人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)學(xué)案：6 2 2　排列數(shù)

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)PAGEPAGE16.2.2排列數(shù)課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式.2.掌握幾種有限制條件的排列，能應(yīng)用排列數(shù)公式解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.通過(guò)排列數(shù)公式的學(xué)習(xí)，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)及邏輯推理素養(yǎng).自主梳理1.排列數(shù)的定義從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)Aeq\o\al(m,n)表示.2.排列數(shù)公式Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,（n－m）！)(n，m∈N*，m≤n).3.全排列將n個(gè)不同的元素全部取出的排列數(shù)，等于正整數(shù)1到n的連乘積，叫做n的階乘，用n！表示，于是n個(gè)元素的全排列數(shù)公式可以寫成：Aeq\o\al(n,n)＝n!，另外規(guī)定，0?。?.1.排列與排列數(shù)的區(qū)別：“排列”是指從n個(gè)不同的元素中任取m(m≤n)個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，不是數(shù)；“排列數(shù)”是指從n個(gè)不同的元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，是一個(gè)數(shù).2.排列數(shù)公式的特征：m個(gè)連續(xù)自然數(shù)之積，最大的因數(shù)是n，最小的因數(shù)是n－m＋1；公式中的m，n應(yīng)該滿足n，m∈N*，m≤n，當(dāng)m>n時(shí)不成立.自主檢驗(yàn)1.思考辨析，判斷正誤(1)89×90×91×92×…×100可表示為Aeq\o\al(12,100).(√)(2)甲、乙、丙三名同學(xué)排成一排，不同的排列方法有4種.(×)〖提示〗由排列的定義可知，共有Aeq\o\al(3,3)＝3×2×1＝6種排列方法.(3)若Aeq\o\al(m,12)＝9×10×11×12，則m＝4.(√)(4)5本不同的課外讀物分給5位同學(xué)，每人一本，則不同的分配方法有120種.(√)2.Aeq\o\al(3,9)等于()A.9×3 B.93C.9×8×7 D.9×8×7×6×5×4×3〖答案〗C3.有5名同學(xué)被安排在周一至周五值日，已知同學(xué)甲只能在周一值日，那么5名同學(xué)值日順序的編排方案共有()A.12種 B.24種C.48種 D.120種〖答案〗B〖解析〗∵同學(xué)甲只能在周一值日，∴除同學(xué)甲外的4名同學(xué)將在周二至周五值日，∴5名同學(xué)值日順序的編排方案共有Aeq\o\al(4,4)＝24(種).4.5Aeq\o\al(3,5)＋4Aeq\o\al(2,4)＝________.〖答案〗348〖解析〗原式＝5×5×4×3＋4×4×3＝348.題型一排列數(shù)公式及應(yīng)用〖例1〗(1)用排列數(shù)表示(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N*且，n<55)；(2)計(jì)算eq\f(2Aeq\o\al(5,8)＋7Aeq\o\al(4,8),Aeq\o\al(8,8)－Aeq\o\al(5,9)).(3)證明Aeq\o\al(m,n＋1)－Aeq\o\al(m,n)＝mAeq\o\al(m－1,n).(1)解因?yàn)?5－n，56－n，…，69－n中的最大數(shù)為69－n，且共有69－n－(55－n)＋1＝15(個(gè))元素，所以(55－n)(56－n)…(69－n)＝Aeq\o\al(15,69－n).(2)解eq\f(2Aeq\o\al(5,8)＋7Aeq\o\al(4,8),Aeq\o\al(8,8)－Aeq\o\al(5,9))＝eq\f(2×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×5,8×7×6×5×4×3×2×1－9×8×7×6×5)＝eq\f(8×7×6×5×（8＋7）,8×7×6×5×（24－9）)＝1.(3)證明法一因?yàn)锳eq\o\al(m,n＋1)－Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(（n＋1）！,（n＋1－m）！)－eq\f(n！,（n－m）！)＝eq\f(n！,（n－m）！)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n＋1,n＋1－m)－1))＝eq\f(n！,（n－m）！)·eq\f(m,n＋1－m)＝m·eq\f(n！,（n＋1－m）！)＝mAeq\o\al(m－1,n)，所以Aeq\o\al(m,n＋1)－Aeq\o\al(m,n)＝mAeq\o\al(m－1,n).法二Aeq\o\al(m,n＋1)表示從n＋1個(gè)元素中取出m個(gè)元素的排列個(gè)數(shù)，其中不含元素a1的有Aeq\o\al(m,n)個(gè).含有a1的可這樣進(jìn)行排列：先排a1，有m種排法，再?gòu)牧硗鈔個(gè)元素中取出m－1個(gè)元素排在剩下的m－1個(gè)位置上，有Aeq\o\al(m－1,n)種排法.故Aeq\o\al(m,n＋1)＝mAeq\o\al(m－1,n)＋Aeq\o\al(m,n)，所以Aeq\o\al(m,n＋1)－Aeq\o\al(m,n)＝mAeq\o\al(m－1,n).思維升華排列數(shù)公式的形式及選擇方法排列數(shù)公式有兩種形式，一種是連乘積的形式，另一種是階乘的形式，若要計(jì)算含有數(shù)字的排列數(shù)的值，常用連乘積的形式進(jìn)行計(jì)算，而要對(duì)含有字母的排列數(shù)的式子進(jìn)行變形或作有關(guān)的論證時(shí)，一般用階乘式.〖訓(xùn)練1〗不等式Aeq\o\al(x,8)<6Aeq\o\al(x－2,8)的解集為()A.〖2，8〗 B.〖2，6〗C.(7，12) D.{8}〖答案〗D〖解析〗由Aeq\o\al(x,8)<6Aeq\o\al(x－2,8)，得eq\f(8！,（8－x）！)<6×eq\f(8！,（10－x）！)，化簡(jiǎn)得x2－19x＋84<0，解得7<x<12，①又eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≤8，,x－2≥0，))所以2≤x≤8，②由①②及x∈N*，得x＝8.題型二排隊(duì)問(wèn)題〖例2〗三個(gè)女生和五個(gè)男生排成一排.(1)如果女生必須全排在一起，可有多少種不同的排法？(2)如果女生必須全分開，可有多少種不同的排法？(3)如果兩端都不能排女生，可有多少種不同的排法？(4)如果兩端不能都排女生，可有多少種不同的排法？(5)如果三個(gè)女生(甲、乙、丙)從左到右的順序?yàn)榧住⒁?、?不一定相鄰)，可有多少種不同的排法？解(1)(捆綁法)因?yàn)槿齻€(gè)女生必須排在一起，所以可以先把她們看成一個(gè)整體，這樣同五個(gè)男生合在一起共有六個(gè)元素，排成一排有Aeq\o\al(6,6)種不同的排法.對(duì)于其中的每一種排法，三個(gè)女生之間又有Aeq\o\al(3,3)種不同的排法，因此共有Aeq\o\al(6,6)·Aeq\o\al(3,3)＝4320(種)不同的排法.(2)(插空法)要保證女生全分開，可先把五個(gè)男生排好，每?jī)蓚€(gè)相鄰的男生之間留出一個(gè)空位，這樣共有四個(gè)空位，加上兩邊男生外側(cè)的兩個(gè)位置，共有六個(gè)位置，再把三個(gè)女生插入這六個(gè)位置中，只要保證每個(gè)位置至多插入一個(gè)女生，就能保證任意兩個(gè)女生都不相鄰.由于五個(gè)男生排成一排有Aeq\o\al(5,5)種不同排法，對(duì)于其中任意一種排法，從上述六個(gè)位置中選出三個(gè)讓三個(gè)女生插入都有Aeq\o\al(3,6)種排法，因此共有Aeq\o\al(5,5)·Aeq\o\al(3,6)＝14400(種)不同的排法.(3)法一(位置分析法)因?yàn)閮啥硕疾荒芘排?，所以兩端只能挑選五個(gè)男生中的兩個(gè)，有Aeq\o\al(2,5)種不同的排法，對(duì)于其中的任意一種不同的排法，其余六個(gè)位置都有Aeq\o\al(6,6)種不同的排法，所以共有Aeq\o\al(2,5)·Aeq\o\al(6,6)＝14400(種)不同的排法.法二(間接法)三個(gè)女生和五個(gè)男生排成一排共有Aeq\o\al(8,8)種不同的排法，從中扣除女生排在首位的Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(7,7)種排法和女生排在末位的Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(7,7)種排法，但兩端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情況時(shí)被扣去一次，在扣除女生排在末位的情況時(shí)又被扣去一次，所以還需加回來(lái)一次，由于兩端都是女生有Aeq\o\al(2,3)·Aeq\o\al(6,6)種不同的排法，所以共有Aeq\o\al(8,8)－2Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(7,7)＋Aeq\o\al(2,3)·Aeq\o\al(6,6)＝14400(種)不同的排法.法三(元素分析法)從中間六個(gè)位置挑選三個(gè)讓三個(gè)女生排入，有Aeq\o\al(3,6)種不同的排法，對(duì)于其中的任意一種排法，其余五個(gè)位置又都有Aeq\o\al(5,5)種不同的排法，所以共有Aeq\o\al(3,6)·Aeq\o\al(5,5)＝14400(種)不同的排法.(4)法一(位置分析法)因?yàn)橹灰髢啥瞬欢寂排?，所以如果首位排了男生，那么末位就不再受條件限制了，這樣可有Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(7,7)種不同的排法；如果首位排女生，有Aeq\o\al(1,3)種排法，那么末位就只能排男生，這樣可有Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(6,6)種不同的排法，因此共有Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(7,7)＋Aeq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(6,6)＝36000(種)不同的排法.法二(間接法)三個(gè)女生和五個(gè)男生排成一排共有Aeq\o\al(8,8)種不同的排法，從中扣除兩端都是女生的排法Aeq\o\al(2,3)·Aeq\o\al(6,6)種，就得到兩端不都是女生的排法種數(shù).因此共有Aeq\o\al(8,8)－Aeq\o\al(2,3)·Aeq\o\al(6,6)＝36000(種)不同的排法.(5)(定序法)首先八個(gè)人排成一排，有Aeq\o\al(8,8)種排法，其中甲、乙、丙的全排列有Aeq\o\al(3,3)種排法，而甲、乙、丙從左到右的順序只是其中一種，所以滿足條件的排法共有eq\f(Aeq\o\al(8,8),Aeq\o\al(3,3))＝6720(種).思維升華排隊(duì)問(wèn)題的相鄰、不相鄰、定序問(wèn)題的解題策略(1)對(duì)于相鄰問(wèn)題，可采用“捆綁法”解決，即將相鄰的元素視為一個(gè)整體進(jìn)行排列.(2)對(duì)于不相鄰問(wèn)題，可采用“插空法”解決，即先排其余的元素，再將不相鄰的元素插入空中.(3)對(duì)于定序問(wèn)題，即若有m＋n個(gè)元素排成一列，其中m個(gè)元素之間的先后順序確定不變，則先將這m＋n個(gè)元素排成一列，有Aeq\o\al(m＋n,m＋n)種不同的排法；然后任取一個(gè)排列，固定其他n個(gè)元素的位置不動(dòng)，把這m個(gè)元素交換順序，有Aeq\o\al(m,m)種排法，其中只有一個(gè)排列是我們需要的，因此共有eq\f(Aeq\o\al(m＋n,m＋n),Aeq\o\al(m,m))種滿足條件的不同排法.〖訓(xùn)練2〗分別求出符合下列要求的不同排法的種數(shù).(1)6名學(xué)生排3排，前排1人，中排2人，后排3人；(2)6名學(xué)生排成一排，甲不在排頭也不在排尾；(3)6人排成一排，甲、乙不相鄰.(4)A，B，C，D，E五個(gè)人排成一排，A在B的左邊且C在D的右邊(可以不相鄰).解(1)分排與直排一一對(duì)應(yīng)，故排法種數(shù)為Aeq\o\al(6,6)＝720.(2)甲不能排首尾，讓受特殊限制的甲先選位置，有Aeq\o\al(1,4)種選法，然后其他5人排，有Aeq\o\al(5,5)種排法，故排法種數(shù)為Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(5,5)＝480.(3)甲、乙不相鄰，第一步除甲、乙外的其余4人先排好；第二步，甲、乙在已排好的4人的左、右及之間的空位中排，共有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,5)＝480(種)排法.(4)首先五個(gè)人排成一排，共有Aeq\o\al(5,5)種排法，A，B兩人的全排列有Aeq\o\al(2,2)種排法，C，D兩人的全排列有Aeq\o\al(2,2)種排法，又A在B的左邊且C在D的右邊，故滿足條件的排法共eq\f(Aeq\o\al(5,5),Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,2))＝30(種).題型三數(shù)字排列的問(wèn)題〖例3〗用0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字，(1)可以組成多少個(gè)數(shù)字不重復(fù)的三位數(shù)？(2)可以組成多少個(gè)數(shù)字允許重復(fù)的三位數(shù)？(3)可以組成多少個(gè)數(shù)字不允許重復(fù)的三位奇數(shù)？(4)可以組成多少個(gè)數(shù)字不重復(fù)的小于1000的自然數(shù)？(5)可以組成多少個(gè)大于3000，小于5421的不重復(fù)的四位數(shù)？解(1)分三步：①先選百位數(shù)字，由于0不能作百位數(shù)字，因此有5種選法；②十位數(shù)字有5種選法；③個(gè)位數(shù)字有4種選法.由分步計(jì)數(shù)原理知所求三位數(shù)共有5×5×4＝100(個(gè)).(2)分三步：①百位數(shù)字有5種選法；②十位數(shù)字有6種選法；③個(gè)位數(shù)字有6種選法.故所求三位數(shù)共有5×6×6＝180(個(gè)).(3)分三步：①先選個(gè)位數(shù)字，有3種選法；②再選百位數(shù)字，有4種選法；③選十位數(shù)字也有4種選法，所以所求三位奇數(shù)共有3×4×4＝48(個(gè)).(4)分三類：①一位數(shù)共有6個(gè)；②兩位數(shù)共有5×5＝25(個(gè))；③三位數(shù)共有5×5×4＝100(個(gè)).因此，比1000小的自然數(shù)共有6＋25＋100＝131(個(gè)).(5)分四類：①千位數(shù)字為3，4之一時(shí)，共有2×5×4×3＝120(個(gè))；②千位數(shù)字為5，百位數(shù)字為0，1，2，3之一時(shí)，共有4×4×3＝48(個(gè))；③千位數(shù)字為5，百位數(shù)字為4，十位數(shù)字為0，1之一時(shí)，共有2×3＝6(個(gè))；④還有5420也是滿足條件的1個(gè).故所求四位數(shù)共120＋48＋6＋1＝175(個(gè)).思維升華排列問(wèn)題的本質(zhì)是“元素”占“位置”問(wèn)題，有限制條件的排列問(wèn)題主要表現(xiàn)在某元素不排在某個(gè)位置上，或某個(gè)位置上不排某個(gè)元素.解決此類問(wèn)題的方法主要按“優(yōu)先”原則，即優(yōu)先排特殊元素或優(yōu)先考慮特殊位置，若一個(gè)位置安排的元素影響另一個(gè)位置的元素個(gè)數(shù)時(shí)，應(yīng)分類討論.〖訓(xùn)練3〗用0，1，2，…，9十個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)滿足以下條件的且沒有重復(fù)數(shù)字的數(shù)：(1)五位奇數(shù)；(2)大于30000的五位偶數(shù).解(1)要得到五位奇數(shù)，末位應(yīng)從1，3，5，7，9五個(gè)數(shù)字中取，有5種取法；取定末位數(shù)字后，首位就有除這個(gè)數(shù)字和0之外的8種不同取法；首末兩位取定后，十個(gè)數(shù)字還有八個(gè)數(shù)字可供中間的十位、百位與千位三個(gè)數(shù)位選取，共有Aeq\o\al(3,8)種不同的排列方法.因此由分步計(jì)數(shù)原理共有5×8×Aeq\o\al(3,8)＝13440(個(gè))