人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)學(xué)案2：§8 3　列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)PAGEPAGE1§8.3列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.通過(guò)實(shí)例，理解2×2列聯(lián)表的統(tǒng)計(jì)意義.2.通過(guò)實(shí)例，了解2×2列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn)及其應(yīng)用．知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)一分類(lèi)變量為了表述方便，我們經(jīng)常會(huì)使用一種特殊的隨機(jī)變量，以區(qū)別不同的現(xiàn)象或性質(zhì)，這類(lèi)隨機(jī)變量稱(chēng)為分類(lèi)變量．分類(lèi)變量的取值可以用表示．知識(shí)點(diǎn)二2×2列聯(lián)表1．2×2列聯(lián)表給出了成對(duì)分類(lèi)變量數(shù)據(jù)的．2．定義一對(duì)分類(lèi)變量X和Y，我們整理數(shù)據(jù)如下表所示：XY合計(jì)Y＝0Y＝1X＝0aba＋bX＝1cdc＋d合計(jì)a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋d像這種形式的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表稱(chēng)為2×2列聯(lián)表．知識(shí)點(diǎn)三獨(dú)立性檢驗(yàn)1．定義：利用χ2的取值推斷分類(lèi)變量X和Y的方法稱(chēng)為χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，讀作“卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)”．簡(jiǎn)稱(chēng)獨(dú)立性檢驗(yàn)．2．χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.3．獨(dú)立性檢驗(yàn)解決實(shí)際問(wèn)題的主要環(huán)節(jié)(1)提出零假設(shè)H0：X和Y相互獨(dú)立，并給出在問(wèn)題中的解釋?zhuān)?2)根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)整理出2×2列聯(lián)表，計(jì)算χ2的值，并與臨界值xα比較．(3)根據(jù)檢驗(yàn)規(guī)則得出推斷結(jié)論．(4)在X和Y不獨(dú)立的情況下，根據(jù)需要，通過(guò)比較相應(yīng)的頻率，分析X和Y間的影響規(guī)律．思考獨(dú)立性檢驗(yàn)與反證法的思想類(lèi)似，那么獨(dú)立性檢驗(yàn)是反證法嗎？題型探究探究一等高堆積條形圖的應(yīng)用例1．為考察某種藥物預(yù)防疾病的效果，進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)，得到如下的列聯(lián)表：藥物效果試驗(yàn)列聯(lián)表患病未患病總計(jì)服用藥104555沒(méi)有服用藥203050總計(jì)3075105試用圖形判斷服用藥與患病之間是否有關(guān)系？反思感悟等高堆積條形圖的優(yōu)劣點(diǎn)(1)優(yōu)點(diǎn)：較直觀地展示了eq\f(a,a＋b)與eq\f(c,c＋d)的差異性．(2)劣點(diǎn)：不能給出推斷“兩個(gè)分類(lèi)變量有關(guān)系”犯錯(cuò)誤的概率．跟蹤訓(xùn)練1.為了解鉛中毒病人與尿棕色素為陽(yáng)性是否有關(guān)系，分別對(duì)病人組和對(duì)照組的尿液作尿棕色素定性檢查，結(jié)果如下：組別陽(yáng)性數(shù)陰性數(shù)總計(jì)鉛中毒病人29736對(duì)照組92837總計(jì)383573試畫(huà)出列聯(lián)表的等高條形圖，分析鉛中毒病人和對(duì)照組的尿棕色素陽(yáng)性數(shù)有無(wú)差別，鉛中毒病人與尿棕色素為陽(yáng)性是否有關(guān)系？探究二由χ2進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)命題角度1有關(guān)“相關(guān)的檢驗(yàn)”例2.某校高三年級(jí)在一次全年級(jí)的大型考試中，數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀和非優(yōu)秀的學(xué)生中，物理、化學(xué)、總分也為優(yōu)秀的人數(shù)如下表所示，則我們能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下認(rèn)為數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀與物理、化學(xué)優(yōu)秀有關(guān)系？物理優(yōu)秀化學(xué)優(yōu)秀總分優(yōu)秀數(shù)學(xué)優(yōu)秀228225267數(shù)學(xué)非優(yōu)秀14315699注：該年級(jí)此次考試中數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的有360人，非優(yōu)秀的有880人.反思感悟用χ2進(jìn)行“相關(guān)的檢驗(yàn)”步驟(1)零假設(shè)：即先假設(shè)兩變量間沒(méi)關(guān)系．(2)計(jì)算χ2：套用χ2的公式求得χ2值．(3)查臨界值：結(jié)合所給小概率值α查得相應(yīng)的臨界值xα.(4)下結(jié)論：比較χ2與xα的大小，并作出結(jié)論．跟蹤訓(xùn)練2.某校對(duì)學(xué)生課外活動(dòng)進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果整理成下表：用你所學(xué)過(guò)的知識(shí)進(jìn)行分析，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下，認(rèn)為“喜歡體育還是文娛與性別有關(guān)系”？體育文娛合計(jì)男生212344女生62935總計(jì)275279命題角度2有關(guān)“無(wú)關(guān)的檢驗(yàn)”例3.某省進(jìn)行高中新課程改革，為了解教師對(duì)新課程教學(xué)模式的使用情況，某一教育機(jī)構(gòu)對(duì)某學(xué)校的教師關(guān)于新課程教學(xué)模式的使用情況進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，共調(diào)查了50人，其中有老教師20人，青年教師30人．老教師對(duì)新課程教學(xué)模式贊同的有10人，不贊同的有10人；青年教師對(duì)新課程教學(xué)模式贊同的有24人，不贊同的有6人．(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個(gè)2×2列聯(lián)表；(2)試根據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析對(duì)新課程教學(xué)模式的贊同情況與教師年齡是否有關(guān)系．反思感悟獨(dú)立性檢驗(yàn)解決實(shí)際問(wèn)題的主要環(huán)節(jié)(1)提出零假設(shè)H0：X和Y相互獨(dú)立，并給出在問(wèn)題中的解釋?zhuān)?2)根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)整理出2×2列聯(lián)表，計(jì)算χ2的值，并與臨界值xα比較．(3)根據(jù)檢驗(yàn)規(guī)則得出推斷結(jié)論．(4)在X和Y不獨(dú)立的情況下，根據(jù)需要，通過(guò)比較相應(yīng)的頻率，分析X和Y間的影響規(guī)律．跟蹤訓(xùn)練3.對(duì)電視節(jié)目單上的某一節(jié)目，部分觀眾的態(tài)度如下表：完全同意反對(duì)合計(jì)男人142640女人293463合計(jì)4360103問(wèn)能否認(rèn)為觀看這個(gè)電視節(jié)目的觀眾與性別無(wú)關(guān)？課堂小結(jié)1．知識(shí)清單：(1)分類(lèi)變量．(2)2×2列聯(lián)表．(3)等高堆積條形圖．(4)獨(dú)立性檢驗(yàn)，χ2公式．2．方法歸納：數(shù)形結(jié)合．3．常見(jiàn)誤區(qū)：對(duì)獨(dú)立性檢驗(yàn)的原理不理解，導(dǎo)致不會(huì)用χ2分析問(wèn)題．當(dāng)堂達(dá)標(biāo)1．某科研機(jī)構(gòu)為了研究中年人禿發(fā)與心臟病是否有關(guān)，隨機(jī)調(diào)查了一些中年人的情況，具體數(shù)據(jù)如表：心臟病無(wú)心臟病禿發(fā)20300不禿發(fā)5450根據(jù)表中數(shù)據(jù)得到k＝eq\f(775×(20×450－5×300)2,25×750×320×455)≈15.968，因?yàn)閗>6.635，則斷定禿發(fā)與心臟病有關(guān)系，那么這種判斷出錯(cuò)的可能性為()A．0.1 B．0.05C．0.025 D．0.012．在一項(xiàng)中學(xué)生近視情況的調(diào)查中，某校男生150名中有80名近視，女生140名中有70名近視，在檢驗(yàn)這些中學(xué)生眼睛近視是否與性別有關(guān)時(shí)用什么方法最有說(shuō)服力()A．平均數(shù)與方差 B．回歸分析C．獨(dú)立性檢驗(yàn) D．概率3．在研究打鼾與患心臟病之間的關(guān)系中，通過(guò)收集數(shù)據(jù)、整理分析數(shù)據(jù)得到“打鼾與患心臟病有關(guān)”的結(jié)論，并且在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為這個(gè)結(jié)論是成立的．下列說(shuō)法中正確的是()A．100個(gè)心臟病患者中至少有99人打鼾B．1個(gè)人患心臟病，則這個(gè)人有99%的概率打鼾C．100個(gè)心臟病患者中一定有打鼾的人D．100個(gè)心臟病患者中可能一個(gè)打鼾的人都沒(méi)有4．觀察下列各圖，其中兩個(gè)分類(lèi)變量x，y之間關(guān)系最強(qiáng)的是________．5．某大學(xué)餐飲中心為了解新生的飲食習(xí)慣，在全校一年級(jí)學(xué)生中進(jìn)行了抽樣調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表所示：喜歡甜品不喜歡甜品總計(jì)南方學(xué)生602080北方學(xué)生101020總計(jì)7030100根據(jù)表中數(shù)據(jù)，問(wèn)是否有95%的把握認(rèn)為“南方學(xué)生和北方學(xué)生在選用甜品的飲食習(xí)慣方面有差異”.▁▃▅▇█參*考*答*案█▇▅▃▁知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)一分類(lèi)變量實(shí)數(shù)知識(shí)點(diǎn)二2×2列聯(lián)表1．交叉分類(lèi)頻數(shù)知識(shí)點(diǎn)三獨(dú)立性檢驗(yàn)1．是否獨(dú)立2．eq\f(n(ad－bc)2,(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d))思考〖答案〗不是．因?yàn)榉醋C法不會(huì)出錯(cuò)，而獨(dú)立性檢驗(yàn)依據(jù)的是小概率事件幾乎不發(fā)生．題型探究例1.解：相應(yīng)的等高條形圖如下：從圖形可以看出，服用藥的樣本中患病的比例明顯低于沒(méi)有服用藥的樣本中患病的比例，因此可以認(rèn)為：服用藥和患病之間有關(guān)系．跟蹤訓(xùn)練1.解：等高條形圖如圖所示：其中兩個(gè)淺色條的高分別代表鉛中毒病人和對(duì)照組樣本中尿棕色素為陽(yáng)性的頻率．由圖可以直觀地看出鉛中毒病人與對(duì)照組相比，尿棕色素為陽(yáng)性的頻率差異明顯，因此鉛中毒病人與尿棕色素為陽(yáng)性有關(guān)系．例2.解：(1)根據(jù)已知數(shù)據(jù)列出數(shù)學(xué)與物理優(yōu)秀的2×2列聯(lián)表如下：物理優(yōu)秀物理非優(yōu)秀總計(jì)數(shù)學(xué)優(yōu)秀228b360數(shù)學(xué)非優(yōu)秀143d880總計(jì)371b＋d1240∴b＝360－228＝132，d＝880－143＝737，b＋d＝132＋737＝869.代入公式可得K2的觀測(cè)值為k1≈270.114.(2)按照上述方法列出數(shù)學(xué)與化學(xué)優(yōu)秀的2×2列聯(lián)表如下：化學(xué)優(yōu)秀化學(xué)非優(yōu)秀總計(jì)數(shù)學(xué)優(yōu)秀225135360數(shù)學(xué)非優(yōu)秀156724880總計(jì)3818591240代入公式可得K2的觀測(cè)值k2≈240.611.綜上，由于K2的觀測(cè)值都大于10.828，因此說(shuō)明都能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下認(rèn)為數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀與物理、化學(xué)優(yōu)秀有關(guān)系．跟蹤訓(xùn)練2.解：判斷方法如下：假設(shè)H0“喜歡體育還是喜歡文娛與性別沒(méi)有關(guān)系”，若H0成立，則χ2應(yīng)該很?。遪11＝21，n12＝23，n21＝6，n22＝29，n＝79，∴χ2＝eq\f(n(n11n22－n12n21)2,n1＋n2＋n＋1n＋2)＝eq\f(79×(21×29－23×6)2,44×35×27×52)≈8.106.∵χ2≥6.635，∴我們有99%的把握認(rèn)為“喜歡體育還是文娛與性別有關(guān)系”，即在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為“喜歡體育還是喜歡文娛與性別有關(guān)”．例3.解：(1)2×2列聯(lián)表如下表所示：教師年齡對(duì)新課程教學(xué)模式合計(jì)贊同不贊同老教師101020青年教師24630合計(jì)341650(2)零假設(shè)為H0：對(duì)新課程教學(xué)模式的贊同情況與教師年齡無(wú)關(guān)．由公式得χ2＝eq\f(50×(10×6－24×10)2,34×16×20×30)≈4.963<6.635＝x0.01，根據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒(méi)有充分證據(jù)推斷H0不成立，即認(rèn)為對(duì)新課程教學(xué)模式的贊同情況與教師年齡無(wú)關(guān)．跟蹤訓(xùn)練3.解：由公式得χ2＝eq\f(103×(14×34－29×26)2,43×60×63×40)≈1.224.因?yàn)?.224＜3.841，我們沒(méi)有理由說(shuō)是否觀看這個(gè)節(jié)目與觀眾的性別有關(guān)，即可以認(rèn)為觀看這個(gè)電視節(jié)目的觀眾與性別無(wú)關(guān)．當(dāng)堂達(dá)標(biāo)1．〖解析〗∵P(k>6.635)＝0.01，故選D.〖答案〗D2．〖解析〗判斷兩個(gè)分類(lèi)變量是否有關(guān)的最有效方法是進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，故選C.〖答案〗C3．〖解析〗這是獨(dú)立性檢驗(yàn)，在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為“打鼾與患心臟病有關(guān)”．這只是一個(gè)概率，即打鼾與患心臟病有關(guān)的可能性為99%.根據(jù)概率的意義可知〖答案〗應(yīng)選D.〖答案〗D4．〖解析〗在四幅圖中圖(4)中兩個(gè)深