高考數(shù)學(xué)理基礎(chǔ)知識(shí)總復(fù)習(xí)課時(shí)精練空間簡單幾何體的表面積和體積高考

第三節(jié)空間簡單幾何體的表面積和體積1.若正方體的棱長為eq\r(2)，則以該正方體各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的凸多面體的體積為()A.eq\f(\r(2),6)B.eq\f(\r(2),3)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(2,3)答案：B2．如圖所示，是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是()A．9πB．10πC．11πD．12π解析：從三視圖可以看出該幾何體是由一個(gè)球和一個(gè)圓柱組合而成的，其表面積為S＝4π×12＋π×12×2＋2π×1×3＝12π.故選D.答案：D 3．(2013·江門一模)如圖是某個(gè)四面體的三視圖，該四面體的體積為()A．72B．36C．24D．12解析：由題意可知，幾何體是三棱錐，底面三角形的一邊長為6，底面三角形的高為3，棱錐的一條側(cè)棱垂直底面，且過底面三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，棱錐的高為4.所以幾何體的體積：eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×6×4×3＝12.故選D.答案：D4.(2013·廣州二模)一個(gè)圓錐的正(主)視圖及其尺寸如圖所示．若一個(gè)平行于圓錐底面的平面將此圓錐截成體積之比為1∶7的上、下兩部分，則截面的面積為()A.eq\f(1,4)πB．πC.eq\f(9,4)πD．4π解析：設(shè)小錐體的底面半徑為r，大錐體的底面半徑為3，利用一個(gè)錐體被平行于底面的截面所截得的小錐體與原錐體體積之比等于相似比的立方，eq\f(V上,V下＋V上)＝eq\f(1,8)＝eq\f(r3,33)，所以r＝eq\f(3,2)，截面的面積為π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2＝eq\f(9,4)π.故選C.答案：C5．(2013·遼寧卷)已知直三棱柱ABCA1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上．若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球OA.eq\f(3\r(17),2)B．2eq\r(10)C.eq\f(13,2)D．3eq\r(10)解析：因?yàn)锳B⊥AC，且AA1⊥底面ABC，將直三棱柱補(bǔ)成內(nèi)接于球的長方體，則長方體的對(duì)角線l＝eq\r(32＋42＋122)＝2R，R＝eq\f(13,2).答案：C6．(2013·湖北卷)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體從上到下由四個(gè)簡單幾何體組成，其體積分別記為V1，V2，V3，V4，上面兩個(gè)簡單幾何體均為旋轉(zhuǎn)體，下面兩個(gè)簡單幾何體均為多面體，則有()A．V1＜V2＜V4＜V3B．V1＜V3＜V2＜V4C．V2＜V1＜V3＜V4D．V2＜V3＜V1＜V4解析：由柱體和臺(tái)體的體積公式計(jì)算可知選項(xiàng)C正確．答案：C7．(2013·佛山一模)一個(gè)直棱柱被一平面截去一部分所得幾何體的三視圖如下，則幾何體的體積為()A．8B．9C．10D．11解析：三視圖復(fù)原的幾何體是底面邊長為2的正方形，棱長垂直底面的四棱柱，其高為3，從該四棱柱中去掉一個(gè)三棱錐，該三棱錐的底面是面積為eq\f(1,2)×2×1＝1的直角三角形，高為3，所以幾何體的體積是：2×2×3－eq\f(1,3)×3×eq\f(1,2)×2×1＝11，故選D.答案：D8．若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是面積為2π的半圓面，則該圓錐的體積為__________．解析：因?yàn)榘雸A面的面積為eq\f(1,2)πl(wèi)2＝2π，所以l2＝4，即l＝2，即圓錐的母線為l＝2，底面圓的周長2πr＝πl(wèi)＝2π，所以圓錐的底面半徑r＝1，所以圓錐的高h(yuǎn)＝eq\r(l2－r2)＝eq\r(3)，所以圓錐的體積為eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π×eq\r(3)＝eq\f(\r(3)π,3).答案：eq\f(\r(3)π,3)9.(2013·江蘇卷)如圖，在三棱柱A1B1C1ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，AA1的中點(diǎn)，設(shè)三棱錐FADE的體積為V1，三棱柱A1B1C1ABC的體積為V2，則V1V解析：V1＝eq\f(1,3)S△ADEh1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,4)S△ABC×eq\f(1,2)h2＝eq\f(1,24)V2，所以V1V2＝eq\f(1,24).答案：eq\f(1,24)10．如圖所示，已知一個(gè)半徑為1的半球形容器①及容器②的三視圖，側(cè)視圖矩形的寬為5，俯視圖是邊長為1的正三角形．(1)請(qǐng)畫出容器②的直觀圖(簡圖，尺寸不作嚴(yán)格要求)，并回答：它是什么幾何體？(2)若把容器①中盛滿的水全部注入容器②中，水是否會(huì)從容器②中溢出？為什么？(參考數(shù)據(jù)：eq\r(3)≈1.732)解析：(1)容器②的直觀圖如右圖所示，它是正三棱柱．(2)∵V半球＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×13＝eq\f(2π,3)≈2.094，V三棱柱＝Sh＝eq\f(5\r(3),4)≈2.165.∴V半球＜V三棱柱，∴水不會(huì)從三棱柱容器里溢出．11．如圖，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體DABC，如圖所示．(1)求證：BC⊥平面ACD；(2)求幾何體DABC的體積．(1)證明：在平面圖中，可得AC＝BC＝2eq\r(2)，從而AC2＋BC2＝AB2，故AC⊥BC.取AC的中點(diǎn)O，連接DO，則DO⊥AC.又平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，DO?平面ADC，從而DO⊥平面ABC，∴DO⊥BC.又AC⊥BC，AC∩DO＝O，∴BC⊥平面ACD.(2)解析：由(1)可知BC為