

生：（預(yù)設(shè)）分子與分母同時(shí)大于零或同時(shí)小于零.

師：好，也就是分子分母同號(hào)，那有沒有分母不為零這個(gè)條件呢？

生：（預(yù)設(shè)）有，已經(jīng)隱含了分母不為零這個(gè)條件了.

師：非常好，考慮分式問題時(shí)大家勿忘.

生：（預(yù)設(shè)）分母不為零.

類似性問題

2.若分式—的值為0,則x的值等于__________.

x+l

解析：

分式的值為0,分子為0,分母不為0,所以f-l=0且x+l#0,解得x=l.

初步性問題

探究類型之二分式的約分與通分

例2在三個(gè)整式f-l,x2+2x+l,f+x中，請(qǐng)你從中任意選擇兩個(gè)，將其中一個(gè)

作為分子，另一個(gè)作為分母組成一個(gè)分式，并將這個(gè)分式進(jìn)行化簡，再求當(dāng)x=2時(shí)

分式的值.

解析：

當(dāng)x=20寸，三個(gè)整式fT,f+2x+l,f+x都不為0,所以都可以作為分母，

—I?〃口A廠+2x+1r+x-1r+%X?—1x~+2x+1_i_u,

可組成——z-------,—'F----------，f----------，f—，—=--------，共6

x—1x~-1x~+2x+1x~+2x+1x~+xx~+x

個(gè)分式，任選一個(gè)分式，先因式分解，再利用分式的基本性質(zhì)約分.

答案：

解：比如，可選擇f+2x+l作為分子，r-1作為分母，組成分式士產(chǎn)

x2-l

x2+2x+l_（x+1）2_X+1

%2-1（x+l）（x-l）X-1

當(dāng)x=2時(shí)，原式=二^=3.

2-1

師：我們?cè)谶x擇分子分母的時(shí)候要注意什么？

生：（預(yù)設(shè)）由于這里要代入求值，所以當(dāng)x=2時(shí)分母不能為0.

師：非常好，這三個(gè)整式中有幾個(gè)可以作分母的呢？

生：（預(yù)設(shè)）三個(gè)都可以.

師：那我們一共可以組成幾個(gè)不同的分式呢？

生：（預(yù)設(shè)）6個(gè).

師：大家任意選取一個(gè)，先約分再代入求值.

師：大家發(fā)現(xiàn)這6個(gè)值有什么關(guān)系嗎？

生：（預(yù)設(shè)）兩兩互為倒數(shù).

師：這是因?yàn)榉肿臃帜富Q的原因.

師：此題屬于結(jié)論開放型問題.大家在解答的時(shí)候要注意選擇的合理性，注意題目中

隱含的條件，在利用分式基本性質(zhì)約分時(shí)，要把分式化到最簡，然后代值計(jì)算.

類似性問題

1.下列運(yùn)算正確的是（)

22

A-X-y_.x-ya-ba-b

A.

r+yx+y(a-b)2a+b

a2-h~

r_a-\-bD1

(a-b)2a-b1-x2x+1

解析:

分子分母同時(shí)除以-1,士2=葉2,A錯(cuò)誤；（下一步）

-x+yx-y

分子分母同時(shí)除以3"），幺上吟=絲也學(xué)=巴心，B錯(cuò)誤，C正確；（下

（a-b）2（a-b）2a-b

一步）

x-lx-1

分子分母同時(shí)除以（尸1）,—,D錯(cuò)誤.

1-x2(1+xXDx+1

利用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行約分.

3?已知?jiǎng)t色的值是（）

ab2a-b

A.-B.--C.2D.-2

22

解析：

方法一：通分，取負(fù)倒數(shù)，所以衛(wèi)-=一2；（下一步）

abab2a-b

方法二：特值法：取。=1,b=2,滿足L所以士=監(jiān)=-2.

ab2a-b1-2

考點(diǎn)8分式的運(yùn)算

師：我們首先來回憶一下分式的運(yùn)算法則.

回顧:

（點(diǎn)擊分式的運(yùn)算后出現(xiàn)同色字體）

加減乘除

乘方

（注：黃色標(biāo)記內(nèi)容點(diǎn)擊冒號(hào)前面對(duì)應(yīng)出示）

1.分式的加減法：（1）同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減，即

a,ba±b

-±—=----?

CCC

（2）異分母的分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜傅姆质剑缓笙嗉訙p，即

—a±,—c=—ad±.—be=-a-d---±--b-e-.

bdbdbdbd

2.分式的乘法：分式乘分式，用分子的積做積的分子，分母的積做積的分母，即

acac

—x—=一.

bdbd

3.分式的除法：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘，

-4--=-x-=—（屏0,今0,80）.

bdbche

4.分式的乘方：分式乘方是把分子、分母各自乘方，即（”為整數(shù)）.

b"

（下一步）（因?yàn)閷懖幌铝怂該Q下一頁）

（注：黃色標(biāo)記內(nèi)容點(diǎn)擊冒號(hào)前面對(duì)應(yīng)出示）

5.分式的混合運(yùn)算順序：在分式的混合運(yùn)算中，應(yīng)先算乘方，再將除法化為乘法，

進(jìn)行約分化簡，最后進(jìn)行加減運(yùn)算，遇有括號(hào)，先算括號(hào)里面的.（下一步）

注意：（1）如果分式的分子與分母是多項(xiàng)式，應(yīng)先將多項(xiàng)式因式分解.

（2）實(shí)數(shù)的各種運(yùn)算律也適合分式的運(yùn)算.

（3）分式運(yùn)算的結(jié)果要化成最簡分式.

師：回顧完分式的運(yùn)算法則，接下來我們來看幾道相關(guān)例題.

初步性問題

探究類型之一分式的化簡求值

例1先化簡，再求值：二2：+1,其中戶―5.

（x-2）x-4

解析：

注意運(yùn)算順序.

先將括號(hào)里按同分母分式加減計(jì)算，再把分子和分母因式分解，然后進(jìn)行約分,

最后代入求值.

答案:

解:（T）X2-2X+1

x2-4

x—1(x4-2)(x—2)

=----------X--------------------z-------

X—2(%—1)~

x+2

一1.

將X=-5代入化簡后的分式得,

師：根據(jù)分式的運(yùn)算順序，我們應(yīng)該先算什么，再算什么？

生：（預(yù)設(shè)）先算括號(hào)內(nèi)的加法，再算除法.

師：括號(hào)內(nèi)的怎么算？

生：（預(yù)設(shè)）把1看作三心，這樣就變成了同分母的分式相加減.

x—2

師：好，接下來是分式的除法運(yùn)算，要注意哪些問題？

生：（預(yù)設(shè)）除法變乘法，先因式分解，再約分.

師：因式分解是一種重要的數(shù)學(xué)方法，很多數(shù)學(xué)問題都要用到它，尤其是在分式化

簡和分式的四則運(yùn)算中有著極其關(guān)鍵的作用，在約分的時(shí)候我們一定要注意將結(jié)果

化成最簡.

類似性問題

2?化簡（9X\X

t的結(jié)果為

x-2)x2-4

解析：

_____

(x+2x-2)x"-4

2x(x-2)-x(x+2)x2-4

=-----------------------------x----------

(x+2)(x-2)x

—___x_(_x__-_6_)___x_(_x_+__2__)(_x_-_2__)

(x+2)(x-2)x

=x-6.

xx2x然后從不等組I-X-243,的解集中，選取一個(gè)你

3.先化簡

x-55-xx2-252x<12

認(rèn)為符合題意的X的值代入求值.

解析：

解不等式組可得-5方<6,在選取X的值的時(shí)候要注意應(yīng)滿足條件

%工0,

即#0、且洋一5.

(x+5)(x-5)00,

初步性問題

探究類型之二分式的創(chuàng)新應(yīng)用

例2Si=l+—+—,S2=l+—+—,S3=l+—+—>…，S"=l+r'1--------

I22222323242/(〃+]>

設(shè)S=&+￡+…+后，則S=(用含n的代數(shù)式表示，其中n為正

整數(shù)).

解析:

觀察計(jì)算結(jié)果的變化規(guī)律，S尸...，猜想S”是完

全平方數(shù)，證明如下:

法一：5”=1+2+—T

n2(H+1)2

n2(n+l)2+(/j+l)2+n2

n2(?+l)2

〃2(〃+1y+2〃("+1)+1

“2("+1尸

法二：5=1+4+―二

n2(H+1)2

i—LY_^

nn+lj++

12

---------------7H-----7--------r

r--|2

=1H———-5——-?

故瘋="("+i)+i=i+J=i+_L-_L,(下一步)

s=K+E+…+后

11、11X八11X

=(1+--—)+(1+—-—)+■■?+(1+--------)

1223nn+l

111111

—71H———4-------------

1223n72+1

_+2〃

〃+1-----

〃+1〃+1

答案：七3

〃+1

師：對(duì)于找規(guī)律性問題，我們首先要?

生：（預(yù)設(shè)）觀察.

師：你觀察得到哪些有用的信息？

生：（預(yù)設(shè)）S,S2,S3,…，S”的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，是一些平方數(shù)的倒數(shù)的和.

師：還有呢？

生：（預(yù)設(shè)）要求得S是多,52,S3,…，S”的算術(shù)平方根的和.

師：所以我們猜想？

生：（預(yù)設(shè)）S1,%S3,…，S”是一些完全平方數(shù).

師：那我們就要算算看了？

生：（預(yù)設(shè)）Si=（g］，S2=（\J，S3=（j|j，是完全平方數(shù)，而且括號(hào)里面分母是

兩個(gè)連續(xù)整數(shù)的乘積，分子比分母大1.

師：好，我們來驗(yàn)證S”是完全平方數(shù)，在驗(yàn)證的時(shí)候我們可以借用求S”S2,S3的

方法先通分試試看，關(guān)鍵是將分子配成完全平方式.

學(xué)生嘗試驗(yàn)證.

師：還有別的方法嗎？觀察代數(shù)式*的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是平方和的形式，我們聯(lián)想到利用

完全平方式恒等變換，再聯(lián)想到裂項(xiàng)求和.

學(xué)生嘗試計(jì)算.

師：此類問題一般是通過觀察計(jì)算結(jié)果變化規(guī)律，猜想一般性的結(jié)論，再利用分式

的性質(zhì)及運(yùn)算予以證明.

類似性問題

2_2

1.設(shè)機(jī)>〃>0,n?2+n2=4mn,則？——。的值等于()

mn

A.26B.73C.76D.3

解析：

利用恒等變換：a2+b2=(a+h)2-2ah=(a-b)2+2ah.

法一：由m2^-n2=4mn得(〃2+〃戶=6①〃，(m-n)2=2mn,

因?yàn)樗约?〃>0,/n〃>0,

所以m+n=\lbmn,m-n=\/2mn,

所以病一/z2=2石

(下一步)

mnmn

法二：由加2+〃2=4加〃可得里+巴=*故竺+巴=16,

nmynm)

22

因?yàn)榉?gt;〃>0,所以二二上>0,

mn

22

所以里二L-3

mnntn

第二課時(shí)

教學(xué)路徑

師：上節(jié)課我們復(fù)習(xí)了整式的概念及運(yùn)算以及分式的概念，下面這節(jié)課我們一起來

復(fù)習(xí)一下二次根式的知識(shí).

考點(diǎn)9二次根式的性質(zhì)

師：首先請(qǐng)同學(xué)們先回憶一下二次根式的概念.

回顧：

'單項(xiàng)式

「整式《

有理式j(luò)1多項(xiàng)式

I分式

代數(shù)式"

I無理式-----二次根式(點(diǎn)擊后出現(xiàn)二次根式的概念)

1.二次根式的概念

二次根式：形如右(?>0)的式子叫做二次根式.(下一步)

(注：黃色標(biāo)記內(nèi)容點(diǎn)擊冒號(hào)前面對(duì)應(yīng)出示)

最簡二次根式：同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件的二次根式叫做最簡二次根式：

(1)被開方數(shù)中不含能開盡方的因數(shù)或因式；

(2)被開方數(shù)不含分母.

同類二次根式：化為最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的二次根式叫做同類二次根式.

(下一步)

2.二次根式的性質(zhì)：

(1)(Va)2=a(a>0)；

(2)y*

-a(a<0)；

（3）>[ab=y/a?4b（介0,6>0）；

（4）后=若（a>0,桓0）.

初步性問題

探究類型之一二次根式的有關(guān)概念

例1要使式子叵2有意義，則。的取值范圍為，

解析：

（1）二次根式被開方數(shù)的非負(fù)性，（2）分母不為0.（下一步）

根據(jù)題意可知。+2加且存0,即。絲2且a#0.

答案：a”2且存0

師：同討論分式有意義一樣，我們也討論了二次根式有意義的條件，我們來看這個(gè)

代數(shù)式有意義的條件是什么？

生：（預(yù)設(shè)）被開方數(shù)非負(fù)，分母不為0.

師：好，根據(jù)條件列出不等式組，求解即可，答案是？

生：（預(yù)設(shè)）血-2且存0.

師：此類有意義的條件問題主要是根據(jù)①二次根式的被開方數(shù)大于或等于零；②分

式的分母不為零等列不等式組，轉(zhuǎn)化為求不等式的解集.

類似性問題

1.函數(shù)y=士2自變量的取值范圍是（）

x—2

A.xh2且對(duì)2B.x>-2且對(duì)2

C.x=±2D.全體實(shí)數(shù)

解析:

根據(jù)題意得x+2>0且廠2#0,即x>-2且x/2.

初步性問題

探究類型之二二次根式的性質(zhì)

例2數(shù)a,8在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡，（a+l）2+歷方-府詬.

ab

iiT?i?Ti?.

-3-2-10123x

解析：

先去根號(hào)，再數(shù)形結(jié)合去絕對(duì)值.

觀察數(shù)軸可知-2VaVT,l<b<2,故a+lVO,b-l>0,a-b<Q.

答案：

解：觀察數(shù)軸可知-2VaV-l,Kb<2,故a+lVO,b~\>Q,a-b<0.

J（a+1）2+Js_i）2_J（j）2

=-a-1+b-1+a-b

=-2.

師：化簡這類代數(shù)式的一般步驟是什么？

生：（預(yù)設(shè)）先去根號(hào)，再去絕對(duì)值.

師：關(guān)鍵是去絕對(duì)值的時(shí)候符號(hào)的選擇，去絕對(duì)值時(shí)如何判斷代數(shù)式的正負(fù)？

生：（預(yù)設(shè)）數(shù)形結(jié)合，根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的位置判斷數(shù)的取值范圍.

師：請(qǐng)同學(xué)來說說具體判斷的方法.

學(xué)生回答.

類似性問題

2.比較大小：-3幣-2厲.

解析:

平方法比較大小.

因?yàn)椋?77）2=63,（2715）2=60,63>60,

所以3">2店，所以一3一〈一2后.

2

3.若整數(shù)m滿足條件y](m+\)=m+l且m<~^=則m的值是

解析：

根據(jù)二次根式的性質(zhì)：

由Ja〃+1）2=7〃+1可知加+120,即加三1；（下一步）

解不等式取整數(shù)解：

2

-1</?<<1,又加為整數(shù)，所以加的值是0或-1.

考點(diǎn)10二次根式的運(yùn)算

師：下接下來同學(xué)們先回憶一下二次根式的運(yùn)算法則.

回顧：

二次根式的運(yùn)算（下一步）

（注：黃色標(biāo)記內(nèi)容點(diǎn)擊冒號(hào)前面對(duì)應(yīng)出示）

1.二次根式的加減：先將二次根式化為最簡二次根式，再將同類二次根式進(jìn)行合并.

2.二次根式的乘除法：&?屈=y[ab（叱0,b>Q）.

(。>0,6>0).

注意：二次根式的最后結(jié)果應(yīng)化為最簡二次根式.

3.非負(fù)數(shù)：正數(shù)和零叫做非負(fù)數(shù).

常見的非負(fù)數(shù)：

性質(zhì)：幾個(gè)非負(fù)數(shù)之和為0,則每一個(gè)非負(fù)數(shù)都為0.

初步性問題

探究類型之一二次根式的運(yùn)算

例1計(jì)算：3(^-^)0-^2°/15+(-1)2011.

V5

(G—萬)°=,(-1)201,=,叵=.

解析：

按照實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算法則和運(yùn)算順序直接進(jìn)行計(jì)算，

(舁幻』，㈠產(chǎn)=7叵華一半=2-技

V5V5V5

答案：

解：原式=3X1-(2-V3)-1=73.

師：這道題目的運(yùn)算順序是?

生：(預(yù)設(shè))先算靈指數(shù)幕，二次根式，正整數(shù)指數(shù)幕，后算加減.

類似性問題

2.計(jì)算：(2—卜&邛1.

答案：

原式=4-(3-20)+￡I=1+ML